Двухпараметрическое семейство методов шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62/.642 Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2019. Т. 15. Вып. 4 МБС 65Ь06

Двухпараметрическое семейство методов шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений

И. В. Олемской, Н. А. Коврижных, О. С. Фирюлина

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Олемской И. В., Коврижных Н. А., Фирюлина О. С. Двухпараметрическое семейство методов шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 4. С. 502-517. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.407

Работа посвящена построению экономичного явного метода шестого порядка численного интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведена общая схема метода, алгоритмически учитывающая выделенные структурные особенности рассматриваемой полной канонической формы систем структурно разделенных уравнений. Выписаны условия шестого порядка, связывающие параметры метода. Определены упрощающие условия, позволяющие для предлагаемого явного одношагового метода найти двухпараметрическое семейство решений нелинейной системы условий порядка. Построены экономичные расчетные схемы шестого порядка интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На решении тестовой задачи проведено их сравнительное тестирование с явным одно-шаговым методом шестого порядка.

Ключевые слова: порядок, условия порядка, упрощающие условия.

Введение. В работе [1] дан алгоритм приведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

4 = <Рк (х,г1 ,...,гд), к =!,...,д,

к виду

Уо = 1о(х,уо,...,Уи), (1)

У'г = fi(x,Уо,...,Уi-l,Уl+l,...,Уn), г =!,...,1, (2)

У'з = Л (х,Уо ,...,Уз-1), 3 = 1 +1,...,п, (3)

где

х € [Хо, Хк] С М, У8 : [Хо , Хк] , в = 0, ..., п,

П

Л : [Хо, Хк] х Мд МГ0, = д,

s=0

I

Л :[Хо,Хк ] х , Р ^, г = 1,...,1,

s=i

п

Л :[Хо,Хк ] х , гз = ^ 3 = I + 1,...,п.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2019 502 https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.407

Группы уравнений (2), (3), называемые структурно выделенными, структурно тождественны. Каждое уравнение одной из этих групп уравнений занимает определенное место в последовательности уравнений своей группы. Его правая часть не зависит от искомых функций, поведение которых описывается этим и всеми последующими уравнениями той же группы. Группа уравнений (1), в которую вошли все уравнения, не имеющие структурных особенностей указанного выше типа, будем называть общей. Она, как и группа уравнений (2), может отсутствовать. Необходимость в интегрировании систем такого типа возникает, например, в задачах небесной механики и физики высоких энергий.

В работах [2-4] предложено обобщение явного метода Рунге—Кутты для интегрирования структурно разделенных систем (1)-(3). В основе рассматриваемого обобщения лежит алгоритмическое использование выделенных структурных особенностей. Эффективность построенных методов определяется тем, что для общей группы уравнений (1) численное интегрирование по соотношению порядка метода (д) и минимально возможного числа этапов (т) тождественно методам Рунге—Кутты (т > д, д ^ 5), а для структурно выделенных групп уравнений (2), (3) предложенная модификация дает возможность уменьшить число этапов при сохранении порядка метода. Причем в случае отсутствия общей группы уравнений такое уменьшение еще более значительно. Так, метод пятого порядка получен не за шесть этапов, а за четыре [5], метод шестого порядка [6-10] — за шесть этапов вместо семи.

В настоящей работе для полной (содержащей общую группу уравнений) системы (1)-(3) (полная каноническая форма) строится экономичный метод шестого порядка: семистадийный по общей группе и шестистадийный по структурно выделенным.

Метод интегрирования. Считаем, что нам известно точное решение Ув(х), в = 0,1,...,п, системы (1)-(3) в точке х € [Хо,Хь]. Не умаляя общности рассуждений, для простоты вывода примем, что т8 = 1, в = 0,1,...,п.

Для численного интегрирования систем (1)-(3) рассмотрим явный одношаговый метод типа Рунге—Кутты, который в дальнейшем будем называть структурным и обозначать ИКБ. В предположении достаточной гладкости правой части изучаемой системы приближение г8 к точному решению у8(х + К), в = 0,1,...,п, в точке х + К € [Хо, Хь ] ищем в виде

(4)

Уг(х + К) « XI = Уг(х) + ^ Ь^ к^ (К), г = 1,...,1,

(5)

и=1

Ш2

Уз (х + К) « Xз = Уз (х) + Ь2,» 3 (К), ] = I + 1,...,п,

(6)

и=1

причем = (К) вычисляются в строгой последовательности:

ко, 1, к1,1, ..., кп,1, ко,2, к\,2, ..., кп,2, ко,з, к^э, ...

(7)

по формулам

У1(х) + 0,01,1,^1,^, ...,У1 (х) + ^^ а01,ь,рк1,р, ¡=1 ¡=1 и-1 и-1

(х)

¡ =1 ¡ =1

V— 1 V— 1 \

У1+1(х) + 002,1+1,^1+1,^, ..., Уп(х) + ^2 ао2,и,ркп,р \, ¡ =1 ¡ =1

кг,и = + С1,„ К, Уо(х) + ^2 аю,о,^ко,^,

(х) + аю,о,у ¡ =1

V V

У1(х) + ^2 011,1,^1,^,. .. ,У—1(х) + ^2 011,-1,^—1,! ¡ =1 ¡ =1 — 1 V — 1

(х)

¡ =1 ¡ =1

V—1 V—1 \

У1+1(х) + ^2 al2,l+l,¡kl+l,¡,.. .,Уп(х) + ^2 ¡ =1 ¡ =1

кз^ = / ^х + С2,V К, Уо(х) + ^2 а2о,о,^ко,^,

'V = /з[ х + С2,V К, Уо(х) + а2о,о„

¡=1

V V

У1(х) + ^ а21,1,^к1,^, .. .,У1 (х) + ^ а21,1,^к[,^, ¡ =1 ¡ =1 V V \

У1+1(х) + ^2 а22,1+1,^к+1¡¡, .. ., Уз—1 (х) + ^2 а22,з—1,^кз—1,А , ] = I + 1,...,п, ¡ =1 ¡ =1

где Ьи^, си^, — параметры метода; К — шаг интегрирования.

