CC BY
36
ФИНАНСОВЫЕ ПИРАМИДЫ
ОБ ОЦЕНКЕ ВРЕМЕНИ БЕЗУБЫТОЧНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ПИРАМИД
Г.Г. ДИМИТРИАДИ, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института системного анализа РАН
В литературе существует несколько подходов к математическому описанию финансовых пирамид.
Основным предположением, лежащим в основе одного из подходов, является предположение о рациональном поведении всех участников рынка. Вопрос, на который отвечают авторы работы 110], можно кратко сформулировать так: как могут возникнуть и какие формы могут принимать финансовые пирамиды (bubbles)? При этом под финансовыми пирамидами авторы понимают изменение цен, простым образом необъясняемое с помощью имеющейся информации и имеющее вид резкого повышения цен с последующим крахом пирамиды.
Авторы приходят к выводу, что и в предположении всеобщей рациональности возможны финансовые пирамиды. Они могут принимать вполне определенную форму экспоненциального роста отклонения цен активов от их базисной цены (NPV денежных потоков, связанных с активом) и т.д. В работе [10] имеются примеры финансовых пирамид, приводятся тесты для их статистического нахождения и примеры успешного применения этих тестов.
Другой подход можно назвать игровым. Рассмотрим его основную идею. В качестве вкладчиков финансовой пирамиды может выступать все экономически активное население страны или его часть. Желанием Организатора является привлечение как можно большего их числа, так как при этом он максимизирует свою прибыль.
В рамках данного подхода Организатор и население рассматриваются как участники одной игры Понци с разными (неантагонистическими) интересами. Возможным выбором Организатора (фирмы Понци) на каждом шаге является либо выполнение
всех своих обязательств, для которых наступил срок выполнения, и продолжение существования пирамиды, либо отказ от их выполнения и «уход в тень от обманутых вкладчиков» (крах финансовой пирамиды). В то же время каждый представитель населения на каждом шаге решает —принимать ли участие в финансовой пирамиде или нет.
Время жизни пирамиды в рассматриваемом подходе зависит от характера изменения числа ее вкладчиков с течением времени, и ее крах заранее предрешен при исчерпании всего населения.
Этот подход положен в основу работы [1]. Авторы делят население на две группы: мудрствующих и наивных индивидов, для которых используются различные критерии поведения (ограниченные критерии рациональности). Основной вывод, полученный в этой работе, состоит в том, что единственным равновесным состоянием в рассматриваемой игре является отсутствие финансовой пирамиды.
Еще в одном подходе, предложенном C.B. Ду-бовским в работах [8, 9] (так называемом сценарном подходе), предполагается, что обязательства Организатора в рамках финансовой пирамиды погашаются им только за счет собранных средств без привлечения сторонних средств и что крах финансовой пирамиды обусловлен свойствами самой пирамиды: у Организатора финансовой пирамиды в некоторый момент времени может оказаться недостаточно средств для выполнения собственных обязательств.
Ниже излагаются основные идеи сценарного подхода к описанию финансовых пирамид в соответствии с работами [2-7]. Основной целью данной статьи является исследование вопроса об оценке времени безубыточного существования финансовых пирамид в предположении о независимости
объема продаж обязательств Организатора от их цены в некотором диапазоне цен.
Модель финансовой пирамиды. Здесь под финансовой пирамидой будем понимать следующую финансовую схему. Организатор финансовой пирамиды продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств (см. [2-7]). Предполагается, что Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.
Обязательства Организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями, а сумму обязательств по каждой бумаге будем называть ее номиналом. Без ограничения общности примем номинал равным единице.
Будем использовать следующие обозначения: считаем, что финансовая пирамида начинается в момент времени t =0;.
G(t) — непогашенный к моменту времени t объем ценных бумаг финансовой пирамиды по номиналу, находящихся в обращении;
V(t) — доход Организатора финансовой пирамиды;
W(t) - суммарный доход вкладчиков финансовой пирамиды;
g(t) — объем распроданных в момент времени t облигаций Организатора по номиналу;
9>0 — фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (т.е. срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи. Итак, предполагается, что ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды суть, например, бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения 0 относительно момента их продажи;
g(t - 9) - объем по номиналу проданных Организатором в момент t — 8 облигаций, подлежащих погашению в момент времени t.
