CC BY
55
ЧТО ТАКОЕ «МЕТАЦЕНТР» И ЕГО РОЛЬ В УСТОЙЧИВОСТИ БАШЕННОГО СООРУЖЕНИЯ
М.Д. Бикташев
МГСУ
Аннотация. В статье рассмотрены вопросы терминологии и использования понятия «Метацентрический радиус» в геодезии и строительстве для определения общей устойчивости положения башенных сооружений отягощенных креном (жестким поворотом фундамента и надфундаментных конструкций, в целом) или наклоном. Автором даны формулы и показаны эффекты, позволяющие использовать данную методику как в научных, так и в практических целях.
Annotation. The article see into questions terminology and using term «Metacentrik radius» in geodesy and building for definition general position tower constructions in dependenc-ing of listing or bank. Giving by author formuls and getting effects for using melodic how in scientific, so and in practical torgets.
Анализ состояния вопроса. Говоря о крене башенных сооружений необходимо внести ясность в терминологию, так как в литературе и в нормативах весьма часто встречаются два понятия - это крен и наклон. Поэтому следует уяснить, что - это два разных понятия.
Первое понятие - крен, обозначает жесткий поворот фундамента и сооружения, как одного целого, от проектной вертикали. Первопричиной такого жесткого поворота является неравномерная осадка.
Второе понятие - наклон, т.е. строительное уклонение инженерного сооружения от проектной вертикали (причиной могут быть дефекты СМР), когда жесткий поворот фундамента отсутствует, рис.1.. Крен вычисляется только при нивелировании осадочных марок, а наклон может быть определен из угловых измерений, на отметке центра масс. Если крен вычислять при помощи угловых измерений, то исполнитель получит не крен, а прогиб, отягощенный креном, если он (крен) имеется на момент измерения. Известно, что внешнее поле нагрузок (солнечная радиация, ветровой напор и т.п.) может вызвать только обратимое перемещение оси сооружения на угол поворота сечения (а), т.е. про-гиб,[1], а не крен, как это принимается в некоторых работах технического характера. При этом необходимо иметь в виду, что предельные состояния внешнего поля воздействий могут привести сооружение до состояния деформаций, которые будут выше расчетных, при котором возникшие дополнительные перемещения оси действительно могут быть решающими для устойчивости общего положения. В связи с этим, вопрос определения устойчивости общего положения башенных сооружений с креном остается до сих пор актуальным. Тем более, что существующие угловые методы ничего существенного в решение данной проблемы не вносят. И, что не менее важно, термины (понятия) - крен и осадка могут использоваться только в един-
ственном числе. Поэтому, по нормам русского языка, следует говорить и писать: осадка п марок, крен п труб; и никаких кренов и осадок.
Решение вопроса. В гидромеханике и в теории плавания тел существует термин "остойчивость", который привлекает близостью с термином "устойчивость"[2]. Но, вместе с тем, это разные термины: первый обозначает возможность судна вернуться в исходное положение, т.е. показывает обратимость явления, в то время, как второй обозначает устойчивость общего положения после возникшей деформации крена, но при условии МУд.>Мопр, в состоянии жесткого поворота фундамента и т.п.
В теории плавания, еще со времен Эйлера, принято, что остойчивость плавающего тела (судна), за исключением подводных лодок, зависит от положения метацентра, являющегося точкой, где пересекаются направление подъемной силы с осью плавания судна (при крене судна). Иначе говоря, чем выше положение метацентра, тем больше его остойчивость*-1. Более того, метацентр - это центр кривизны траектории, по которой перемещается, в процессе наклона судна, центр масс, а в нашем случае - сооружения. Поэтому метацентрический радиус, в том числе, является показателем меры общей устойчивости башенного сооружения, либо остойчивости плавающего тела, определяющий восстанавливающие моменты при малых углах крена.
Значения Щ
Таблица 1
Н,м Нф,м Дф,м Н*^
120 4.5
150 4.8
180 5.1
250 6.1
320 6.5
32
28
30
40
48
27
1/а
0.037
Как правило, при малых углах крена плавающего тела метацентрический радиус (рц) определяется зависимостью вида,[2], рис.2:
р;=и > ьт ,
где — центральный момент инерции 40 5 0 025 площади ватерлинии относительно оси, испытывающей крен, и — объем погруженной части судна, Ьт- метацентрическая высота.
