Conceptual foundations of modeling and parameters optimization of the line mechanical systems’ unsteady oscillations with one step freedom of movement at their transition over the resonance

Chovnyuk Y.V.; Kravchyuk V.T.

22. Tripathy G., Kumari R., Sharma B.M. (2005) an elevation gradient in the Wuyi Mountains. Soil Biology Association of soil mesofauna with litter decomposition. and Biochemistry, Vol. 41, pp. 891 - 897.

Cientifica, Jaboticabal, Vol.33, N 2, pp. 148 - 151. 25. Wiwatwitaya D., Takeda H. Seasonal

23. Wallwork J.A. (1983) Oribatids in forest changes in soil arthropod abundance in the dry evergreen ecosystems. Annual Review of Entomology, Vol. 28, pp. forest of north-east Thailand, with special reference to 109 - 130. collembolan communities //Ecological Research. - 2005. -

24. Wang S., Ruan H., Wang B. (2009) Effects of Vol. 20(1). - P. 59 - 70. soil microarthropods on plant litter decomposition across

Човнюк Юрш Васильович

кандидат техтчних наук, доцент кафедри конструювання машин i обладнання, Нацюнальний ^верситет бюресурав i природокористування Украти, м. Кигв

Кравчук Володимир Тимофшович кандидат технiчних наук, доцент кафедри охорони природи i навколишнього середовища, Кшвський

нацiональний утверситет будiвництва i архтектури

КОНЦЕПТУАЛЬНО ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМПЗАЦШ ПАРАМЕТРОВ НЕСТАЦПОНАРНИХ КОЛИВАНЬ ЛПНПЙНИХ МЕХАНПЧНИХ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ ВПЛЬНОСТП РУХУ ПРИ ПХ ПЕРЕХОД ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНС

CONCEPTUAL FOUNDATIONS OF MODELING AND PARAMETERS OPTIMIZATION OF THE LINE MECHANICAL SYSTEMS' UNSTEADY OSCILLATIONS WITH ONE STEP FREEDOM OF MOVEMENT AT THEIR TRANSITION OVER THE RESONANCE

Chovnyuk Y. V.

Candidate of technical sciences, docent,

National University of Bioresources and Life Sciences of Ukraine

Kravchyuk V. T.

Candidate of technical sciences, docent,

Kyiv National University of Construction and Architecture

Анотацiя: Встановлено критерИ та оптимальш режими руху лттних механiчних систем з одним ступенем вiльноcтi руху при Их переходi через резонанс в умовах нестацюнарних коливань механiчних систем. У якоcтi моделей механiчних систем викориcтанi системи i3 зосередженими параметрами. Математичною моделлю для оптим1зацИ режимiв руху слугують звичайнi диференщальш рiвняння та апарат класичного варiацiйного числення. Результати роботи можуть бути викориcтанi при моделюваннi режимiв пуску та гальмування ргзномантних мехашчних систем. Обтрунтованi критерИякоcтi руху систем стануть у нагодi для уточнення i вдосконалення iнженерних методiв iх розрахунку.

Ключовi слова: оптимiзацiя, режим руху, резонанс, неcтацiонарнi коливання, лттна механiчна система.

Summary: The criteria and optimal modes of movement of the line mechanical systems with one step freedom of movement at their transition over the resonance under the mechanical systems' unsteady oscillations were defined. The systems with discrete parameters are used for modeling of such mechanical systems. The mathematical models for the optimization of movement' regimes are ordinary differential equations and the apparatus of the classic variation's principles. The results of this research may be used for the modeling of start up and braking regimes of various mechanical systems. The criteria of movement's quality for such systems are based and may be used for improvement and refine of engineer's calculation methods as well.

Key words: optimization, mode of movement, resonance, unsteady oscillations, line mechanical system.

Постановка проблеми. Ввдомо, що щдвищення використати приводний мехашзм найменшо!

продуктивное^ та надшносп, а також зменшення потужносп.