с?(/)е[0;1]— цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи облигаций в момент времени t;
Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, т.е. не привлекая средств со стороны.
В рамках этого предположения ясно, что если в какие-то периоды времени продается «слишком маленькое» количество ценных бумаг Организатора, то так как выручка, получаемая Организатором в момент времени t с (t)g(t)1 меньше, чем приня-
тые на себя обязательства g(t), в какой-то момент у Организатора может не оказаться средств для выполнения своих обязательств.
Исходя из экономического смысла введенных величин и сделанных предположений, можно записать, что
dG \g(t), t<Q
dt [g(t)-g(t-Q), t>Q ¿к /<e
dt ~\cs(t)g(t)-g(t-Q), i>e!
,G(0) = 0,
(1)
,K(0) = 0, (2)
dW
dt
0, /<9
lfl-сД'-
t>i
,Ж(0) = 0. (3)
Используя эти формулы, можно рассчитать функции G(t), V(t) и fV(t) в любой момент времени по известной функции g(t).
При записи этих формул не предполагается постоянство цены. Она, как и остальные величины, вообще говоря, зависит от времени: с = cg(t).
Аналогичный подход к описанию финансовых пирамид имеет место в работах [2-5].
Кроме того, в модели вводится функция спроса на облигации Организатора пирамиды (подробно обсуждена в [4, 7]). dV
Тогда — = cx(t)g(t)-g(t-e), dt
где g(0) = 0 при /е[-0; 0] и g(t)=g0O(cg(t))f(t) при />0, - зависимость выручки Организатора финансовой пирамиды от времени. Функция g(t) разложена в произведение двух функций: функции спроса Ф(ср, зависящей от цены обязательств Организатора, и заданной функции роста f(t) — априорного сценария притока вкладчиков пирамиды в зависимости от времени; g0 — постоянная — коэффициент пропорциональности для выбранных единиц.
Модель с учетом вложений в рекламную кампанию обязательств Организатора финансовой пирамиды. В качестве развития модели был предложен ее вариант с учетом расходов на рекламную кампанию, позволяющую стимулировать продажи облигаций Организатора финансовой пирамиды. Считаем, что рекламная кампания финансовой пирамиды приносит как дополнительные издержки Организатору, так и дополнительный приток инвесторов. Аналогичные модели рассмотрены в работах [5, 7].
1 Исходя из рыночной действительности, легко понять, что продажи бескупонных облигаций Организатора будут иметь место только в случае, если цена с , выраженная в долях от номинала, меньше
1 при отсугствии внеэкономических средств воздействия.
Для учета рекламной кампании вводится дополнительный параметр - управление:
5(0 — доля вложений в рекламную кампанию (доля от текущей выручки от продажи ценных бумаг Организатора), 5(/)е[0;1].
В случае с учетом рекламной кампании обязательств Организатора пирамиды уравнения (1 )-(3) примут следующий вид:
dG\g{t), ,(7(0) = 0,
(4)
dV_icg(t)s(t)g(t), t<Q dt ~\c(t)s(t)g(t)-g(t-Q), />8
,К(0) = 0, (5)
dw [о, /<е
dt
[[i-c;(/-e)]g(i-e), t>e
,fV(0) = 0. (6)
В варианте модели с учетом рекламной кампании соответственно g(t)=goers0(c)f(t) при />0. Функция g(t) представлена в виде произведения трех функций: функции эффективности вложений в рекламу eys, зависящей от доли вложений в рекламу, функции спроса Ф(с?), зависящей от цены обязательств Организатора, и заданного сценария притока вкладчиков в зависимости от времени/(/); g0 — постоянная.
Цели Организатора финансовой пирамиды. В работах [6, 7] подробно обсуждены различные целевые установки Организатора финансовой пирамиды, конкретизирующие его поведение. Показано, что крайними взаимоисключающими вариантами целей являются следующие.
Цель 1. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимизация своей выручки V( 7) в момент окончания (краха) ^финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.
Такая цель часто преследуется небольшими компаниями, частными лицами с раскрученным имиджем и т.п. Однако, как показывает история, Организаторы, открыто ставящие цель 1, имеют шансы привлечь очень большие средства.