Допуск безопасного крена определяется отношением
рт/ а > / а +1 или (рт -Ьт)/ а > 1, где, в нашем случае, а - расстояние от центра
— •••. •••. •••. ..... масс фундамента до физического центра масс
(Н*). Значения Щ даны в табл.1, где Н*- высо-540 4.65 70.5 112.5 0.0089 та физического центра масс. Имея в виду башенные сооружения любой высоты, введем понятие уровненной плоскости, которая в начальный момент совпадает с горизонталью, проведенной, например, через подошву фундамента через точку. Д (точка давления) при А8' = 0. Когда положение центра масс и точки давления совпадают на одной вертикали, то сооружение вертикально и устойчиво.
Точка давления Д, при наличии неравномерной осадки (жесткого угла поворота фундамента и сооружения, А8' Ф 0), в целом, перемещается в точку Д1, на рис. 2 этаточ-
33.5 0.030
56.5 0.018
71.0 0.014
*' Этот способ может быть использован не только при крене, но и при иных ситуациях потери вертикальности положения, так как имеется общий признак — перемещение (отклонение от вертикали). Различие смысла термина "остойчивость" от смысла термина "устойчивость" в том, что остойчивость предполагает возврат равновесного состояния, после окончания действия возмущающей нагрузки.
ка обозначена как а^. При увеличении крена, центр давления, совершая криволинейное движение, весьма медленно приближается к центру фундамента. В силу указанного, трапециевидная эпюра давлений, постепенно видоизменяясь, преобразуется в треугольную эпюру давлений, что и свидетельствует о дальнейшей невозможности устойчивого равновесия в наклонном положении*-1.
Объем грунта под подошвой фундамента, получившего местную деформацию (ЛБ'), вычисляется как для усеченного цилиндра (с основанием в виде сплошного круга) по формуле:
К 1
V*' = 8 д% ^ ™
ГА5,= 0.5^ • Дср tg<p,
где ф — угол жесткого поворота, соответствующий неравномерной осадке АБ'; Дф — диаметр фундамента, Б — площадь подошвы фундамента. Имея такое решение, в приложении к башенным сооружениям, получим, что метацентр — это точка пересечения наклонной оси сооружения и фундамента (в положении жесткого поворота) с вертикалью, опущенной из точки М на наклонное основание, рис3,а и б. На рис. 3 показаны два случая: а) когда х^ х'2; б) когда Х!> х'2 и этот второй случай наиболее опасен для устойчивости общего положения.
Эти соображения следуют из того, что для абсолютно вертикального сооружения величина = да, но как только сооружение получает крен или невертикальность оси (по иным причинам), метацентрический радиус принимает вполне конечные размеры. И именно такие обстоятельства (АБ' Ф 0, Апв Ф 0) позволяют использовать формулы для вычисления метацентра.
В приложении к башенным сооружениям, формула для метацентра имеет вид:
Р'= ^,
^ V
' ДБ'
где —момент инерции фундамента, УД8--объем уплотненного грунта при жестком
повороте фундамента в случае неравномерной осадки.
1 Использование строгих методов теории устойчивости и сооружений, в таких случаях, сопряжено ; применением громоздкого математического аппарата. Данный способ прост и более доступен для юнимания и реализации на практике.
Одним из исторических примеров такого объекта является Пизанская башня, где имеем, по состоянию на 1998 г., . критическое значение угла жесткого поворота сооружения (более 50). В таких случаях, для сохранения архитектурно-исторического памятника необходима не только новая методика геодезических и технических измерений, но и соответствующее инженерное обоснование, посредством которого можно прогнозировать и контролировать состояние устойчивости положения. Поэтому способ вычисления метацентра является одним из эффективных выходов в такой ситуации, который может быть рационально использован для предотвращения состояния отказа с непредсказуемыми последствиями. Однако, как известно, исправление крена Пизанской башни было решено силовым путем, но состояние крена оставлено. В противном случае башня перестает быть привлекательным туристическим объектом.
