Cтабилизация решения начально-краевой задачи для одномерных изотермических уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Огабилизация решения начально-краевой задачи для одномерных изотермических уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред*

Д.А. Прокудин

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, Россия) Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

Stabilization of the Solution to the Initial-Boundary Value Problem for One-Dimensional Isothermal Equations of Viscous Compressible Multicomponent Media

D.A. Prokudin

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the SB RAS (Novosibirsk, Russia) Altai State University (Barnaul, Russia)

Рассматривается начально-краевая задача для одномерных изотермических уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред, являющихся обобщением уравнений Навье — Стокса. В исследуемых уравнениях присутствуют старшие производные от скоростей всех компонент, поскольку, в отличие от уравнений Навье — Стокса, в которых вязкость является скаляром, в многокомпонентном случае, ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений, вязкости образуют матрицу, элементы которой отвечают за вязкое трение. За вязкое трение внутри каждой компоненты отвечают диагональные элементы, а за трение между компонентами — недиагональные. Это не позволяет автоматически распространить известные результаты для уравнений Навье — Стокса на многокомпонентный случай. В случае диагональной матрицы вязкостей уравнения будут связаны только через младшие члены. В работе рассматривается более сложный случай недиагональной матрицы вязкостей. Доказывается стабилизация решения начально-краевой задачи при неограниченном возрастании времени без упрощающих предположений о структуре матрицы вязкостей, кроме стандартных физических требований симметричности и положительной определенности.

Ключевые слова: вязкая сжимаемая среда, многокомпонентные течения, стабилизация решения.

Б01: 10.14258Дгуа8и(2023)4-11

1. Постановка начально-краевой задачи

Рассмотрим начально-краевую задачу для одно-

The paper considers the initial-boundary value problem for one-dimensional isothermal equations of viscous compressible multicomponent media, commonly known as a generalization of the Navier — Stokes equations. The studied equations include higher derivatives of the velocities of all components, unlike the Navier — Stokes equations, where viscosity is a scalar variable. Viscosity forms a matrix of elements responsible for viscous friction due to the composite structure of viscous stress tensors for the multicomponent case. Diagonal elements of the matrix stand for viscous friction within each component, and off-diagonal elements stand for friction between components. Such complication does not allow the automatic extension of the known results for the Navier — Stokes equations to the multicomponent case. Thus, for the diagonal matrix, the equations would be linked only through the lower terms. The paper considers a more complex case of an off-diagonal viscosity matrix. We prove the stabilization of the solution of the initial-boundary value problem with an unlimited increase in time without simplifying assumptions about the structure of the viscosity matrix, except for the standard physical requirements of symmetry and positive definiteness.

Keywords: compressible viscous medium, multicomponent flows, stabilization of solution.

мерных изотермических уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред

*Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования РФ по теме «Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики» (2020 23) (номер темы: Б 2М Ш 2020 0008 от 24.01.2020).

N

д1 , д(ру) 1 ^

дп = °, v = N

дщ + J. + = 1 dt 1 dx dx

N

E'

j = 1

д2Щ

dx2 '

i = 1,...,N,

l|t=o = 1o(x), Ui\t=0 = U0i(x), i = 1,...,N,

дщ + Kd1 = dt dy

N

д f duj\

EU UUj

Vij eyVlyJ'

j=1

i =1,...,N.

Область течения О. при таком переходе отображается в область й = {у е М | 0 < у < где 1

(1= ^ р0(х) ¿х > 0, а начальные и граничные

о

условия преобразуются к виду

р\г=о = Ро{у), щ\г=о = й0г{у), г = 1,...,Л^, (7)

щ\х=о = щ\х=1 =0, г = 1,,N. (4)

Здесь р, гц, г = 1,..., N — соответственно плотность и скорости компонент среды — есть искомые функции времени t е [0, Т], 0 < Т < +оо, и точки х области течения Г2 = {ж s R | 0 < х < 1}, v — средняя скорость среды, N ^ 2 — число компонент, К = const > 0, постоянные коэффициенты вязкостей Vi j, ij = 1,..., N образуют симметричную матрицу N > 0, ро G 0,1), ро > 0,

о

uni € ^(0,1), i = 1,...,N.

