CC BY
197
Г. Г. Димитриади
ассистент кафедры « Математическое моделирование экономических процессов»
ВРЕМЯ ЖИЗНИ ФИНАНСОВОЙ ПИРАМИДЫ И ЦЕНА ОБЯЗАТЕЛЬСТВ ЕЕ ОРГАНИЗАТОРА
В литературе существует несколько подходов к математическому описанию финансовых пирамид.
В основе одного из подходов лежит предположение о рациональном поведении всех участников рынка. В работе [1] авторы дают ответ на вопрос, который кратко можно сформулировать так: как могут возникать и какие формы могут принимать финансовые пирамиды (financial bubbles)? При этом под данным термином авторы понимают изменение цен, обычным образом необъясняемое посредством доступной информации и имеющее вид резкого повышения цен с последующим крахом пирамиды.
Авторы приходят к выводу, что и в предположении всеобщей рациональности не исключаются финансовые пирамиды. Они могут принимать вполне определенную форму экспоненциального роста отклонения цен активов от их базисной цены (npv денежных потоков, связанных с активом) и т.д. В упомянутой работе [1] имеются примеры финансовых пирамид, приводятся тесты для их статистического нахождения и варианты успешного применения этих тестов.
Другой подход можно назвать игровым. Рассмотрим его основную идею. В качестве вкладчиков финансовой пирамиды может выступать все экономически активное население страны или его часть. Желанием организатора является привлечение как можно большего их числа, так как при этом он максимизирует свою прибыль.
В рамках данного подхода организатор и население рассматриваются как участники т.н. игры Понци с разными (неантагонистическими) интересами. Возможным выбором организатора (фирмы Понци) на каждом шаге является либо выполнение своих обязательств, для которых наступил срок выполнения, и продолжение существования пирамиды, либо отказ от их выполнения и «уход в тень» от обманутых вкладчиков (крах финансовой пирамиды). В это же время каждый из возможных вкладчиков на каждом шаге решает, принимать ли участие в финансовой игре или нет.
Время жизни пирамиды в рассматриваемом подходе зависит от характера изменения числа ее вкладчиков с течением времени, и ее крах заранее предрешен при исчерпании потенциальных участников.
Этот подход положен в основу работы А. В. Белянина и О. Г. Исупова [2]. Авторы делят население на две условные группы: мудрствующих и наивных индивидов, для которых возможны различные критерии поведения (ограниченные критерии рациональности). Основной вывод, предложенный в этой работе, заключается в том, что единственным равновесным состоянием в рассматриваемой игре является отсутствие финансовой пирамиды.
Еще в одном подходе, предложенном в работах С. В. Дубовского [3, 4] (так называемом сценарном подходе), предполагается, что обязательства организатора в рамках финансовой пирамиды погашаются им только за счет собранных средств без привлечения сторонних средств и что крах финансовой пирамиды обусловлен свойствами самой пирамиды: у ее организатора в некоторый момент времени может оказаться недостаточно средств для выполнения собственных обязательств.
Настоящая статья лежит в рамках упомянутого выше сценарного подхода.
Более подробное изложение подходов к моделированию понятия «финансовая пирамида» содержится в работе [5].
Постановка задачи
Основной рассматриваемый вопрос - как оценить срок жизни финансовой пирамиды (то есть время ее безубыточного с точки зрения организатора существования), зная только часть информации, - например, историческую статистику и прогноз цен на обязательства организатора. Такая оценка важна как для участников рынка (стоит ли иметь дело с данным контрагентом? какой лимит риска на него выставить?), так и для регулирующих органов (необходимость пресечения заведомо мошеннических действий).
Отметим, что такая постановка задачи вполне оправданна, поскольку в какой-то промежуток времени политика организации может рассматриваться как финансовая пирамида (толкование пирамиды приводится в следующем разделе), - например, на одном их этапов реализации долгосрочного инвестиционного проекта, либо создания «чистой» кредитной истории, либо увеличения ликвидности рынка своих обязательств и т.п.
Полученные ниже утверждения помогают ответить на означенный вопрос. В случае если известны историческая статистика и прогноз (сценарий ) цен на обязательства организатора в будущем , они дают возможность произвести оценку времени жизни финансовой пирамиды при срав-
нении ее с пирамидами, имеющими известные свойства, в предположении о независимости продаж обязательств ее организатора от их цены в некотором диапазоне цен.
