ДЕФОРМИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, ВЫПОЛНЕННОЙ ИЗ МАТЕРИАЛА С ДВОЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Трещёв Александр Анатольевич; Теличко Виктор Григорьевич; Селезнев Илья Романович

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

Научная статья УДК 539.3

ГРНТИ: 30.19.17: Оболочки; 67 Строительство и архитектура

ВАК: 1.1.8. Механика деформируемого твёрдого тела; 2.1.9. Строительная механика Б01 10.51608/26867818_2023_4_125

ДЕФОРМИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, ВЫПОЛНЕННОЙ ИЗ МАТЕРИАЛА С ДВОЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

ТРЕЩЁВ Александр Анатольевич

член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

Российская академия архитектуры и строительных наук; Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: taa58@yandex.ru)

SPIN: 2755-2105 ТЕЛИЧКО Виктор Григорьевич

кандидат технических наук, доцент Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: katranv@yandex. ru)

SPIN: 4577-7670 СЕЛЕЗНЕВ Илья Романович

аспирант

Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: il.seleznov@yandex.ru)

Аннотация. Рассматривается тонкая пологая сферическая оболочка с центральным отверстием, выполненная из материалов с двойной анизотропией, покоящаяся на упругом «винклеровом» основании. В рамках формализма Кармана, применяя гипотезы Киргхофа-Лява, с учетом уравнений состояния через потенциал деформаций в нормированном тензорном пространстве напряжений, построена математическая модель деформирования оболочки. Структурная анизотропия ограничена классом ортотропных материалов. Потенциал деформаций ограничен квазиквадратичным разложением для данного класса анизотропии. В рамках апробации разработанной математической модели и ее программной реализации решена осесимметричная задача теории упругости, описывающая напряжённо-деформированное состояние оболочки, покоящейся на упругом основании, с центральным отверстием, выполненной из ортотропного разносопротивляющегося материала. Оболочка нагружена внешним давлением в предположении малых прогибов. На основе полученных данных построены графики напряжений, прогибов и горизонтальных перемещений. Полученные результаты сравнены с результатами для теории с усреднёнными механическими характеристиками. Сделаны выводы об эффективности использования усовершенствованных соотношений.

Ключевые слова: тонкая оболочка; ортотропия; разносопротивляемость; усложненные свойства материала; упругое основание; строительная механика; осесимметричная задача; метод конечных разностей; малые прогибы оболочки

Для цитирования: Трещёв А.А., Теличко В.Г., Селезнев И.Р. Деформирование сферической оболочки на упругом основании, выполненной из материала с двойной анизотропией // Эксперт: теория и практика. 2023. № 4 (23). С. 125-132. 10.51608/26867818_2023_4_125

DEFORMATION OF A SPHERICAL SHELL

ON AN ELASTIC FOUNDATION MADE OF A DOUBLE ANISOTROPIC MATERIAL

Corresponding Member of RAACS, Dr. of Technical, Prof., Head of the Department

Russian Academy of Architecture and Construction Sciences;

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: taa58@yandex.ru)

Original article

TELICHKO Victor Grigorievich

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: katranv@yandex.ru)

SELEZNEV Ilya Romanovich

PhD Candidate

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: katranv@yandex.ru)

Abstract. The article considers a thin-walled spherical shell with a central hole made of materials with double anisotropy, resting on an elastic "Winkler" foundation. Within the framework of the Kirchhoff-Love hypothesis and using the Karman formalism, a mathematical model of the shell deformation is constructed, taking into account the equations of state through the strain potential in the normalized tensor space of stresses. The structural anisotropy is limited to the class of orthotopic materials, and the strain potential is limited to quasi-quadratic expansion for this class of anisotropy. An axisymmetric problem of elasticity theory has been solved using the developed mathematical model and its software implementation, describing the stress-strain state of the shell with a central hole made of orthotropic materials with different resistances, resting on an elastic foundation, and subjected to external pressure assuming small deflections. Based on the obtained data, graphs of stresses, deflections, and horizontal displacements are constructed. The results are compared with those obtained using the theory of averaged mechanical characteristics. Conclusions have been drawn about the effectiveness of using improved relationships based on the analysis of the obtained results. Keywords: thin shell; orthotropy; resistance variability; complex material properties; elastic foundation; axisymmetric problem; finite difference method; small deflections of the shell

