CC BY
75Что такое «финансовые пирамиды»: подходы и определения
Димитриади Г.Г. [email protected]) Институт системного анализа РАН
1. Введение
В прессе часто встречаются упоминания о тех или иных финансовых пирамидах, сообщения об очередных обманутых вкладчиках. Возникает естественный вопрос, а что такое финансовые пирамиды? Как их понимают журналисты, население страны и, наконец, исследователи-экономисты?
Оказывается, что существует несколько подходов к математическому описанию финансовых пирамид. В разделах 2-5 статьи описываются основные современные подходы, показано их разнообразие и разноплановость, а затем в разделах 6-7 вводится определение финансовой пирамиды в рамках сценарного подхода.
2. Рациональные финансовые пирамиды
Работа [1] посвящена изучению вопроса о том, что такое финансовые пирамиды (financial bubbles), могут ли они существовать, какие формы могут принимать в случае рационального поведения всех участников рынка, а также с помощью каких тестов можно их обнаружить.
Не давая определения финансовой пирамиды, авторы упоминают, что под ними «обычно подразумевают изменения цены, необъясняемые очевидным образом доступной на текущий момент информацией и имеющие вид быстрого роста с последующим крахом или хотя бы резким упадком».
В работе подразумевается наличие эффективного рынка, а также делается довольно сильное предположение о том, что все участники рынка после «объявления» цен имеют одну
и туже информацию. Доходность владения активом есть
r = p+1 Pt + ^ . Здесь p - цена Pt
актива, xt - доход от актива в момент времени t, называемый авторами «дивидендом». В работе полагается, что E (Rt |Qt ) = r, E (pt+1 |Qt)- pt + xt = rpt, где r - заданная постоянная величина, а Qt - информация, доступная всем участникам рынка в момент времени t. Ему удовлетворяет как базовая стоимость актива (fundamental), определяемая по формуле:
ад
pt* = JJff+1E (x+ |Qt), где в = (1 + r)-1 < 1, -
i=0
так и любая другая вида:
pt = pt + ct, где E (ct+1 l^t) = e-ct •
Далее в [1] приводится три примера таких ct , представляющих собой финансовые
пирамиды согласно введенному выше определению.
Дав определение и приведя примеры финансовых пирамид, авторы останавливаются на более сложных вопросах. Например, они получают, что могут существовать финансовые пирамиды в индивидуальном восприятии конкретных участников рынка, если отбросить предположение об одинаковой всеобщей информации, так как в этом случае базовые стоимости актива различны с точки зрения различных лиц.
Далее показано, что финансовые пирамиды не могут существовать в случае, если имеются только бесконечно долго живущие участники рынка. Также авторы утверждают, что пирамиды более вероятны на рынках со сложно определяемыми базовыми стоимостями активов, например, на рынке золота, и что пирамиды менее вероятны на рынках с достаточно
просто определяемыми базовыми стоимостями активов, например, на рынке «голубых фишек», на рынке пожизненных рент.
В следующем разделе затрагивается вопрос о влиянии финансовых пирамид на базовую стоимость рассматриваемого актива. Важно отметить, что наличие финансовой пирамиды влечет за собой изменение базовой стоимости актива.
Кроме того, в работе показано, что финансовая пирамида относительно цены одного актива может привести к изменению (уменьшению) цен на многие другие, то есть воздействовать на другие рынки. По мнению авторов существуют модели всеобщего равновесия с присутствием финансовых пирамид на рынке только одного актива.
Последняя часть работы [1] посвящена разработке тестов для обнаружения финансовых пирамид по статистическим данным. Поскольку описать все финансовые пирамиды не представляется возможным, авторы в качестве нулевой гипотезы используют гипотезу об отсутствии финансовых пирамид.
Сначала, считая известными цены р и дивиденды х, были получены границы изменения дисперсий для рациональных пирамид и было показано их нарушение на реальной статистике. Однако это нарушение может быть вызвано, например, иррациональностью поведения участников рынка и т.д., поэтому нельзя ничего точно сказать о наличии пирамид в рассматриваемом случае.
