CC BY
4
Научни трудове на Съюза на учените в България - Пловдив. Серия В. Техника и технологии, т. XIV, ISSN 1311-9419 (Print), ISSN 2534-9384 (On- line), 2017. Scientific Works of the Union of Scientists in Bulgaria-Plovdiv, series C. Technics and Technologies, Vol. XIV., ISSN 1311-9419 (Print), ISSN 2534-9384 (On- line), 2017.
КРИТЕРИЙ ЗА ЧЕСТОТНА ЗАВИСИМОСТ НА КОЕФИЦИЕНТА НА ДЕМПФИРАНЕ НА МЕХАНИЧНА СИСТЕМА
Иван Ташев ТУ -София,филиалПловдив, кат.„Механика" Пловдив4000, ул. "Цанко Дюслабаиол" №25
CRITERIA FOR FREQUENCY DEPENDENCE OF VISCOUS DA MP ING OF MECHANICAL SYSTEMS Iv an Tashev tashevivan@abv.bg
Resume. The proposed criterion may be used in determining the coefficient of damping in the presence of test data for at least two frequencies in any frequency range.
Резюме. Предложеният критерий може да бъде използван при определянето на коефициента демпфиране при наличието на експериментални данни за поне две честоти в произволен честотен диапазон
Ключови думи. коефициент на демпфиране, вибро- характеристики.
Въведение
Практическите изследвания са свързани с редица експерименти, които дават необходимите параметри за коректното дефиниране на разглежданите механични системи. Това е свързано с честата употреба на способа „проба грешка", което не винаги е оправдано от гледна точка на време и качество за получаване на резултати. Разработените редица методи за апроксимиране [C. F. Beards] са добър инструмент, но използването им води до пренасяне грешките, които съпътстват употребата им и често пъти довеждат до непрвавилни изводи.
Нормално е да се търси способ за обобщаване на тези методи или още по-добре едно точно решение или критерий, който да дава оценка за поведението на една механична система. Но както се вижда в [Clarence W. de Silva], механичните системи могат да бъдат разнообразни с внесени в тях редица елементи за разсейване на енергията, предавана посредством външно въздействащите смущаващи сили. Изследването на тези елементи е процес, свързан с изграждането на редица математически модели, изясняващи влиянието им върху разглежданата механична система. Този процес е труден и рядко води до точни решения.
Казаното до тук води до извода, че единственият общ белег между различните механични системи е, че всички те разсейват енергията, внесена от външните смущения, независимо по какъв начин, дали чрез триене и следващо отделяне на топлина при пряк контакт или чрез внасяне на вискозо-еластични съпротивления.
Изложение
В настоящата работа ще се спрем на един пример, като използваме пружина с коравина (коефициент на еластично възстановяване) кг и демпфер, играещ ролята на
дисипативен елемент, характеризиращ се с коефициент на демпфиране Ьг. Пружината и
демпфера са разположени успоредно един спрямо друг и са свързани към неподвижна основа фиг. 1.
]|л-Г//
///// /
Фиг. 1 Изследван обект при наличие на кинематично смущение.
Разглежданата системата е изведена от равновесно положение, посредством установено принудено трептение от вида х(?) = ЛгБт(Ш — р), където Лг е амплитудата на
трептенията, а ( е кръговата им честотата. В по-долу разглежданите случаи амплитудата се приема за постоянна величина. След еднократно диференциране се получава израза за скоростта на съответното принудено смущение, представен във вида:
Хг = ±(Л^ 1 — Бт2(( — р) =±( Лг2 — х2 (1)
Чрез мислено сечение и разделяне на трептящата система на две части, върху които прилагаме действащите сили и използвайки условието за динамично равновесие, можем да запишем:
= кх + ЬгХ (2)
Предходният израз показва, че предаваната сила към основата е съвкупност от еластичната възстановяваща сила и силата на визскозно демпфиране, където една геометрична интерпретация може да се даде чрез фиг. 2.
Фиг. 2 Хистерезис на изследваният обект
Механичното тълкувание на площта, заграждана от елипсата е работата, извършена за разсейване на енергия при един цикъл или за време равно на т = 2п / а . Тъй като израза Д е функция на времето, може да се зашише следното:
Т+т
Ж =| ^ (г)хйг = жЪгаАг2 (3)
Като се диференцира относно кръговата честотата а предходното уравнение приема вида:
йа
= пЪгАг 2 (4)
От израза се вижда, че за всеки две произволно зададени честоти а на дадената система ще важат изразите :
Ж = жЪга1Аг2 и Ж2 =пЪга2Аг2 (5)
Ако извадим площта Ж2 от площта ще получим разсеяната енергия, необходима за преминаването на системата от една честота към друга.
Ж2 - ^ = пЪга2Аг2 - пЪгахАг2 (6)
След преобразуване на израза, той може да се запише по следният начин :
^ = пЪЛ' (7)
От написаното следва, че отношението на работата, необходима за преминаване от едно установено състояние към друго установено състояние, е постоянна величина.
Последното равенство води до заключението, че ако една система е честотно
независима, относно коефициента на демпфиране Ьг, то и първата производна на работата,
отнесена като функция на смущаващата честота също е постоянна величина. Тъй като реалните системи често не съответстват на идеализираните модели нека предположим, че има такава система, за която са верни следните уравнения :
W = nbr101Ar2 и W2 = nbr202Ar
W2 = nbr2®2Ar2 -nbrl®lAr
(8) (9)
Оттук следва че :
W - W
W W - = nA 2
br202 - br101
(10)
и
Тогава важи и следното равенство, изразено в диференциален вид :
dW л2
= пАг 2 (11)
d (br (0)0)
Ако горното уравнение бъде разписано ще се получи следният резултат :
^ = xAr 2(b/ (0)0 + br (0)) (12)
da
Ако Ьг (0) = 0 то Ьг (0) е постоянна величина от това следва, че уравнение 4 може
да бъде получено като един частен случай от уравнение 12. То тогава е правилно да се твърди, че уравнение 12 е един общ критерий за честотна зависимост на коефициента на демпфиране на коя да е механична система.
Изводи
Получените уравнения дават възможност за опредеяне на коефициента на демпфиране от експериментални данни не само количествено, но и като един вид фактор, показващ поведението на системата, според който тя може да бъде или честотно зависима или честотно независима, относно коефициента на демпфиране.
Литература
Clarence W. de Silva, Vibration Damping, Control and Design, CRC-Press, 2007 C. F. Beards, Structural Vibration: Analysis and Damping, Butterworth-Heinemann, 2003