енергетичних витрат мехашчних систем - це один з Для ошгашзацп режимiв руху та режимних

основних стратепчних напрямшв шдвищення параметрiв необхвдна, перш за все, шльшсна оцшка

ефективносп виробничих процеав [ 1]. На перехвдних процеав (пуск, гальмування, реверсування

продуктивнють та надшнють мехашчних систем тощо) i усталеного режиму руху за весь цикл руху

суттевий вплив мають динамiчнi навантаження, що мехашчно! системи у виглядi одного критерш чи

виникають в цих системах пвд час руху. Вибiр реж^в системи критерй'в. У такому разi дощльно використати

руху мехашчних систем, яш до мшмуму зводять локальш й штегральш динамiчнi та енергетичш

динашчш навантаження, можливий лише при критери, отримаш на основi функцюналу ди та

використанш теори оптимального керування рухом варiацiйних принцитв мехашки. Ц критери

при наявносп узагальнених динамiчних критерпв. ввдображають небажанi властивостi (витрати енергii,

Цiлеспрямований вибiр режимiв руху та режимних дiя динамiчних навантажень, коливання ланок тощо),

параметрiв дозволяе до мшмуму звести динамiчнi якими характеризуеться динамiчна система пiд час

навантаження, а також знизити енергетичш витрати та руху, тому шдлягають мiнiмiзацii'. 1нтегральш

функцiонали (критерii) залежать вiд рiзних функцiй та

параметрiв режимiв руху. Вiдповiдний вибiр цих залежностей i параметрiв дозволяе мiнiмiзувати функцiонали i полiпшити тi чи iншi властивостi мехашчно! системи.

Мiнiмiзацiя функцiоналiв пов'язана з розв'язанням варiацiйноl задачi динамiки руху мехашчно! системи. Математичний розв'язок ще! задачi зводиться до крайово! задачi, яка, у загальному випадку, визначаеться системою нелшшних диференцiальних рiвнянь Ейлера-Пуассона, рiвняннями руху та крайовими умовами руху мехашчно! системи. У деяких часткових випадках можна отримати аналiтичний розв'язок ще! задачi, однак, для розв'язку бшьшосп практичних задач використовуються чисельнi методи.

Слд також зазначити, що вивчення нестацюнарних коливних процесiв у мехашчних деформованих системах представляе великий штерес для сучасно! технiки у зв'язку зi значним збiльшенням потужностей та швидкостей руху машин.

Нестацiонарнi коливання елементiв турбiн, двигунiв внутрiшнього згорання та iнших машин (будiвельного, сшьськогосподарського призначення) виникають при неусталених режимах !х роботи, пуску та зупинки, балансуваннi тощо.

Найбiльш повно вивчеш нестацiонарнi коливання при переходi через резонанс лшшних систем. Однак вичерпного рiшення, доведеного до практичних застосувань, для багатьох лшшних задач не юнуе. Саме у цш робот здiйснена спроба отримання таких ршень.

Аналiз останнiх дослiджень i публжацш. У роботi [2] викладенi результата дослщжень щодо перехвдних процесiв у лшшних системах з будь-яким числом ступешв вiльностi руху. Оптимiзацiя перехвдних режимiв руху механiчних систем здшснена у роботах [1, 3-5].

Видшення мевир1шеми\ рашше частин загальноТ проблеми. Проте, авторам дано! роботи невiдомi дослвдження, як1 б стосувались ошгашзацп

p(t) = e 2'-(Cj • cos kt + C2 • sin kt)+ — -j.P(r)-cos—(т)e 2 ^ • sin к •(t-r)dr, (4)

napaMeTpiB нестацiонарних коливань лшшних мехашчних систем з одним ступенем вшьносп руху при !х переходi через резонанс.

Метою даноТ роботи е встановлення критерив та оптимальних режимiв руху лiнiйних мехaнiчних систем з одним ступенем вшьносп руху при !х переходi через резонанс в умовах нестацюнарних коливань останшх. При досягненш вказано! мети роботи використаш пiдходи [1, 3-5], засноваш на вaрiaцiйних методах.

Виклад основного матерiалу дослiдження.