Затем были предложены и использованы на статистике тесты в случае, если известны только цены р: критерий серий и критерий хвостов распределений. Результаты их применения дают наличие финансовых пирамид на рынке золота. Однако эти критерии имеют еще меньшую силу, чем упомянутые ранее.
3. Финансовые пирамиды как игры Понци
В начале работы [2] авторы определяют финансовую пирамиду как частную компанию, которая привлекает депозиты частных лиц, обещая невероятно высокие проценты, многократно превышающие рыночные ставки. Какое-то время фирма поддерживает репутацию и выполняет собственные обязательства, но затем оказывается банкротом.
В тоже время существование финансовых пирамид нельзя объяснить с точки зрения рационального поведения индивидов. Различные авторы часто используют различные модели, связанные с нарушением рациональности, для объяснения этого явления. В работе [2] используется игровой подход.
Финансовая пирамида моделируется как стохастическая игра (в смысле теории игр) с неполной информацией между фирмой Понци и популяцией индивидуальных инвесторов.
Предполагается, что фирма Понци знает все свои ходы и ходы популяции во все предыдущие моменты времени, а индивиды - только ходы фирмы, свои собственные и, возможно, небольшого количества своих знакомых. Также предполагается марковское свойство истории, что позволяет ввести вероятностные функции перехода из одного состояния в другое. Фирма Понци играет на каждом шаге не с каждым конкретным индивидом, а с их совокупностью, а каждый из них - только с самой фирмой. После краха пирамиды в фирму больше никто не инвестирует. В работе [2] делаются и иные предположения.
В отличие от других подходов в [2] население не предполагается однородным, что является важным достижением авторов. Все множество реальных и потенциальных вкладчиков делится авторами на две большие группы: наивных и мудрствующих индивидов. Мудрствующие индивиды знают, что пирамида в конце концов обречена, но уверены также в том, что сумеют так вкладывать в финансовую пирамиду, что это принесет им прибыль. Они субстанционально рациональны, то есть максимизируют свою прибыль на основе всей имеющейся у них информации и текущих предпочтений. Их предпочтения, естественным образом, меняются со временем. В отличие от них наивные вкладчики не понимают, в какую игру они играют, и инвестируют потому, что так сделали до них другие и оказались в
выигрыше. Считается, что количество инвесторов среди наивных индивидов в основном возрастает пропорционально числу встреченных ими удачливых вкладчиков в пирамиду.
Авторы рассматривают стратегии мудрствующих индивидов. Вводится понятие стадийной усеченной игры с неполной информацией, то есть такой игры, которая происходит на одном шаге между индивидом и фирмой Понци. Подчеркнем, что на самом деле фирма играет с совокупностью индивидов, но не с каждым их них, а индивиду видна именно усеченная игра. В работе получено, что в стадийной усеченной игре в стратегической форме равновесные компоненты (в+С, I) и (в~ Б,Ж) содержат
совершенные, последовательные, собственные и сущностные равновесия, если только фирма считает оптимальной стратегию С и Б соответственно, а индивид приписывает достаточно высокие вероятности соответствующим событиям. Несмотря на то, что согласно этому предложению в усеченной (то есть в воспринимаемой индивидом) игре имеются два равновесия, верно следующее утверждение: единственное равновесие в стохастической игре Понци с неполной информацией есть тривиальное равновесие (Б, Ж) в каждой стадийной
игре.
Это утверждение на первый взгляд кажется парадоксальным, однако оно строго доказывается. Его верность и существование реальных финансовых пирамид связано с тем, что рассмотренная выше усеченная игра не отражает всей полной игры (фирма Понци играет с популяций, а не с конкретным индивидом), а также с неполной информацией, имеющейся у последнего.
Авторы [2] подробно рассматривают динамику количества наивных и мудрствующих индивидов, а также динамику инвесторов из их числа. Наивные индивиды выбирают собственную стратегию исходя из своих текущих наблюдений о наиболее выгодной стратегии и числе знакомых - удачных вкладчиков. Также вклады могут забираться инвесторами для оплаты непредвиденных счетов. Для описания такого поведения наивных индивидов авторы используют уравнения репликаторной динамики в дискретном варианте, которые позволяют учесть описанные выше обучающие правила.
