СЕМЕЙСТВА ВЛОЖЕННЫХ МЕТОДОВ ШЕСТОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62/.642 Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2022. Т. 18. Вып. 2 MSC 65L06

Семейства вложенных методов шестого порядка

И. В. Олемской, О. С. Фирюлина, О. А. Тумка

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7^9

Для цитирования: Олемской И. В. Фирюлина О. С., Тумка О. А. Семейства вложенных методов шестого порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2022. Т. 18. Вып. 2. С. 285-296. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2022.209

Работа посвящена разработке вложенного семистадийного метода шестого порядка численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлено трехпараметрическое семейство семистадийных методов шестого порядка типа Рунге — Кутты. На этом семействе построены многопараметрические семейства вложенных методов шестого порядка двух типов. Для расчетных схем представителей всех найденных семейств вложенных методов проведено сравнительное тестирование. Ключевые слова: задача Коши, вложенные методы, контрольный член, порядок, стадия, условия порядка, упрощающие условия.

1. Введение. В работе рассматриваются вложенные методы решения начальной задачи

y'(x) = f (x,y{x)), y(xo) = yo (1)

для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В настоящее время для решения такой задачи широко используются [1,2] явные вложенные методы Рунге — Кутты RKp(q)m, p = q, p,q G N. Здесь p — порядок метода вычисления приближения к решению на шаге, q — порядок метода «оценгци-

m

можно разделить на два класса. Для первого при p < q оценивается погрешность аппроксимации [3], а для второго при p > q — последние учтенные в приближенном решении члены с q + 1-го до p-ro. Наиболее известный с середины 50-х годов XX в. метод второго класса был предложен В. А. Егоровым (см. [1]). Это расчетная схема RK4(2)4 («правило 1/б») четвертого порядка с контрольным членом Егорова. Она почти 20 лет была основной в данном классе при создании алгоритмов интегрирования с автоматическим выбором шага.

Работы Бутчера [4,5] дали толчок развитию алгебраической теории методов Рун-ге — Кутты высоких порядков и конструированию на их основе вложенных методов двух классов. Так, для второго класса в [6] были построены расчетные схемы пятого порядка двух типов RK5(4)7M, RK5(4)7S, RK5(4)6M. Формально при равенстве точностных характеристик первые две расчетные схемы RK5(4)7M, RK5(4)7S требуют больших вычислительных затрат, чем RK5(4)6M. Используемая при построении этих методов технология FSAL (First Same As Last — последнее вычисление правой части на текущем шаге является первым на следующем) устраняет фактически данный недостаток. Для методов такого типа в аббревиатуру методов добавляется латинская «F».

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2022

Вычислительная схема Т1К5(4)6 так же, как и расчетные схемы МС6(5)8М, Т1К8(7)13М, представленные в [7], относится к стандартным классическим методам этого класса.

В работе строятся семейства семистадийных методов шестого порядка, вложенных методов шестого порядка КК6(4)7 второго класса стандартного типа и вложенных методов шестого порядка Т1К6(4)8Г.

Предполагаем достаточно гладкой правую часть рассматриваемого дифференциального уравнения. Считаем, что известно точное решение у(хп) задачи (1) в точке Хп е [Х0,Хи].

Приближение р-го порядка — zn+1 и д-го — ¿п+1 к точному решению у(хп+1) в точках Хп+1 е [Хо, Хк], Хп+1 = Хп + Нп, Нп = в(хп)Н и 0 < в(хп) < 1, п = 0,1, 2,..., гп = у(хп) ищем соответственно в виде

Zn+1 = Zn + Y, bvkv(h), \\v(xn+i) - zn+1\\ ^ O(hP+1 ), (2)

v=1 m

Zn+1 = Zn + bvkv(h), \\y(xn+l) - Zn+ l\\~O(hq+1 ), (3)

v=1

вычисляя kv = kv(h) по формулам

( v-1

kv hnfi xn + cv hn, zn + ^ ^

v — 1

bn + cv 'П^) zn + / J av(k( (=1

(4)

где bv, cv, av( — параметры метода; hn — шаг интегрирования.

