ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 77 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Деформирование трехслойных композитных ортотропных прямоугольных пластин Старовойтов Э.И.,1* Локтева Н.А.,2** Старовойтова Е.Э.1

1 Белорусский государственный университет транспорта, БелГУТ, ул. Кирова, 34,

Гомель, 246653, Республика Беларусь Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: dstar@mail.by

**e-mail: nlok@rambler.ru

Аннотация

Рассмотрен изгиб упругой прямоугольной ортотропной трехслойной пластины с жестким заполнителем и композитными слоями. Для описания кинематики несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа. На контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев. Дифференциальная система уравнений равновесия получена с помощью вариационного принципа Лагранжа. Аналитическое решение выписано в определителях. Проведен числовой параметрический анализ напряженно-деформированного состояния пластины под действием локальных нагрузок.

Ключевые слова: трехслойная круговая пластина, колебания, локальные нагрузки, напряженно-деформированное состояние, композиты.

Введение

Слоистые элементы конструкций широко используются в современном авиа- и ракетостроении, в том числе при изготовлении крыльев, хвостового оперения и топливных баков. Так же актуально использование подобных элементов конструкций в интенсивно развивающихся отраслях строительства и промышленности (транспортное машиностроение, реакторное оборудование и т.д.). Трехслойные пластины в условиях деформации изгиба оказываются наиболее рациональными с точки зрения прочности и жесткости. В публикациях [1-4] рассмотрено деформирование трехслойных пластин, набранных из ортотропных материалов. В монографиях и статьях [5-8] исследован изгиб трехслойных стержней и круговых пластин, связанных и несвязанных с упругим основанием. В работах [9,10] исследован процесс неравномерного нагрева слоистой пластины. В работах [11-13] исследованы колебания трехслойных стержня и оболочки под воздействием различных нагрузок.

Здесь приводится математическая постановка задачи об изгибе прямоугольной трехслойной ортотропной пластины локальными нагрузками, ее аналитическое решение и численный параметрический анализ полученного решения.

1. Постановка и решение задачи

Постановка задачи проводится в прямоугольной системе координат х, у, г, связанной со срединной плоскостью заполнителя (рис. 1). В дальнейшем принято, что пластина шарнирно оперта по контуру.

У

/\у(хУ)

I 1 111,11, 1 1 11

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

Рис. 1. Расчетная схема прямоугольной трехслойной ортотропной пластины

На пластину действует внешняя распределенная поверхностная нагрузка, проекции которой на координатные оси рх (х, у), ру (х, у), q(х, у). Через ^(х, у)

и их (х, у), иу (х, у) обозначены прогиб и продольные перемещения срединной

плоскости заполнителя вдоль координатных осей; Ик - толщина к -го слоя

(И3 = 2с, к = 1, 2, 3); 1Х, 1у - размеры пластины вдоль соответствующих осей.

Для описания кинематики пакета приняты гипотезы ломаной нормали: в несущих слоях справедливы гипотезы Кирхгофа, в несжимаемом по толщине заполнителе нормаль остается прямолинейной, не изменяет своей длины, но поворачивается на некоторый дополнительный угол, составляющий с координатными осями х, у величины ух(х, у) и уу(х, у) соответственно. На контуре пластины

предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев. Деформации малые.

Следуя из введенных геометрических гипотез, выражения для продольных перемещений в слоях через пять искомых функции w(x, у), ux у), uy у),

у(x, у) и уу (x, у) принимают вид:

и? = и + cVx- ^x (с <* <с+к);

^ = ux + ^ x- ^ x (-c <г <c);

= ux- cVx- (-с - h2 <z <-с);

u V = Uy + суу - zw,у (c < г < c + h1);

u У3) = иу + ^ у- ^ у (-с < ? <с);

иУ2 = иу - ^ у - zw'y (-С h2 < г <-С) , (1)

где г - расстояние от рассматриваемого волокна до срединной плоскости заполнителя; (иг + су.) - величина смещения внешнего несущего слоя 1 в направлении I -ой оси за счет деформации заполнителя, для несущего слоя 2 это смещение равно (иг - су.) (I = x, у); запятая в нижнем индексе обозначает операцию

дифференцирования по следующей за ней координате.

Компоненты тензора деформаций выражаются через искомые функции с помощью перемещений (1) и соотношений Коши.

Уравнения равновесия и силовые граничные условия следуют из принципа возможных перемещений Лагранжа:

5А + 5Ж = 0. (2)

Здесь вариация работы внешней поверхностной нагрузки:

М = Я (Рх Ъих + Ру Ъиу + ЯМ

Б

вариация работы внутренних напряжений:

^ = 1 Я[< > СУ =

к=1 V

Ш3 ахх}58 к ск + [О^ ск +

хх хх I уу уу

Б к=1 К Нк

+2{О^С + 2+ 2/а^С)СБ. (3)

Ч к3 Н3

Так как материалы слоёв пластины приняты ортотропными, выражения для

напряжениий через деформации имеют вид (8 (к) = 0):

а( к) = 8( к )Г (к) _(к) = 8 (к )Г (к) _(к) = 8( к )Г (к)

^ху —^ху^ху ■> ^ у2 ~ Ъу2^у2 ^ 2х ~ ^ 2х ^ 2х '

а'хк-1 = А3к»8<ук» + А<к>8хх>, оуу> = А<к>8<уу> + А2к^, (4)

Здесь введены обозначения:

(1 - к) У( к)) Е(к) (у( к) + у( к) у( к)) Е(к)

Ак) = ^ х2 2х Ак) = ^ух ^ Ууг У2х у

А ~ А( к) , А2 ~ А( к) ,

А к) = (^у + ^х2 ^у ) Ех А к) = (^у + ^х2 ^ху ) Ех

А = Ак , А4 = А^ ,

где Е(к), ), GíJk) - модули Юнга, коэффициенты Пуассона и модули сдвига материала к -го слоя,

А<к) = (1 V >)(1 -v<<k) у<к)) -

-(у<к) + v<k Ук >)(v( к) + V'к >v( к))

V ух у2 2х /V ху х2 2у '

Если выразить вариации деформаций в (3) через пять искомых функции w(x, у), их у), иу у), у ,с (x, у) и уу (x, у) при помощи соотношений (4),,

провести интегрирование по толщине слоев, с учетом (1), то в итоге из (2) следует система пяти дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях:

а1их,уу + ^у ^у + a3Ux ^ +a4У x,уу + a5У у ^ + + абУ x ^ -а7w,xxx -а8w,xyy + Р. = 0 ; а1Му ,xx + О™. ,xy +а10иу,уу + ^У у ,xx +ОпУ x ^ + + а12У у,уу -а13^ууу -а14W,xxy + РХ = 0 ;

а7иx,xxx + О13иу,ууу + О15иx,xyy + О16Му,xxy + + а17У x,xxx + а18У у,ууу + а19У x,xyy + аюУ у,xxy --a21W,xxxx -а22^уууу -а23^уу +4 = 0 ; абих,xx + а5иу,xy + а4их,уу + а24У x,xx + а25У у,xy +

+ а30У x,уу - а26W,xyy - а27^ - ^У x = 0 ;

а12иу,уу + ,xy + а4иу,xx + а28У у,уу +

а29У x,xy + а30У у ,xx a31W,yxx -а32W,ууу ^СУу = 0 . (5)

Здесь коэффициенты аг выражаются через геометрические и упругие характеристики материалов слоев:

а = 0,5^x1 / + cGX3) + 0^2) И2;

а2 = 0,5^x1 /21 + cGX3) + 0,5GXУ2) / + А« / + 2сА<3) + А(2) /;

а3 = А441) / + 2аА^} + А^ /2; а4 = 0,5GX1)ch1 - 0,5GXУ2)ch2;

a5 = 0,5GXy}ch( - 0,5GXy2)ch2 + A3(()ch( - A3(2)ch2 ; a6 = A44()ch( - A42)ch2

a7 = 0,5(h,2 + 2h(c)A44() - 0,5(h22 + 2h2c)A^42) ;

a8 = 0,5( h,2 + 2h(c )(A3() + G«) - 0,5(h2 + 2h2c)(A3(2) + G<*>);

a9 = 0,5G«h, + cO™ + 0,5GX2)h2 + + 2cAf + Afh2 ;

a(0 = A((()h + 2cA((3) + A((2)h2 ; a(( = 0,5GX(ch, - 0,5GXy2)ch2 + A>)ch, - Afch2 ;

a(2 = A((()ch( - A((2)ch2 ; a(3 = 0,5(h(2 + 2h(c)A((() - 0,5(h22 + 2h2c)A((2) ;

a

M - 0,5( h,2 + 2h(c)( A2() + G«) - 0,5(h2 + 2V)(42) + G^) ; a, 5 = 0,5(h(2 + 2h(c)(A2() + 0,5G«) - 0,5(hJ + 2h2c)( A^2) + 0,5G^2)) ; a,6 = 0,5( h,2 + 2h(c)( A3() + 0,5G£) - 0,5(h? + 2h2c)(A32) + 0,5GXJ)) ;

a(7 = 0,5c( h2 + 2h(c) А4^() + 0,5c(h22 + 2h2c) A4^2) + 2 c3 A43) ;

a(8 = 0,5c( h2 + 2h(c) A((() + 0,5c(h22 + 2h2c) A((2) + 2 c3 A((3) :

a(9 = 0,5c(h(2 + 2hc)( Af + 0,5G£) +

+0,5c(h2 + 2h2c )(A22) + 0,5GXy2)) + 2 c3 Af + ( G™c3 ;

a20 = 0,5c(h2 + 2hc)( A3(() + 0,5G^}) +

+0,5c(h2 + 2h2c )(A32) + 0,5GXy2)) + 2 c3 A(3) + ( G™c3 ;

a2( = ^ + v2+^ a4() - (h2c + h2c2+^ a42) + 3c3 A4¡3);

а22 = (И?с + Н1с2 + 1И3)А1(1) - (И22с + И2с2 + -3^)А1(2) +1с3А1(3); «23 = (к2с + ис + 1 И13)(А21) + А3(1) + 0,5а^}) + +(И2с + V2 + 1 И23)(А22) + А3(2) + 0,5ах2)) + ( с3( А2(3) + А(3) + ^х^^); «24 = А4(1)с2И1 + А(2)с2Н2;

«25 = А3(1)сИ1 + А32)с2к2 + |с3А33) + 0,5^х1 V2 + 0^)V2 + ^О™;

а26 = 0,5с(И2 + 2Иис)( А3(1) + О™) +

+0,5с(И2 + 2И2с )(А3(2) + Оху2)) + 3 с 3Оху;) + ( с3 А(3);

а27 = 0,5с(И12 + 2И1с) А441) + 0,5с( И22 + 2И2с) А,42); а28 = А2(1)с 2И1 + А2(2)с 2И2;

«29 = А21) с % + А22) с 2к2 + § с3 А23) + 0,5Оху) V2 + 0,50^ к2с2 + ^О^;

а(0 = 0,50ху}с 2И1 + 0,50хху}с 2к2 + ( с30х();

а31 = 0,5с(И2 + 2И1с) А1(1) + 0,5с(И22 + 2И2с) А1(2) +1 с3 А1(3);

а32 = 0,5с(И12 + 2И1с) А2(1) + 0,5с(И22 + 2И2с) А2(2). (6)

В качестве условий закрепления принято свободное опирание пластины по контуру х, у = 0, I на неподвижные в пространстве жесткие опоры. Соответствующие граничные условия в сечениях х = 0, ¡х; у = 0, ¡у в перемещениях имеют вид:

™ = их,х = иу ,у = ^хх = ^уу = 0 . (7)

8

Искомое итерационное решение краевой задачи принимается в двойных тригонометрических рядах:

^^ тш . ппу ■ тш ппу

У x = >>У тп соб —- бш — ; У у = >>У тп б1п —- соб —-;

п=1 т=1 ^ 'у п=1 т=1 ^ 'у

х х

^ ^ • тш . ппу

w = >> wmn Б1П-Б1П——;

тп 1 1 '

п=1 т=1 ^ у

^^ тш . ппу ^^ • тш ппу

Ux = >> Uxmn СОБ-Б1П-—; иу = >> иутп Б1П-соб——. (8)

x ^^ ^^ xmn 1 1 У ^^ ^^ утп 1 1 \ У

п=1 т=1 ^ у п=1 т=1

где иутгп , иутп , У тп , У утп , Wmn - искомые амплитудные значения с°°тветст-

вующих перемещений.

Проекции нагрузки представимы в виде разложения в следующие ряды:

х х

^ тш . ппу

Рх = >> Р^^пСОБ —- вш —-;

п=1 т=1 ^ 'у

^ ^ . тш ппу Ру = XX Рутп вш——гов—;

у Г Утп 1 1

п=1 т=1 ^

У

^^ . тш . ппу Ч = >>Чтп -— БШ — . (9)

п=1 т=1

Здесь коэффициенты разложения имеют вид:

1г1у

4 гг . тш . ппу 7 7 Чтп = ту- ^ Ч ■эт-— ьт—^у;

^'у 0 0 ^ 'у

Оу

4 гг тш . ппу , ,

Ртп = уу J J Р-' СО8_Т~ып—^у;

/1 ^ 'у

4 ^ . mпx ппу , ,

Рутп = ТГ- ^ Ру ■ 8Ш-— СОБ — ^у . (10)

^'у 0 0 ^ 'у

В этом случае граничные условия (7) выполняются автоматически, а для нахождения амплитуд перемещений ихтп, иутп, утп, уутп, wmn используется система линейных алгебраических уравнений, которая следует из подстановки выражений (8) и (9) в уравнения (5):

Ъ,м + км + Ъ + Ъл у - = р ,

11 хтп 12 утп 13 т хтп 14 т утп 15 тп г хтп^

Ъ~м + Ъ~и + Ъ, у + Ъл У - = р ,

21 хтп 22 утп 23 хтп 24 утп 25 тп утп

Ъ31ихтп + Ъ32иутп + Ъ33У хтп + Ъ34 У утп - Ъ35 ^п = - ^тп - (11)

Ъ41и хтп + Ъ42и утп + Ъ43У хтп + Ъ44 У утп - Ъ45 Wmn = 0

Ъи + Ъ„и + Ъ„ у + Ъ/1У - ЪсМ = 0,

51 хтп 52 утп 53 хтп 54 утп 55 тп

где величины Ъу определяются через параметры т, п и коэффициенты (6). Аналитическое решение системы (11) можно выписать в определителях: Л, А, А, А, А,

1тп . „. 2тп . ... 3тп . ... 4тп . 5тп

■j j __liiul • . . __^iiul • ... __^iiul • ... __"Г iiul • ...

хти д ' ути д ' т хти д ' т ymn д ' mn д ' mn mn mn mn mn

где Amn - определитель системы (11), а определители Aimn следуют из него при замене i -го столбца на столбец свободных членов.

В случае граничных условий отличных от (7) вид решения будет отличаться от (9). Например, если две грани шарнирно оперты, а две другие защемлены, то решение можно строить в одинарных тригонометрических рядах.

2. Действие локальных нагрузок Локальная равномерно распределенная нагрузка. Поверхностная нагрузка равномерно распределена по площадке, заключенной между прямыми х = х^ х = х2 (х2 > х1); у = у^ у = у2 (у2 >

х У) = %о [н (х2 - х)- н (Х1 - х)][н (У2 - У)- н (У1 - У)] (12) где %0 - постоянная величина, н - функция Хевисайда.

Коэффициенты разложения нагрузки в ряд получены вычислением первого из интегралов (11) с учетом (13):

4%0

%тп

I тп 2

тпп

( \ ( \

008 ППУ1 - 008 ППУ2

1 1

_ \ У \ У /]

х

X

с \

ооб

птх

с \ лтх0

ооб

V X у

V X у

(13)

Амплитуды находятся после подстановки полученных значений в систему (11), перемещения следуют из (8), напряжения - из (4).