1. Постановка задачи

Дослщження нестaцiонaрних процесiв у лшшних системах з одним ступенем вшьносп руху у припущенш, що джерело енерги мае досить велику потужшсть, зводиться до iнтегрувaння диференцiaльного рiвняння [2]:

d-pp + [• — + ю2-p = P(t)-cos—(t), (1) dt dt

де p(t) - можна розглядати як лшшне перемiщення; [ - коефщент, що характеризуе затухання; СО - частота вшьних коливань; p(t) -амплиуда вимушено! сили, вшнесена до одиницi маси системи; t - час. При цьому частота зовшшньо! сили

v = d'— е деякою функцiею часу (тобто v = v(t)); у

dt

нaйпростiшому випадку це лiнiйнa функцiя:

v = v(t) = ^ • t, (2)

де £ - швидшсть змши частоти v(t).

Почaтковi умови мають вигляд наступних:

\=0 =Ро; p\t=0 =p0. (3)

У (3) введемо позначення: ( ) = ( ).

dt

2. Розв'язок задачi у загальному eudi.

Розв'язок диференщального рiвняння (1) за

умов (3) мае наступний вигляд:

[(t-т)

k

0

де

Л

„ (0 +-\0

C1 =(0; C2 =-2-; к =

к

Розв'язок (4) можна подати й у шшому (б№ш зручному для aнaлiзу) виглядi:

С2 Л

С - -

4

. (5)

p(t)=p(t)- e 2' • (C— • cos kt + C2 • sin kt) = |A(t)• cos—(t)+£—

(6)

де

\A(f) ^[ReA(t)]2 + [imA(t^ (t)== ---ctg{fA]};

---t-r

ik (t -r)dr

— i _

Re A(t ) = — J P(r)• cos—(т) e

k 0

ImA(t) = - • JP{z\• sin0(r)• ^-r) • sink (t -r)dr.

Розглянемо резонансн значення p(t) за умов змши частоти коливань (2).

Випадок А. Нехай у мехашчнш CTCTeMi

ввдбуваеться змiна частоти вiд 0 до Vq = VH0M

(номiнального значення) самого джерела енерги. Тодi умова резонансу означае:

S -t* = k ; t* = - ; Vq > k . (8) s

*

У (8) tj означае момент часу, у котрий наступае резонанс. При цьому p(t) набувае величини:

(* \ * ^ЬРрез =

Ц *

a(?*)• cos[(í*)+Jj(t*)]+e 2t1 • (c • coskt* + C2 • sinkt*). (9)

Випадок Б. Нехай у мехашчнш системi

вiдбуваеться змiна частоти ввд Vq = VH0M до нуля самого джерела енергй. Тодi умова резонансу означае:

V(t )=vq-s- t; Vq-S-t* = k ; t * =■

vo - k

l

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(+) =

1 +

1,0854

Л0 • h • (1 + 0,28 • h)2

t =

; h

k • l

(+)

s M

s

Значення {

(' * )

; vo > k. (8*) можна отримати з (9),

Л

4s

k

M

. (10)

зaмiнюючи tj на 12 .

Використовуючи резyльтaти роботи A.M. Каца

*

[б], можемо встановити бшьш точнi значення ^ та

*

t * :

*2 =

_(- k + Vo )l

l(-)= 1

m

1,0854

. (11)

Л0 h (1 + 0,28 • h)2

Тодi резонансне значення (уточнене) p(t) мае

вид:

p(t**) = |^(t**) - cos[[(t**) + S1 (t**)] + e 2 tj - (Cj - cos kt** + C2 - sin kt**). (12)

Mоп (p) - момент сил опору; J - приведений до валу двигуна момент шерцд деталей, що обертаються.

t *)

(Для pit2 / можна отримати вираз, подiбний

(12) iз замiною у ньому ¡1 на ¡2 )•

3. Визначення тривалост1 перех1дного пронесу у мехатчнш системи

Для проведення розрахунюв, пов'язаних з проходженням через резонанс, для визначення динамiчних навантажень, а також для розв'язку шших iнженерних задач необхiдно знати, за яким законом змiнюються оберти машин у перехвдних режимах. Зокрема, для визначення максимально! амплиуди коливань необхвдно знати кутове прискорення у момент сшвпадшня частот вимушено! сили й власних коливань системи, осшльки максимум амплиуди коливань суттево залежить вщ кутового прискорення саме у цей момент. Закон змши оберпв поза резонансом впливае на результат порiвняно слабко.