For citation: Treshchev A.A., Telichko V.Gr., Seleznev I.R. Deformation of a spherical shell on an elastic founda-tion made of a double anisotropic material // Expert: theory and practice. 2023. № 4 (23). Рр. 125-132. (InRuss.). doi 10.51608/26867818 2023 4 125

Введение

В настоящее время, когда промышленность и строительство стремительно развиваются, а человечество живет в условиях ограниченности ресурсов, возникает потребность в применении наименее материалоемких конструкций, при этом обеспечивающих требуемые прочностные и жесткостные характеристики. Благодаря этому, сегодня популярно применение в качестве конструкционных материалов полимеров и композитов, обладающих структурной

анизотропией. На практике наиболее часто встречаются материалы с анизотропией класса ортотропии.

Также современные композитные материалы обладают более высокими прочностным характеристиками при усложнении их структуры,

что приводит к зависимости этих характеристик от реализуемого напряженного состояния. Это в большинстве случаев не вписывается в представления классических теорий

деформирования и вопрос построения новых моделей весьма актуален [1-2].

Кроме того, работа многих ответственных строительных конструкций реализуется совместно с упругим основанием (фундаменты зданий и сооружений, трубопроводы на грунтовом основании, железнодорожные пути и др.). Согласно актуальным нормам проектирования оснований зданий и сооружений СП 22.13330.2016, сооружение и основание следует рассматривать в единстве, т.е. учитывать их взаимодействие. Игнорирование податливости основания может привести к существенному различию результатов расчёта и

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

реального напряженно-деформированного состояния конструкций, а в некоторых случаях и к возникновению аварийных ситуаций [3-5].

Таким образом, исследование напряженно-деформированного состояния конструкций со структурной и деформационной анизотропией, взаимодействующих с упругим основанием, а также построение новых, пригодных для решения прикладных инженерных задач расчётных моделей таких конструкций, является важной задачей современной механики. В данной работе построена модель и решена тестовая задача о взаимодействии оболочки с упругим основанием. Результаты, полученные на основе этой модели, показывают эффективность использования

усовершенствованных определяющих соотношений для ортотропных разносопротивляющихся материалов.

Система разрешающих уравнений

В представленной работе рассматривается напряженно-деформированное состояние пологой сферической оболочки с центральным отверстием, покоящейся на упругом основании (рис. 1). Главные радиусы кривизны ее срединной поверхности в пределах плана постоянны, геометрия срединной поверхности оболочки отождествляется с геометрией на плоскости. Главные кривизны оболочки равны к1 = к2 = к = 1/Я [6].

Оболочка принята достаточно тонкой, чтобы использовать традиционные для подобных задач гипотезы Кирхогфа-Лява:

1) нормаль к срединной поверхности после деформации остается перпендикулярной к этой поверхности в деформированном состоянии;

2) при определении параметров напряженного

состояния влиянием нормальных напряжений О

можно пренебречь, где 2 - ось, перпендикулярная плану оболочки.

\ ! / \ I /'

о\/

Рис. 1. Схема оболочки

Срединная поверхность оболочки является частью

сферы, характеризуемой радиусом кривизны К (м). В центре оболочки присутствует отверстие радиусом

Г (м). Оболочка загружена равномерно

распределенной поперечной нагрузкой р (МПа).

Согласно теории пологих оболочек, кинематические соотношения для рассматриваемой оболочки формулируются следующим образом:

а) компоненты деформации в срединной поверхности приняты согласно теории Т. Кармана [7]:

7 и 1

ег = иг - км; ев = — - км (1)

г

где , £д - удлинения; и, W - радиальные

перемещения и прогибы; к - главная кривизна оболочки; Г - радиальная координата;

б) компоненты изгибной деформации:

Xr w,rr ; Св

■г .

; (2)

в) компоненты тензора деформаций выражаются через параметры деформации £, £ и кривизны сг, С в срединной поверхности:

^ = е + ; е = ев + с (3)

где 2 - вертикальная координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки.