Модель финансовой пирамиды
В данном и следующем разделах приведено краткое описание модели финансовой пирамиды в рамках сценарного подхода в соответствии с работой [6].
Под финансовой пирамидой будем понимать следующую финансовую схему. Организатор финансовой пирамиды (далее - организатор) продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств. Предполагается, что организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.
Обязательства организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями, а сумму обязательств по каждой бумаге будем называть ее номиналом. Без ограничения общности примем номинал равным единице.
Будем использовать следующие обозначения. Считаем, что финансовая пирамида начинается в момент времени t = 0.
G(t) -
V(t) -
W(t) -
g(t) -
6> 0 -
g(t-6) -
(t) e[0;1]
непогашенный к моменту времени t объем находящихся в обращении ценных бумаг финансовой пирамиды по номиналу;
доход организатора финансовой пирамиды; суммарный доход вкладчиков финансовой пирамиды; объем распроданных в момент времени t облигаций организатора по номиналу;
фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств организатора (то есть срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи.
объем по номиналу проданных организатором в момент t-в облигаций, подлежащих погашению в момент времени t.
- цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи облигаций в момент времени t.
Итак, предполагается, что ценные бумаги организатора финансовой пирамиды суть бескупонные облигации с одинаковым сроком погашения в относительно момента их продажи.
Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, то есть не привлекая средств со стороны.
Исходя из экономического смысла введенных величин и сделанных предположений, можно записать:
йО = Г g (г), г < в , О (0) = 0 , (1)
йг в 1 1 г >в
й¥ Гск (г)g(г), г <в , V (0) = 0, (2)
йг { Cg (г) g (г) - g (г - в), г >в
dW 0, г <в , W (0) = 0. (3)
йг 1 1 0 1 в), г >в
В модели вводится функция спроса ф(с ) на облигации организатора (подробно обсуждена в работе [6]). я
Тогда ^=сШ0 - &-в), где т=0 при г Е[-в,0) и &)=g0ф(cg (г))у(г) л g
при г > 0, - зависимость выручки организатора финансовой пирамиды от времени. Функция g(г) разложена в произведение двух функций: функции
спроса ф (с), зависящей от цены обязательств организатора, и заданной функции роста у (г) - априорного сценария притока вкладчиков пирамиды в зависимости от времени; g0 - постоянная, коэффициент пропорциональности для выбранных единиц.
Модель с учетом вложений в рекламную кампанию обязательств организатора финансовой пирамиды
В качестве развития модели был предложен ее вариант с учетом расходов на рекламную кампанию, позволяющую стимулировать продажи облигаций организатора финансовой пирамиды. Считается, что рекламная кампания финансовой пирамиды приносит как дополнительные издержки организатору, так и дополнительный приток инвесторов.
Для учета рекламной кампании вводится дополнительный параметр -управление:
s(г) - доля вложений в рекламную кампанию (доля от текущей выручки от продажи ценных бумаг организатора), s(г) е [0,1].
В случае с учетом рекламной кампании обязательств организатора пирамиды уравнения (1)-(3) перейдут в:
йО _Г g (г\г <в , о(0) = 0, (4)
йг | g (г) - g (г -в), г >в
_к (гМгЖгХг <в , V (0) = 0, (5)
йг |с (г) s(t) g(г) - g(г -в), г >в
_{0, г <в , w (0) _ 0. (6)
йг [[1 - Cg (г -в) ] g (г -в), г >в
В варианте модели с учетом рекламной кампании соответственно g(г)_geYsф(C)у(г) при г >0: функция g(г) представлена в виде произведения трех функций - функции эффективности вложений в рекламу ег*, зависящей от доли вложений в рекламу, функции спроса ф(^), зависящей от цены обязательств организатора, и заданного сценария притока вкладчиков в зависимости от времени у (г). g 0 - постоянная.
Цели организатора финансовой пирамиды
В работах [6, 7] подробно обсуждены различные целевые установки организатора финансовой пирамиды, конкретизирующие его поведение. Показано, что крайними взаимоисключающими вариантами целей являются следующие.
Цель 1. Целью организатора является максимизация своей выручки ЦТ) в момент окончания (краха) Т финансовой пирамиды. Считаем, что после этого момента организатор больше не выполняет свои обязательства.
Такая цель наиболее характерна для небольших компаний, частных лиц с раскрученным имиджем и т.п. Тем не менее, как показывает практика, организаторы, открыто ставящие цель 1, имеют шансы привлечь очень большие средства.