Разность двух приближений (En+1 = \\zn+1 — ¿n+1\\ — контрольный член) псполь-

hn

1

/ fol \ 9 + 1

hn+1 = 0.9 к -- , (5)

VEn+1/

где (5) toi — максимально допустимое значение контрольного члена.

2. Семейство явных методов шестого порядка. 35 параметров bi,ci,ai,j явного семнстадпйного (m = 7) метода (2) шестого порядка должны удовлетворять [5] системе 37 нелинейных алгебраических уравнений

v

= 2 (3+s) ' 5 = 1? 3,

v (Л

bvct = 3(4+s) ' 5 =

v(

Z К cl J2 J2 = 6(4+3) ' S = M,2,

v ( i

Xy ( d-v^c^j ■ ( d-v^c^j = ^Tgq^y, s = 0,1,

v ( (

S hvCl — 4(5+s) ' s 17

(

л e

286 Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2022. Т. 18. Вып. 2

(в^) €{(0, 2), (0, 3), (2,1), (1, 2)},

,р _ _

'■Ф бо(н

Ъи ар,ес5 — б0(8+2<г+2р)'

1 р 5

Ф

(в,а,р) €{(0,о, 1),(1,о, 1),(о, 1,1)},

Х^ ^ (а>и,цсц ) * (Х^ — 36'

V ^ р ' ^ р '

Х^гу Х^ = 30'

V р

I/ ^ а с ' ^ Л '

Е^Е ар,5с^ • (Г, ар,5с<) =

в = 1, 2,

1

120'

^и^и Ху а1ЛМ 5-у Ху а£,,'фсе,'ф ^441

■

арЛ а5:Фс\ = Ж>> 1 р 5 Ф

а»,р арЛ а5:Ф а"Ф,ФсФ = Ш ■ 1 р 5 ф ф

Для решения системы (6) используются упрощающие ограничения [8, 9] вида

w — 1 1=1

ст +1

V а ст — —

т +1'

Т = 0,1, 2,

с$а1,2 = 0, £ = 1, 2,

1=3

(7)

^ а^ = Ъз (1 - с3), в = 1,...,т- 1.

Такой состав упрощающих ограничений не случаен. Именно ограничения (7) обеспечивают совместность системы 1224 нелинейных уравнений (условий шестого порядка) при построении структурных методов [10, 11].

Применение (7) к системе (6) с одновременной проверкой на совместность расширенной системы-следствия (6), (7) позволяет свести задачу поиска решения исходной системы (6) к решению системы-следствия:

3 С2 6 С2

С1 = 0, С7 = 1, 6о = 0, а-2 1 = ст, сч =-, сл = -к-

2 ' 135 - 60 с2 + 8

Ъ

1=1

— , в — 0,1,..., 5, в + 1

w —1

„Т+1

aW,VCr

г _ -ш

= 1 Г + 1

ю = 3,...,6, г = 0,1, 2,

,

(9) (10)

Ъ1 сг1а1,2 =0, г = 0,1, 2,

(Н)

1=3

и

и

£ bv = bs (1 - cs), s = 3,...,6, (12)

v=s + 1

m v-1 i

= 24' (13)

v=4 ^=3

Ограничения (8) на параметры c3,c4, c7 обеспечивают совместность системы-следствия (6), (7). Причем решение системы (8)—(13) сводится к последовательному решению двух систем. Решение первой — (9) (линейной относительно bv) — позволяет выразить весовые параметры bv через свободные параметры c2,c5,c6:

, _ ((3240—5400 с6)с5 + 3240с6-2160)с22 + ((2880 е6-1680)е5-1680е6 + 1104)е2+(192-320е6)е5+192е6-128 3 — с22(405с2 — 270с5 )(Зс2 — 2сб )(405 с23-4Б0с2 2 + 132с2-8) >

l __(30 с2с5с6 —15 с2с5 —15 с2с6 —10 с5с6+9 с2+6 с5+6 с6—4)(135 с22—60 с2+8)5_

с22 (145 800 с22-71 280 с2+8640) (l35 с22с6-60 с2с6-6 с2+8 c6)(l35 с22с5-60 с2с5-6 с2+8 c5)(l35 с22-60 с2+4) '