Замечание. В соответствии с требованием алгоритма (7) для компонентов вектора числа этапов (стадий) М = (то,т1,т2) структурного метода (4)-(6) характерными являются соотношения

то ^ т1 ^ т2.

Выбор параметров метода осуществляется таким образом, чтобы для метода шестого порядка разложение погрешности метода (4)-(6) на шаге по степеням К

\Ув (х + К) - \^О(Ь7), в = 0,1,...,п,

начиналось с седьмой степени при выбранном числе этапов М = (то, т1, т2).

Введем в рассмотрение векторы узлов {Си}ти и весовых коэффициентов {Ви}ти и блочные матрицы {Лиу }тиХти. Здесь и — номер группы, V — номер блока в пределах группы, u,v €{0, 1, 2} :

Си,1 \ / Ьи>1 \ / а^,1,1 \

|, Ви = | ^ \,лт = I аи>2>1 аи'2'2 ). (8)

\ Ьи,ти / \ аиъ,гпи ,1 аиъ,гпи ,2 ••• аиъ,гпи ,ти /

Таким образом, в каждой выделенной группе содержится по три блока весовых параметров Лиу. Представление (в виде табл. 1) метода (4)-(6), который в дальнейшем будем обозначать ИК8д[то, т^ т2] (д — порядок метода), наглядно показывает структурные особенности системы, алгоритмическое их использование при реализации и выводе. Матрицы Лоо, Ло1, Ло2, Л12 — строго нижнетреугольные, а Л1о, Л2о, Лц, Л21, Л22 — нижнетреугольные.

Таблица 1. Метод ИК8д[т0,т1,т2] интегрирования системы (1)—(3)

си -А-иУ ви

Со Аоо а01 А02 Во

С1 а10 а11 а12 в1

с2 а20 а21 А22 в2

Если в исходной системе отсутствует одна любая к € {0,1, 2} из групп уравнений, то табличное представление не содержит параметров, связанных с этой группой: Ск, Бк, Лкк, Лик, Лку, и, V €{0,1, 2}\{к}.

При отсутствии же в исходной системе (1)-(3) структурно выделенных групп уравнений (2), (3) рассматриваемый метод вырождается в явный метод Рунге—Кутты с параметрами Л = Лоо, Б = Б0, С = С0, М = т0.

Условия порядка. В рамках метода (4)-(6) шестого порядка как число условий порядка, связывающих параметры метода, так и количество самих параметров метода зависит от количества выделенных групп уравнений в исходной системе (1)-(3).

Известно, что условия порядка для семистадийного метода (то = 7) Рунге—Кутты шестого порядка образуют систему 37 нелинейных уравнений с 35 неизвестными параметрами: С0, Б0, Л00.

При построении шестиэтапных (т-1 = 6, т-2 = 6) методов шестого порядка [6-9] для систем (1)-(3), не содержащих общей группы уравнений (1), условия порядка образуют систему 74 нелинейных алгебраических уравнений с 61 неизвестным параметром С1 ,С2, Б1,Б2, Л12,Л21 при I = 1, п = 2. Если же I > 1, п — I > 1, то число нелинейных уравнений в условиях порядка возрастает до 292, а неизвестных параметров СЬС2, Б1,Б2, Лц,Л12,Л21,Л22 — до 103.

Условия порядка для метода ИК86[7, 6, 6] (4)-(6) интегрирования полной канонической формы (1)-(3) структурно разделенных уравнений с использованием предположений

п

53аиъ= си,р, и^ €{0,1, 2}, V = 1,...,ти, (9)

5=1

= I V — 1, если (и, V) € {(0, 0), (0,1), (0, 2), (1, 2)}, П =\ V, если (и^) €{(1, 0), (1,1), (2, 0), (2,1), (2, 2)},

представляют собой систему 1224 нелинейных алгебраических уравнений, устанавливающих связь шести групповых параметров Си, Би с девятью блочными весовыми коэффициентами Лиу :

53 ^^ = —¡77' = 0'1'-"'5' 0,1,2};

V +1'

'УЗ = 2 • (3 + Л)' =

м

21

53 53 ачр>1/>^ср,и ~ о/д I ^ — 0,1, 2;

3(4 + Л)

1

3(4 + Л)'

53 53 (1с1Р'и'1л 53 аг>г>м,?с»-,£ ^ д-)' ^ — 1, 2;

" м 5

53^>I/C9,f |^2a'qp'l/'iJ,Cp'iJ,J ' |^^/aqp<l/<iJ-cp<iJ-J ~ 4(5 + 0)' ^ — 1;

1

E v E 4(5 ' 0 — 0; 1

53 ^i'1' 53 a4P,f,^cp,n 53 ai>r>M,çcr,ç

10(Л + m)(1 + m)'

V ¡л £ \ ; \ ;

(Л, m) e{(0,2), (0, 3), (1,1), (1, 2), (2,1)};

53 53 aqp,v^cp,n 53 aPr>v,£cr,£ 53 = 60(A + 2u + 2p) '

(Л,м,р) G{(0,0,1), (1,0,1), (0,1,1)};

53 v ( 53 ) ' ( 53 ) = 9Л>

v I / y P.M I I / y "gîWM p.yu. I gg'

л J \ л

.4 1

I/ ¿^"qPiV^Pifi — 2Q'

1

53 v ( 53 53 apr>v,çcr,ç I ■ ( 53 i у2 '

V \ л £ ) V л /

53 ^4'vC4'v 53 ачр,1У,л 53 aPr.M,çcr,ç = 24(1 + Л) ' ^ =

^ ^53(Ecr,£ J * ( 53apr,a,£cr,£

1

120'

1

144'

^ ^ bq,vcq,v 53 53 aPr,a,£ 53 are,£,ф се,ф

V л £ Ф

53 V 53 53 <W,É Е = ggQ'

V л £ ф

1

720

V л £ ф ф

Количество параметров метода, подлежащих определению, равно 216. Для поиска решения нелинейной системы сделаем первые предположения для весовых 6„,2 и узловых е„д параметров:

bu,2 =0, С„д =0, m = 0,1,2. (11)

Далее потребуем, чтобы искомые параметры метода удовлетворяли индивидуально подобранным (для каждой группы Cu, Bu и каждого блока весовых коэффициентов Auv ) упрощающим ограничениям. Такое условие связано с алгоритмическим использованием структурных особенностей, которое изменило структуру связей параметров в условиях порядка (9), (10). Блочный выбор упрощающих ограничений, представленный в форме табл. 2, демонстрирует это.