Подставляя в уравнения (3) соотношения (1) и (2), получим выражения компонентов тензора деформаций через перемещения и прогибы:

^ = u,r -kw - zw,rr ;

u

eq = — - kw-

r

w

'r

(4)

В качестве физических зависимостей использованы определяющие уравнения

деформирования материалов с двойной анизотропией, основанные на экспериментальных данных по деформированию анизотропных разносопротивляющихся сред, построенные в нормированном пространстве тензора напряжений и предложенные в работе [8]:

При совпадении осей сферической системы координат с главными осями анизотропии и с учётом принятых гипотез физические зависимости записываются в виде:

е = Киаг + К„аЙ

(5)

ес

-в

K2\Sr + K22Se

Геометрические параметры оболочки обозначены следующим образом: радиус контура в

плане а (м); стрела подъема f (м); толщина Н (м).

Г

(6)

где

Ки = (4Ш + Вииаг) + 0,5 Вииаг (1 — а2)

—В2222ав + В1122ав (1 — аг — агав ); К-12 — К 21 — АЦ22 + В1122(аг + ав)-> К22 _ (^2222 + В2222ав ) +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+0,5 [В2222°Ч? (1 -а1)- ВШ1а3г ] +

+В1122^г (1 -а1 -агав)-

где Аккк , Вкккк , А] , ВЩ - константы

потенциала, зависящие от модулей упругости и коэффициентов поперечной деформации материала при растяжении и сжатии; аг = &г/$, ав = ав/Б -

нормированные напряжения; ^ = ^+ ^ - модуль

вектора полных напряжений.

Значения констант потенциала

Аккк, Вкккк, Аш > Вщ} выражаюгся через

технические характеристики следующим образом [8]:

4* = (1 К +1 Е- V2;

Вкккк =(1 Е+ +1 Е- )/2; (7)

4, =-( VIЕ) )/2; =-( -VIе- )/2

Преобразуем физические зависимости (5):

S = Ciier + Ci2ee'; Se = C12er + C22e6 ;

(8)

(9)

где С = К22/А; С12 = -К12/А; С22 = -Ки/А;

А = КиК22 -К122.

Выражения для усилий и моментов через напряжения:

к/2 к/2 N = | ст.йг; ТЯе = | -к/2 - к/ 2 к/2 к/2 Мг = | Мд = |

-к/2 -к/2 Подставляя напряжения (8) в выражения усилий (9) и учитывая компоненты тензора деформаций (4), запишем внутренние усилия через перемещения:

+(urDu - w,r Fl2 )/г ; Nq = -wrkD22 - w,rr F2 - kwrDX2 + urDX2 +

+ (UrD22 - W,r F22 )/Г ; rrPU kWrFH -kWrF!2

+ (UrFi2 - W,rPl2 )/Г ;

kF22 W,rr P12 -kWrFU + (UrF22 - W,rP22 )/Г ;

Mr =-W,rP 1 -kWrF 1 -kWrFl 2 + UrF1 1 +

M g = WrkF22 - W,rr P12 - kWrF12 + UrF12 +

(10)

где Dj = JCjdz; F1J= JQz^; p = Jj2dz.

Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, мы не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы. Поэтому остаются справедливыми положения и зависимости теории анизотропных оболочек [9]. Внутренние усилия и моменты приводятся к срединной поверхности z = 0, и при условии zk << 1 уравнения равновесия для пологих сферических оболочек принимают вид:

Mr ,rr - Me,Jr + 2Mr ,rjr +

+к (Nr + Ne ) + Nrw,rr = -q; (11)

N,r +(Nr - Nq)/r -

-к[_Mr,r +(Mr -Mq)/r] = 0.

В качестве модели упругого основания примем модель Винклера [10]. Согласно этой модели, зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности предполагается линейной и записывается в виде функции:

Гоп = kw wr , (12) где ron - интенсивность реакции упругого основания,

kw - коэффициент отпора основания (коэффициент постели), wr - величина прогиба.

