Изгиб упругой трехслойной прямоугольной пластины со сжимаемым заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/15-52 Ссылка для цитирования этой статьи:

Зеленая А.С., Изгиб упругой трехслойной прямоугольной пластины со сжимаемым заполнителем // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №3_

УДК 539.3

ИЗГИБ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Зеленая А.С.

Белорусский государственный университет транспорта, Беларусь, Гомель,

lady-nastia@mail.ru

BENDING OF ELASTIC THREE-LAYER RECTANGULAR PLATE WITH COMPRESSIBLE FILLER

Zelenaya A.S.

Belarusian State University of Transport, Belarus, Gomel, lady-nastia@mail.ru

Аннотация. Исследован изгиб несимметричных по толщине упругих трехслойных пластин со сжимаемым заполнителем. Кинематические гипотезы основаны на гипотезе ломаной линии: для внешних слоев принимаются гипотезы Кирхгофа, в жестком сжимаемом заполнителе деформированная нормаль остается прямолинейной. Равномерно распределенная нагрузка приложена к внешней поверхности первого несущего слоя. Получена система уравнений равновесия и ее аналитическое решение в перемещениях. Проведен численный анализ решения.

Ключевые слова: трехслойная прямоугольная пластина, сжимаемый заполнитель, несимметричная по толщине пластина.

Abstract. The bending of the elastic three-layered plates with the compressible filler is asymmetric in thickness. Kinematic hypotheses are based on the hypothesis of a broken line: Kirchhoffs hypotheses are accepted for the outer layers, in the rigid compressible filler the deformed normal remains rectilinear. A uniformly distributed load is applied to the outer surface of the first carrier layer. A system of equilibrium equations and its analytical solution in displacements are obtained. Numerical analysis of solutions is carried out.

Keywords: three-layer rectangular plate, compressible filler, asymmetrical in thickness

plate.

В условиях деформации изгиба трехслойные конструкции, которые состоят из двух несущих слоев и сжимаемого заполнителя, оказываются наиболее рациональными, то есть близкими к оптимальным с точки зрения

обеспечения минимума весовых показателей при заданных ограничениях на прочность и жесткость.

В монографии [1] исследовано статическое и динамическое деформирование трехслойных конструкций, связанных с упругим основанием. Статьи [2-4] посвящены исследованию трехслойных прямоугольных и трехслойных круговых пластин. Работы [5-6] посвящены изучению статического и динамического деформирования многослойных конструкций. Изгиб и колебания трехслойного стержня рассмотрены в работах [7-11]. В статье [12] исследованы радиальные колебания трехслойной цилиндрической оболочки со сжимаемым заполнителем. В работе [13] рассматривается осесимметричная задача о гидроупругих колебаниях стенок канала с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости. Статья [14] посвящена исследованию гидродинамической реакции тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, сдавливаемого непроницаемыми стенками. В статьях [15-16] исследована задача гидроупругости применительно к трехслойным элементам конструкций. В монографии [17] исследованы математические вопросы гидроупругости трехслойных элементов конструкций.

Постановка задачи. Рассмотрим трехслойную пластину со сжимаемым заполнителем, которая представлена на рис. 1. Систему координат х, у, г свяжем со срединной плоскостью заполнителя. Принимаем, что для изотропных несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгофа. В жестком заполнителе применим точные соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией перемещений его точек от поперечной координаты г. Учитываем, что на границах контакта перемещения непрерывны. Материалы несущих слоев несжимаемы в поперечном и продольном направлении, в заполнителе учитывается обжатие. Деформации малые.

На внешнюю поверхность первого несущего слоя действует произвольная распределённая нагрузка, проекции которой на координатные оси: q(х,у),рх(х,у), ру(х,у). За искомые функции принимаем продольные

перемещения их (х, у), ыку (х, у) и прогибы wk (х, у) срединных поверхностей

несущих слоев ^ = 1,2), после этого находим деформации в слоях.