Основной особенностью исследуемых уравнений является наличие в уравнениях импульсов (2) старших производных от скоростей всех компонент ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений [1]. Это приводит к тому, что результаты, известные для одномерных уравнений Навье — Стокса, не переносятся автоматически на рассматриваемые в данной работе уравнения вязких сжимаемых многокомпонентных сред. Вопросы о стабилизации решений одномерных уравнений Навье — Стокса исследовались в работах [2-6]. Однозначная разрешимость и асимптотическое поведение решения при t —> +оо рассматриваемых одномерных уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред в политропном случае изучались в работах [7-9]. Аналогичным вопросам для смежных одномерных моделей многокомпонентных сред посвящены работы [10-18].

2. Массовые лагранжевы координаты

ным использование массовых лагранжевых координат. Возьмем за новые независимые перемен-

ные t и y(x,t) = J p(s,t) ds. Тогда

система

примет вид

, dv

dt + 1 ду '

N

N^ U3, j=i

щ 1г/=о = щ\У=с1 = 0, г = 1,..., N. (8)

3. Априорные оценки

Умножим уравнения (2) на щ, просуммируем по г и проинтегрируем по у, с учетом (1) получим

1 d

Ni=

N

i

f дщ \f du

v^ E /lU dx и E vij I Adui)dx

ij J V dx f д dx

i>j=i 0

i

f д 1 \

N

-KE/4 d1 )dx.

i=i

0

Так как N > 0, то для второго слагаемого в левой части (9) верно неравенство

N

/ Vij . , , ,

^ J \ dx / \ dx

i j=1 о

(дщ \f дп^р dx >

N

«на J( dUi У-*

i=ijn

с некоторой постоянной = С^Г^) > 0. Далее, умножая (1) на 1п/9 — и интегрируя по х, для слагаемого в правой части (9) получим

N 1 Я N 1 Я

- * Е / ЧдР) ¿х = км е 0 р( д£) <х =

i

d f

= -KN— (pinp - (lnd + \)p + d) dx. (11)

dt J

0

дует, что

N i i vi E/^ dxи KNi J(p^p-(lnd+

i=1 о 0

N \ d 9 + 1 )p + d) dx + (£) "dx < 0. (12)

Из (12) после перехода к лагранжевым координа- частям и используя там (1,у) и интегрирования по I получаем оценку

N

£ I +( Р 1П Р ■ ^ +1)Р + d (1у +

i=l

р

г d

N г d

+£ и р( Щ )'<у>т < с.

0 0

левой части (1с5) неотрицательны.

Далее перепишем уравнения (6) в виде

1 ди^ К / ) др

"_3 дЬ ' N _3

3 = 1 \3 = 1

1 д_ ( дщ_ \ = N ду\Р ду).

ду

i = 1.....М.

N

- N £ -«/ 3

_,3=1 0

N

дЬ ) V ду

d

/ IV

¿Ь I N ^ "Ч ду

/из{ +

где положительная постоянная С2 = С2(С1.К.Ы.

(1, М ро, вир ро, { ||мпг:||ь,со }). Все слагаемые в (0,й) (o,d) 2( ,

N d

_,3=1 0

Следовательно из (18) после интегрирования по Ь получаем, что

d г d

2 К У ¿у+КЦр(=

N

N ^

N _з "з

_,3 = 1 0

00 d

-_.il и А „П р \ ¿у+

V ду

где = 1,... — это компоненты матрицы

N = М"-1. Просуммируем (14) по г, получим

N

1 ^-л „ диз ~ ир и / ии

_,3=1

К

др д ( ди\

ду ду\ду/.

N

где К = — I ^ г/,у | > 0. Из уравнения (5) сле-

\_,3=1

дует, что

ди 'ду

д 1п р

~дГ.

ди

Подставим р— из (16) в равенство (15), приходим

ду

к соотношению

N

д21п р ~др 1 „ ди3

-- + К— =--> -_3—3.