Тогда, с учетом упругого основания, полная интенсивность нагрузки на оболочку определяется суммой давлений:

q = p - гоп = p - К wr, (13)

где p - нагрузка на оболочку (МПа), ron -интенсивность реакции упругого основания (МПа), kw - коэффициент отпора основания (МН/м3), wr -

величина прогиба (м).

С учетом в^1ражения (13), уравнения равновесия (11) для рассматриваемой пологой сферической оболочки на упругом основании примут вид:

Mr ,rr -MeJr + 2Mr ,Jr + +к (Nr + Nq ) + Nrw,rr = - p + kww;

N,r +(Nr - Ne )/r -

-к \_Mr ,r +(Mr - Me )/r ] = 0.

Подставляя выражения для усилий и моментов (10) в уравнения равновесия (14), получаем систему разрешающих дифференциальных уравнений относительно прогибов и радиальных перемещений.

Первое уравнение системы:

(14)

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

-kw,rr Fl2 - kwrFu,rr +(PJr -

-W,rrrP12 - 2W,rrP12>r -2W,rP12,rr + +U,rr F12 + UrFi2,rr )/r + 2W,r W,rr F11,r + +W,rW,rrrF11,r -- kWrF11,rr -kW,rrF11 --2W F12,r -2kW,r F11,r +{2U,r F12,r +

[2W,rPu,r 2U^r F12 - 2UrF12,r +

+( 2urF12 - 2 w, rPl2)/ r ]/r}/r + +w,lFn + к[-w,rrFn - kwDu + +0,5w,2r Du - 2kwrDu + urDn -

- (Wr F12 + UrD12 - w>r F22 + UrD22 )/Г -

-kwrD22 - w,rr F12 +0,5w,] D12 + urDl2 ] +w, \w, F., -kw D,, + 0,5w,2 D,, + kw D„

'rr |_ 'rr 11 r H > 'rr 11 r 12

+UrDll - (W,r F12 + UrD 12 )/r ] - w,rrrr P11 --2w,rrr P,11 -w,rr P11,rr +0,5W,22 rr + U,rr F11

+UrF11,rr -{-kw,rr F22 - kwrF22 ,r -w,rrr P12 - w,rr P12,r -- kw,rF12 - kwrF12 ,r + +w,r w,rr F12 + 0 5w,l F12 ,r +U,r F12 + UrF12 ,r + + [Ur F22 + UrFH,r -w,rr P22 --w,r P22 ,r - (UrF22 + W,r P22 )/r ]/r}/r + + {2 • [W,rrrP1 1 - W,rrP11,r -W,rF11 -

-kwrFu,r + w,rw,rrFu + 0,5w,2r F,11 -

- kw,r F12 - kw, rF12,r +U,rF11 + UrF11,r + + W, rP12/r 2 - ( w, rr P 2 - W,rPP2, r + +U, r F12 + UrF12,r + UrFu/ r )/r ]}/Г +

+2u,rF 1,r- Kw = - p;

Второе уравнение:

(15)

-w,rrr F11 - w,2 F11 - kw,2 D11 - kWrDll + +w,r w,rr Dn + +0,5w,r Dn - kw,r Dn -

-kwrDn,r +u,r Du + UrDu + [u,rDn + urDu,r -

-W,rrFl2 - W,r F12 +(W, F12 - U2D12 )/Г ]/Г +

+[-w,r F11 - kwrDn + 0,5w,l +urDn + kwD + +kwrD22 + w,rr F12 - 0,5w,2 D12 - urDl2 +

+ (w,rF22 - w,r +UrDl2 - UrD22 )/Г ]/Г --k [-w,rrPU - w,rr P11 - kw,rFll - kwrFll,r + +w,r w,rrFll + 0,5w>22 Fll'r kw,r F12 - kwrFl2,r +U,r F11 + U2FU,2 +[U,2F12 + U2FU,2 - w,rrPl2 -

-w,2P12'2 +(w,rPl2 - U2F12 V2 ]/2 + + [ w,22PH - kw2Fll + в^'2 F11 + U2F11 + (16) + (U2F12 + w,2 P22 - U2F22 - w,2 P12 V2 +

+kwrF22 + w,22 P\2 - 0,5w,2 Fn - UF ]A} = 0. где D j, Fy, Pj - функции, зависящие от принятых

физических зависимостей для ортотропных материалов.