Таблица 2. Упрощающие ограничения для условий порядка (10)

10 = 3,.. .,7; г = 0, 1,2 0 = 0, 1; 5 = 1,2; ц = 2,... ,6 8 = 1,..., 6; р = 3,..., 6

»-1 ^-л -т- и,го 100,та,1/С0 — , 4 = 1 Г + 1 Е ¿>0,4^ „«00,4,2 = 0, 4=3 7 Е Ьо,1,аоо,1>,в = 4 = Э + 1 = &о,з (1 - со,в) 1 й+1 го —1 Сп ^ в в*™ Е «01,^,4^ = , 4=1 У + 1 7 Е Ьо,1/С§ „«01,4,2 = о, 4=3 7 Е ¿>0,4^ „«01,4,з = 4=в+1 1 й+1 го —1 Сг. ^ в в*™ Е «02,»,4С2 „ = , 4=1 У + 1 7 Е Ьо,4С2 „«02,4,2 = о, 4 = 3 7 Е Ь0,4Сд „«02,4,3 = 4 = Э + 1 Ь2,з(1-С^)

0 + 1 6+1

сТУ 6 £ Е ¿Ч.^Сх „«10,4,2 = 0, Е £>1,4«ю,4,з = 4 = в = (1 - со,в) ¿-л <9 Е «11,^4 = р , 4=1 У + 1 6 Е „«11,4,2 = о, Е ¿>1,4^ „«11,= в+1 Р-1 ^ (9 1 >Р Е «12,р,4с2 „ = , 4 = 1 У + 1 6 Е £>1,4«12,4,^-1 = 4 = ^ = Ь2,м-1 (1 - С2,м-1)

и гт+1 2 и Е «20= . , „ = 1 г+1 £ Е Ьг.^с! „«20,4,2 = о, Е 4«20,4,в = 4 = й = Ьо,з (1 - со,в) и ев+1 Е «21,= р , „=1 У + 1 6 Е „«21,^,2 = 0, Г2 Е £>2,1^^0,21,= и ев+1 Е «22,^,4С2 „ = , 4=1 0 + 1 6 Е Ь2,4С2 „«22,4,З = Ь2,з(1-С^)

0 + 1 6+1

Использование упрощающих ограничений в рамках структурного подхода подробно рассматривался в [1,2]. Здесь, опуская детали, приведем лишь окончательный результат — систему-следствие, которая состоит из 47 уравнений:

ти 1

53Ь«.-<- = ^7' «€{0,1,2}, р = 0,1,...,5;

V"! ' р + 1

7 V—1 м-1 1

53 ^о,иСо,и 53 аоо,1У,ц 53 = ^ = 1;

^=5 ц=4 5=3

7 V— 1 1

53 Ьо,1УСо,1У 53 аоо,^,мсо,м = 24;

^=4 м=3

7 V—1 м—1 1

53 Ьо,1/Со,и 53 53 — 72' Р ~ 2'

^=4 м=3 5=2

7 V— 1 1

53 53 ао1,^,мс1,м= у^

^=4 м=3

7 V—1 1

53 53 а°2.1'.Мс2,м = у^;

и=3 м=2

6 V ¡¡—1 1

Е 53 53 = ^

v=4 ¡=3 5=3

6 V

1

v=3 ¡=3

6 V ¡—1 1

53 Е Е = 72' р = 2'

v=3 ¡=3 5=2

6 V ¡—1 1

Е Е Е ао1.м,«с1,е =

v=4 ¡=4 5=3

6 V 1

Е Е аю,!лмсо,м = у^;

v=3 ¡=3

6 v—1 М 1

Е Е а12>1/.м Е а20.м,5со,5 = ;

v=4 ¡=3 5=3

6 V ¡—1 1

Е Е а20,1/,м Е = 72' ^ =

v=4 ¡=4 5=3

6 V ¡—1 1

Е Е а20,1ЛМ Е = 72' р = 2'

v=3 ¡=3 5=2

6 V 1

Е Е ап,<лмс1,м = Уз'

v=3 ¡=2

6 V— 1 1

Е Ь1,"с1,к Е а12,^,Мс2,м =

v=3 ¡=2

6 V— 1 1

Е Ь1,"с1," Е а12,-,мс2,м = (1 + г)(3 + гу г = 1, 2, 3;

v=3 ¡=2 ^ ^ 1

6 v—1 ¡1 1

Е Е Е а2р.м,«ср,5 = 72' р = 2'

v=3 ¡=2 5=2

6 V—1 ¡л 1

Е Е Е а21,м,«с1,5 = ^

v=4 ¡=3 5=3

6 V 1

Е Е = у^ р = 1>2'

v=3 ¡=2

и 198 упрощающих ограничений, представленных в табл. 2.

Общее число уравнений системы-следствия в 5 раз меньше исходной системы условий порядка и равно 245. Число неизвестных параметров си^, Ьи^, аиу^д, и^ €

{0,1,2, }, с учетом (9), (11) сократилось до 210. Однако система-следствие сохранила характерные структурные особенности исходной системы условий порядка (10):

разбиение на блоки, а также нелинейность связей неизвестных параметров метода внутри девяти блоков и между ними.

Теорема. В рамках метода (4)-(6) при интегрировании полной канонической формы (1)-(3) систем структурно разделенных уравнений существует метод шестого порядка ККБ6[7, 6, 6] c числом этапов М = (7, 6, 6).

Для доказательства этого утверждения достаточно найти любое частное решение системы-следствия. Фиксируем часть узловых параметров

2 1

Со 2 — «00,2,1 — «01 2,1 — «02,2,1 — ~г=, с\ 2 — с2 2 — Со 3 — С13 —

15 5

1 2 1

С2,3 — Со,4 — С0,Б — С°>7 — С1'6 ~ С2'6 ~

Полагая е2,4 = а, со,6 = в (а € [0,1], в € [0,1]), находим еще неопределенные узловые параметры С1,4, С1,5, с2,5 из условий совместности уравнений системы-следствия:

5 а — 2 4 а — 3

С1,4 — г-тт;-тт, С15—с2,5 — --

5(2 а — 1) 5 а — 4

Большая размерность нелинейной системы-следствия со 190 неизвестными параметрами Ьи<и, а,иу<ид вынуждает опустить ход построения решения и ограничиться лишь приведением его результата — самого решения.