Визначаючи кутове прискорення, яке ввдповщае резонансу, будемо виходити з припущення, що зворотнiй вплив коливно! системи на двигун е слабким (тому ним можна знехтувати) i що характеристика моменту двигуна не залежить вщ кутового прискорення, тобто е статичною.

Отже, нехтуючи крутними коливаннями у системi «двигун-привод», складемо диференцiальне рiвняння обертального руху:

+ М оп (( ) = М ((), (13)

Зввдси кутова швидкiсть y момент сшвпадшня частоти вимушено1' сили з власною частотою системи ( k):

s= J •[M (с)-m оп (с)] , (14)

де С = k - власна частота коливань системи (5).

Приведемо основш результати, яш можна отримати для короткозамкненого aсинxронного двигуна.

Обертальний момент на валу двигуна визначимо за формулою Клосса:

M (с) = -

2 Mmax sk

1 -

С

Л

С

с У

2

С

(15)

-2

С

+1 + s 2

С у

С

де

Mmax = mM • MH

M H =

9550

N;

n

H

[M H ] = H-

•(mM +VmM -1 )

де p стaцiонaрнa

i; M (p )

s H =

nc - nH

кут повороту ротора двигуна; xaрaктеристикa моменту двигуна;

[nH] = [пс] = хв 1 •оберти; [сс] =

с = ■

-1

nn

30

M.

M

"^J — ---f.....' с J ~ ' " max '

- максимальний та номiнaльний моменти

s

sk ~ sH

м

n

с

двигуна; [Mmax ] = Н • М; mM - крaтнiсть максимального моменту; N - потужшсть двигуна;

[N] = кВт ; nH - номiнaльне число оберпв; Пс -синхроннi оберти двигуна за хв., як1 визначаються як найближча бiльшa nH частка ввд дiлення 3000 на цiле

число; sH - ковзання при номшальному режимi; Sk -критичне ковзання - ковзання, за якого досягаеться максимальний обертальний момент.

У режимi пуску двигуна на холостому ходу сили опору обумовлеш тертям у шдшипниках та шших частинах, а також втратами на вентиляцш та iн. Сумарний момент цих сил у робочому режиму складае бiля 10 % ввд номiнaльного моменту двигуна. Тому при розглядi пуску машини без навантаження припускаемо

M оп = 0.

Для прилaдiв, обладнання з вщцентровими насосами, вентиляторами й таких, що мають знaчнi втрати у редукторах при пуску тд навантаженням рекомендуеться [2] лiнiйнa зaлежнiсть:

M« (а) = MН

а

(1 - sh )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а

(16)

Навантаження ввд в1брогрохот1в та шших в1броустановок приймаеться пропорцшним квадрату кутово! швидкосл:

M « (а) =

Mt

( гЛ а

Кас У

(1 - sh )

Щдставляючи вирази для

m 0« (а) й M (а)

. (17)

у

р1вняння (14), отримаемо розрахунков1 формули для визначення швидкосл проходження через резонанс ( S ):

1) при пуску двигуна без навантаження:

M_ 2• st -а„-(ас -а)

S

= f (а) = :

J

а

2 +а1 -(i+sk) ; (18)

2)

при л1н1йн1й характеристищ навантаження:

г { \ M Н

s = f (а) =

2 • sk'mM

а

(ас-а)

а

J

а2 -2+ а1 •(!+sk) (1 -sh)-®c

■; (19)

3) при квадратичнш характеристик навантаження:

= f (а)=MН J 2sk-mM а\ас-а) а ,

= J3 (а) = — • -^ 2 (^ 2 )-1Л-\2-Г Ï . (20)

J [а - !• аас+аЧ! + sJ (1 - Sh ) •<

Вказаш вирази (18)-(20) можна використати для

розрахуншв tj , tj , 12 , за формулами (8), (8*), (10), (11).