Цель 2. Целью Организатора финансовой пирамиды является максимальное увеличение времени жизни (безубыточного существования) финансовой пирамиды, т.е. величины Т— момента окончания (краха) финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.
Цель 2 обычно соответствует крупным организациям или государственным структурам, обладающим полномочиями по исполнению бюджета и управлению долгом.
Например, крупная частная компания, преследуя вторую цель, тем самым (благодаря предсказуемости собственного поведения для внешних наблюдателей и наличию ликвидного рынка собственных обязательств) снижает для себя стоимость внешних рыночных заимствований и получает другие косвенные выгоды. В то же время часть привлеченных средств может быть использована для покрытия бюджетного дефицита.
Другим примером является уполномоченный государственный орган, целью которого может являться долгосрочный выпуск государственных долговых обязательств. Эта цель может быть обусловлена двумя причинами: покрытие (части) текущего бюджетного дефицита государства и/ или создание ликвидного рынка государственных ценных бумаг для повышения ликвидности рынка в целом и увеличения его стабильности.
В работах [6, 7] также получено утверждение о сравнении целей.
В работах [2-7] содержится также ряд иных результатов, полученных в рамках сценарного подхода, например, исследовано оптимальное поведение Организатора, если он придерживается каждой из поставленных целей.
Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора. Рассмотрим вопрос о зависимости времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора. При этом сделаем дополнительное предположение, являющееся самым простым в рамках сценарного подхода: будем считать, что объем продаж обязательств Организатора g(t) не зависит от их цены cg(t) в некотором диапазоне цен. Такая ситуация может иметь место на практике.
Ответ на поставленный вопрос дается следующим утверждением.
Утверждение 1. Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее Организатора2.
Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды g(() не зависит от их цены cg(t) в некотором диапазоне цен.
Тогда в этом диапазоне цен для Организатора, преследующего цель 1, верно: если финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств Организатора g(t) и ценой их продажи cg(t)
2 Для избежания излишней громоздкости расчетов здесь и далее рассматривается модель финансовой пирамиды без рекламной кампании.
существует до момента времени Т> Q, то до этого же момента Тсуществует и пирамида, отличающаяся от первой только ценой продажи обязательств Организатора с°(/), где c\(t) >cg(t) V/e [О,Г].
Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.
Доказательство.
Для Организатора, преследующего цель 1, V7e [0,Т]:
то - g(t - 9) > cs (t)g(t) - g(/ - 9) > О.
Последнее неравенство верно, так как первая финансовая пирамида существует до момента Т по условию.
Для Организатора, преследующего цель 2, Vfe [О,Г]:
/с;1 - Jg(S - * Ь - Jg(t- Q)d£, > 03.
О О (I (I
Последнее неравенство верно, так как первая финансовая пирамида существует до момента Т по условию. Утверждение доказано.
Итак, оказывается, что время безубыточного существования финансовой пирамиды тем больше, чем больше значения цены в указанном выше смысле: с"(0>с,(0 We [0,74 ■ Полученный результат будет обсужден ниже.
Оценки времени безубыточного существования финансовых пирамид. Как следствия из Утверждения 1 можно получить следующее.
Следствие 1. Верхние и нижние оценки времени жизни финансовой пирамиды.
Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды g{t) не зависит от их цены в некотором диапазоне цен.
Тогда в этом диапазоне цен в качестве верхней и нижней оценок времени жизни финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 1, с произвольной зависимостью цены продажи обязательств Организатора от времени cg{t) можно взять времена 71, и Т2 жизни финансовой пирамиды при постоянных ценах с'Г = sup c(t) и стт = inf с At) соответ-
S ге|0,Г] g 's|0.r| 8
ственно. Здесь Т - время, превышающее Т[ и Т2.
Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.
Следствие 2. Максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды.
Пусть объем продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды не зависит от их цены при всех значениях цен.
1 Обоснование применения указанной формулы для случая
Организатора, преследующего цель 2, см. в [7].
Тогда максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 1, достигается при цене продажи обязательств Организатора, тождественно равной единице: с (/)= 1.
Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.
В итоге отметим, что при сделанном предположении (независимости объема продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды g(t) от их цены) указанные следствия дают простые инструменты для оценки времени безубыточного существования финансовой пирамиды.