При таким образом определенных узловых параметрах оно образует двух-параметрическое (относительно а и в) семейство методов ИК86[7, 6, 6](а, в):

А 3 + 5/3 ь п А б2^1 ~ Щ , 27

С1'1 ~~ ЮПД ' °>2 ~~ ' °>3 ~~ «ТО?!-сЖ' °>4 —

120в ' 0,2 ' 0,3 672(1 - 5вУ 0,4 80(3в - 1)'

27 (11 - 15/3) 50/3 - 47 '

~~ 280 (2 - 3/3) ' ~~ 480(/3 — 1) ' &°'6 ~ 1 " ^^Ьо'"'

15а2 - 18а + 5 , 125(1 +5а2 - 5а)

»1,1 = 77777-7^7";-77 > »1,2=0, 613-

12 (5а - 2)(4а - 3) ' ' ^ 48(3а - 1)(15а - 11)'

15а2 - 27а + 11 125(2а - 1)5

1,6 48(5а — 3)(а — 1) ' 1,4 12(3а - 1)(15а2 - 20а + 7)(5а - 2)(5а - 3) '

1 - 20а + 25а2 1

»2,1 = „» ,.-77—, О 2,2 = 0, 62,4 =

60а(4а - 3) ' 2'2 ' 2'4 60(3а - 1)(3 + 5а2 - 8а)а(а - 1) 81(1 +5а2 - 5 а) 9 - 15а + 5а2

6

б2'3-40(За-1)(7а-5)' &2'6 ~ 120(а - I)2 ' h'5 ~ 1 ~ ^^ ^ ~ ^

Дополнительные ограничения (0 ^ cqv ^ 1 и 0 ^ bqv ^ 1) на узловые и весовые параметры метода сужают область определения а и в :

Î2 -а/3 Л (\ 5-л/б\ fil 47 \ , N

^U'SôJ- (12)

Выпишем параметры девяти блоков Auv, u, v G {0,1, 2} метода RKS6[7, 6, 6] :

параметры блока Л,

00 •

1 15(100 - 7) -5

000,3,1 -2Q, «00,7,2 - 4(50/3 - 47)' а°°'4'2 ~ 36 '

ß(180ß3 - 221ß2 + 77ß - 9) 15 ß (5 ß2 - 5 ß + 1) 23

а oo,6,i —--;-, а оо,б,2 — -;-, а оо,бд — —,

4 4 54

9ß(4ß - 3)(3ß - 1)(1 - 5ß) 36(45ß2 - 72ß + 29) -5

000,6,4 - ---, аоо,г,Б - 7(3/3 — 2)(50/3 — 47) ' а°°'Б'2 ~ 18'

3(3ß - 2)(3ß - 1)ß(5 ß - 1) 350 ß2 - 317 ß + 48 -35

ooo,6,6- ---, aoo,r,i- 4ß (47 — 50/3) ' а°°>Б>3 ~

10(1025ß2 - 1185ß + 316) 54(5ß - 3)(3ß - 2) 11

a°°'7'3- 7(5/3-l)(50/3- 47) ' a°°'7'4 - (1 - 3/3)(50/3 - 47)' а°°'4Д ~ 1085

параметры блока Л01 •

1 1 -5 -5

101,3,1 — 77", Я01,4,1 — —, aoi,4,2 — "Г—, Я01,Б,2 — тгт, aoi,7,6 — U,

10 18 54 27

_ 10a — 11 _ 5/3(3/3 - 2)(5/3 - l)(a - l)(5a - 4)3(3/3 - 1)

а01'БД ~ 27(5a - 2)' a01'6'6 ~ 6(15a - ll)(4a - 3)(15a2 - 20a + 7) '

_ 35a _ 20((25 ß - 30)a2 + (77 - 85/3)a + (50/3 - 41)

a01'6'3 ~ 27(3a - 1)' a01'7'3 ~ (За - 1)(15a- 11)(50/3 - 47) '

5ß(5ß2 - 5ß + 1) (-200ß + 140)a2 + (650ß - 483)a - 380ß + 286

aoi,6,2----, 001,7,1--2(50/3 — 47) (4a — 3)(5a — 2)-'

5(10ß - 7) _ 20(10aß - 9a - 8ß + 7)(5a - 4)3

О 01,7,2 — , a-тгг, aoi,7,6

aoi,6,3 —

2(50ß - 47)' ' ' (50ß - 47)(4a - 3)(15a - 11)(15a2 - 20a + 7)'

5(5/3 - l)(a2(225/32 - 450/3 + 2 1 5) - a(405/32 - 660/3 + 271) + 180/32 - 246/3 + 84)/3

6(15a - ll)(3a - 1) '

5ß(ß(75a2 - 135a + 60) - 65a2 + 110a - 47)(3ß - 1)(1 - 5ß)(2a - 1)2 _

aoi,6,4

6(3a - 1)(5a - 2)(15a2 - 20a + 7) параметры блока Л02 •

1 1 5 n

«02,3,1 — —, «02,4,1 — —, «02,4,2 — —, «02,7,6 — U, 10 18 18

_ 3((15a2 - 27a + 12)ß - 3a2 + 13a - 8) ß(3ß - 1)(1 - 5ß)

a°2'6'3 - -2(3a — l)(7a — 5)-'

_ 2(5ß + 1)a - 7 + 7ß (5ß - 1)(3ß - 1)(15a(1 - ß) + 12ß - 11)ß

а°2'БД- 9(15/3-11 )a ' a°2'6'4--6a(3a — l)(5a — 3)-'