тг . dœ Кр1м того, враховуючи, що s =-, вирази

dt

(18)-(20) можна застосувати для визначення тривалосп переходного процесу у мехашчнш система

■м а

задовольнити наступному критерш якосп руху системи:

р

jç2 (t )dt ^ min. (24)

Враховуючи (1), критерш (24) можна подати у наступному виглядг

tP1 =

ном

j f-1 (а)а; (21)

1

а

2 t р

j [P(t) • cos @(t) - M • Ç - Çpf dt ^ min.

tp2 = jf- (а^а ; (22)

о

аном

j J3-1 (ю—а, (23)

[аном ] = С _1.

t =

p3

0

7T-Пг

(25)

Для задоволення критерш (25), випишемо р1вняння Ейлера-Пуассона, що i визначить необхвдний (оптимальний, з точки зору вказаного критерш) закон

руху ç(t ):

(IV ) Л2 л

\ -м2 \ = —т• [P{t)• cosd(t)]- f • — \p{t)• cosd(t)]

dt2

dt

ним 30

3. Критери якостi руху мехашчних систем за наявностi нестацюнарних коливань.

Виходячи з рiвняння (1), розглянемо калька критерив якосп руху мехашчних систем за наявносп у останшх нестацюнарних коливань.

А) Визначимо закон руху p(t), за якого квадрат лшшного перемщення системи набувае мшмального

значення при t е[0; t ]. При цьому необхвдно

. (26)

Розв'язок (26) мае вид:

(t) = q + C2 •t + C3 + C4 • e-ft +ç4acm{t),

(27)

де Учат, (t) - частинний розв'язок (26); Ci,

i = (1,4) - константи, що визначаються за наступних умов:

ç\t=0 = ç0 ; Ф[=о = Ç0 ; Çt=_tp = Çp ; Çt=_tp = çp .

(28)

2

E

0

Б) Визначимо закон руху ç(t ), за якого квадрат швидкосп лшшного перемщення системи набувае мшмального значення при t G [0; tр J. При цьому

необхiдно задовольнити наступному критерiю якосп руху системи:

р

j"ç2 (t )dt ^ min. (29)

Враховуючи (1), критерiй (29) можна подати у наступному виглядг

j[p(t )• cos#(t )-a2ç-ç И о

çfdt

^ min.

(30)

Рiвняння Ейлера-Пуассона для критерш (30) мае вид:

(IV )

" ' d 2 ç + 2 -a2 • ç + a2 • ç = a2 • [p(t)• cos0(t)J+ — • [p(t) • cos6>(t)J. (31)

dt

Розв'язок (31) мае вид:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

t) = C1 • cos at + C2 • sin at + C3 • t • cos at + C4 • t • sin at + ç4acm (t), (32)

t ) - частинний розв'язок (32); Ci,

де Ç

i = (l,4) - константи, що визначаються з умов (28).

В) Визначимо закон руху ç(t ), за якого квадрат прискорення лшшного перемщення системи набувае оптимального значення при t G [0; tр J. При цьому

необхщно задовольнити наступному критерш якосп руху системи:

J(ç(t))2dt ^ min. (33)

о

Критерш (33) можна подати у вигляда:

j[p(t)• cos#(t)-и • Ç-a2çJ2dt ^ min .

о

(34)

Рiвняння Ейлера-Пуассона для критерш (34) мае вид:

И2 •ç-a4 • ç = и•d• [P(t)• cose(t)J-a2 • [P(t)• cos0(t)J.

dt

(35)

P\

Розв'язок (35) мае вид:

ç(t) = C1 •exp^ — •t 1 + C2 •exp^ - — •t

a

И

■ + ç4acm.(t ),

,2 2 nf \ S •t ET

1, e(t )=-r=T-

a2 • A w 2 2^a

можна подати у наступному виглядг

_ И — —

ç2t+ — çt+ç= cos a

. Тодi рiвняння (1)

(st2 ^

v ^a' У

. (37)

Для скорочення запису введемо позначення для

право! частини (37): cos

s_2 ^

v 2 a У

= I (t ) = I (t) .

Запис рiвняння (1) у виглядi (37) е безрозмiрним. Ця обставина дозволяе визначити кожний з доданшв лiвоï частини (37) через ва iншi доданки, а ваговi коефщенти у критерiï оптимальностi руху системи вважати рiвними одиницi, тобто:

i {çÇ2t )2+(çT )2+(ç)2 ]dT ^ min

(38)

де Тр =a ^, tp

(36)

де (част. () - частинний розв'язок (36); С ,

/ = (1,2) - константи, що визначаються з початкових умов типу (3).