С помощью введенных гипотез продольные перемещения и(k)(х, у, 2) и прогибы w(k)(х,у,2) в слоях выражаются через искомые функции и1х(х,у), и1 у (х, у), и2 х (х, у), и2 у (х, у), w1( х, у), w2( х, у) следующими соотношениями (k = 1,2,3):

• в несущих слоях (с < г < с + h1)

их(1) = и1х

г - с--

иу(1) = и1 у

w(2) = W2 (-с - к < г <-с ), иу^ = и2у -

v 2

wl,x , w(1) = Wl;

hl

г - с —1 2 у

^у , их{2) = и2х

(2)

К,

г + с + — 2

к2

г + с + — 2

w.

2х

w.

2у

и

(3) _

1+г

«Г =

в заполнителе (-с < г < с)

к 4

1+г

с уч

1

1

2 и1х +~г х

л гл г V 1 1--

К

—и, + — w1

+

у ч

Л с +

с /V 2 1у 4 иу /V с ,, сУч2 4 У V суч

1 - г

с у ч

1

—и 2

2х

к. 4

к

w.

2х

- и2 у - — W2, у

w(3) =

'1 + г4

w1 +

'1 - гЛ

w0

(1)

ч с у 2ч с у

где г - расстояние от рассматриваемого волокна до срединной линии заполнителя.

Компоненты тензора деформаций следуют из соотношения Коши [18, с. 22], напряжения - из закона Гука. Внутренние силы и моменты, отнесенные к единице длины, вводятся соотношениями:

^ = КМг, М« = , Ы*> dг, муу> = К>гdг,

<) ^хУ-й-, 0_у!к) = R>d-, МП' = К>аг, ЫхЗ'й-,

муз = /О$3>2ёг, Qx2(3) = К(ёг, Qy.

(3) _ Г„(3)

(2)

где а^, - компоненты тензора напряжений; интегралы берутся по

толщине ^го слоя.

к

К

к

к

k

k

k

k

к

к

к

к

k

k

3

3

к

к

к

3

3

3

Для связи тензоров напряжений и деформаций в слоях рассматриваемой пластины используем соотношение закона Гука в девиаторно-шаровой форме:

s(k) = а(к) = 3^ (/, ] = у, 7, к = 1,2,3), (3)

где - Gk сдвиговой модуль упругости материалов, э(к) - компоненты девиатора

тензора деформаций, Кк - объемный модуль упругости материалов, е(к) -

шаровая часть тензора деформаций.

Компоненты тензора напряжений записываются в виде: при к=1, 2:

= К+вк + к;8<у>, аук? = КХ? + К;в®, < = 2G к в„.

Для третьего слоя

03)=к+^х+К3:в(у+К:в2>, ауу=^уу+к^+к^» ,

о£> = К3+4? + + К::Еу,>, о® = 20 3, о® = 2G:^, (4)

где К+ = К„+1 Gk, К- = К-А Gk.

Используя вариационный принцип Лагранжа, получим уравнения равновесия рассматриваемой трехслойной пластины

ЪА = ЪЖ, (5)

где ЪА, ЪЖ - вариации работы внешней и внутренней сил. Вариация работы внешней поверхностной нагрузки

ЪА = Я (Рх (Ъи1х - ^ ,х ) + Ру (Ъи1 у - ^ 5W1,у ) + Х ё У . (6)

S

Вариация работы внутренних сил упругости

= Ц

Ё I+ <>88(к> + 2оХУ)88<У»)<!*

+

к=1 кк

+21 + <£>&£> + а>0>) а х а у. (7)

к:

Подставив (5), (6) в (7) была получена система шести дифференциальных уравнений равновесия пластины в усилиях. Из нее, с помощью соотношений (1), (3) и (4), внутренние усилия и моменты (2) выражаем через функции и1х,

и2х, и1 у, и2у, w1 , . В результате получим систему дифференциальных

уравнений, описывающих перемещения в упругой трехслойной пластине со сжимаемым заполнителем:

а1и1х : а1и2х : а4и1х ,хх -а5и2х,хх -°19и1х,уу ~а18и2х,уу -°21и1у ,ху ~а23и2у ,ху +

+а2^х + а3^х -2а24^1,хуу + а25^2,хуу -2абЩхх +а7^ххх = Рх , х + а1и2х - а5и1х,хх -а9и2х ,хх -а18и1х ,уу -а20и2х,уу -а23и1у ,ху ~а22и2: :аl0W1,х -а17,х -а24^хуу +2а25^хуу -а6^ххх +2а7^ххх = 0 ,