дЬду ду N ^ _3 дЬ

(17)

_,3=1

1

N

г d

N.4- -_з} } р{Ш +

_,3 = 1 0 0

+ /V Е

d

N

d

+1/ ^ + 3 ^ ¿у.

Отсюда и из (13) следует оценка

d г d

I (ТГ+ //'(^< Сз.

00

где положительная постоянная Сз = СзуО^,^, К,

Из уравнения (5) следует, что при каждом t е [0 ,Т] хотя бы в одной точке у(1) € [0, с/]

р(Ь.у(Ь)) = ¿.

Тода, поскольку

Умножим (17) на Р и проинтегрируем по у,

ду

получим соотношение

1п р(Ь. у) = 1п р(Ь.у(Ь))+[ 9(Ы р(М)) ¿з.

дз

у(г)

1 d Г (д 1пр)2

2 ¿^У V ду

0

¿у + К р^

( д 1п р ) 2 ду

¿у

N

- N £ ^¿у

_,3=1 0

то по неравенству Гсльдсра с учетом (20) и имеем

11пр(у.Ь)\ < 11п¿\ +

д 1п р

ду

L2(0,d)

< С4(Сз.d).

откуда непосредственно следует, что

1

Правую часть (18) преобразуем, интегрируя по 0 < С ^ р(Ь,у) ^ Сб < С5 С5(С4).

d

Л

й

Л

й

Поэтому из

N г й

и (22) имеем й

Для первого слагаемого в правой части (25) ввиду (23) и неравенств {г = 1,..., М)

+/ (!) V

¿=1

ду ) У \ду /

0 0 0 г й

+ / / (д^€ С6(р2,с3,с5).

дщ 2 ди д2и

€ 2

ду С[0,й] ду L2(0,d) д у2

L2(0,d)

имеем оценку

N

г й

-Ц

Перейдем к выводу следующей оценки. Для

д2щ

этого умножим (6) на и проинтегрируем по у,

ду1

получим

й N й

1жКЩ)'"у+£Ч I"(^)(¿у =

¿,3 = 1

( др )( д2 щ )( ди

у у2 у

—3 (1у(1т €

п N

4 ^

¿=1

г й

( д2ц )2 V ду2

в,ув,т + С8,

"¿3 I Р\ду2 )\ ду2

где С8 = С8(С6, Сг, N, Щ. Второе слагаемое в правой части (25) оценим следующим образом:

N

3 = 1

-е -к д,)(ё)(

у у2 у

+ к 1&)(¿у.

у у2

N

г й

к£ (дР

др)( д2и.

у у2

¿ув,т €

п N

4 ^

¿=1

г й

(д2щ )2 V ду2

¿уйт + С9(С6,С7,К, N).

Теперь (24) просуммируем по г и проинтегрируем по I:

N

N

1 ±к ду)2 ¿у - 1Е

¿=1

¿=1'

дuo¿) 2

у

N

г й

+ Е

¿,3=

N - £

¿^ 0 0 лг г й

д2и3 )( д2

^ / I р[ ду2 Л д у2

¿у+

¿ув,т

¿3

¿,3=1

др)( д2щ )( ди

00 N

у у2 у

—- ) ¿ув,т+

г й

Для первого и третьего слагаемых в левой части (25) справедлива оценка

N

1 £/( £) V

2 ^ У V ду

¿ = 1 л У

N

г й

+ £ ^ у у р

¿,3=1 0 0

д2и3 д2

у2 у2

N й

> С7(С1,С5^£/(V

¿=1

N

0

г й

+£

¿=1

д2и,- )2

у2

(1у(1т ).

Таким образом, из следует оценка

N

Е/ (ду) ^у + £у у V ду2

N

г й

¿=1

¿=1

д2и )2

¿ув,т €

00

€ С10 (^С7, С8, С9^ ||и0г П ^з1 (0,й)}) .

1 (0,!

Далее, интегрируя (24) по t, приходим к неравенствам

й

— [ (ды\2у

¿т ] V ду )

0

¿т €

^Си(С5,Св,С10,-П,К,М), г = 1,..., ЛГ. (31)

4. Стабилизация решения при неограниченном возрастании времени

Из (23) и (31) вытекают при I —> +оо сходимости

ди

у

— 0, г = 1,...^.