Г) Визначимо закон руху —(¡) для комплексного критерш якосп вказаного руху, коли

при ^ 6 |0; ^р ] сума квадралв —), —) та —)

(кожний квадрат з певним ваговим коефщентом) набувае найменшого значення. Для цього слщ спочатку зробити безрозмiрними всi величини, що входять до складу такого критерш

Використовуючи запис рiвняння (1), введемо

замшу: Т = @ • (, ( = —, де А - амплиуда лiнiйного А

перемiщення. Крiм того, вважатимемо, що Р() = р,

тривалiсть розгону

системи (тривалiсть перехiдного режиму руху).

Опускаючи неважкi, але громiздкi перетворення, можна для критерш (38) оптимальносп руху мехашчно! системи записати наступне рiвняння Ейлера-Пуассона:

( 2 2 ) 2^И It(T)

ç4t+ 2^ ^^ •Ç2T+Ç= I (T) + I2T(T)" a

a

(

1 +

a

2

И2 у

. (39)

Осшльки зазвичай a >> И, тодi з (39) матимемо:

ç4t+ 2 • ç2T+ç= I (Т)+ 12т(Т). (40)

Зазначимо, що 12Т (т)

мае наступний вигляд:

12т (т) = ~2 • sin

( „ _2 \ 2 2

a

s • т 2 • a2

s • t

a

(st2^

•cos

2 • a2

(41)

Враховуючи позначення I (т) можемо (40) записати так:

0

¡4т + 2 - ¡2т + ( = \ 1

2-W'

s . ( s -т2 —Г - sm| -

шженерних метод1в розрахунку под1бних мехашчних систем.

^ 2о . (42)

Чисельн розрахунки (т), (г{т), ^2т(т),

((т) та ¡4т(т) були проведен та побудован

шдпошдш графки для восьми вар1ант1в значень режишв руху механчних систем прямим тарвдшним

методом: Монограф1я. / В.С. Ловейшн, Ю.О Ромасевич. - К.; Н1жин: Видавець ПП Лисенко М.М.,

Список лггератури:

1. Ловейшн В.С. Ошгашзащя перех1дних

вих1дних

параметра

мехашчн°1

системи:

s s s

— = 0,001 - рис. 1; — = 0,01 - рис. 2; — = 1 - 2010. - 184 с. о о о

s s s

рис. 3; — = 2 - рис. 4; — = 5 - рис. 5; —- = 10 -о о о

s s

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

рис. 6; — = 100 - рис. 7; — = 100000 - рис. 8.

о

Висновки i пропозищУ.

2. Голоскоков Е.Г. Нестационарные колебания механических систем. / Е.Г. Голоскоков, А.П. Филиппов. - К.: Наукова думка, 1966. - 336 с.

3. Ловейкин В.С. Расчёты оптимальных режимов движения механизмов строительных машин. / В.С. Ловейкин. - К.: УМК ВО, 1990. - 168 с.

4. Григоров О.В. Оптимальне керування рухом

1.У р°б°п встан°влен° критери та °птимальш механ1зм1в вантажошдйомних машин./ О.В. Григоров. режими руху лшшних мехашчних систем з одним в С Л°вейкш - К: Вш°л 1997 - 264 с

ступенем шльдаеп руху при 1х перех°д! через рез°нанс 5. Ловейк1н ' В.С. ' Моделювання динам1ки

в ум°вах нестацiо нарних к°ливань механiчних систем. мехaнiзмiв вантaжопiдйомних машин. / В.С. Ловейшн,

2.°триман° розрaхунковi ф°рмули для ю.В. Човнюк, М.Г. Дiктерук, С.1. Пастушенко. - К.-визначення швидк°ст! пр°х°дження через рез°нанс та Микола1в: Вид-во РВВ МДАУ, 2004. - 286 с. тривал°сп перех1дн°г° пр°цесу у мехaнiчнiй системi з 6. Кац А.М. // Инженерный сборник. - М. Изд-рiзними видами навантаження. в° ан СССР 1947 - Т 3 - С 2

3.Результата роботи можна у подальшому використати для уточнення i вдосконалення iснуючих

Пiдписи пiд рисунками

Рис. 1. Графики змши euxidHux napaMempie мехашчноИсистеми при —— = 0,001: ([т) - а; (т (Т^) - б;

о2