Для башенных сооружений, по расчетам автора, метацентрический радиус (рц) может быть вычислен по формулам:
) " А 0.127Дф
а) круглый фундамент — = -
б) кольцевой фундамент — р =
0.127 Дл (1 + а2)
g Ф
где а = d / Дф, d — внутренний диаметр кольцевого фундамента. Формулы указанного
вида могут иметь свои модификации, в том числе для контроля безопасной эксплуатации, когда для расчета допустимого крена или неравномерной осадки используют радиус ядра сечения круглого или кольцевого фундамента (гя). В этом случае величина допустимого метацентрического радиуса [рц] может быть вычислена, например, для тел вращения (круглые или кольцевые фундаменты) по формулам:
а) [Рц] = гя/sinф, т.е. гл <[рц]sinф; б) [рц] = 0.25 J— /sinф,
где ie = f(e), e — эксцентриситет, S — осадка.
Удерживающий момент для расчета метацентрического радиуса определяется формулами а) Муд =у-ф- J и б) Муд =Y-Vas-е'ф, где у — весовая плотность грунта, ф - угол жесткого поворота (крен), г'ф= x2 — проекция точки. М'0, J® - момент инерции, VAS- объем уплотненного. грунта. Эта формула основана на известном положении теоретической механики, согласно которому Муд связывается с параллельным переносом силы на расстояние в'ф . В связи с чем, приравнивая правые части, получим:
, , Ф ■
вф = x2 = Sin ф-рц ,
V AS
т.е. в'ф определяет проекцию точки М'о на подошве фундамента, тогда h'c, являясь направлением результирующей силы, показывает проекцию центра масс сооружения (х1) на подошву фундамента. Имея в виду, что: sinф = x2 / рц , a sin ф = x1 / h'c, то вполне
x hh
очевидно, что[1]: — = —^-, откуда р„ = x2 • hc /x1.
x2 Рц
В случае фундамента квадратной или прямоугольной формы формулы для вычисления метацентрического радиуса остаются теми же. Однако, вполне по понятным причи-
нам, в этой формуле необходимо дополнительно вычислять момент инерции (как для квадратного, так и для прямоугольного фундамента), а также значение УД8, так как под подошвой таких фундаментов может быть как усеченная трехгранная призма, так и клин, либо другая объемная фигура. Например, для прямоугольного фундамента со сторонами
а,Ъ - значение УД8 =0.43 а^Б^ОБф. Уникальное рассмотрение метацентрического радиуса в приложении к башенным сооружениям весьма удобный случай для анализа функциональной зависимости осадки от геометрических параметров сооружения и крена. Например, имеется средняя осадка (Бср), которая имеет то же направление, что и вертикальная нагрузка, при наличии крена - это направление осадки не изменяется. Тогда, что весьма очевидно, направление осадки пересекается с направлением наклонной оси сооружения (рис.4) и образует некую величину Б8 (на верхней плоскости фундамента) и е8 (на нижней плоскости фундамента) т.е. Е = Бср ■ tgф и ^ =М:2/ Яф
С другой стороны, tgф = ДБ'/Дф, а с учетом величины е8, после некоторых преобразований получим, что = 2А80" tgф, в том числе:
AS '• Scp E =- ср
AS ' =
2es ■ cos ф
Дф sin Ф
Для этого же угла ф имеется величина xi — проекция центра масс сооружения, тогда неравномерность осадки определяется, как:
AS'0 = x1 ■ sin ф или AS'0 = x¡ • tgq>. Так как при углах ф, больших 2°06', функции углов начинают различаться уже в четвертом знаке, то следует принять: ASJ = x1 • sinф, тогда из равенства отношений:
Es cos ф / Scp = AS О / x1
следует:
S ср -
x1 Es ■ cos ф _ x1 Es ■ cos ф y/es■ RcP Rф ■ sin Ф
Дополнительно отметим, что критическое значение углового перемещения, по мнению некоторых специалистов, не может превышать 5°, [3]. В связи с чем, следует еще раз отметить, что имеется три вида башенных сооружений: короткие, средние, длинные. И точно так же имеются сооружения жесткие, конечной жесткости и гибкие. Если говорить о коротких и жестких, то критерию 50 соответствует, например, Пизанская башня. Если же говорить о сооружениях высотой Н > 100 м, то среди них могут быть сооружения как конечной жесткости, так и гибкие. Поэтому здесь действительно такая проблема существует, в том числе по причине вероятного излома в одном из верхних сечений.
Методика определения метацентрического радиуса может оказаться полезной не только для контроля нормативно установленного крена сооружения и фундамента, а также общей устойчивости положения, но и для согласования надежности с экономичностью конструктивных решений:
Рц = 2гсР ■ Кс , при Х2 < ГФ ,
которая следует из отношения Дс/ Дф = к*, тогда вполне аналогично получаем гс / Гф = к*.
В таких случаях метацентрический радиус может вычисляться согласно следующих выражений:
Г -р' гф ■ к * -р'
Ри =- или р„ = —-,
к * -ф ф
где отношения вида Дс/Дф или гс /Гф приводят в соответствие размеры ствола и фундамента, в том числе корректируя значение неравномерной осадки. Например, = к * ,
где А5С'—неравномерность осадки на уровне осадочных марок ствола, АБ'ф — неравномерность осадки на уровне фундамента.
При строгом подходе к устойчивости общего положения можем констатировать такое состояние, как устойчивость положения—в малом. И в этом смысле, именно методика определения метацентрического радиуса способствует оперативному контролю общей устойчивости положения башенных сооружений. Значения угловых и горизонтальных перемещений оси сооружения (в верхнем сечении) при неравномерной осадке, в том числе величина р^ = Jф / V, указана в табл. 2. Из табл. 2 видно, что при жестком угле поворота в 5° об общей устойчивости равновесного положения высоких сооружений не может быть и речи. Значения и р' для 10 < ф < 300 Таблица 2
H, м 80 150 250 450
ф, мин 10 300 10 300 10 300 10 300
Яде', м 0.23 7.0 0.43 13.1 0.72 21.9 1.30 39.4
AS', м 0.02 0.7 0.04 1.11 0.06 1.83 0.11 3.32
Рц , м 859 28.7 1203 40.1 1805 60.1 3063 102.1
Для вычислений в табл. 3 принято: h'c = hc /cosф; x1 = h'c- sinф; x2 = рц • sinф, = 0.127 Д^ (1 + а2)/tgq. Изтабл. 3 видно, что при 180 < ф < 240' величина проекции хь начинает превышать величину x2.
Динамика изменений X,, x2, hc U ф„ Таблица 3
К, м 63 63 63.01 63.04 63.09 63.15 63.24
ф, мин 10 30 60 120 180 240 300
фц, м 1182.41 394.14 195.94 98.25 65.44 49.05 39.19
x1, м 0.183 0.548 1.103 2.20 3.30 4.41 5.51
x2, м 3.43 3.43 3.43 3.43 3.42 3.42 3.42
Это достаточно предметно показано, в табл. 3, табл. 4. В принципе, продолжение табл. 3 уже не имеет смысла, но, тем не менее, сделаем это в табл.4 , которая позволит выявить динамику изменения величин ДХ1, Ах'2.
Ах = х - х, и Дх2 = х' — х\.
1 1 ] 1 У
Динамика изменений х1, х'2, К и р^ Таблица 4
ф, мин 400 500 600 700 800 900
БШф 0.1161 0.1449 0.1736 0.2022 0.2306 0.2588
еоБф 0.9932 0.9894 0.9848 0.9793 0.9730 0.9659
м 63.43 63.67 63.97 64.33 64.75 65.22
х1, м 7.36 9.22 11.10 13.01 14.93 16.88
х2, м 3.40 3.39 3.38 3.36 3.34 3.31
рц, м 29.33 23.41 19.45 16.60 14.47 12.80
На основании табл. 3 и табл. 4 составим табл.5, где координата А х'2, по отношению к координате Ах1, имеет весьма малые изменения.
Динамика изменений Ах1 и Ах2. Таблица 5
ф, мин 30 60 120 180 240 300 400 500 600 700 800 900
- Ах1, м 0.36 0.55 1.10 1.10 1.11 1.10 1.85 1.86 1.88 1.91 1.92 1.95
+ Ах^, м 0 0 0 0 0 0 0.02 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03
При этом, весьма очевидно, что используя разделенные разности (МКР), можно определить кривизну эпюры движения не только центра масс, но и центра фундамента при прогрессивном увеличении угла жесткого поворота ф. В связи с полученными результатами, следует видеть, что наиболее разумное предельное значение угла жесткого поворота (фи) не может превышать 2°. Это объясняется тем, что при фи > 2° провоцируется деформация разрушения, например, от максимального изгибающего момента, возникающего в верхних сечениях, за счет увеличения прогиба и увеличения имеющихся температурных трещин. При этом наиболее опасным является положение, когда х^ < х1. В связи с
этим, башенные сооружения должны иметь вычисления по типу табл. 2. Например, если взять Пизанскую башню (как расхожий пример), то ее устойчивость положения на 1998г характеризуется данными табл. 6.