Постановка задачи

В качестве тестовой задачи для апробации разработанной математической модели была рассчитана оболочка толщиной оболочки h = 0,05 м;

радиусом в плане a = 1,5 м; стрелой подъема f = 0,4 м, радиусом отверстия r0 = 0,25 м. Срединная поверхность оболочки является частью сферы, характеризуемой радиусом кривизны R = 3 м. Форма и размеры оболочки приведены на рисунке

Го=0,25 м

р=0,3 МПа

J

V 1 7 V У

а=1,5 м а=1,5 м

2.

Рис. 2. Схема оболочки для решения тестовой задачи

Для решения полученной системы разрешающих дифференциальных уравнений относительно прогибов и радиальных перемещений использован метод конечных разностей [11], наиболее просто реализуемый численный метод для данной задачи.

Для построения конечно-разностной схемы радиус оболочки при помощи 200 точек разбит на 199 отрезков. В рамках проведенной конечно-

разностной аппроксимации производных получены конечно-разностные аналоги для центральных, контурных и предконтурных точек, и, затем, внесены в систему дифференциальных уравнений с учетом узлов сетки, образуя тем самым систему линейных алгебраических уравнений.

Для решения тестовой задачи полученная система уравнений дополняется граничными условиями. Края центрального отверстия и внешнего контура принимаются свободными, поэтому в крайних точках центрального отверстия и по внешнему контуру изгибающий момент, продольное усилие и поперечная сила равны нулю:

N = 0; Мг = 0; & = 0; (17)

В качестве материала оболочки принят стеклопластик со следующими механическими характеристиками [11]: модули упругости -Е1 = 140ГПа, Е, = 70 ГПа, Е+ = 280 ГПа, £2- = 140 ГПа; коэффициенты поперечной деформации - = 0,2,

V" = 0,3.

При нагружении оболочки принято внешнее давление, равное 0,3 МПа.

Оболочка покоится на упругом основании, коэффициент постели равен 125 МН/м3.

Анализ полученных результатов

Решение произведено с помощью пакета прикладных программ МЛТЬЛБ.

Результаты, полученные на основе разработанной модели с использованием усовершенствованных соотношений, сравнивались с результатами решения этой же задачи с усредненными характеристиками материала на растяжение/сжатие. Сравнения основных из этих

Результаты

Вертикальные перемещения и1 в срединной плоскости

Напряжения СГ0 на нижней поверхности оболочки

Напряжения (Тг на нижней поверхности оболочки

Напряжения (Тг на верхней поверхности обопочки

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Напряжения (У0 на верхней поверхности

nfioпочки

Предложенная модель с использованием усовершенствованных соотношений

10.34-К)"3 м

7.95 МПа

5.80 МПа

-7,02 МПа

4,69 МПа

Модель с использованием усредненных механических характеристик

13 • 10"3 м

9.11 МПа

6.79 МПа

-8,19 МПа

6.17 МПа

Расхождение

20.5%

12.7%

14.6%

14.3%

24.0%

результатов приведены в таблице 1. Сравнения двух моделей проводились для максимальных величин. Таблица 1. Сравнение результатов расчёта Ниже приведены наиболее значимые результаты в форме графиков распределения прогибов w в срединной плоскости и напряжений

&д и Ог на нижней и верхней поверхности

оболочки. На приведенных графиках полученные результаты с использованием усовершенствованных соотношений для ортотропных материалов (синяя линия) представлены совместно с результатами для материала с усредненными механическими характеристиками (красная линия).

Координата вдоль радиуса г, м

Рис. 3. Вертикальные перемещения в срединной плоскости оболочки

Координата вдоль радиуса

Рис. 4. Напряжения Од на нижней поверхности оболочки

Кооопината вдоль oaïutvca г. м

Рис. 5. Напряжения ( на нижней поверхности оболочки

Кооолината вдоль Da л uvea

Рис. 6. Напряжения (г на верхней поверхности оболочки

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

Рис. 7. Напряжения Од на верхней поверхности оболочки

Выводы

Таким образом, была разработана математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние пологой сферической оболочки с отверстием, выполненной из ортотропных разносопротивляющихся материалов, взаимодействующей с упругим «винклеровым» основанием. Базой построенной модели являются усовершенствованные соотношения для

ортотропных разносопротивляющихся материалов, приведенные в работе [8]. На основе предложенной модели разработана программа, позволившая решить тестовую задачу и получить результаты в виде графиков распределения прогибов и напряжений.