Обсуждение. Итак, для целей данной статьи было сделано предположение о независимости объема продаж обязательств Организатора финансовой пирамиды от их цены.
1. Если считать, что оно верно только в каком-то диапазоне цен (что вполне может иметь место в действительности), то получены инструменты для оценки времени безубыточного существования (по мнению автора, наиболее полезным из них является следствие 1).
2. Если же оно верно при всех ценах с (f) е [9;1], то в соответствии со следствием 2 максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды достигается при с Легко видеть, что в этом случае в рамках рассматриваемой модели время безубыточного существования финансовой пирамиды бесконечно.
Поэтому полученный вывод не соответствует действительности. Это еще раз подтверждает, что сделанное предположение (функция спроса не зависит от цены) не может быть верным в большом диапазоне цен, т. е. является экономически необоснованным.
Естественным уходом от этого предположения является, например, введение функции спроса на обязательства Организатора, зависящей от их цены: g(t)=0(cg(t))f(t), например, в варианте, рассмотренном в начале статьи (см. подробнее в [7].)
Литература
1. Белянин A.B., Исупова О.Т. Финансовые пирамиды в переходной экономике с точки зрения теории игр // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/10 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/). 2000.
2. Димитриади Г.Г. Обзор моделей государственного долга. М.: Эдиториал УРСС. 2002. Сайт www.mirkin.ru.
3. Димитриади Г.Г. Математические модели финансовых пирамид // Электронный журнал «Исследовано в России», 83, с. 929-936, 2002. http:Wzhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/083.pdf.
А. Димитриади Г.Г. Модели финансовых пирамид: детерминированный подход. М.: Едиториал УРСС. 2002. Сайт www.mirkin.ru.
5. Димитриади Г. Г. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу // Математическое моделирование. 2003, № 4, т. 15, с. 23-33.
6. Димитриади Г. Г. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид: цели Организатора финансовой пирамиды // Электронный журнал "Исследовано в России", 175, стр. 2117-2124, 2003 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/175. pdf и сайт www.mirkin.ru.
Dimitriadi G.G. Deterministic approach to bubbles description: goals of the bubble Organizer. Electronic journal "Investigated in Russia", 175e, p.p. 2125-2132,
2003. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/175e. pdf.
7. Димитриади Г.Г. Государственные и корпоративные долговые обязательства как финансовые пирамиды. Моделирование и прогнозирование. М.: Издательство Московского гуманитарного университета, 2004.
8.Дубовскии C.B. Прогнозирование инфляции и обменного курса рубля в российской нестационарной экономике. М.: Издательство УРСС. 2001.
9. Дубовскии C.B. Обменный курс рубля как результат денежной эмиссии, внешней торговли и блуждающих финансовых потоков // Экономика и математические методы, 2002, том 38, № 2, с. 84-96.
10. Blanchard О.-J. and Watson M. Bubbles, rational expectations and financial markets in P. Wachtel Crises in economic and financial structure. Lexington (MA). 1982.
КОНГРЕСС ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ
БУХГАЛТЕРОВ И АУДИТОРОВ МОСКОВСКОГО РЕГИОНА - 2005
Уважаемые коллеги !
Приглашаем Вас принять участие в Конгрессе профессиональных бухгалтеров и аудиторов Московского региона 2005
Конгресс состоится 30 мая 2005 года в здании Правительства Москвы
(ул. Новый Арбат, 36)
ТЕМАТИКА КОНГРЕССА: Тенденции развития бухгалтерского учета, аудита и налогообложения
на современном этапе
Для участия в пленарном заседании и конференциях приглашены представители Министерства финансов Российской Федерации, Правительства Москвы, ведущие специалисты в области бухгалтерского учета, аудита и налогообложения. В рамках Конгресса состоится бесплатная выставка, пройдут конкурсы с вручением призов. Регистрационный взнос для участия в Конгрессе 1900 рублей. Для действительных членов, своевременно уплачивающих членские взносы - 400 рублей. Действительным членам ИПБ России, оплатившим регистрационный взнос и принявшим участие в Конгрессе, выдается сертификат о 10-часовом повышении квалификации. За дополнительной информацией обращаться по телефону: 411 -90-77.