Сосредоточенная сила Р приложена в точке х = хр, у = ур . Решение получено предельным переходом. Предполагается, что ранее рассмотренная локальная поверхностная нагрузка %(х, у) действует в некой малой окрестности точки (хр; ур) с размерами £ х, £ у. Тогда выражение для нагрузки принимает вид:

%(^ У) = %0 [ Н ( хр + £ х - х ) - Н ( хр - £ х - х )

^н (Ур + £У - У)- н (Ур -£У - У)]. (14)

Равнодействующая этой нагрузки:

Р = 4%о £ х£ у (15)

После подстановки (15) в (14) и устремления £ х, £ У к нулю выражение для коэффициентов (13) разложения нагрузки в ряд примет следующий вид:

х

X

4Р .

Чтп = ^ ^

X у

птх.

с \

Б1П

V х у

ППУр

(16)

V У У

Ход дальнейшего решения задачи аналогичен вышеприведенному для локально распределенной нагрузки.

Сосредоточенный момент Му, вектор которого сонаправлен с осью оу,

действует в точке х = хМ, у = уМ. Считается, что он образован парой противоположно направленных сосредоточенных сил Р, равных по величине и действующих в окрестности точки (хМ; уМ), разнесенных на бесконечно малое расстояние вдоль оси ох.

В результате предельного перехода с использованием (16) и учетом того, что Му = 2ЪР, выражения для коэффициентов дпш принимают вид:

Чп

АМутп

VI

х у

ооб

тпх

'М

Б1И

\ х у

ппу

М

V у У

3. Численные результаты

Получены для трёхслойной квадратной ортотропной пластины, пакет которой следующий: несущие слои - высокопрочные углеродные волокна на эпоксидном связующем; заполнитель - политетрафторэтилен. Механические характеристики используемых материалов приведены в табл. 1. Толщины слоёв: к1 = 0,03, И2 = 0,03, с = 0,1 м, линейные размеры 1Х = I = 1 м.

Таблица 1. Механические характеристики используемых материалов

Высокопрочные

Пара- углеродные волокна на Политетрафто-

метры эпоксидном рэтилен

связующем

Ех, МПа 1,265 105 268,29

Е , МПа У' 0,105105 268,29

Е2, МПа 268,29

О , МПа ху' 0,562-104 90

ОУ2, МПа 90

О2Х, МПа 90

0,27 0,49

V ух 0,02 0,49

Численное исследование сходимости рядов (9) показало, что при их суммировании достаточно удерживать 20 первых слагаемых. Добавление еще 80 слагаемых изменяет результат менее чем на 0,1 %. Дальнейшее увеличение количества членов ряда не влияет на величину перемещений.

На рис. 2, показаны перемещения при действии локальных нагрузок с одинаковой равнодействующей: 1 - поверхностная нагрузка с интенсивностью %0 = 0,1 МПа, равномерно распределенная по всей внешней поверхности слоя 1 пластины; 2 -%0 = 0,4 МПа, равномерно распределена по площадке х е[0,25; 0,75], у е[0.25; 0,75]; 3 - сосредоточенная силаР = 100 кН, действующая в середине пластины. Здесь и далее сплошными линиями показаны перемещения м, уу вдоль оси у при х = 0,5, пунктирными - перемещения м, ух

вдоль оси х при у = 0,5 ; а - прогиб; б - относительный сдвиг в заполнителе

о

-0.0025 -0.005 -0.0075 -0.01

V Л.

XV. \ 1 А /у /'/ У/' л' /// у / '/ /

\\ к \ \ ^ \\ \\ ^^2„ У// // / / / / / /

\\ \\ N / / / / /

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х(у) 1.0

0.04 Ф

0.02

-0.02

(б)

/ У / / / >1^

____ у»" / / ► /

----

-0.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х(у) 1.0

Рис. 2. Перемещения в пластине при действии нагрузок с одинаковой равнодействующей

Т Г о о о

Как видно из рис. 2, при одинаковой равнодействующей перемещения больше от нагрузок стянутых к центру пластины. Различия в величине перемещений вдоль разных осей объясняется ортотропностью материалов несущих слоев. На рис. 3 показаны напряжения а^ - а, о^ - б при действии различных

нагрузок с одинаковой равнодействующей. Обозначения, как и на рис. 2. Масштаб для кривых 1 и 2 на рис. 3 б увеличен в 10 раз. Переход от равномерно распределенной нагрузки к сосредоточенной силе вызывает увеличение напряжений в несущих слоях примерно в 9 раз, в заполнителе - в 33 раза.

а 3 • ю-7

1 1

7 у

/ 3

X гт<3> •10"6

/

3 гт(2) • ю-7

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Рис. 3. Напряжения в пластине при действии нагрузок с одинаковой равнодействующей

На рис. 4 показаны перемещения при действии сосредоточенной силы Р = 100 кН в различных точках поверхности пластины: 1 - хр = ур = 0,125; 2 -

Хр = Ур = 0,25; 3 - Хр = Ур = 0,375.

о

уу

-0.0025

-0.005

-0.0075

-0.01

^ / у / / /

2 / 4 / / / / / / / / /

\ Ч ч \ ч \ ч \ ч 3/ / У У У

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х(у) 1.0

0.015

-0.0075

-0.015

(б)

1 Уу

_______

О 0.2 0.4 0.6 0.8 Му) 1.0

Рис. 4. Перемещения в пластине при действии сосредоточенной силы

Здесь также при продвижении нагрузки к центру пластины перемещения возрастают.

На рис. 5 показаны перемещения в пластине при действии сосредоточенного момента Му = 40 кНм в различных точках поверхности пластины: 1 - в центре пластины (хт = ут = 0,5); 2 - в точке хт = ут = 0,25, перемещения вдоль линий, проходящих через центр пластины; 3 - в точке хт = ут = 0,25, перемещения вдоль линий, проходящих через точку приложения нагрузки, точечные кривые м, у у при х = хт, штрихпунктирные - м, у х при у = ут. При действии момента в центре пластины, перемещения возникают только вдоль оси х; эксцентриситет нагрузки вызывает перемещения вдоль обеих осей.

0.003

0.0015

-0.0015

-0.003

0.015

0.0075

-0.0075

-0.015

(а)

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х(у) 1.

(б)

-------

| 11 * ..............

................

0.2

0.4

0.6 0.8 4у) 1.0

Рис. 5. Перемещения в пластине при действии сосредоточенного момента

Выводы

Приведенный метод расчета прямоугольных трехслойных ортотропных пластин позволяет получать достаточно точные для инженерной практики параметры напряженно-деформированного состояния. Ортотропность материалов несущих слоев существенно влияет на перемещения и напряжения в пластине.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-49-00091).

Библиографический список

1. Тамуров Н. Г. Некоторые задачи изгиба прямоугольных трехслойных ор-тотропных пластин. - Днепропетровск, Изд-во ДГУ, 1959. - 18 с.

2. Jeon J. S., Hong C. S. Bending of tapered anisotropic sandwich plates with arbitrary edge conditions, AIAA Journal. 1992. no 7. рр. 1762-1769.

3. Katori H., Nishimura T. Shear deflection of anisotropic plate // Нихон кикай гаккай ромбунсю. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1992. no 545. pp. 133-139.

4. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. - М.: Наука, 1989. - 373 с.

5. Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 380 с.

6. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Yarovaya A.V. Vibration of circular sandwich plates under resonance loads // International Applied Mechanics. - 2003. - Т. 39. no. 12. pp. 1458-1463.

7. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Колебания трехслойных стержней под действием локальных нагрузок различных форм // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 45-52.

8. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование круговой трехслойной пластины на упругом основании // Экологический

вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2005. № 1. - С. 16-22.

9. Вестяк В.А., Земсков А.В., Федотенков Г.В. Слабо неравномерный нагрев неограниченной слоистой пластины // Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 6. С. 152 - 158.

10. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В., Сулейман М. Термоупругий изгиб кольцевой трехслойной пластины на упругом основании // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 55-62.

11. Леоненко Д.В. Колебания трехслойного стержня под действием импульсных нагрузок различных форм // Материалы, технологии, инструменты. 2004. Т. 9. № 2. С. 23-27.

12. Леоненко Д.В. Радиальные собственные колебания упругих трехслойных цилиндрических оболочек // Механика машин, механизмов и материалов. 2010. № 3 (12). С. 53-56.

13. Леоненко Д.В. Вынужденные колебания трехслойного стержня ВЫНУ на упругом безинерционном основании // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2007. № 3. С. 70-74.