_ 5(5/3 + 1) _ 4((15a2 - 24a + 11)ß - 15a2 + 23a - 10)

a°2'6'2 ~ 9(11 - 15/3)' a°2'7'4 ~ a(50/3 - 47)(3a - l)(5a - 3)(1 - a) ' _ -7 + 7/3 _ (3/3-1)(5a-4)3(5/3-1)(3/3-2)ß

a°2'6'4 ~ 9(3a — l)a(15/3 — 11)' a°2'6'6 ~ 6(5a - 3)(7a - 5)(4a - 3) ' _ 5ß(15ß2 - 5ß + 1) 108(5a - 4)(1 - a)ß + 108a2 - 468a + 288

а02,6,2 — ---, а02,7,з — -tz-„-,„-тт-,

6 (7a - 5)(50ß - 47)(3a - 1)

_ 5(10/3 + 1) _ (120/3 - 180)a2 + (241 - 206/3)a + 88/3 - 80

a°2'7'2 ~ 2(50/3 - 47)' а°2'7Д ~ 2(4a- 3)(50/3 - 47)a 5

параметры блока Л\0 •

1 1 3

«10,2,1 = -, «10,3,1 = -, «10,3,2 = -,

_ (5a- 2)(35a2 - 31a + 7) _ (-225a2 + 630a - 279)ß + 345a2 - 642a + 255

"10'4Д ~ 100(2 a-1)3 ' ai0'6'4 - 5(3/3- l)(15a2 -27a + 11) '

3(2 - 5a)(5a2 - 5a + 1) (75ß + 120)a2 + (45ß - 192)a - 49ß + 72

ai°'4'2 - -20(2 a- 1)3-' а10>6Д - -20/3(15a2 — 27a + 11)-'

(a - 1)(3a - 1)(5a - 2) 25 ((45a2 - 90a + 35)ß - 39a2 + 66a - 25)

ai°'4'3 = -4(2a — l)3-' ai0'6'3 = -7(5/3 - l)(15a2 - 27a +11)-'

_ 15(4« - 3)(5а2 - 5а + 1) _ 18(5« - 3)((15а - 21)/3 - 13а + 17)

а1°'6'2 = 4(5« -4)3 ' а10'6'6 = 35(-2 + 3/3)(15«2 -27«+11) '

25«(а + 1)(15а - 11)(4а - 3) 3(11 - 15а) (4а - 3) (5а2 +25а - 16)

а10'Б'3 = -28(5«-4)4-' а10'Б>4 = -20 (5 «-4)4-'

15(5 а2 - 5а + 1) (3 - 4а)(575а3 - 655а2 + 95а + 56)

а1°'6'2 = -4(15«2-27« + 11)' а1°'Б'1 = -20(5«-4)4-;

параметры блока А11 :

11

«11,2,1 = —, «11,3,1 = —, «11,3,2 = «11,4,2 = «11,6,2 = «11,6,2 = «11,6,6 = 0,

1 5а - 2 а - 1

«11,4,1 = ~ „„ -тт> «11,4,3 = —7Т-7Т> «11,Б,Б =

30(2а - 1) '' 6(2а - 1) '' 2(5а - 4)

_ 5(4« - 3)(15а - 11) (2а - I)3 _ 5(525а4 - 1385а3 + 1380а2 - 615а + 103)

ап'6'4 ~~ 3(3а — 1)(5а — 4)3(5а — 2) ' ап>6>3 ~ 6(-15а _ ц)(3а _ 1)(1502 _ 27а + 11) ' _ 5(4« - З)(15а3 - 35а2 +20а - 2) _ 200а4 - 405а3 + 339а2 - 151а + 30

а11,Б'3 ~ 6 (3 а — 1)(5а — 4)3 ' аП'6Д ~ ~ 6(5а - 2)(4а - 3)(15а2 - 27а + И) '

_ 10 (2а — 1)3(5а2 — 20 а + 11)

аП'6'4 ~~ 3(15а2 - 20а + 7)(За - 1)(15а2 - 27а + 11) (5а - 2)'

параметры блока А12 :

1 1 2(15 а - 11)(4а - 3)(15а2 - 20а + 7)

«12,2,1 = -, «12,3,1 = —, «12,Б,4 =-—--тт—-—---,

5 10 5(5а - 4)4(3а - 1)(5а - 1)а

(5а - 2)(5а2 - 3а + 1) (4 а - 3)(1375а4 - 3925а3 + 4075а2 - 1840а + 308)

«12,4,1 =--г---, «12,Б,1 =-——-1-"ТТ-,

50(2а - 1)3 10а(5а - 4)4

(5а - 2)(5а2 - 10а + 3) 3(15 а - 11)(4а - 3)(525а3 - 1150а2 + 805а - 184)

"12'4'2 =-20(2а - I)3-' а12'Б'3 =-20(5а — 4)4(3 а — 1)-'

_ 5(325а3-740а2 + 540а -129) _ 1900а4 - 5715а3 + 6315а2 - 3059а + 552

«12,6,2- 2(5а — 1) (15а2 — 27а +11) ' а12'М- 10а(4а - 3)(15а2 - 27а + 11) '

4(50а2 - 65а + 23) 4(5а - 4)4

«12,6,4 = — "

5а(3а - 1)(5а - 1)(15а2 - 27а + 11)' '' 5(7а - 5)(4а - 3)(15а2 - 27а + 11)'

параметры блока А20 :

1 11 -5 а(5а2 - а + 1) 15а(5а2 - 5а + 1)

«20,2,1 = —, «20,3,1 = -——, «20,3,2 = ——, «20,4,1 = ---, «20,4,2 = ---,

20 108 36 4 4

5а(5а - 1)(5а - 3) 5(5а - 3)(4а - 3)(105а2 - 85а + 8) «20,4,3 =----, «20,Б,3 =--28(5а — 4)4-'

3(7а - 5)(4а - 3)(15а2 - 19а + 8) (-5а2 + 9а - 9)в + 12а2 - 24а + 12

а2°'5'4 = -4(5а — 4)4-' "2°'6Д = -4(5а2 — 15а + 9)/3-'

(4а - 3)(5а3 - 13а2 + 29а - 16) 9(15ав - 13а - 21в + 17)(а - 1)

а2°'БД = -4(5а - 4)4-' а2°'6'5 = -7(5а2 — 15а + 9)(3/3 — 2)-'