Из анализа результатов решения тестовой задачи об определении напряженно-деформированного состояния пологой сферической оболочки на упругом основании можно сделать вывод, что использование усовершенствованных определяющих соотношений для материала дает существенные уточнения результатов расчёта. При использовании же усредненных механических характеристик материала результаты расчёта прогибов срединной поверхности оболочки завышаются вплоть до 20,5%, напряжения на нижней поверхности оболочки - до 14,6%, а напряжения на верхней поверхности - до 24%.

Отметим, что для вертикальных перемещений существенное различие результатов наблюдается равномерно по всему радиусу оболочки, а для напряжений на нижней и верхней поверхностях оболочки - в местах их экстремальных значений.

Библиографический список

1. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности разносопротивляющихся материалов. - Тула: ТулГУ, 2020. - 359 с.

2. Трещев А.А., Монастырев Ю.А., Чибрикина В. Д., Завьялова Ю.А, Лапшина М.А / Описание деформирования ортотропных разносопротивляющихся материалов //

Строительная механика и конструкции. - 2019. -№1 (20). - С. 7-13.

3. Власов, В .З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. - М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

4. Bosakov, S. Development of the Theory of Computation of Pivotally-Connected Beams on an Elastic Foundation Taking into Account Their Physical Nonlinearity / S. Bosakov, O. Kozunova // Contemporary Issues of Concrete and Reinforced Concrete. - 2019. - No. 11. - P. 11-24.

5. Beskopylny, A. Bending of a wavy plate of a periodic profile on an elastic foundation / A. Beskopylny, E. Kadomtseva, G. Strelnikov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : 21, Construction - The For-mation of Living Environment, Moscow, 25-27 апреля 2018 года. Vol. 365. - Moscow, 2018. - P. 042032.

6. Доннел, Л.Г. Балки, пластины и оболочки / Л.Г. Доннел - М.: Наука, 1984. - 440 с.

7. Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27, Punkt 8. Ebene Flatten. Leipzig: B. G. Teubner. - 1910. -Pp. 311-385.

8. Трещев А.А., Завьялова Ю.А., Лапшина М.А., Гвоздев А.Е., Кузовлева О.В., Крупицын Е.С. Математические определяющие уравнения деформирования материалов с двойной анизотропией // Чебышевский сборник. 2021;22(4). С. 370-384.

9. Трещев, А. А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся материалов / А. А. Трещев. - М.: РААСН; Тула: ТулГУ, 2007. - 160 с.

10. Черкасов, И.И. Механические свойства грунтовых оснований / И.И. Черкасов. -М.: Науч-техн. изд-во Автотрансиздат, - 1958. - 156 с.

11. Варвак П. М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

12. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2016. - 326 с.

13. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Дж. Адкинс. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

14. Трещев А.А. Определяющие соотношения для нелинейных анизотропных материалов,

чувствительных к виду напряженного состояния / А.А. Трещев, Д.А. Ромашин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - №4. Часть 4. - С. 1740-1742.

15. Трещев А.А. Потенциальная зависимость между деформациями и напряжениями для ортотропных физически нелинейных материалов / А.А. Трещев // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2017. - № 4-1 (324). - С. 71 - 74.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации.

Статья поступила в редакцию 01.09.2023; одобрена после рецензирования 27.10.2023; принята к публикации 27.10.2023.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication.

The article was submitted 01.09.2023; approved after reviewing 27.10.2023; accepted for publication 27.10.2023.

DEFORMATION OF A SPHERICAL SHELL ON AN ELASTIC FOUNDATION MADE OF A DOUBLE ANISOTROPIC MATERIAL

Текст научной работы на тему «ДЕФОРМИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ, ВЫПОЛНЕННОЙ ИЗ МАТЕРИАЛА С ДВОЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ»