Метод пятого порядка типа Рунге-Кутты интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЛК 519.62/.642 И. В. Олемской

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 1

МЕТОД ПЯТОГО ПОРЯДКА ТИПА РУНГЕ-КУТТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ СТРУКТУРНО РАЗДЕЛЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*)

1. Введение. В работе рассматривается явный одношаговый метод типа Рунге-Кутты интегрирования систем структурно разделенных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Уо = Мх,уо,у1,...,уп), (1)

Ух = /г(^,2/о,..-,Уг-1,У{+1,...,Уп), г' = 1,...,/, (2)

Уз - з=1 + 1,...,п, (3)

le{o}uN, п е {0} и ы, I < п, хе [х0,хк] с я,

п

у8 :[Х0,Хк]-> Яг*, 5 = 0,1,... ,п, £г.=г,

5=0

¡0-.[Х0,Хк}хЯг —>ЯГо,

I

/г:[Х0,Хк] хЯГ^ —► Я", г = 1,2,'...,/, ^ =

г/=г

п

/; : х Я'"*' —+ * = / + 1,... ,п, г' =

Группы уравнений (2), (3) структурно тождественны. Каждое уравнение одной из групп уравнений (2), (3) занимает определенное место в последовательности уравнений своей группы. Его правая часть не зависит от искомых функций, поведение которых описывается этим и всеми последующими уравнениями той же группы. Здесь (1) — представитель «общей» группы, в которую вошли все уравнения, не имеющие структурных особенностей указанного выше типа.

Следует отметить, что в рассматриваемой системе может отсутствовать как общая группа уравнений (1) (го = 0 ), так и группа уравнений (2) (1 = 0, п 6 N ).

Наличие структурных особенностей в рамках общей схемы метода Рунге-Кутты [1] не изменяет соотношений между порядком метода и его числом этапов. Причина этого в том, что для последних учет специфики связей в правой части интегрируемой системы происходит только при исследовании условий порядка.

Принципиальное отличие рассматриваемого здесь метода от общей схемы метода Рунге-Кутты заключается в том, что вся информация о значениях производных, по мере получения на текущем этапе, сразу используется в вычислительном процессе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-05-65318). © И. В. Олемской, 2005

Это обстоятельство позволило построить методы [2], для которых в пределах групп уравнений (2), (3) справедливы соотношения

щ{д) = я-1, f=l,...,n,

где q - порядок метода; m${q) - £-я компонента минимального вектора числа этапов метода порядка q. В настоящей работе будет продолжено рассмотрение возможностей структурного подхода при конструировании метода пятого порядка и построено семейство экономичных расчетных схем пятого порядка, требующих по группам уравнений (2), (3) меньшего числа этапов, чем методы Рунге-Кутты того же порядка.

2. Метод интегрирования. Считаем, что нам известно точное решение ys{x), s = 0,1,..., п, системы (1)-(3) в точке х G [.Хо, Xk] ■ Не умаляя общности рассуждений, для простоты вывода будем считать rs = 1, s = 0,1,..., п.

Для численного интегрирования систем (1)-(3) рассматривается явный одношаго-вый метод типа Рунге-Кутты, который в дальнейшем будем называть структурным. В предположении достаточной гладкости правой части изучаемой системы приближение zs к точному решению ys(x + h), s = 0,1,..., п , в точке х + h е [Х0, Xk] ищем в виде

т3

ys{x + h) « zs = ys(x) + bswksw(h), s = 0, l,...,n, (4)

10=1

причем ksw = ksw(h) вычисляются в строгой последовательности

k0i, Ац,..., kn i, k0 2, k\2,..., kn 2, k0 3, ki3,... (5)

по формулам

kow — Уо»0, ■ • ■ 1 ^Oum)j

kiw = hfi(Tiw, Y{wо, . • • , Yiw г—1 ? ^iw l+l) • • • j Yiwn) j i — lj 2,. . . , kjw ~ hfj (Tjw, YjwO: • • • i ^ jw j—l)j j — Z + 1, ■ ■., fl,

где

_ ( x, если = I)}, . .

sw~\x + cswh, если {(w = 1 Л s > i) V (w > 1)}, K )

Yftiuv — <

' yv{x), если {(lü = 1) A (s ^ I)},

VÁX) + £™=i aswutlkvtl, если {(w > 1) Л (s u)}, (7)

k уЛх) + aswiесли {(ги > 1) Л (s > и)} V {(w = 1) Л (s > /)},

Ьвип Сзы, а-в-ши^ - параметры метода (4)-(7), Н - шаг метода.

Замечание1. В соответствии с требованием (5) алгоритма для компонент вектора числа этапов структурного метода (4)-(7) характерными являются соотношения

rriQ = mi = ... = mg-i ^ rrig = ... = mn, mg_i-m5^l, g € {1,2,... ,n}. (8)

Выбор параметров метода осуществляется таким образом, чтобы разложение методической погрешности

та

ФД/i) =. ys(x + h)~ ys(x) - bswksw{h), s = 0,1,..., n,

W=1

метода (4)-(7) по степеням h начиналось со степени qs + 1 при фиксированном числе этапов ms.

3. Условия порядка. Условия порядка метода (4)-(7) пятого порядка при то = 6, mi = 5, rrij = 5 (г = 1,...,/, j = I + 1,... ,п), даже в предположении выполнения стандартных упрощающих ограничений

w

^asweg - csw, cç i=0, £ = 0,1tu = 1,..., ms (9)

9=i

и групповых равенств, связывающих параметры метода [2] aspujl,bsp,csp :

Cip = . . . = Cjp, 0>0р1т] — ... — &0plr}i

bip = ... — bip, Û0p,/+l,ii = • • • — a0 рпг\1

02pl7j — Û3piï7 = Û3)Pi2,ij = • • • = a>lplrj = . . . = Щ,р,1-1,77,

Û/+l,p,l,i? = • • • = a/+l,p,i,7j = Ûi+2,p,l,7} = . . . = 0>1+2,р,1,щ = • • •

• • • = Q"nplr] — ••• — Япр/jj)

C/+1.P — • ; • — Cnp> = • • • = &np5 (10)

al,p,l+l,r) — • • • = Û1 pnr) = a2,p,i+l,Tj = • • ■ = °2 рпт) = •• •

• . . = ^l,p,l+l,Ti = • • ■ = Û/pnjjj

Û/+2,p,i+l,77 — ai+3,p,Z+l,»7 — 0-1+3,p,1+2,1} = • • ■ = аП)Р) i+l,7j = • • • = an,p,n-l,ii)

образуют систему 318 структурно тождественных групп нелинейных уравнений со 158 неизвестными.

Однако (несмотря на уникальность полученной системы) рамки данной публикации не позволяют приведение ее в полном объеме. Здесь будет представлено лишь ее следствие, для представления и восприятия которого необходимо обратить внимание на два важных момента. Во-первых, применение наряду с ограничениями (9), (10) известных упрощающих предположений вида

9 I т*

^ ] Q>sgvwcvw ~ 2Cs$> 9 — ^ ^ bsw(lsgvw = bvu (1 — Cvu) , U = 1, . . . ,

u>=l w=u

в силу отсутствия покомпонентной симметрии схемы структурного метода (4)-(7) имеет свои особенности. Во-вторых, полученная система условий порядка, как и ее следствие, приведенное ниже:

&02 =0, сов = 1, (11)

1

Y^ bOu>Cow = ~—j> Р = 0,1,...,4,

s-1 г

У^ ÛQsOi/COi/ = пс0 s ' s = 3, . . . , 6,

У^ ¿Oi/ÛOi/Oq = Öoq(l — Coq), q — 2, . . . , 5,

5

53 boi/(l - C0i/)a0i/02 = 0,

f=3

53 во/Л^м - Соз) ¿ 6oi/(l - Coí/jaoí/o/i = ~ - ^соз,

f¿=2,4 i/=/í+1

S_1 1

^ ] aOsii/C¿t> = -Cqs, S = 3,..., 6,

v=2 6

У1 bovO-Oviq = - cig), q — 2,..., 5,

~ с*з) ¿ bov(l - C0„)a0uifl = — - — c¿3,

.-1 x

aOsjvcjv — 2 c°s' s = 2,..., 6,

1У=1 6

53 b0l/a0„jq - bjq{ 1 - Cjg), g = 1,... ,5,

5

53 ~ coi/)ooi/ji = 0,

u=2

53 CJ>(CJ> - Ci3) ¿ ¿M1 - = ¿ -

/i=l, 2, 4 u=ß+l ,

5 1

5Z = Г^Гр P ~0' !» • • • >4>

w=i

* 1 2

^^aísOi/Coi/ = 2C»s' s = 2, ..,,5, i>—2 5

53 = - COg)) 9 = 2, ...,5,

í/=9

53^(1- ^,02=0, .

i/=2

53 ^(co/í - Соз) 53 ~~ Civ)°-iuOß ~

/í=2, 4, 5 i/=/t

52bi»aiviq =biq(l-ciq), q = 2,..., 5,

v=q

5

Л - Ci3) Y, M1 -'^Ц, = = -S_1 1

]T öiejvCjv = S = 2,... ; 5,

v=\ 5

=bjq(l-cjq), q= 1,..., 5,

5

У. btv(l - Civ)aiUji = 0, f=2

5

S - Cj3) X M1 - ciu)aiujß = -- с

Д=1,2,4 i/=/x+l . ÖU

= ГТТ' P = 0,1,..., 4, bji = 0, Cj-5 =

го=2 ^ ~

s 1

v = s = 2,..., 5,

2

Y,bjvajv0q = b0q{l - со,), g = 2,... ,5, .

v=q 5

bjv(l - cju)ajv02 =0,

i/=2

Сод(со/( - Соз) ¿ - Cju)ajuofl = - ^соз,

ц='2,4 u=ß

S 1

У] ajsiuCiv — S = 2, . . . , 5,

i/=2 . z 5

^ ^ bji/O-jviq — ~~ cig)> Q = 2, . . . , 5,

2,4

5-1 1

ajsjvcjv = s = 2,..., 5,

bi*aj»h- ~ 9 = 1,..., 5,

53 М1 - ajujl = 0» (45)

4 11 53 cj'm(cj> - cjs) 53 М1 ~ = 60 ~ 24CJ'3>

/¿=1, 2, 4 1/=ц+1

состоит из трех взаимосвязанных (групповыми параметрами сои, CiU, CjV) блоков: (11)-(22), (23)-(34), (35)-(46). Здесь и в дальнейшем: г € {1,...,/}, j е {1 + 1,...,п}, г G {1,..., г — 1}, j 6 {1,... ,j — 1). Каждый блок, в свою очередь, содержит по три группы структурно разделенных по параметрам a0l/0g, a0uig, aQt/jg, aiv0д, aiu'ig, aiujg, ajj/05, Q-jvig, ajUjg уравнений. Такое структурирование системы-следствия условий порядка существенно упрощает поиск частного решения исходной системы. Его можно проводить по отдельно взятым группам уравнений в любом из трех блоков. Причем первая группа уравнений первого блока (11)—(15) тождественна условиям порядка метода Рунге-Кутты пятого порядка [3].

Замечание2. Равенства (35) непротиворечивы при условии

_ 10Cj2Cj3 5 Cj2 — 5 Cj3 + 3 j4 5(6 Cj2 Cj3 — 2 Cj2 — 2 Cj3 + 1)' 1 '

а уравнения (29)-(34) - если узловые параметры второго и третьего блоков связаны соотношениями

1 40 cj2 Cjз - 15 cj2 - 15 CjZ +8 , Cj! = т;Сг2, Ci 5 = J -^-0 , (48)

2 10(6 Cj2 Cj3 - 2 Cj3 - 2 Cj-2 + 1)

Задача о поиске частного решения исходной системы условий порядка сведена к поиску частного решения системы-следствия (9)-(48) достаточно простой структуры связей, состоящей из 155 уравнений со 158 неизвестными.

4. Алгоритм построения явного метода пятого порядка. С учетом вышесказанного естественно, что первые 5 пунктов алгоритма, относящиеся к рассмотрению первой группы уравнений первого блока, практически повторяют утверждение теоремы 6.2 [3].

1. Параметры сог, соз > с04 > соб, сг2, с^, с^, Cj2, Cj3 могут быть выбраны в качестве свободных параметров, удовлетворяющих лишь некоторым очевидным ограничениям.

ЗамечаниеЗ. Для наглядности параллельно с изложением алгоритма для произвольных значений параметров cqv, с^, Cjv будем представлять коэффициенты схемы для фиксированного набора узловых параметров первого блока: сог = соз =

со4 = §, cos = | (расчетная схема пятого порядка Дорманда-Принса [3]) и узловые параметры второго и третьего блоков: с*2 = с*з = сц = Cj2 = c-jz =

2. Весовые коэффициенты Ьоъ &оз, &04, Ь05, бое определяются из линейной системы

(11) (Ьо1 = Ъоз = Ь04 = iff' 605 ~ ~67Й' &об = §£)■

3. Параметр <20302 находим из (12) при s = 3, а свободный параметр ао402 = выбираем произвольно, что позволит из (12) при s = 4 определить ао40з (аозог = «0403 = ~§ оц + if )•

4. Из равенства (14) получим аобог, а из (15) — ао504- Затем из ограничения (12) при s = 5 находим аобоз («0502 = + сц, а0504 = аОбоз = ffff — iffy

5. Разрешая линейную систему, образованную уравнениями (13) при s = 3,4,5, определяем а0боз, а0б04, аоб05> а из (12) при s = 6 — параметр a0602 («обоб = 78656 »

_ 49 „ _ 175 1736 _ _ 175 , 45 \

«0604 — Рте , Й0603 — -"ёб" а1 ~ 1749 ' а°602 — ~44~ ai + ТТ^

6. При произвольных узловых параметрах c¿2, c¿3, c¿4, Cj2, Cj-¿, используя соотношения (47), (48), получаем c¿5, cJb ci4 (ci5 = Cj\ = cj4 = §).

7. Поочередно из линейных систем (23) и (35) определяются весовые коэффициенты и bjv соответственно (Ьц = bi2 = j$§,bi5 = b¿4 = bi3 = |f, bj2 =

JL _ 10 L _ 125 и _ 1 \

_ 27' ~~ 486' °J5 ~ Tí'*

8. Параметры аозд, ao3¿2 находим как решение системы линейных уравнений (9), 19) при s = 3, а свободный параметр ao4¿i = «2 выбираем произвольно. Это позволит

из (9) и (19) при s = 4 определить a04j2, ao4¿3 (ao4¿2 = - jf o¡2 + Щ, a04j3 = ^ a2 + ff), а из уравнения (21) — а05д (aosji = w"2 ~ !!§)•

9. Разрешая линейную систему, образованную уравнениями (9), (22) и (19) при s = 5,

_ _ ( „ _ 166880 8480 Л _ _ 5512, 530 „ _ -8480 \ получаем a05j2, «05¿3, «05¿4 { «05;/2 — 59049 "Im^2, «05j3 — 656T +2I87 а2' a°5i4 — 59049 )•

10. Коэффициенты метода ao6¿5, аоб^, «06j3, «06j2 определяем последовательно из соотношений (20) при q = 5,4,3,2 (a06j5 = 0, a0Qj4 = a06j3 = Ш0*2 + II' a06j2 =

5212 140 \

етГ ~ "зз~ 2 / ■

11. Параметр ao3¿2 находим из (16) при s = 3. Свободные параметры аош = ¿*з

И O05Í2 = (*4 Выбираем произвольно. Это ПОЗВОЛИТ из (16) при S = 4 выразить О04гЗ

(вОЗ»2 = «04¿3 = «3 + Ц)' a И3 (16) ПРИ 5 ~ 5 И (18) °05гЗ И a05¿4 («05¿3 =

4 Л i 1760 , 1060 „ _ 20 1325 Л , 1 \ — 5 4 2187 "729" 3' a°5i4 ~ ~ Ш7 ~ 1458 ^З +

12. Последовательно из соотношений (17) при q = 5,4,3 определяем параметры метода ao6¿5, «06¿4, «06¿3, а для вычисления ao6¿2 используем ограничение (16) при s — 6

/ _ 5 „ _ 6475 1575 Л ■ 45927 Л _ 245 ■ 749 45927 _

IO06Í5 - зз, «06г4 - 41975 ~ W а3 + 74624 а06гЗ - «3 + 5347 ~ 23320 а4, «06¿2 -

875 | 4430 i 45927 \ 176 "3 1" 5247 "Г i8656 «4У-

13. Коэффициент метода a¿202 находим из (24) при s = 2. Свободный параметр «¿зог = выбираем произвольно, что позволит из (24) при s = 3 получить a¿зоз («¿202 =

Jq, «гЗОЗ = — f «5 +

14. Далее, из соотношения (25) при q = 5 определяем a¿505- Параметры a¿402, «¿502 находим, решая линейную систему, образованную уравнениями (27), (25) при q = 2, а «¿404, «¿504 _ решая линейную систему, образованную уравнениями (28), (25) при q = 4

/ _ -15309 „ _ 8 304 _ 4 , 133 _ _ 9 _ _ 441 \

(.«¿505 — "84800"' Í402 — ~ 5 ~ «5, «¿502 — 5 + "25" а5, «¿404 — 55, «¿504 — §00>'

15. Последовательно из равенств (24) при s = 4,5 вычисляем параметры метода

_ 124 , 608 _ _ 1883 266 \ «¿403, «¿503 (,«¿403 — -75Г + "75" а5, «¿503 — "15900--75" а5)'

16. Параметр ai2-i2 находим из (28) при s = 2, a ai5-i5 - из (29) при q = 5 (ai2¿2 = Ш' a¿5í5 ~ ío)'- Свободные параметры ai3~i2 = и ai5¿3 = а7 выбираем произвольно. Затем, используя равенство (28) при s = 3, определяем ai3-i3 (ai3~i3 = — | ав +

17. Решая линейную систему, образованную уравнениями (28) при s = 4,5, (29) при q = 3,4 и (30), находим aí4-i2, ai4-i3, ai4k, aiÜ2, aibU (ai5-2 ^-f^ + ^ae-fa!?,

a¿5¿4 = Ш ~ Üa6 - «Ш4 = -i + |«6 + i«7, «¿4гЗ = Ia6 + i "

a¿4¿2 = Í-f <*G + T

18. Параметры a¿3ji, «¿3^2 находим, решая линейную систему уравнений (9), (31) при s = 3 (ai3ji = ai3j2 =3). Из равенства (32) при q = 4 вычисляем a¿5¿4 (a¿5j4 = Tf)-Затем, решая линейную систему, образованную уравнениями (32) при q — 1 и (33), определяем a^ji, a¿5ji, а уравнениями (32) при q = 2 и (34) — a¿4j2, «¿5j2 («¿4ji = -Ир,

_ 117 _ _ 144 _ _ 1729 \ «¿5jl — "lo") «¿4j2 — 5~i «¿5j2 — ~i35~/-

19. Далее из соотношений (31) при 5 = 4,5 последовательно определяем параметры

«¿4.73, «¿5J3 (b¿4j3 = «¿5j3 = ~

20. Величину üj202 находим из (36) при s = 2, а a^os - из (37) при q = 5 (aj202 = ifg'

aj505 = "Mil)- Свободный параметр aj302 = «8 выбираем произвольно и, используя равенство (36) при s = 3, определяем a¿303 (aj303 = — § «8 + j^)-

21. Поочередно из уравнений (38), (39) находим параметры a¿402, a¿404 (о?402 = -i - aj404 = Затем из (37) при q = 4 определяем 0,504 (%504 = §§), а из (36) при s = 4 - а/403 (flj403 = §§ + тр скв). Из равенства (37) при <7 = 3 вычисляем о/боз (а^боз = -Щ- «8 - Щ2)' после чег0 из (36) ПРИ 5 = 5 получаем ау502 (a¿502 = ™ «8 + §)■

22. Параметр a¿2í2 находим из (40) при s = 2, a a¿5¿5 — из (41) при q = 5 (a¿2¿2 = xis' Q>jbib = y^)- Свободные параметры ajsi2 = аэ и а^г = «ю выбираем произвольно и, используя равенства (40) при s = 3 и (42), определяем а^а и a./4¿4 (o/згз = — \ «9 + 4, O-jAiA — —§§ + й) «9 + \ <2ю)-

23. Затем последовательно из равенств (41) при q — 4, (40) при s = 4, (41) при q = 3 и (40) при s = 5 устанавливаем коэффициенты а^и-, %4гЗ, aj5¿3 и aj5i2 соответственно

_ 5285 175 875 _ _ 4 , 11 36 _ _ 196 679 , 700 л

\flj5t4 ~ 3888 ~ "5Г - эта «10, ttj4<3 ~ ~ 5 аЮ + То ~ 25 а9, «¿5*3 ~ а9 ~ Ш + Ш аЮ»

„ _ 140 , 680 875 ч ttj5¿2 - -"27" а9 + 243 - 243

24. Решая линейную систему, образованную уравнениями (9) и (43) при s = 2, находим параметры а^^, ajl2j2 (а^л = = — Из соотношения (44) при q = 5 определяем = 0). Свободный параметр ftj3¿i = скц выбираем произвольно, и из равенства (45) находим а из (44) при q = 1 вычисляем о^-^ (a -^j = — | — ^ «ц,

л - 40 , 70 л \ aj5Íi - Т +

25. Далее коэффициенты а^3-2, определяем из линейной системы, образованной

уравнениями (9) и (43) при s = 3 (a-3--2 = an + 3> aj3j3 = Т^п + |)> а Решая линейную систему уравнений (9), (43) при s = 4 и (46) находим aj4-j2, aj4-j3, (а^4--2 =

96 3 6 1 л

^ + 25 ai1' aj4j3 = ТО ~~ 25 Ql1' aj4j4 = Ш'

26. Поочередно из ограничений (44) при q = 4,3,2 находим параметры метода

(г, — Ш. П _14л |35 _ _ 1082 224 .. \ зф> °J'5J2 Vaj5j4 — 486' j'5j3 ~ 27 ai1 54' aj5j2 - 243 27

27. Наконец, из упрощающих равенств (9) определяем еще не найденные коэффициенты a0l/01, «oi/ii, ^ = 2,...,6, ao6ji, а>гцoí, a¿M¿i> ^ = 2,..:,5, a^ji, a^oi, a¿£ii, £ = 1,...,5, cijiji (^0201 = fl02¿i = a02ji.= аозо1 = ao3¿i = <20401 = ——

_ 3436 2650 ^ _ 2221 175 n _ 3 , 4 nл _ 9 ,

«0501 - 2187 _ 2187 ai' fl°601 — _1056 ~ jm6*1' а04^ ~ ~5 a3 + 25, ^05*1 — _20 a4 + 68 265 ^ ' _ 105 ^ 4097 413343 n _ 60 , 175 _ _ „ _ 1 729 ~ 486 а06г1 ~ "бГ ~ 13993 ~ 373120 a4' ~ IT + ~44 012' a¿20l ~ ai2il ~ lo'

1 1 17 304 731 133 1 3

a¿301 = -3 <*5 + У2, ai401 = 30 + 75~ a5' ai501 = "Soo ~ "75" a5' ai3íl = 4 ~ 5 a6' a¿4¿l =

tifiQ 1411 97 Q , 1Q4 4QQ 1 1

-loo + W - i a7, a<5ii = йа7 + ш-5ооав, a<2ii = ail0i = ajm = ajlh =

11 1 1 11 6 70 23

%'201 = = 128, Oj301 = "з«8 + 12' aJ401 = 80 + 5 Q8' aj501 = ~27 ~ 1723,

3 1 9 1 27 7 277 175 \

aj3il = -5 «9 + 4 , Oj4tl = ~20 «10 - 80 + 50 a9, ^5г1 = q «9 ~ 432 + Ш

В силу замечания 1, уменьшение количества вычислений правой части на единицу в рамках структурного метода приводит к пятиэтапному методу. Но, в соответствии с первым барьером Батчера, система условий порядка (уравнения первой группы первого блока) - несовместна. А это значит, что для пятиэтапного метода (4)-(7) не существует метода пятого порядка. Построенное в рамках изложенного алгоритма 20-параметрическое семейство методов пятого порядка и доказывает утверждение следующей теоремы.