Пизанская башня: динамика изменений х1, х'2, к'с и р^.. Таблица 6
ф,МИН 300 400 500 600 700 800 Примечание
К, М 23.13 23.17 23.25 23.35 23.51 23.64 Происходит переход от трапециевидной эпюры давления к треугольной.
х1, м 2.35 2.69 3.37 4.05 4.75 5.45
х'2, м 2.59 2.59 2.58 2.57 2.55 2.54
рц, м 25.54 22.32 17.81 14.80 12.63 11.0
Поэтому, с учетом наших преобразований в методику вычисления ,, получим:
2.68 • г.2
а) для круглых фундаментов — =-р- (А.1)
1.34 т2(1 + а2)
б) для кольцевых фундаментов — =-;-,
As4
где ASI = tgWu Дф , в этом случае (А.1) дает уменьшенное значение метацентрического радиуса. Поэтому, если приравнять правые части а) и б)
, AS' 2.68sin m AS' 2.68
а) — =-^ и б) -
2 2 ' Гф Х2 Гф Рц
I
то получим величину Р^ свободную от указанных недостатков, т.е.:
Рц = x2/ sin ф.
Выводы. Данная публикация имеет не только научное, но и практическое значение. Поэтому, эффективность использования р^ может быть проанализирована и с иной позиции. Например, с той из которой следует, что при ф Ф 0 вертикальная нагрузка (Р), приложенная в центре масс, равна вектору:
P = PJ tgy, ( а.1 )
где P2 — вектор опрокидывающей силы.
Таким образом, tgф=P и sin ф = —,
P Рц
откуда следует:
P ■ x2 , P2 • cos ф
Рц=5-— ИЛИ Х2 ~ Рц ' 2 ^- , ( б.1 )
P2 • cos ф P
где P — вектор удерживающей силы. Из (6.1) следует, что отношение P / cos ф • P2 аналогично отношению Муд/Мопр. Откуда и следует, что нам нужен критерий, например, в виде: х1 < х'2, который определяет меру потери устойчивого равновесия в наклонном положения тела, где были бы задействованы указанные выше вектора. Поэтому, обращаясь к P и P2, в том числе используя известную величину к'с, получим:
P2 • h' , л,
x1 = ^ c • cos ф, ( в.1 )
тогда из (6.1) и (в.1) следует:
x1 / h'c = x2 / рц или рц / h'c= x2 / x1. ( г.1 ) При этом, из (6.1) следует, что
cosф-рц • P2 = x'2 ■ P, ( д.1 )
т.е. уменьшение (cos ф -рц • P2) пропорционально уменьшению (x2 • P ), где с увеличением
фо прогрессивно уменьшается P , т.е. так же, как рц . В указанном случае кривизна эпюры (по траектории оси) зависит от перемещения точки (ag = x2), которая, в свою очередь, зависит от увеличения проекции, т.е. увеличения х1, см. табл. 2, табл. 3. Графическое изо-
бражение х2 = f (х1) дано на рис.5 из которого следует, что для однозначного определения опасного момента необходимо к ветвям эпюры провести касательные. Точка пересечения касательных покажет критическое значение х2 = f (х1). Это критическое значение определяется, если к касательным восстановить перпендикуляры, угол между которыми и укажет критическую точку эпюры. Проектируя эту точку на оси хь и х2, найдем критические значения этих точек.
Литература
1.Бикташев М.Д. Башенные сооружения. Геодезический анализ осадки, крена и общей устойчивости положения, М.,АСВ, 2006, 375с.
2.Кременецкий H.H. и др. Гидравлика, М., Энергия, 1980,384с.
3.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем., М.,Наука,1979, 384с.
Ключевые слова: Крен, жесткий поворот, башенное сооружение, устойчивость общего положения, метацентрический радиус.
Code words: List, rigid wind, tower construction, stability general position, metacentric radius. Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»