Также вводятся некоторые предположения о поведении мудрствующих индивидов. Важным моментов является то, что они все же участвуют в игре Понци, так как не имеют полной информации обо всей игре. Среди их убеждений имеется вероятность того, что, по их мнению, финансовая пирамида закончится на следующем шаге. Эта вероятность растет со временем, в пределе стремясь к единице. Используя это и другие предположения, в работе получены уравнения динамики наивных, мудрствующих индивидов, их общего количества и числа инвесторов среди каждой из этих групп.
Основной вывод звучит как:
«НЕ ИГРАЙТЕ В ИГРЫ ПОНЦИ!»
4. Сценарный подход к описанию финансовых пирамид
В работах [3, 4] имеется модель роста финансовой пирамиды, призванная качественно объяснить механизм дефолта 1998 года.
С. В. Дубовский в [3, 4] предложил модель финансовой пирамиды (так называемый сценарный подход к описанию финансовых пирамид), в которой различные случаи роста объемов непогашенных ценных бумаг в обращении или объемов текущих продаж этих бумаг задаются как сценарии - монотонно растущие функции времени. Пирамида функционирует без реинвестирования собранных средств и только до того момента, когда текущие расходы на погашение ценных бумаг, выпущенных ранее, становятся равны текущим доходам от продажи новых бумаг. Этот момент и является моментом прекращения существования пирамиды, так как продолжение работы принесло бы Организатору убытки. С этого момента в случае продления жизни пирамиды суммарный капитал, собранный Организатором, перестает расти и начинает убывать. Таким образом, гипотеза о крахе пирамиды из-за исчерпания потенциальных вкладчиков в модели С. В. Дубовского не обязательна, хотя
сценарий с замедлением роста объемов продаж бумаг пирамиды может быть задан, например, с помощью уравнения логисты. Три формальных соотношения - уравнение роста пирамиды, условие прекращения ее функционирования и сценарий роста объема непогашенных ценных бумаг или объема их текущих продаж - позволяют вычислить основные показатели пирамиды: длительность безубыточного существования, объем капитала, собранного Организатором, а также доходы и потери вкладчиков.
В [3, 4] приведены аналитические выражения для длительностей безубыточного существования пирамиды по двум сценариям - линейного и квадратичного временного роста объемов непогашенных бумаг. Оказалось, что сроки безубыточного существования пирамиды зависят только от сроков выполнения обязательств и процента, выплачиваемого вкладчикам. Наклон прямой линейного роста и параметры квадратичного роста влияют на доходы и потери, но не влияют на длительность существования пирамиды. К трем основным соотношениям модели С. В. Дубовский добавил двухпараметрическую функцию спроса вкладчиков на ценные бумаги пирамиды. Этот спрос растет с ростом доходности для вкладчиков, бесконечен при нулевой цене номинала и равен нулю при цене, равной номиналу. Включение такой функции спроса в сценарий роста позволило вычислить оптимальную цену, при которой капитал, собранный Организатором пирамиды, достигает максимума.
Рост финансовой пирамиды описывается автором уравнением ^^ = g(V) - g(V - ф) ,
условие существования записывается как cgg(V) - g(V - ф) > 0.
Здесь через G обозначен объем пирамиды по номиналу, g (V) - номинальная стоимость ценных бумаг, реализованных в момент времени I, ^ - цена продажи ценных бумаг в долях от номинала, ф - время погашения ценных бумаг, считая от момента продажи.
Из приведенных уравнений видно, что, так как всегда < 1, то финансовая пирамида
заведомо убыточна для Организатора, если она не является растущей.
Автором получены аналитические формулы времени жизни финансовой пирамиды для сценариев ее линейного и квадратичного роста:
g(0 - g(V-ф) = в и
g Ц) - g (V -ф) = Р(Х - О.
Например, если вкладчикам выплачивается 100% годовых (ф = 12 мес., = 0.5), то
«линейная» пирамида безубыточна в течение 24 месяцев, а «квадратичная» - 35.