L2(0,d)

др

Дифференцируя (5) по у и умножая на — с ис-

ду

пользованием

— / ()2у

¿т ] Уду/

приходим к оценке ¿т € С12 (С5,Сб,Сю,Ю .

Следовательно, при 4 — р

у

0.

L2 (0,й)

и

¿3

й

й

й

й

и

г

й

и

3

Таким образом, доказано (см. (21)), что в норме 0, в) при I ->■ +с»

щ —> 0, г = 1,..., N, р —> 3,. (35)

Несложно проверить теперь, что такие же сходимости имеют место в эйлеровых переменных в норме 0,1).

Заключение

Для системы дифференциальных уравнений вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональной, симметричной и положительно определенной матрицей вязкостей проведен анализ асимптотического поведения решения при t ^ +оо начально-краевой задачи в случае одной пространственной переменной. Доказана стабилизация решения начально-краевой задачи.

1. Mamontov А.Е., Prokudin D.A. Viscous compressible homogeneous multi-fluids with multiple velocities: barotropic existence theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2017. Vol. 14. Doi: 10.17377/semi.2017.14.031

2. Злотник А.А., Дюкоме Б. Скорость стабилизации и устойчивость вязких сжимаемых баротропных симметричных течений со свободной границей для общей массовой силы // Матем. сб. 2005. Т. 196. 12. Doi: 10.1070/SM2005vl96nl2ABEH003739

3. Злотник А.А., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропно-го газа // Матем. заметки. 1994. Т. 55. № 5. Doi: 10.1007/BF02110374

4. Злотник А.А. Об уравнениях одномерного движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33. № 5. Doi: 10.1007/BF00970988

5. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, 1983.

6. Кажихов А.В. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баро-тропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 4.

7. Прокудин Д.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для модельной системы уравнений политропного движения смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сиб. электрон, матем. изв. 2017. Т. 14. Doi: 10.17377/semi.2017.14.049

8. Prokudin D.A. Global solvability of the initial boundary value problem for a model system of one-dimensional equations of polytropic flows of viscous compressible fluid mixtures // J. Phys.: Conf. Sex. 2017. Vol. 894. Doi: 10.1088/1742-6596/894/1/012076

9. Прокудин Д.А. О стабилизации решения начально-краевой задачи для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных

еский список

сред // Сиб. электрон, матем. изв. 2021. Т. 18. № 2. Doi: 10.33048/semi.2021.18.097

10. Li S. On one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture in unbounded domains // Z. Angew. Math. Phys. 2017. Vol. 68. Doi: 10.1007/s00033-017-0851-3

11. Ахмерова И.Г., Папин A.A. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 2. Doi: 10.4213/mzml0346

12. Bresch D., Huang X., Li J. Global weak solutions to one-dimensional non-conservative viscous compressible two-phase system // Commun. Math. Phys. 2012. Vol. 309. Doi: 10.1007/s00220-011-1379-6

13. Панин A.A., Ахмерова И.Г. Разрешимость системы уравнений одномерного движения теплопроводной двухфазной смеси // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 2. Doi: 10.4213/mzm7706

14. Папин A.A. Об единственности решений начально-краевой задачи для системы теплопроводной двухфазной смеси // Матем. заметки. 2010. Т. 87". № 4. Doi: 10.4213/mzm8461

15. Злотник A.A. Слабые решения уравнений движения вязкой сжимаемой реагирующей бинарной смеси: единственность и непрерывная по Липшицу зависимость от данных // Матем. заметки.

2004. Т. 75. № 2. Doi: 10.4213/mzm546

16. Злотник A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси // Матем. заметки. 1995. Т. 58. № 2. Doi: 10.1007/BF02304112

17. Петров А.Н. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов / / Динамика сплошной среды. 1982. Т. 56.

18. Кажихов A.B., Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси / / Динамика сплошной среды. 1978. Т. 35.