S

а1и1 у а1и2у а4и1у ,уу а5и2у,уу а19и1у ,хх а18и2у ,хх °21и1х,ху °23и2х ,ху + + а2у +aзW2,у -2а24W1 хху +a25W2 хху -2а№ууу +а7 W2,ууу = Ру ,

а1и1у + а1и2у а5и1 у,уу а9и2у,уу а18и1у ,хх а20и2у ,хх а23и1х ,ху а22и2х,ху -а10W1,у - а17^у -а24W1,хху +2а25^хху -абW1,ууу +2а7^ууу = 0 ,

-а2и1х ,х -а2и1 у ,у +а10и2х ,х +а10и2у ,у +2аби1х ,ххх +аби2х ,ххх +2аби1 у ,ууу + + аби2 у, ууу +2а24и1х, хуу +а24и2 х ,хуу +2а24и1у ,хху + а24и2у ,хху + а11^,хх +

11 1 уу 12 2 хх 12 2 уу 15 1 хххх 15 1 уууу 16 2 хххх

-а16^уууу + а26wl,ххуу -а28^ххуу +а8W1 - а8^ = Ч +

Рх ,хк1 , ру ,ук1

2

■ +

2

а3и1у , у а3и1х , х +а17и2 у , у +а17и2 х , х а7и1у , ууу а7и1х ,ххх 2а7и2 у , ууу' 2а7и2х,ххх -2а27и2у ,хху -а25и1у,хху -2а25и2х ,хуу -а25и1х,хуу -а12хх

а12W1,уу +а14^хх +а14W2,уу -а16W1,xxxx -al6W1,yyyy +al3W2,xxxx + + а13^уууу -а28W1,ххуу + а27W2,xxyy -a8W1 + ^2 = 0,

(8)

где а1 (i = 1,...,28) - коэффициенты, выражающиеся через объемный Кк и сдвиговой Gk модули упругости материалов, и геометрические параметры

слоев пластины:

=

а^ — ; ао

1 2с 2

53 2

1+V

2с

К-

2

а

5 2

1 к2 1 + —

, 2с у

+ ■

К-

2

а4 = К1 к1 +

2К3+с 3

а5 =

а8 =

К+.

2с '

а9 = К2 к2 +

К+с .

3 ' 2 К+с

аб =

а10 ='

К3+ск1 . а = К3+ск2 .

_6 о3

а7 =

6

2

1 +

v

2с

+ •

К

3

2

К3 к 53с (л к а11 --1 + —^

22

Г и \

2с

а

К-(К + н2), а3с г , к,

12

4

+ ■

2

1 + ^ ч 2с

V у

^ к2Л 1 + —

6

у

ч

2с

у

6

а13 =

к2+к3 + К+ск2

12

6

а14 = '

К3 к2 53с

/

3

2 2 ч К3+ ск2к1

а1б =

1 к2л2 1 + —

2с у

.

6 ;

а15 =

К+к3 + К+ск1 .

12

6

12

а17 =

53 2

к

К

1 + ^ |-2с у 2

а18 =

; а19 = к1 + -3 с ; а20 = к2 + | с ;

2 - 2 - 2 - 2 -

а21 = в1 к1 + 3 в3 с + К1 к1 + 3 К3 с ; а22 = к2 + 3 в3 с + К2 к2 + 3 К3 с ;

3

G3 c K3c G3 ch3 K3 ch3 G3 ch2 K3ch1

a23 = ^ + z~; a24 = z + 7 ; a25 = z + 7 ;

3 3 3 6 3 6

a = K-h3 , K3-ch,1 G, h IG3 ch,1 ;

a16 =--1------,

16 6 3 3 3

_ -5 _ ^y -л _

K2 h K3 ch1 G2 hz 1G3 ch1 G3 ch3h1 ^ K3 ch3h2

a27 = 7 + I + I + I ; a28 =' '

6 3 3 3 ^3 6

Краевая задача (8) об изгибе пластины замыкается добавлением граничных условий.

