CC BY
431МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ПИРАМИД
Г. Г. Димитриади ([email protected]) Институт системного анализа РАН
В литературе существует несколько подходов к математическому описанию финансовых пирамид.
Первый подход основан на идее существования «экономически рационального субъекта». В работе [1] под финансовой пирамидой авторы понимают изменение цен, простым образом необъясняемое с помощью имеющейся информации и имеющее вид резкого повышения цен с последующим крахом. Авторами показана возможность существования таких финансовых пирамид в случае рационального поведения всех участников рынка, приведены примеры. Также авторы предлагают ряд статистических тестов, позволяющих определить их наличие, проводятся расчеты.
Второй подход можно назвать игровым. Основные идеи, положенные в его основу, таковы. Организатор создает финансовую пирамиду, при этом в качестве ее вкладчиков может выступать все экономически активное население страны или его часть. Желанием Организатора является привлечение как можно большего их числа, т.к. при этом он максимизирует свою прибыль. В рамках данного подхода Организатор и население рассматриваются как участники одной игры Понци с разными (неантагонистическими) интересами, причем возможным выбором Организатора (фирмы Понци) на каждом шаге является либо выполнение всех своих обязательств, для которых наступил срок выполнения, и продолжение существования пирамиды, либо отказ от их выполнения и «уход в тень от обманутых вкладчиков» (крах финансовой пирамиды). В это же время каждый представитель населения на каждом шаге решает, принимать ли участие в финансовой пирамиде, или нет. Время жизни пирамиды в рассматриваемом подходе зависит от числа ее участников в зависимости от времени, и ее крах заранее предрешен при исчерпании всего населения. Этот подход положен в основу работы [2]. Авторы делят население на две группы: мудрствующих и наивных индивидов, для которых используются различные критерии поведение (ограниченные критерии рациональности). Основной вывод, полученный в [2], состоит в том, что единственным равновесным состоянием в рассматриваемой игре является отсутствие финансовой пирамиды.
Третий подход предложен С. В. Дубовским [3, 4]. Целью Организатора финансовой пирамиды является привлечение как можно большего числа ее участников, например, с помощью рекламной
кампании или варьирования цены продажи в зависимости от текущего спроса. В отличие от предыдущего подхода, где крах финансовой пирамиды был обусловлен недостатком притока вкладчиков, здесь крах обусловлен свойствами самой пирамиды: в некоторый момент времени у Организатора финансовой пирамиды может оказаться недостаточно средств для выполнения собственных обязательств независимо от абсолютного числа вкладчиков. В [3, 4] рассмотрен простой случай линейного и квадратичного роста выручки Организатора финансовой пирамиды.
Настоящая статья лежит в рамках последнего подхода. Основные уравнения модели и расчет линейного случая принадлежат С. В. Дубовскому [3, 4]. Задачей данной работы является исследование нелинейных случаев и сравнительный анализ всех случаев.
Основные понятия и предпосылки. Здесь и далее под финансовой пирамидой будем понимать следующую финансовую схему. Организатор финансовой пирамиды продает собственные обязательства (ценные бумаги), по которым он обязуется выплатить их предъявителю определенную сумму (номинал) в будущем. Продажи имеют место в течение некоторого периода времени. Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.
Введем основные обозначения. Будем считать, что финансовая пирамида начинается в момент времени t = 0.
G(t) - непогашенный к моменту времени t объем ценных бумаг финансовой пирамиды. Эта и дальнейшие величины выражены в условных денежных единицах.
V (t) - доход Организатора финансовой пирамиды.
W (t) - доход вкладчиков финансовой пирамиды.
g(t) - объем распроданных в момент времени t ценных бумаг.
Ф > 0 - фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора, отсчитываемый от момента их продажи.
g(t -ф) - объем погашенных в момент времени t ценных бумаг, проданных Организатором в момент времени t -ф .
cg (t) е [0;1] - цена, выраженная в долях от номинала, по которой
происходят продажи ценных бумаг.
Исходя из экономического смысла записанных ранее величин, можно получить, что
^ = '<Ф , к(0) = о, ( 2 )
Лг к*(0 - g(г-Ф), г >ф' ^ ' v у
(Ж '0, г <ф
— = (/ ^ , ^ , Ж (0) = 0. ( 3 )
Лг ((1 - ся ^(г-ф ), г >ф' ^ ^ 7
Из этих уравнений можно получить расчетные формулы величин 0(г), V (г), Ж (г) [5] по известной функции g (г):
а (г) = } g £ ( -} g(£ -ф ( = } g £ ( , ( 4 )
0 ф г-ф
г г г г-ф
V(г) = |Cgg£ ( -{g£ -ф( = |cgg£ ( -1 g£ (
0 Ф 0 0
( 5 )
г г-ф
Ж (г) = | (1 - Ся )(; = { (1 - Ся )g(^ ( . ( 6 )
Будем считать, что Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, т.е. не привлекая средств со стороны.