Теорема. Минимальный вектор [2] числа этапов структурного метода (4)-(7) пятого порядка численного интегрирования системы (1)-(3) равен М(5) = (6,5,..., 5). Эффективность полученных М = {mo(q),... ,шп(д))-этапных методов q-ro порядка

Расчетная схема пятого порядка

Со и/ ЙО-шОд &0тгд &0и)} у Ь 0ш

0 35 384

1 5 1 5 1 ■ 5 1 5 0

3 10 3 40 9 40 3 40 9 40 -3 10 3 5 500 ' 1113

4 5 44 45 -56 15 32 9 1 25 1 5 14 25 1 5 0 3 5 125 192

8 9 19372 6561 -25360 2187 64448 6561 -212 729 -422 3645 2 9 10036 10935 -296 2187 -1390 729 121088 59049 5830 6561 -8480 59049 -2187 6784 '

1 9017 3168 -355 33 46732 5247 49 176 -5103 18656 -1844 8745 8333 20988 42959 52470 -3283 20988 5 33 -205 44 4456 891 245 396 35 891 0 11 84

Сг-щ ЯгщО д Q^iwjg Ьгги

0 5 72

1 5 1 10 1 10 1 10 1 10 1 5 50 189

1 2 0 1 4 1 4 1 100 2 5 9 100 -5 2 3 19 54

4 79 -116 92 9 . 319 -78 596 -1 136 -144 12 25

5 50 25 25 50 625 125 625 25 5 5 5 216

9 10 -953 1600 213 100 -5327 5300 441 800 -15309 84800 -247 2500 147 250 427 2500 7 50 1 10 -117 10 1729 135 -7 15 7 27 25 126

^гиОд -шгд а ■ - 7107 0

1 10 1 10 1 10 1 10 0

1 8 11 128 5 128 11 128 5 128 5 16 -3 16 512 1701

1 2 1 8 -1 8 1 2 13 40 -1 8 3 10 -5 9 25 27 7 54 10 27

4 5 -1 80 1 4 9 25 81 400 -13 50 2 5 24 25 -3 ю . 2 5 -2 15 13 30 1 10 125 486

1 179 576 -5 12 245 477 35 32 -1701 3392 -5 36 325 162 -413 162 455 324 5 18 10 81 38 243 175 486 175 486 0 1 14

(по отношению к методу Рунге-Кутты) тем выше [2], чем больше отношение (коэффи-цепт сравнительной эффективности) К^ = (fh(q) ws) 1 Ss=o [^(я) ~ ms(tf)]ws, где fh(q) - минимальное число этапов метода РК q-го порядка, ws - весовые коэффициенты, либо задаваемые пользователем, либо вычисляемые как относительные доли затрат (число арифметических операций, время) на вычисления правой части fs от общего числа вычислений всех компонент вектор-функции / = (/о, Д, /2,..., /п). Его значение для построенных здесь (в рамках рассмотренного алгоритма) методов определяется равенством К5 = (б ws) 1 ws- Оно справедливо и для расчетной схемы (таблица), полученной из выписанного 11-параметрического семейства (замечание 3) при значениях параметров

- I i ? I ? i?L _I _I ?

{аъа,2,...,аи} - 5'5'9'4'5'2500' 8'"8'5'~9J '

Естественно, что в случае отсутствия групп уравнений (2), (3) в рассмотренной системе (1)-(3) метод (4)-(7) тождествен традиционному методу Рунге-Кутты интегрирования систем (1).

Summary

Olemskoy I. V. The method of the fifth order of Runge-Kutta type of the structurally divided differential equations integration systems.

The algorithm of construction of multiparametrical family of obvious economic step-by-step methods of the fifth order of Runge-Kutta type of the structurally divided differetial equations integration systems is written out.

Литература

1. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы высшей математики. Т. 2. Минск, 1975. 672 с.

2. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2003. Т. 43, № 7. С. 961-974.

3. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи/Пер. с англ.; Под ред. С. С. Филлипова. М., 1990. 512с.

Статья поступила в редакцию 3 февраля 2005 г.