Решение краевой задачи в перемещениях. Решение будем искать методом Бубнова-Галеркина. Для этого искомые перемещения представляем в виде разложения в двойные тригонометрические ряды, которые автоматически удовлетворяют граничным условиям

ппх . пту ^ ппх . пту

u3x = X U3xmn COS-sin^, u2x = X U1 xmn COS-sin

3x ^ 3xmn 0111 , ' И1 x ^ 1 xmn

1 ^ 1 x 1 xmn 1

a b n m=n a b

n,m=0 a b n,m=0

^ TT . nnx nmy rT . nnx nmy

U3y = X U3ymn Sin-' U1y = X U1 ymn Sin-^OS

m,n=0 a b m,n=0 a

^ TTr . nnx . nmy ® . nnx . nmy W3 = X W3mn Sin-^ = X W1mn Sin-^"T"' (9)

n,m=0 a 0 n,m=0 a 0

ГДе U3xmn , U1 xmn , U3ymn , U1 ymn , W3mn , W1mn - искомые амплитУДы перемещений

прямоугольной трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем.

Положим продольную нагрузку px = 0, py = 0. Поперечную нагрузку q

представим в виде разложения в двойной тригонометрический ряд:

^ . nnx . nmy 4 "Л , ч . nnx . nmy , , q =X qmn Sin-sin ——, qmn = —JJ q(x,y)sin-srn—— dxdy. (30)

n,m=0 a o ab 0 0 a b

После подстановки перемещений (9) и нагрузки (30) в систему уравнений равновесия (8) и необходимых преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений для определения искомых амплитуд перемещений

U3xmn , U1 xmn , U3ymn , U1 ymn , ^lmn , ^1mn :

03U3xmn + 01U1 xmn + 033U3ymn + 031U1ymn + 03W3mn + 04W1 mn = 0 , b1!U3xmn + 05U1 xmn + 031U3ymn + 033U1ymn + 06W3mn + 07W1 mn = 0 , 3 3U3xmn + 031U1 xmn + 034U3 ymn + 035U1 ymn + 036W3mn + 037W1 mn = 0 , 031U3xmn + 033U1 xmn + 035U3ymn + 038U1 ymn + 039W3mn + ^^mn = 0 , 03U3xmn + 06U1 xmn + 0J6U3ymn + 039U1ymn + 08W3mn + 09W1 mn = qmn , 04U3xmn + 07U1 xmn + 0J7U3ymn + 010U1ymn + 09W3mn + ^^mn = 0 ,

где коэффициенты bt выражаются через величины at и зависят от параметров m и n.

го

Таким образом, получено решение краевой задачи об изгибе прямоугольной упругой трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем.

Численный параметрический анализ. Принимается, что пакет трехслойной пластины составлен из материалов Д16Т-фторопласт-Д16Т, толщины слоев к =0,04 м, /г, = 0,02 м, /73=0,2м. Механические характеристики материалов взяты в монографии [18, с. 64, 75]. Нагрузка равномерно распределена по всей поверхности пластины интенсивностью ¿7 = -2МПа, размеры пластины а = 1м, Ь = 1м. При суммировании рядов (9) принималось 50 членов ряда.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 X, м 1,0

и1], м

-0,002

-0,004

-0,006

-0,008

Рис.2.

Рис.2 иллюстрируют изменение прогибов и продольных перемещений в слоях пластины вдоль оси х (а = 1 м, Ь = 1 м, у = 0,5Ь) с относительными толщинами несущих слоев - /1 = 0,04 м, / = 0,02 м при различных толщинах заполнителя. Кривые соответствуют следующим значениям 1 - / = 0,04 м, 2 -/ = 0,07 м, 3 - / = 0,1 м.

Очевидно, что увеличение толщины заполнителя приводит к уменьшению прогибов первого несущего слоя, что подтверждает рис.2.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 х. м 1,0

\\>\, м

-0,0008

-0,0016

-0,0024

-0,0032

///

\\\ \\ \ 3 /7

\ X \ \ 2 \ 1

\ //

\\ \\ \ / /7 // / / / 7

ч \ \ 4 3 ./ / /

\ \ 2

Рис.3.

На рис.3 показано изменение прогиба первого слоя вдоль оси х при

различных значениях у. Относительные толщины слоев - /?, =0,01, И0 =0,04,

/73=0,2м. Размеры пластины а = 1м, Ь = 1м. Кривые соответствуют

Ъ Ъ ЪЪ

следующим сечениям: 7 - у = — , 2 - У = у = — .Из графика видно, что

максимальное значение прогиба достигается в сечении у = 0,5Ь .