В рамках этой парадигмы понятно, что если продажи ценных бумаг идут в какие-то периоды «не очень хорошо» (с учетом того, что выручка, получаемая Организатором в момент времени г с^(г)
меньше, чем принятые на себя обязательства g(г)), то в какой-то момент у Организатора не окажется средств для выполнения своих обязательств.
В качестве одного из возможных условий окончания финансовой пирамиды можно использовать условие (К = 0: финансовая пирамида существует (Организатор выполняет свои обязательства) только до тех пор, пока выполняется условие cgg (г) > g (г -ф).
Можно предложить и более мягкий вариант: Организатор может использовать для погашения собственных обязательств не только выручку текущего момента с^ (г), но и часть ранее полученной. В
таком случае условие окончания можно записать как V = 0. Далее будут рассмотрены оба эти случая.
0
ф
Заданный рост функции g (t). Основной задачей данной статьи является нахождение характеристик финансовой пирамиды, таких как время ее жизни (при различных условиях окончания), объем пирамиды G(T), доход Организатора V(T) и т д. в момент t = T окончания финансовой пирамиды при cg = const и заданном росте g (t) финансовой пирамиды. Такой подход был использован автором работ [3, 4].
Для вычисления всех этих величин использовался следующий алгоритм. Задавался вид функции g(t). По формулам ( 4 ) - ( 6 ) вы-
Г-, dV
числялись G(t), V(t), W(t). Затем решалось уравнение — = 0 или
dt
V = 0 соответственно, откуда находилось в аналитическом виде время жизни финансовой пирамиды T. После вычислялись G(T), V(T) и др. Результаты вычислений в виде аналитических формул сведены в Таблицу 1.
Из нее видно, что (как и следовало ожидать из интуитивных соображений) чем быстрее растет функция g (t), тем дольше существует финансовая пирамида. При этом время жизни при условии окончания финансовой пирамиды V = 0 всегда не меньше, чем время при
условия d- = 0. Исключениями из этого правила являются экспоненциальная и логистическая функции, если их рост недостаточен
(т.е. в случае c < или Х< — ln—) для выполнения Организатором
Ф cg
своих обязательств уже в момент ф . Отметим, что результаты, приведенные в работах [3, 4] для случаев линейного и квадратичного роста функции g (t), совпадают с имеющимися в Таблице 1.
В Таблице 2 приведены числовые значения, рассчитанные по формулам из Таблицы 1 для случая доходности «10 % за 6 месяцев. В качестве срока, на который принимаются обязательства Организатором финансовой пирамиды, также взято полугодие (ф = 6 i an ). В результате расчетов, например, получено, что при «10% доходности за полугодие время существования финансовой пирамиды при условии окончания dV при линейном росте равно примерно 60 меся-вии окончания — = 0 при линейном росте равно примерно 60 меся-
dt
цам, а при квадратичном - примерно 117 месяцам. Все величины времени, содержащиеся в Таблице 2, выражены в месяцах.
Отметим, что приведенная в данной статье модель достаточно проста, чтобы описывать, реальные финансовые пирамиды, такие как АО «МММ», «Властилина», ГКО-ОФЗ и другие. Исходя из значений времени жизни финансовой пирамиды, приведенных в Таблице 2, можно сделать общий вывод, что рассматриваемая модель дает
завышенные значения времени по сравнению с практикой1. Это связано, например, с тем, что в модели не учитываются накладные расходы по организации деятельности финансовой пирамиды, затраты на рекламу и т. д.
Следует отметить, что рассматриваемая в данной статье модель является моделью в непрерывном времени в то время, как дискретные модели описывают ситуацию финансовой пирамиды более адекватно, например, если использовать в качестве единиц времени дни, недели, месяцы и т.д. Значит, все приведенные в Таблицах 1 и 2 формулы следует рассматривать как приближенными значения.
Выводы. В данной статье развивается подход к описанию финансовых пирамид, предложенный С. В. Дубовским [3, 4], приведено описание модели, получены простые аналитические формулы, позволяющие вычислить время существования финансовой пирамиды, а также выручку ее Организатора и ее вкладчиков в зависимости от времени.
Полученные формулы сведены в Таблицу 1. В Таблице 2 приведены числовые значения, соответствующие случаю около 10% доходности за полугодие, которое принято за время, на которое Организатор финансовой пирамиды выпускает свои ценные бумаги.
Отмечено, что описанная модель достаточно проста, чтобы описывать реальные финансовые пирамиды, такие, как АО «МММ», «Властилина», ГКО-ОФЗ и др.
Рассматриваемую модель можно приблизить к реальности, если учесть, например, расходы на рекламную компанию, позволяющую стимулировать продажи ценных бумаг Организатора финансовой пирамиды, или иным способом.
Таблица 1.