15 (5 а2 — 5 а + 1) _ (2875 а2 - 3750 а + 1575) /3 - 1325 а2 + 2250 а - 1065

4 (5 а2 — 15а + 9)' а20>6>3 ~ 14 (5 а2 - 15а + 9) (-1 + 5 /3) '

15(4 а - 3) (5 а2 - 5 а + 1) (-135 а2 + 198 а - 99) в + 99 а2 - 174 а + 87

а20,б,2 = -----г;-, «20,6,4 = - . -ТТ"~ТЗ—7.---—7-;

4(5 а - 4)3 2(3 в - 1) (5 а2 - 15 а + 9)

параметры блока А21 :

11 -5 (150а3 - 230а2 + 110а - 17)а

а21,2,1 — —, а21,зд — —, а21,3,2 — -=-г, а21,4,1 — -гтг-тт-, <121,6,6 — 0,

10 5^ 6(5а — 2)

5(5а2 — 5а + 1) 5(5а — 4)4(а — 1)2

121,6,2 — —"777—^-77-Г77Г, «21,6,5 — -

«20,6,2 = -

2(5а2 — 15а + 9)' (15а — 11)(4а — 3)(15 а2 — 20а + 7)(5а2 — 15а + 9):

021,4,2

5а(5а2 — 5а +1)

021,6,3

021,4,3 —

021,5,1 —

5а(1 — 5а — 1)(5а — 4)

6

021,5,4 —

021,5,2

135а - 220а + 122а - 24 6(5а-2)(5а-4)2 ' 5(4а — 3)(5а2 — 5а + 1)

5(600а4 - 1365а3 + 1150а2 - 433а + 64) 3(15а - 11)(3а - 1)(5а2 - 15а + 9) ' 5(2а - 1)2(7а — 5)(15а2 - 15а + 4)(4а- 3) 3(3а - 1)(5а - 2)(5а - 4)2(15а2 - 20а + 7): (5а - 4) (90а3 - 115а2 + 47а - 9)

021,6,1 — —

2(5а — 4)3 параметры блока Л22 :

021,5,5

6(5а — 2)(4а — 3)(5а2 — 15а + 9) 5(5а — 3)(7а — 5)(а — I)2 2(15а - 11)(5а - 4)(15а2 - 20а + 7)'

1 1 5 1 — 2а 5 а

Я22,2,1 — —, Я22,3,1 — —, 0,22,3,2 — —, Я22,4,3 — 0, <222,4,1 — -7-, Я22,4,2 — "Т-,

10 18 18 6 6 5(225а3 — 510а2 + 370а — 86)(4а — 3) (7а — 5)(4а — 3)(3а — 2)

0*22,5,2 —--777-777-, Я22,Б,4 — -7—77-.ч , -77-,

4 3а(5а — 4)4(3а — 1)

а — 1 п

Я22,Б,Б — 7777-"Г, Я22,6,6 — и,

022,5,3 —

022,6,5

022,6,3 —

6(5а — 4)4 27(4а - 3)(а - 1)(5а - 3)(5а2 - 5а + 1) (5а-4)4(3а- 1) :

_(а - 1)(5а — 4)4_

(5а2 - 15а + 9) (5а - 3)(7а - 5) (4а - 3)' 54(а - 1)(2а - 1)(5а2 - 5а + 1) _

(5а2 - 15а + 9)(1 - За)(7а - 5)' "22'М ~

022,6,2

2(5а — 4) _ 5 (45а - 75а + 29) ~~ 6(5а2 - 15а+ 9) 30а2 — 35а + 9

3а(5а2 — 15а + 9)(5а — 3)(1 — 3 а)'

Еще неопределенные 44 параметра метода: аоо,3,2, аоо,4,3, аоо,5,4, аоо,6,3, аоо,7,6, ао1,3,2, ао1,4,3, ао1,5,4, ао1,6,1, ао1,7,4, ао2,3,2, ао2,4,3, ао2,5,3, ао2,6,1, ао2,7,5, аю,2,2, аю,3,3, аю,4,4, аю,5,ъ, аю,6,6, ац,2,2, ац,3,3, ац,4,4, ац,5,1, ац,6,5, а2о,2,2, а2о,3,3, а2о,4,4, а2о,ъ,ъ, а2о,6,6, а21,2,2, а21,3,3, а21,4,4, а21,5,3, а21,6,4, а22,2,2, а22,3,3, а22,4,4, а22,Ъ,1, а22,6,1, а12,3,2, а12,4,3, а12,5,2, а 12,6,3 находим из ограничений (9):

- аи

5,5=^

',5, в,и €{1,...,7}.

Значения всех параметров метода шестого порядка определены. Представленное двухпараметрическое семейство ИК86[7, 6, 6](а, в) успешно прошло аналитическую проверку как на системе-следствии, так и на исходной системе условий порядка, что и доказывает утверждение теоремы.

При значениях параметров а = 1/4, в = 7/9, удовлетворяющих ограничениям (12), в матричной форме (8) выписана расчетная схема ИК86[7, 6, 6](1/4, 7/9) шестого порядка:

Со

0

_2_

15

1 5

1 3

2 3

7

9 1

Во

/ \

420

0

3125

17472

81 320

27 140

6561 29120

73

960

Л

оо

0

_2_

15

\

1 3

20 20

11 -5 10

108 36 27

23 -5 -35 7

54 18 54 6

-119 385 260 -182 104

324 972 243 243 243

1067 -105 -5830 108 -216

2044 292 6643 73 511

6643

а

С

иV

А

01

( 0

_2_

15

1 1

10 10

1 -5 10

18 54 27

34 -5 -5 140

81 27 27 81

749 385 20930 -58240

6561 1458 21141 102789

44 -35 140 4160

219 146 2117 10293

113135 198998

А

02

0

0

_2_

15

X

10

± А. о

18 18 и

16 27 -110 27 0 112 27

-308 729 5845 1458 56 81 -8320 2187 1331 4374

29 73 -395 146 -648 949 5248 1533 22627 39858

0

1 5

1 5

_3_

10

_8_

11

V 1 )

В-,

23 288

125 1392

1000 2961

161051 392544

V — /

\ 1008 /

А

10

0

20

69 800

_3_

20

± ± о

20 20 и

-9 160

_9_

32

-9 800

6118 30 7250 26274 98136

73205 1331 102487 73205 512435

\ 119 -15 250 51 -72 6561 , \ 1660 332 1079 166 415 10790 /

0

А

0

11

10

10 10

£ 0

3637

23958

-505 ^ 2988

1

10

1 -1

4 60

-1340 9280

3993 11979

_3_

22

20365 -32320 307461 14442 35109 452516

0

А

12

0

1

5

1 1

10 10

27 39 -9

400 160 800

-47852 195970 516954 -1395712

73205 14641 73205 73205

1601 -11255 -36555 40448

415

166

1079

415

14641 , 10790/

0

0 / Ж \ 160 0

1 5 0 1 20 3 20

1 81 11 5 10

3 1 , В2 = 520 256 , А20 = 108 17 36 15 27 35 3

4 945 256 256 256 256

8 161051 1214 30 1070 5226 2808

11 393120 14641 1331 14641 14641 14641

1 89 181 15 1810 111 108

\ 1080 / \ 2492 356 8099 356 623

2

A

21 :

1 1

10 10

1 -5 10

18 54 27

49 5 55

576 128 384

329 20 -40240

2178 1331 115797

-1067 -5 11060

. 6408 178

7743

-5 288

4095 29986

37647 970456

0

A

22

0

1 1

10 10

1 18 5 18 0

1 5 0 -1

12 24 24

14093 -27980 4536 33280 3

87846 43923 14641 43923 22

-407 1045 -324 -2176 43923

^ 2136

534

1157 1869 64792

0

Тестирование. Для проведения численного тестирования на решении yo(x) = exp (4sinx2), y1(x) = exp(5sinx2), y2(x) = exp (sinж2), y3(x) = cos (ж2), y4(x) = sin (x2) + 1, все компоненты которого удовлетворяют начальным условиям ys (0) = 1, s = 0,1,. ..,4, построена система дифференциальных уравнений

(13)

Уо = хУз( У1У2 + 7Уо) = /0(x,У0,Уl,У2,У3),

У\ = 10х exp(5(y4 - 1))уз = /1(Х,У3,У4), 1 1

у2 = 2ху1 уз + -1пу0 - 2/4 + 1 = /2(ж, Уо,Уь Уз, 2/4), , 2

Уз = 1п(уо2/2) =/з (ж, 2/0,2/2), 5

У4 = 2хУо У-1 У2 Уз = /4(х,У0,У1,У2,Уз),

У<(0)= 1, х € [0,Т*], г = 0, 1,...,4, ^ = (/о,/1,...,/4)Т.

Тестовая задача (13) содержит все три группы уравнений полной канонической формы системы (1)—(3). Общая группа уравнений состоит из первого уравнения системы (13). Две пары последующих уравнений этой системы попадают соответственно в первую и вторую структурно выделенные группы уравнений.

Применение метода ИК86[7, 6, 6](1/4, 7/9) для интегрирования системы (13) позволит уменьшить число обращений к процедуре вычисления правой части на единицу для /1,...,/4 с сохранением порядка метода. Причем в этом случае проверку правильности найденных значений параметров метода проходят параметры всех девяти блоков Аиу.

При отказе от алгоритмического использования структурных особенностей системы (13) (все пять уравнений образуют общую группу (1) канонической формы) метод ИК86[7, 6, 6](а, р) вырождается в классический способ распространения метода Рунге—Кутты шестого порядка на системы. Он образует однопараметрическое семейство ИКЭ6[7](в) семиэтапных методов относительно параметра р. Для определенности в дальнейшем будем обозначать ИК86[7](7/9) его расчетную схему при в = 7/9.

В качестве оппонента методам ИКЭ6[7, 6, 6](1/4, 7/9) и ИК86[7](7/9) была использована семиэтапная расчетная схема ИКВ6 шестого порядка Бутчера [11].

На решении задачи Коши (13) при Тк = 5, Н € [2 • 10-5, 2 • 10-2] сравнивали результаты применения методов Бутчера ИКВ6 и полученных в работе расчетных схем ИК86[7,6, 6](1/4, 7/9), ИКБ6[7](7/9).

Результаты тестирования по критерию «общее количество вычислений правых частей (Nf)/ глобальная погрешность(.Егг3;0ь)» представлены в табл. 3 и на рисунке.

Таблица 3. Результаты сравнительного тестирования на задаче (13) при Tk = 5

/г - ^ II Еггч1оЪ 1 \iiNf

ЯКВб ЯК36[7] Ш<Б6[7, 6, 6] ЯКВб | ЯК36[7] Ш<Б6[7, 6, 6]

0.02000 1.4644532 3.2798024 3.1212636 3.942008 3.8893017

0.01000 3.6635936 5.2766117 5.2095659 4.243038 4.1903316

0.00500 5.7361692 7.2283156 7.2636795 4.544068 4.4913616

0.00250 7.7415254 9.1304082 9.2453172 4.845098 4.7923916

0.00050 12.0775985 13.4183086 13.5655128 5.544068 5.4913616

0.00010 16.2792546 17.6333472 17.7709453 6.243038 6.1903316

0.00002 20.4733089 21.8315212 21.9661853 6.942008 6.8893017

-1ё\\Еггд1оЬ\\

Зависимость нормы полной погрешности от общего количества вычислений правых частей тестовой задачи (13)

Наклоны ломаных на рисунке показывают, что для всех тестируемых методов зависимость глобальной погрешности Еттд10ь от величины шага интегрирования (числа обращений Nf к процедурам вычисления правых частей) имеет шестой порядок. Порядок методов RKS6[7](7/9) и К^бр, 6, 6](1/4, 7/9) действительно соответствует заявленному шестому. При этом и RKS6[7](7/9), и метод-оппонент требуют семи вычислений правой части СОДУ на шаге, тогда как RKS6[7, 6, 6](1/4, 7/9) — только шести для компонент решения принадлежащих второй (2) и третьей (3) группам уравнений.

Численное тестирование подтвердило порядок методов RKS6[7,6,6](1/4, 7/9) и RKS6[7](7/9) и их работоспособность, а также показало при сравнении результатов применения всех трех расчетных схем ^КВ6, RKS6[7](7/9), RKS6[7, 6, 6](1/4, 7/9)), что алгоритмическое использование структурных особенностей (в рамках предложенного здесь метода) позволяет строить экономичные явные одношаговые методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Литература

1. Олемской И. В. Модификация алгоритма выделения структурных особенностей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2006. Вып. 2. С. 55-64.