С помощью модели такого рода и иных рассуждений автор [3, 4] дает качественное объяснение дефолта 1998 г. в России.
5. Обсуждение описанных подходов
Из приведенных выше описаний видно, что под финансовыми пирамидами могут пониматься хотя и концептуально подобные, но совершенно различные объекты (явления).
В подходе «рациональных финансовых пирамид» [1] под ними понимаются «изменения цены, необъясняемые очевидным образом доступной на текущий момент информацией и имеющие вид быстрого роста с последующим крахом или хотя бы резким упадком», то есть один из видов рыночного поведения.
В работе [2] декларируется, что финансовая пирамида - это частная компания, привлекающая вклады от частных лиц, обещая невероятно высокие проценты, многократно превышающие рыночные ставки, причем она какое-то время поддерживает репутацию и выполняет собственные обязательства, но затем оказывается банкротом. Такое понимание характерно для описания финансовых пирамид в ежедневной прессе.
Если говорить точнее, то в игровом подходе под финансовой пирамидой понимается один из видов экономического поведения - игра Понци (по имени итальянского исследователя, впервые описавшего финансовую пирамиду в научной литературе).
В рамках сценарного подхода С. В. Дубовский не дает четкого определения, видимо, предполагая, что финансовая пирамида - это такой вид поведения ее Организатора, при котором выполнение принятых на себя обязательств происходит только за счет привлечения новых займов.
Таким образом, не существует единого подхода к понятию термина «финансовая пирамида».
Ниже предложено более подробное определение финансовой пирамиды в рамках сценарного подхода.
6. Развитие сценарного подхода
Из приведенного обзора и журналистских публикаций в прессе ясно, что при некотором общем понимании того, что такое «финансовые пирамиды», они могут принимать совершенно различные формы.
Например, существуют схемы, где каждый очередной участник должен привлечь не менее 4 новых, или схемы, связанные с организацией холдинга, активной рекламой входящих в него компаний и продажей их акций в момент максимального роста цены.
Ниже делается попытка, если не охватить все ситуации (например, видимо, не будут учтены случаи, рассмотренные в подходе «рациональных» пирамид), то, во всяком случае, отвлечься от организационной формы и дать как можно общее определение.
Определение 1. Финансовая пирамида - это такая политика управления внешними заимствованиями организации1, при которой в течение продолжительного периода времени выполнение обязательств происходит только за счет привлечения новых заимствований.
Такое определение более подходит для стороннего наблюдателя, так как использование модели пирамид для описания задолженности организаций вполне естественно, потому что поведение менеджмента компании в отношении внешних заимствований по типу финансовой пирамиды (то есть выполнение собственных обязательств за счет новых займов) является пессимистическим вариантом развития фирмы. Для стороннего наблюдателя как раз важно выяснить, укладывается ли поведение организации в модель финансовой пирамиды и, если да, то с какими параметрами.
Дадим еще один вариант того же самого определения, который удобнее использовать при описании пирамид с точки зрения Организатора.
Определение 2. Финансовая пирамида - это следующая финансовая схема. Организатор финансовой пирамиды продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств.
Предполагается, что Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.
Рассматривается только период существования финансовой пирамиды до ее краха.
Важной особенностью подхода является то, что крах финансовой пирамиды обусловлен не исчерпанием числа вкладчиков или иными подобными причинами, а тем обстоятельством, что у Организатора в какой-то момент времени может оказаться недостаточно средств для выполнения своих обязательств.
Такое определение неявно использовалось при развитии сценарного подхода в работах [59], но будучи сформулированным, оно позволяет применить полученные результаты к более широкому кругу ситуаций.
7. Основные идеи сценарного подхода
Для иллюстрации сказанного кратко приведем основные идеи сценарного подхода.
1 Под термином «организация», «Организатор», «фирма» понимается лицо (юридическое или физическое), которое фактически организует финансовую пирамиду и может существенно влиять на ее существование.