Е С ) Условие окончания = 0 Л
Т О (Т) —(Т )
а 1, а > 0 Ф аф2 1 + аф2
1 - Се 2 1 - 2 1 - Се
аtв, а >0, в е ! Ф аф в+1 1 - е;+Л аф в+1 Се - с;+/е
1 - ^ в+1 (1 - е/в)в+1 в+1 (1 - Се /р)р +1
аеи, а > 0,
1 Даже с учетом того, что для расчетов в Таблице 2 использована ставка в «10% за полугодие, что меньше значений доходности в реальных финансовых пирамидах.
X > 0, cg > e_Xp
а eXt, а > 0, X > 0, cg < е~Хф ф а eM X а Яф c —e c2 X e
eXt S(t) - 2 , , 1ln cge^-1 2пред ln c e^ X 2 2пред i | 2 (1 - c2 ) 1-c2 7 c2C2eXф
SK'J Ьпред и + i " X> 0, cg > e-Xv X 1 - Cg X eXф -1 > ?
( = eXt 2 (t) - 2пред Xt + 1 ' X> 0, cg <e-Xv Ф 2пред ln e + 1 X 2 c 2пред ln e + 1 c2 X n 2
Таблица 1 (продолжение).
2 (t) Условие окончания dV - 0 dt Условие окончания V - 0
V (T ) G(T) Т G(T)
a t, а > 0 c2 * X 1 + cg /2 Ф 1 - ^ аф2 1 + cg^ 2 1 - cgК
atв, а >0, в e ! cg - c;^ 1 1 - c;^ "2 Ф афр+: 1 - cg
1 - с ХР+1) 1 Lg в +1 (1 - cg/p+1))P+1
аext, а > 0, X> 0,cg > e_Xp 8 c - e-M -> —- г^+вд i —Xф > 1 e ?
аext, а > 0, X > 0, cg < e"^ cg 1, 1 - —1п—-—-—>Ф X в-Хф- cg а(1 - e-M 1- XV ' e^ - cg
eXt 2(t) - 2пред eXt + 1 , X> 0, cg > e~x<p ln Y 2 (1 - c))1-cg 1 2V cg) c C2eXф eяФ -1 cg > ? ln [cgeX(p] Зс* е(о, е-ХФ): время жизни финансовой пирамиды равно , если * С > Cg , иначе -Ф 2пред ln c eXф X 2
eXt 2(t) - 2 пред eXt + 1 , X> 0, cg <e-^ cg Время жизни финансовой пирамиды равно Ф , если С < С *, и я я ' иначе ---
Здесь G(t) - непогашенный к моменту времени t объем ценных бумаг финансовой пирамиды, V (t) - доход Организатора финансовой пирамиды, T - время жизни финансовой пирамиды.
Таблица 2. Числовые значения приведены для случая а = 1, Ф= 6 месяцев, сЕ = 0,9 (т.е. примерно 9-1«11,1% за полугодие).
Величины О и V выражены в условных денежных единицах (у.е.). Все значения приведены с четырьмя значащими цифрами, для наглядности некоторые из них дополнены нулями.
Е (! ) Условие окончания = 0 ёг
Т, мес. О (Т), у.е. V (Т), у.е.
г 60 342 162
г2 116, 9 77 890 24 610
г3 173, 9 29 940 000 7 095 000
г4 230, 8 16 160 000 000 3 065 000 000
ег, сЕ > е
е0-00" , сЕ < е"^ 6 1006 905, 4
Е (г) = -е-, е +1 Се > е 8, 2 5, 9 5, 144
Е (г) = е0'001' +1' Се < е -ф 6 3 2, 7
Таблица 2 (продолжение).
Е (') Условие окончания ^ = 0 ёг Условие окончания V = 0
V (Т) 0(Т) Т 0(Т)
г 0, 474 116, 9 683, 5
г2 0, 316 173, 9 17 520
г3 0, 237 230, 8 70 940 000
г4 0, 190 287, 7 39 450 000 000
е", сЕ > е —-> 0, 842
е0'00" , СЕ < е-Хф 0, 9 61, 7 6, 4
Зс* е(0, е-ф):
Е (г) = , е +1 Се > е 0, 873 время жизни финан-соой пирамиды равно , если * Се > Се ,иначе -ф ---
g0,001t g (t ) = g0,001t + 1 ' 0, 9 Время жизни финансовой пирамиды равно ф , если
cg < e C < C , и +ГО g g ' иначе
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Blanchard O.-J. and Watson M. Bubbles, rational expectations and financial markets in P. Wachtel Crises in economic and financial structure. - Lexington (MA), 1982.
2. Белянин А. В., Исупова О. Г. Финансовые пирамиды в переходные экономике с точки зрения теории игр // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/10 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/).
3. Дубовский С. В. Прогнозирование инфляции и обменного курса рубля в российской нестационарной экономике. - М.: Издательство УРСС. - 2001.
4. Дубовский С. В. Обменный курс рубля как результат денежной эмиссии, внешней торговли и блуждающих финансовых потоков // Экономика и математические методы, 2002, том 38, № 2, с. 84-96.
5. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. - М.: Издательство МФТИ. - 1997.