2. Olemskoy I. V. Structural approach to the design of explicit one-stage methods // Comput. Math. Math. Phys. 2003. Vol. 43. P. 918-931.

3. Eremin A. S., Olemskoy I. V. An embedded method for integrating systems of structurally separated ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2010. Vol. 50. N 3. P. 414-427.

4. Olemskoy I. V. A fifth-order five-stage embedded method of the Dormand—Prince type // Comput. Math. Math. Phys. 2005. Vol. 45. P. 1140-1150.

5. Olemskoy I. V. Fifth-order four-stage method for numerical integration of special systems // Comput. Math. Math. Phys. 2002. Vol. 42. P. 1135-1145.

6. Olemskoy I. V., Eremin A. S., Ivanov A. P. Sixth order method with six stages for integrating special systems of ordinary differential equations // 2015 International Conference on Stability and Control Processes in memory of V. I. Zubov. SCP-2015. Proceedings. 2015. P. 110-113.

7. Olemskoy I. V., Eremin A. S. An embedded pair of method of orders 6(4) with 6 stages for special systems of ordinary differential equations // International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. ICNAAM 2016. Rodos: American Institute of Physics, 2016. Vol. 1738. Art. N 160010.

8. Olemskoy I. V., Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A. Embedded methods of order six for special systems of ordinary differential equations // Applied Mathematical Sciences. 2017. Vol. 11(1). P. 31-38. https://doi.org/10.12988/ams.2017.610260

9. Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A. A family of sixth-order methods with six stages // Вестн. С.-Петерб.ун-та. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14. Вып. 3. С. 215-229. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.303

10. Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A., Olemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure // Applied Mathematics and Computation. 2018. Vol. 347. P. 853-864. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.11.053

11. Hairer E., Nersett S. P., Wanner G. Solving ordinary differential equation I: Nonstiff problems. 3 ed. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. 528 p.

Статья поступила в редакцию 2 ноября 2019 г. ^атья принята к печати 7 ноября 2019 г.

Контактная информация:

Олемской Игорь Владимирович — д-p физ.-мат. наук, проф.; i.olemskoj@spbu.ru Коврижных Николай Александрович — канд. физ.-мат. наук, ассистент; sagoyewatha@mail.ru Фирюлина Оксана Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель; firyulina.oxana@mail.ru

Two-parametric family of sixth order numerical methods for solving systems of ordinary differential equations

I. V. Olemskoy, N. A. Kovrizhnykh, O. S. Firyulina

St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A., Firyulina O. S. Two-parametric family of sixth order numerical methods for solving systems of ordinary differential equations. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 4, pp. 502-517. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.407 (In Russian)

The paper is devoted to the construction of economical explicit sixth-order numerical method for solving structurally partitioned systems of ordinary differential equations. The general form of the method, which algorithmically uses the properties of the system structure, is presented. Conditions of order six, which the parameters of the method must satisfy, are derived. The simplifying conditions are found, which reduces the large nonlinear system

of order conditions to a solvable smaller system. A solution with two free parameters is obtained. Economic explicit sixth-order schemes for systems of ordinary differential equations are presented. Numerical tests to compare to known explicit sixth-order one-step methods are performed.

Keywords: order, the order conditions, simplifying conditions. References

1. Olemskoy I. V. Modifikatsiya algoritma vydeleniya strukturnykh osobennostei [Modification of structural properties detection algorithm]. Vestnik of Saint Petersburg Universitety. Series 10. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2006, iss. 2, pp. 55—64. (In Russian)

2. Olemskoy I. V. Structural approach to the design of explicit one-stage methods. Comput. Math. Math. Phys., 2003, vol. 43, pp. 918-931.

3. Eremin A. S., Olemskoy I. V. An embedded method for integrating systems of structurally separated ordinary differential equations. Comput. Math. Math. Phys., 2010, vol. 50, no. 3, pp. 414-427.

4. Olemskoy I. V. A fifth-order five-stage embedded method of the Dormand—Prince type. Comput. Math. Math. Phys., 2005, vol. 45, pp. 1140-1150.

5. Olemskoy I. V. Fifth-order four-stage method for numerical integration of special systems. Comput. Math. Math. Phys., 2002, vol. 42, pp. 1135-1145.

6. Olemskoy I. V., Eremin A. S., Ivanov A. P. Sixth order method with six stages for integrating special systems of ordinary differential equations. 2015 International Conference on Stability and Control Processes in memory of V. I. Zubov. SCP-2015. Proceedings, 2015, pp. 110-113.

7. Olemskoy I. V., Eremin A. S. An embedded pair of method of orders 6(4) with 6 stages for special systems of ordinary differential equations. International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. ICNAAM 2016. Rodos, American Institute of Physics Press, 2016, vol. 1738, art. no. 160010.

8. Olemskoy I. V., Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A. Embedded methods of order six for special systems of ordinary differential equations. Applied Mathematical Sciences, 2017, vol. 11(1), pp. 31-38. https://doi.org/10.12988/ams.2017.610260

9. Olemskoy I. V., Kovrizhnykh N. A. A family of sixth-order methods with six stages. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2018, vol. 14, iss. 3, pp. 215-229. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.303

10. Eremin A. S., Kovrizhnykh N. A., Olemskoy I. V. An explicit one-step multischeme sixth order method for systems of special structure. Applied Mathematics and Computation, 2018, vol. 347, pp. 853-864. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.11.053

11. Hairer E., Nersett S. P., Wanner G. Solving ordinary differential equation I: Nonstiff problems. 3 ed. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag Press, 2008, 528 p.

Received: November 02, 2019. Accepted: November 07, 2019.

Author's information:

Igor V. Olemskoy — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; i.olemskoj@spbu.ru Nikolai A. Kovrizhnykh — PhD in Physics and Mathematics, Assistant; sagoyewatha@mail.ru Oxana S. Firyulina — PhD in Physics and Mathematics, Senior Lecturer; firyulina.oxana@mail.ru