0 0.4 0,8 1,2 1,6 х, м 2,0

Vfi, м

-0,008

-0,016

-0,024

-0,032

V \\ л ч 1 // // У /'

\ 4 ч\ ^ \\ \ 2 / f // // *

\\ \Х ч.. — 'х. 3 / У / // ^ у ■Кл. /

Рис.4.

На рис.4 показано изменение прогибов первого слоя w1 вдоль оси x (a =

2 м, y = 0,5b) при различных размерах длины пластины b: 1 - b = 1 м, 2 - b = 2м,

3 - b = 4м, 4 - b = 6м, 5 - b = 10м. Относительные толщины слоев - h1 = 0,01,

h2 = 0,04, h = 0,2м.

При увеличении длины пластины b с 1 м до 2м максимальный прогиб увеличивается на 61%, при увеличении длины пластины b с 2 м до 4 м - на 29%, при увеличении длины пластины с 4 м до 6 м величина прогиба увеличивается на 11,2%. Отличие максимальных прогибов на кривой 5 (b = 10 м) от кривой 4 (b = 6 м) составляет менее 1%.

Дальнейшее увеличение размера b не приводит к количественному изменению прогибов в центре пластины, изгиб пластины близок к цилиндрическому.

Литература

1. Плескачевский Ю.М., Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Механика трехслойных стержней и пластин, связанных с упругим основанием. М.: Физмалит, 2011. 560 с.

2. Старовойтов Э.И., Доровская Е.П. Изгиб прямоугольной трехслойной пластины на упругом основании // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2006. №3. С. 21-28.

3. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Деформирование трехслойной круговой пластины на упругом основании //

Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 16-22.

4. Starovoitov E.I., Yarovaya A.V., Leonenko D. V. Vibrations of round three-layer plates under the action of various types of surface loads // Strength of materials. 2003. Vol. 35. № 4. P. 346-352.

5. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

6. Новичков Ю.Н. О различных моделях описания деформирования многослойных конструкций. // Тр. МЭИ. 1980. №459. С. 40-47.

7. Starovoitov E.I., Leonenko D.V., Yarovaya A.V. Elastoplastic bending of a sandwich bar on an elastic foundation // International Applied Mechanics. 2007. Vol. 43. №. 4. P. 451-459.

8. Starovoitov E.I., Leonenko D.V. Deformation of a three-layer elastoplastic beam on an elastic foundation // Mechanics of Solids. 2011. Vol. 46. № 2. P. 291-298.

9. Леоненко Д.В. Колебания трехслойного стержня под действием импульсных нагрузок различных форм // Материалы, технологии, инструменты. 2004. Т. 9. № 2. С. 23-27.

10. Kubenko V.D., Pleskachevskii Yu.M., Starovoitov E.I., Leonenko D.V. Natural vibration of a sandwich beam on an elastic foundation // International applied mechanics. 2006. Vol. 42. № 5. P. 541-547.

11. Леоненко Д.В. Вынужденные колебания трехслойного стержня на упругом безынерционном основании // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2007. № 3. С. 70-74.

12. Леоненко Д.В. Радиальные собственные колебания упругих трехслойных цилиндрических оболочек // Механика машин, механизмов и материалов. 2010. №3(12). С. 53-56.

13. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

14. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 5. С. 114-123.

15. Могилевич Л.И., Попов В.С., Старовойтов Э.И. Гидроупругость виброопоры с трехслойной круглой упругой пластиной с несжимаемым заполнителем // Наука и техника транспорта. 2006. № 2. С. 56-63.

16. Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Christoforova A. V., Popova E. V. Mathematical modeling of three-layer beam hydroelastic oscillations // Vibroengineering PROCEDIA, Vol. 12, 2017, p. 12-18.

17. Могилевич Л.И., Попов В.С., Христофорова А.В. Математические вопросы гидроупругости трехслойных элементов конструкций. Саратов: Изд-во КУБиК, 2012. 123 с.

18. Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки. Гомель: БелГУТ, 2002. 343 с.