Обязательства Организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями, а сумму обязательств по каждой бумаге будем называть ее номиналом. Без ограничения общности примем номинал равным единице.
Будем использовать следующие обозначения. Считаем, что финансовая пирамида начинается в момент времени V = 0.
О^) - непогашенный к моменту времени V объем ценных бумаг финансовой пирамиды по номиналу, находящихся в обращении;
V (V) - доход Организатора финансовой пирамиды;
Ж (V) - суммарный доход вкладчиков финансовой пирамиды;
g(V) - объем распроданных в момент времени V облигаций Организатора по номиналу;
в > 0 - фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (то есть срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи.
Итак, предполагается, что ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды суть, например, бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения в относительно момента их продажи.
g(V-в) - объем по номиналу проданных Организатором в момент V-в облигаций, подлежащих погашению в момент времени V.
с (V) е [0;1] - цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи
облигаций в момент времени V.
Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, то есть не привлекая средств со стороны.
В рамках этого предположения ясно, что если в какие-то периоды времени продается «слишком маленькое» количество ценных бумаг Организатора, то, так как выручка, получаемая Организатором в момент времени V с (V)g(V)2 меньше, чем принятые на себя
обязательства g(V), в какой-то момент у Организатора может не оказаться средств для выполнения своих обязательств.
Исходя из экономического смысла введенных величин и сделанных предположений, можно записать, что
аЮ = [ g(t), I <в ,
С 1 g(V) - g(V -в), V >в ¿¡V (с? (V)g(V), V <в
ау 1 V (0) = 0, (2)
О (0) = 0, (1)
¿V (с? (V) g (V) - g (V -в), V >в [0, V <в
аж=( , ж (0) = 0. (3)
" - cg(t-в)! g(t-в), V >в
Л
Используя эти формулы, можно рассчитать функции О (V), V (V) и Ж (V) в любой момент времени по известной функции g(V) .
При записи этих формул не предполагается постоянство цены. Она, как и остальные величины, вообще говоря, зависит от времени: с = с (V).
Кроме того, в модели вводится функция спроса на облигации Организатора пирамиды (подробно обсуждена в [7]).
2 Исходя из рыночной действительности, легко понять, что продажи бескупонных облигаций Организатора будут иметь место только в случае, если цена с , выраженная в долях от номинала, меньше 1 при отсутствии внеэкономических средств воздействия.
, G(0) = 0,
, Ж (0) = 0.
dV
Тогда — = с% (X) % (X) - % (X -в), где % (0) = 0 при X е [-в,0) и % (X) = %оФ (с% (X)) / (X) при
X > 0, - зависимость выручки Организатора финансовой пирамиды от времени. Функция % (X) разложена в произведение двух функций: функции спроса ф( ), зависящей от цены
обязательств Организатора, и заданной функции роста / (X) - априорного сценария притока вкладчиков пирамиды в зависимости от времени. %0 - постоянная - коэффициент
пропорциональности для выбранных единиц.
В качестве развития модели был предложен ее вариант с учетом расходов на рекламную кампанию, позволяющую стимулировать продажи облигаций Организатора финансовой пирамиды. Считаем, что рекламная кампания финансовой пирамиды приносит как дополнительные издержки Организатору, так и дополнительный приток инвесторов [8]. Для учета рекламной кампании вводится дополнительный параметр - управление: s(X) - доля вложений в рекламную кампанию (доля от текущей выручки от продажи ценных бумаг Организатора), "(X) е [0,1].
В случае с учетом рекламной кампании обязательств Организатора пирамиды уравнения (1)-(3) перейдут в: сЮ = Г % (X), X <в
dX и(0 - ^-в), X >в
V -¡с% ^ ) ^ ) X <в , к (0) = 0,
~ \с8 (X)"(X)) - %(X - в), X >в '
сж = Г0, * <в
"{[1 - с% (X-в) ] % (X-в), X >в
В варианте модели с учетом рекламной кампании соответственно %(X) = %оег'Ф(с%)/(X)
при X > 0: функция %(X) представлена в виде произведения трех функций: функции
эффективности вложений в рекламу е7", зависящей от доли вложений в рекламу, функции спроса ф(с%), зависящей от цены обязательств Организатора, и заданного сценария притока
вкладчиков в зависимости от времени /(X) . %0 - постоянная.
В работе [9] подробно обсуждены различные целевые установки Организатора финансовой пирамиды, конкретизирующие его поведение. Показано, что крайними взаимоисключающими вариантами целей являются следующие.
Цель 1. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимизация своей выручки V(Т) в момент окончания (краха) Т финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.
Такая цель часто преследуется небольшими компаниями, частными лицами с раскрученным имиджем и т. п. Однако, как показывает история, Организаторы, отрыто ставящие цель 1, имеют шансы привлечь очень большие средства.
Цель 2. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимальное увеличение времени жизни (безубыточного существования) финансовой пирамиды, то есть величины Т - момента окончания (краха) финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.
Цель 2 обычно соответствуют крупным организациям или государственным структурам, обладающими полномочиями по исполнению бюджета и управлению долгом.
Например, крупная частная компания, преследуя вторую цель, тем самым (благодаря предсказуемости собственного поведения для внешних наблюдателей и наличию ликвидного рынка собственных обязательств) снижает для себя стоимость внешних рыночных
заимствований и получает другие косвенные выгоды. В то же время часть привлеченных средств может быть использована для покрытия бюджетного дефицита.
Другим примером является уполномоченный государственный орган, целью которого может являться долгосрочный выпуск государственных долговых обязательств. Эта цель может быть обусловлена двумя причинами: покрытие (части) текущего бюджетного дефицита государства и/или создание ликвидного рынка государственных ценных бумаг для повышения ликвидности рынка в целом и увеличения его стабильности. В [9] получено утверждение о сравнении целей.
8. Итоги
В статье кратко изложены основные подходы к описанию финансовых пирамид; показано, что под этим термином могут пониматься совершенно различные явления.
Предложено определение финансовой пирамиды, сформулированное для охвата большого количества ситуаций. Такое понимание неявно использовалось в сценарном подходе, но будучи четко сформулированным, оно позволяет применить полученные результаты к более широкому кругу ситуаций. Для иллюстрации приведены основные идеи сценарного подхода.
В итоге можно сказать, что финансовые пирамиды могут пониматься по-разному; не существует какое-то единое определение. И их нельзя считать однозначно положительным или отрицательным явлением.
Список литературы
1. O.-J. Blanchard and M. Watson. Bubbles, rational expectations and financial markets in P. Wachtel Crises in economic and financial structure. Lexington (MA). 1982.
2. А. В. Белянин, О. Г. Исупова. Финансовые пирамиды в переходной экономике с точки зрения теории игр // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/10 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/). 2000.
3. С. В. Дубовский. Прогнозирование инфляции и обменного курса рубля в российской нестационарной экономике. М.: Издательство УРСС. 2001.
4. С. В. Дубовский. Обменный курс рубля как результат денежной эмиссии, внешней торговли и блуждающих финансовых потоков // Экономика и математические методы, 2002, том 38, № 2, с. 84-96.
5. Г. Г. Димитриади. Обзор моделей государственного долга. М.: Эдиториал УРСС. 2002. Сайт www.mirkin.ru.
6. Г. Г. Димитриади. Математические модели финансовых пирамид // Электронный журнал «Исследовано в России», 83, с. 929-936, 2002. http:\\zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/083.pdf
7. Г. Г. Димитриади. Модели финансовых пирамид: детерминированный подход. М.: Едиториал УРСС, 2002 и сайт www.mirkin.ru.
8. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу // Математическое моделирование. 2003, № 4, т.15, с. 23-33.
9. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид: цели Организатора финансовой пирамиды // Электронный журнал "Исследовано в России", 175, стр. 2117-2124, 2003 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/175.pdf и сайт www.mirkin.ru.
G. G. Dimitriadi. Deterministic approach to bubbles description: goals of the bubble Organizer. Electronic journal "Investigated in Russia", 175е, p.p. 2125-2132, 2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/175e.pdf