£ _ _(45 е22-30 с2+4)(45 С2С6-27 е2-12 с6+8)_

5 60с5(1 —c5)(l35 с22с5—60 с2с5—6 с2+8 с5)(с6 —с5)(3 с2—2 с5) ' (14)

^ _ _(45 е22-30 с2+4)(45 С2С5-27 С2-12 С5+8)_

60 с6(1-с6)(2 с6—3 С2 )(C6-C5)(135 C22C6—60 С2С6—6 C2+8 c6) '

7

_M(c2,c5,c6)__, _ _ V- ,

60(3c2-2)(135c22-66c2+8)(l-c5)(l-c6) ' ± Uv'

v=3

где

M(C2,C5,C6) = (8100 C5C6 - 6075 C5 - 6075 C6 +4860)c23 - (8190 C5C6 -- 6300 C5 - 6300 C6 + 5130)c22 + (2520 C5C6 -- 1980 C5 - 1980 C6 + 1632)c2 - 240 C5C6 + 192 C5 + 192 C6 - 160.

При таким образом определенных bv оставшиеся уравнения системы-следствия (10)-(13) линейны относительно aV}^ и могут быть выражены через свободные параметры

c2,c5,c6:

9 с2 18c2 (405 c22 — 180 c2 +16) 24 c2 (135 c22 —60 c2 +4)

Я3 2 = —а , (14, 2 = -, -ГЧ— 1 а4 3 =--7—*-ГГ"^ ,

3,2 8 ' 4,2 (135 c22 — 60 c2 + 8)3 4,3 (135 c22—60 c2 +8)3 '

C5(3 C2—2 c5)(8100 C23C5 —1620 C23—5220 C22C5 + 720 c22+ 960 C2C5—24 C2 —64 C5)

Q^C r, == _¿_L

5,3 27 с22 (45 с22—30 с2 + 4) (135 с22—60 с2 +4) :

(15)

_ e5(3e2- 2e5)(l35 e2 2 e5-60 e2 e5-6 e2+8 e5 ) (l35 c22- 60 c2+8)2 аЪ'4 ~ 108 c22 (45 c22-30c2 +4) (l35 c22-60c2 + 4) '

_ 15 e53- 15 e52 + 3 e5 _ 15 e63 -15 e62 + 3 e6

"Б>2 — 45 c22 —30 c2 + 4 ' ' — 45 c22 — 30 c2 +4 >

_ ((405 e6-270)e5-270 c6 + 189)e2+(84-120 e6)e5 + 84e6-60 ®7>2 ~ M(C2,C5,C6)

_4(3e2-2)QT,3(e2 e5,e6)_

7>3 27c22(3c2-2c5)(3c2-2c6)(135c22-60c2 +4)M(c2,c5,c6) '

_ _(3 c2—2)(15 c2—4)(9 c2—2)(135 e22-60 e2 + 8)2Q7,4(c2 ,c5 ,c6)_

"7>4 108c2 2 (135c2 2 — 60c2 +4 )(135c2 2c6-60c2 c6-6c2+8c6)(135c2 2c5-60c2 c5-6c2+8c5 )M(c2 ,c5 ,c6) '

a = _(3e2-2)(9e2-2)(16e2-4)(l-e5)QT,5(e2,e5,e6)_

7,6 c5(3c2—2c5)(135 c22c5—60 c2c5-6C2+8C5)(c5-c6)m(c2 ,c5 ,c6) '

63 (1 - C3) - &4Я4,3 - &5Я5,3 - &7Я7,3 64(1 - C4) - a5,4&5 - Я7,4&7

а 6,3 — -;-, Яб,4 — -;-,

b6 06

1-1

Ьб(1 - Сб) - Ьгаг,ь (1 - С6) Ьб „ _

ав,б = -т-, а 7,6 =-т-, Яг,1 = Сг ~ 1 = 3,. ..,7,

^=2

где (с2,С5,свХV = 3,4, 5) — многочлены, введенные для полного и компактного представлений построенного семейства решений системы (6) (семейство семистадий-ных расчетных схем шестого порядка):

я7,з(о2 ,Сб,Сб) = (328 050С26С5С6 - 218 700с2бСб2Сб - 218 700с2бСбСб2 + 1239 300с24Сб2Сб2 -

- 164 025с26С5 +328 050с26С6 - 218 700с2бСб2 - 364 500с2бСбСб - 218 700с2бСб2 -

- 1433 700с24С52С6 - 1433 700 С24СбС62 - 1231 200с23Сб2С62 - 229 635С26 +783 675с2бСб -- 222 345с2бС6 + 906 390с24Сб2 + 2629 260с24СбС6 + 906 390с24С62 + 1573 020с23Сб2С6 +

+ 1573020с23С5С62 + 440640с22Сб2С62 + 87 480с2б - 1805490с24Сб - 993870с24С6 -

- 766 260с23С52 - 2511 000с23СбС6 - 766 260с23С62 - 586 440с22Сб2С6 - 586 440с22СбС62 -

- 67680с2С52С62 + 501 228С24 + 1359 720с23Сб + 1027 296С23С6 +263 088С22Сб2 + + 908 784с22СбС6 + 263 088с22С62 + 92 736С2Сб2С6 +92 736С2С6С62 +3840сб2С62 -

- 480 816с23 - 447 984с22сб - 374 544с22с6 - 40 320с2сб2 - 143 136с2сбс6 - 40 320с2с62 -

- 5376сб2с6 - 5376сб с6 2 + 169920с22 +67584с2 сб +59 232 с2с6 + 2304 сб2 + + 8320 сбс6 + 2304 с62 - 26 496 с2 - 3840 сб - 3456 с6 + 1536^ ,

^7,4(С2,С6,С6) = (3280 500С2бСб2С62 - 4100 625С2бСб2С6 - 4100 625С2бСбС62 - 4009 500С24Сб2С62 + + 5904 900 с2бсбс6 + 1640 250 с2бс62 + 5175 900 с24сб2с6 +5175 900 с24сбс62 +2008 800 с23сб2с62 -

- 2624400 С2бСб - 2296 350 С2бС6 - 2150 550 С24Сб2 - 7654 500 С24СбС6 - 2150 550 С24С62 -

- 2656 800С23Сб2С6 - 2656 800 С23СбС62 - 518 400 С22Сб2С62 + 984 150С2б +3499 200 С24Сб + + 3047 220 С24С6 + 1127 520 С23Сб2 + 3998 160 С23СбС6 + 1127 520 С23С62 + 699840 С22Сб2 С6 +

+ 699 840 С22С5С62 + 69 120 С2Сб2С62 - 1326 780 С24 - 1854900 С23Сб - 1615140 С23С6 -

- 300 240 С22С52 - 1066 320 С22СбС6 - 300 240 С22С62 - 95 040 С2Сб2С6 - 95 040 С2С6С62 -

- 3840 Сб2С62 + 710 208 С23 + 497 520 С22Сб + 435 744 С22С6 + 40 896 С2С52 + 146 112 С2С6С6 +

+ 40896С2С62 + 5376Сб2С6 + 5376СбС62 - 192816С22 - 68064С2С5 - 60 288С2С6 -- 2304 сб2 - 8320 сбс6 - 2304 с62 + 26784 с2 + 3840 сб + 3456 с6 - 1536^,

^7,бС ,С5,С6) = (45 С22 - 30 С2 + 4^45 С2С62 - 9 С2С5 - 63 С2С6 - 12 С62 + 27С2 +2 Сб + 18 С6 - 8) •

Приведенное решение (8), (14), (15) системы-следствия (8)^(13) является трех-параметрическим семейством семистадийных явных методов шестого порядка типа Рунге — Кутты (ККБб). Б в аббревиатуре метода 1ШБ сообщает о используемом наборе упрощающих ограничений (7) при построении семейства методов.

Выбор свободных параметров с2,с5, с6 подчиняется следующим требованиям:

1) ограничения на узловые параметры 0 ^ сс ^1, г = 1,...,т, позволяют (с учетом (8)) ограничить область определения: с2 € ^0,

2) знаменатели в представлении параметров (8), (14), (15) отличны от нуля;

3) весовые параметры (14) должны удовлетворять неравенству 0 ^ Ъ-1 ^ 1, г = 1,...,т.

3. Семейство вложенных методов 1Ж6(4). Параметры с„, Ъ„, Ъ„, а„,м вложенного семистадийного метода (2)-(4) шестого и четвертого порядков должны одновременно удовлетворять системе 37 уравнений (6) для параметров си, Ъи, и системе 8 уравнений

£ё"с* = 7ХТ' ^ = 0,1,2,3,

Е^Е

г + 1'

1

6'

м

_ 1

иц^ц — д,

м

^ а„мсм = -, (16)

УЗ Ъу У^ аииеМ, =

2 _

Е Ъv Е амк ск =

м

1

24

для параметров си ,Ъи, а„,м.

При уже построенном семействе (8), (14), (15) семистадийных методов шестого порядка и определенных значениях параметров Ъи(с2, с5, с6), а„,м(с2, с5, с6) задача сводится к поиску решения системы (16).

Линейная относительно Ъи система (16) с учетом выполнения о граничений Ъ2 = 0, аимсгм = с„/ (г + 1), г = 0,1, 2, приводится к линейной системе пяти уравнений

7 1

]ГЬ„<£ = -—, Г = 0,1, 2,3,

г +1

V=1

7 V-! 1

Е ^ Е = 12'

и=4 м=3

Ее решение существует и образует четырехпараметрическое семейство Ъ и(с2,с5,с6,Ь6).

Ограничимся здесь представлением частного решения данного семейства, положив с2 = 2/15, с5 = 2/3, с6 = 4/5 и Ъ6 = п € Я. Это одпопараметрическое семейство вложенных методов Т1КБ6(4)7[п] представлено в табл. 1.

Для проведения сравнительного тестирования построены расчетные схемы при параметре V = щ; ~ ГЖБ6(4)7 ^ (табл. 2) и Ш<Б6(4)7 -Щ- (табл.3) при г/ = -Щ--

Таблица 1. Схема НК86(4)7М

Сги , д Ьи> Ьи>

0 7 96 25 ' 12

2 16 2 15 0 0

1 Б 1 20 3 20 125 672 625 _ 4 672

1 3 11 108 -Б 36 10 27 27 112 108„_ Л. 25 ' 16

2 3 23 64 Б 18 ЗБ 54 7 6 27 112 .9. _ 64 14 25 '

4 Б 83 126 3 Б 9 5 189 125 72 125 125 672 V

1 23 28 15 28 80 49 108 49 18 49 25 49 7 96 7 96

Таблица 2. Схема Н.К86(4)7[^]

Таблица 3. Схема НК86(4)7[-^]

Сад ,д Ьи> Ьи>

0 7 96 7 60

2 15 2 15 0 0

1 1 3 125 5

5 20 20 672 224

1 11 -5 10 27 261

3 108 36 27 112 560

2 23 5 35 7 27 9

3 54 18 54 6 112 70

4 83 3 9 189 72 125 5

5 125 5 5 125 125 672 21

1 23 15 80 108 18 25 7 7

28 28 49 49 49 49 96 96

Сад &ад ,д Ьад Ьад

0 7 96 533 96

2 15 2 15 0 0

1 5 1 20 3 20 125 672 18125 672

1 3 11 108 -5 36 10 27 27 112 459 16

2 3 23 54 5 18 35 54 7 6 27 112 1647 112

4 5 83 125 3 5 9 5 189 125 72 125 125 672 625 96

1 23 28 15 28 80 49 108 49 18 49 25 49 7 96 7 96

4. Семейство вложенных методов 6(4)8Г. Параметры , , , вложенного восьмистадийного (ш = 8) метода (2)-(4) шестого и четвертого порядков КК86(4)8Г должны одновременно удовлетворять системе 45 уравнений (6), (16). Реализация технологии ГБАЬ накладывает на параметры восьмой стадии метода дополнительные ограничения:

С8

1, Ъ8 = 0,

1,

, 7.

а8,м = Ъ^, ( =1,...,7. (17)

В рамках трехпараметрического семейства (8), (14), (15) семистадийных методов шестого порядка при определенных значениях параметров Ъи(с2, с5, св), а(с2, с5, св), с3(с2), с4(с2) задача вычисления параметров вложенного метода Ъи четвертого порядка сводится к поиску решения системы (16), которая с учетом выполнения упрощающих ограничений Ъ2 = 0, £ аи^ст^ = си/(г +1), г = 0,1, 2, и равенств (17) приводится к линейной системе

Е

Ъи <

1

г + 1'

8 V-!

Е^Е<

v=4 ц=3

0,1, 2, 3,

(18)

1 12'

Решение системы (18) существует и образует пятипараметрическое семейство Ъv(с2, сб, св, Ъ5, Ъв), V = 1,..., 8.

2

В табл. 4 представлено двухпараметрическое подмножество семейства 1ШБ6(4)8Г [ф, п]> построенное при с2 = 2/15, с5 = 2/3, с6 = 4/5 и Ь5 = ф,Ь6 = п

Для проведения тестирования использовалась расчетная схема 1ШБ6(4)8Г (табл. 5), полученная при параметрах ф = —5157/112, ц = 3875/96 .

Таблица 4. Схема Н.К86(4)8Е[^, П

сги ьи> ьи>

0 7 96 -б--— 12 9 ^ —ч 25 ч

2 16 2 15 0 0

1 б 1 20 3 20 125 672 36 2'' 125 96

1 3 11 108 -б 36 10 27 27 112 16 2 ^ — V 25 ч

2 3 23 54 б 18 зб 54 7 6 27 112 Ф

4 5 83 126 3 б 9 5 189 125 72 125 125 672 V

1 23 28 15 28 80 49 108 49 18 49 25 49 7 96 Ш-Ф + Шч 77 96

1 7 96 0 125 672 27 112 27 112 125 672 7 96 0 84„ 25 Ч

Таблица 5. Схема КК86(4)8Е

сад Ьад Ьи>

0 7 223

96 96

2 15 2 15 0 0

1 1 3 125 13375

5 20 20 672 672

1 11 -5 10 27 513

3 108 36 27 112 16

2 23 5 35 7 27 5157

3 54 18 54 6 112 112

4 83 3 9 189 72 125 3875

5 125 5 5 125 125 672 96

1 23 15 80 108 18 25 7 5299

28 28 49 49 49 49 96 96

1 7 96 0 125 672 27 112 27 112 125 672 7 96 0 -63

5. Сравнительное тестирование. Орбита Аренсторфа. Плоское движение космического аппарата (КА) с координатами (х1,х2) в гравитационном поле, создаваемом Землей (0,0) и Луной (1, 0), описывается [2] системой обыкновенных дифференциальных уравнений

,Х1 + М Х1 — / Х\ = Х\ + ¿х2 - ц —---ц—--,

и1 и2

х2= х2 - 2х\ - м'-рг - М77",

11 и2

(19)

где В1 = ((х1 + /)2 + х2)3/2; В2 = ((х1 — /')2 + х2)3/2; М = 0.012277471; / = 1 — /. При начальных условиях

х(0) = (0.994, 0), хх(0) = (0, 2.00158510637908252240537862224) (20)

КА движется по орбите с периодом Трег = 17.0652165601579625588917206249.

В сравнительном тестировании наряду с представленными здесь вложенными ме-

тодами (RKS6(4)7

625 96

(см. табл. 3), RKS6(4)8F (табл. 5))

(см. табл. 2), RKS6(4)7 шестого порядка в качестве оппонентов при решении задачи (19), (20) использовали методы того же класса (RK5(4)7M = DOPRI5(4)7F,RK5(4)7S [4],RK6(5)8M [5]).

Вычисления выполнялись с числами с плавающей запятой и мантиссой длиной 30. Максимально допустимое значение контрольного члена toi (см. (5)) изменялось в диапазоне toi G [Ю-24, Ю-4] для всех расчетных схем (RKS6(4)7 Jj (см. табл. 2),

RKS6(4)7 -Щ (см.табл.3), RKS6(4)8F (табл.5), ИК5( !)7.\1 = !)ОРШ5( !)7К. И К5( I )7Я [4], МС6(5)8М [5]) с единым алгоритмом (5) вычисления шага интегрирования.

На рис. 1 ,а,б и рис. 2 приведены зависимости полной погрешности Еггв1оь от общего количества вычислений правой части ^ на интервале [0, Трег].

-lg||Errglob||

^,/RK6(5)8M

RKS6(4)8F

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

6 lg Nf

Рис. 1. Зависимость нормы — lg || Еггб1оЬ || полной погрешности от количества вычислений правой части Nf для разных расчетных схем Расчетные схемы: а - Ш<86(4)7, Ш<6(5)8М, ИК5(4)7М; б - Ш<6(5)8М, КК86(4)8Р, КК5(4)7Э.

Наклоны ломаных на рис. 1, а, б показывают, что для всех предложенных в работе методов зависимость глобальной погрешности Еггв1оЬ от числа обращений Nf к процедурам вычисления правых частей имеет шестой порядок.

На рис. 2 все три кривые для методов ^КБ6(4)7 (см.табл. 2),RKS6(4)7

(см.табл.3), RKS6(4)8F (табл.5)) сливаются в одну RKS6(4)8F.

6. Заключение. Результаты сравнительного тестирования при решении тестовой задачи (19), (20) демонстрируют высокую эффективность представленных в ра-

боте вложенных расчетных схем (RKS6(4)7 , RKS6(4)7

625 96

RKS6(4)8F). Для

достижения одной и той же полной погрешности эти методы требуют меньшего ко-

lg Nf

600 000

400 000

200 000

300 000

500 000

100 000

0

7

I. RKS6(4)8F

7

RK6(5)8M

6 8 10 12 14 16 —lg || Errg]ob

Рис. 2. Зависимость количества вычислений правой части Nf от нормы — ^ || Егг81оЬ || полной погрешности

личества вычислений правой части, чем методы-оппоненты (RKS6(5)8M, RK5(4)7M

Литература

1. Арушанян О. В., Залет,кин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1990. 336 с.

2. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / пер. с англ. И. А. Кульчицкого, С. С. Филиппова; под ред. С. С. Филиппова. М.: Мир, 1990. 512 с. (Hairer Е., Norsett S., Wanner G. Solving ordinary differential equations.)

3. Fehlberg E. Classical fifth-, sixth-, seventh-, and eighth order Runge ^ Kutta formulas with step size control: NASA Technical Report. 1968. N 287 // Computing. 1969. Vol. 4. P. 93-106.

4. Butcher J. C. Coefficients for the study of Runge ^ Kutta integration processes // Journal of the Australian Mathematical Society. 1963. Vol. 3. P. 185-201.

5. Butcher J. C. On Runge — Kutta processes of high order // Journal of the Australian Mathematical Society. 1964. Vol. 4. P. 179-194.

6. Dormant! J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge — Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6. Iss. 1. P. 19-26.

7. Dorm,and J. R., Prince P. J. High order embedded Runge — Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1981. Vol. 7. Iss. 1. P. 67-75.

8. Olemskoy I. V., Eremin A. S. Algorithm of construction of effective explicit methods for structurally partitioned systems of ordinary differential equations // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. Вып. 4. С. 353369. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2021.404

9. Eremin A. S., Kovrizhnykh N. АOlemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure // Applied Mathematics and Computation. 2019. Vol. 347. P. 853864.

10. Олемской И. В., Коврижмых Н. А. Семейство шестиэтапных методов шестого порядка // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14". Вып. 3. С. 215-229. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2018.303

11. Олемской И. В., Коврижмых Н. АФирюлина О. С. Двухпараметрическое семейство методов шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15". Вып. 4. С. 502-517. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2019.407

RK5(4)7S).

Статья поступила в редакцию 12 января 2021 г. Статья принята к печати 5 мая 2022 г.

Контактная информация:

Олемской Игорь Владимирович — д-р физ.-мат. наук, проф.; i.olemskoj@spbu.ru Фирюлина Оксана Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, ст. преп.; o.firulina@spbu.ru Ту мха Олег Анатольевич — ст. прей.; tumka.oleg@rambler.ru

Families of embedded methods of order six

I. V. Olemskoy, 0. S. Firuylina, 0. A. Tumka

St Petersburg State University, 7-9, IJniversitetskaya nab., St Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Olemskoy I. V., Firyulina O. S., Tumka O. A. Families of embedded methods of order six. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2022, vol. 18, iss. 2, pp. 285-296. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2022.209 (In Russian)

In the paper embedded methods of order six, with seven stages for solving systems of ordinary differential equations, are derived. A family of Runge^Kutta methods, of order six with seven stages and having three free parameters, is presented. This family is extended in two different ways with embedded methods to form families of embedded method pairs. Numerical comparison is given for certain examples of the embedded pairs from the constructed families.

Keywords: Cauchy problem, embedded methods, error control, order, stage, order conditions, simplifying conditions.

References

1. Arushanyan O. B., Zaletkin S. F. Chislcnnoc reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii na Forirane [Numerical solution of ordinary differential equations on Fortran}. Moscow, Moscow University Press, 1990, 336 p. (In Russian)

2. Hairer E., Nersett S. P., Wanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. I. Nezhestkie zadachi [Solving ordinary differential equation. I. Nonstiff problems]. Ed. 3. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag Publ., 2008, 528 p. (Rus. ed.: Hairer E., Nersett S., Wanner G. Reshenie obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. I. Nezhestkie zadachi. Moscow, Mir Publ., 1990, 512 p.)

3. Fehlberg E. Classical fifth-, sixth-, seventh- and eighth order Runge^Kutta formulas with step size control. NASA Technical Report, 1968, no. 287. Computing, 1969, vol. 4, pp. 93-106.

4. Butcher J. C. Coefficients for the study of Runge^Kutta integration processes. Journal of the Australian Mathematical Society, 1963, vol. 3, pp. 185-201.

5. Butcher J. C. On Runge^Kutta processes of high order. Journal of the Australian Mathematical Society, 1964, vol. 4, pp. 179-194.

6. Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge^Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1980, vol. 6, iss. 1, pp. 19-26.

7. Dormand J. R., Prince P. J. High order embedded Runge^Kutta formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1981, vol. 7, iss. 1, pp. 67-75.

8. Olemskoy I. V., Eremin A. S. Algorithm of construction of effective explicit methods for structurally partitioned systems of ordinary differential equations. Vestnik of Saint Petersburg Universitety. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2021, vol. 17, iss. 4, pp. 353-369. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2021.404

9. Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A., Olemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure. Applied Mathematics and Computation, 2019, vol. 347, pp. 853864.

10. Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A. Semeystvo shestietapnykh metodov shestogo poryadka [A family of sixth-order methods with six stages]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2018, vol. 14, iss. 3, pp. 215-229. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2018.303 (In Russian)

11. Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A., Firyulina O. S. Dvukhparametricheskoye semeystvo metodov shestogo poryadka integrirovaniya sistem obyknovennykh difFerentsialnykh uravneniy [Two-parametric family of sixth order numerical methods for solving systems of ordinary differential equations]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 4, pp. 502-517. https://doi.org/10.21638/11702/spbul0.2019.407 (In Russian)

Received: January 12, 2022.

Accepted: May 05, 2022.

Authors' information:

Igor V. Olemskoy — Dr. Sei. in Physics and Mathematics, Professor; i.olemskoj@spbu.ru

Oxana S. Firyulina — PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer; firyulina.oxana@mail.ru

Oleg A. Tumka — Senior Lecturer; tumka.oleg@rambler.ru