Цель 2. Целью организатора является максимальное увеличение времени жизни (безубыточного существования) финансовой пирамиды, то есть величины Т - момента окончания (краха) финансовой пирамиды.
Считаем, что после этого момента организатор больше не выполняет свои обязательства.
Цель 2 характерна для крупных организаций или государственных структур, обладающих полномочиями по исполнению бюджета и управлению долгом.
Например, крупная частная компания, преследуя цель 2, тем самым (благодаря предсказуемости собственного поведения для внешних наблюдателей и наличию ликвидного рынка собственных обязательств) снижает для себя стоимость внешних рыночных заимствований и получает другие косвенные выгоды. В то же время часть привлеченных средств может быть использована для покрытия бюджетного дефицита.
Другим примером является уполномоченный государственный орган, цель которого может заключаться в долгосрочном выпуске государственных долговых обязательств. Эта цель может быть обусловлена двумя причинами: покрытие (части) текущего бюджетного дефицита государства и/или создание ликвидного рынка государственных ценных бумаг для повышения ликвидности рынка в целом и увеличения его стабильности.
В работах [6, 7] получено утверждение о сравнении целей.
Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее организатора
Для избежания излишней громоздкости расчетов здесь и далее рассматривается модель финансовой пирамиды без рекламной кампании.
Рассмотрим вопрос о зависимости времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее организатора. При этом сделаем дополнительное предположение, являющееся самым простым в рамках сценарного подхода: будем считать, что объем продаж обязательств организатора g (г) не зависит от их цены с (г) в некотором диапазоне цен. Такая ситуация может иметь место на практике.
Утверждение. Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее организатора.
Пусть объем продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g (г) не зависит от их цены с (г) в некотором диапазоне цен.
Тогда в этом диапазоне цен для организатора, преследующего цель
1, верно: если финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств организатора g (г) и ценой их продажи с (г) существует до момента времени Т > в, то до этого же момента Т существует и
пирамида, отличающаяся от первой только ценой продажи обязательств организатора cg(t), где cg0(t) > cg(t) при всех t е [О, T].
Аналогичное утверждение верно для организатора, преследующего цель 2.
Доказательство.
Для организатора, преследующего цель 1, при всех t е [О, T]:
С0 (t) g (t) - g (t -в) > cg (t) g (t) - g (t -в) > О -
Последнее неравенство верно, так как первая финансовая пирамида существует до момента Т по условию.
Для организатора, преследующего цель 2 при всех t е [О, T] (обоснование применения указанной формулы для такого организатора см. в [6]):
t t t t
f c°g (5) g (5) ds - f g (s - в) ds > f Cg (s) g (s) d£ - J g (s -в) ds > О -
ООО О
Последнее неравенство верно, так как первая финансовая пирами-
да существует до момента Т по условию.
Утверждение доказано.
Итак, оказывается, что время безубыточного существования финансовой пирамиды тем больше, чем «больше» значения цены в указанном выше смысле: c0g(t) > cg(t) при всех t е [О, T].
Оценки времени безубыточного существования
финансовых пирамид
Сформулируем полезные для практического применения следствия из приведенного выше утверждения.
Следствие 1. Верхние и нижние оценки времени жизни финансовой пирамиды.
Пусть объем продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g (t) не зависит от их цены в некотором диапазоне цен.
Тогда в этом диапазоне цен в качестве верхней и нижней оценок времени жизни финансовой пирамиды для организатора, преследующего цель 1, с произвольной зависимостью цены продажи обязательств организатора от времени cg(t) можно взять времена T и T2 жизни финансовой пирамиды при постоянных ценах cmax = maxc (t)
g te^T ] g
и cg11" = min cg (t) соответственно. Здесь Т - время, превышающее T и T2 .
Аналогичное утверждение верно для организатора, преследующего цель 2.
Следствие 2. Максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды.
Пусть объем продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g(г) не зависит от их цены при всех значениях цен.
Тогда максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды для организатора, преследующего цель 1, достигается при цене продажи обязательств организатора, тождественно равной единице:
^(г) -1.
Аналогичное утверждение верно для организатора, преследующего цель 2.
Однако цена, тождественно равная единице: с (г) -1, означает, что организатор продает свои бескупонные облигации по номиналу, что, конечно, не может иметь места на практике в отсутствии мер неэкономического принуждения. Таким образом, в соответствии со следствием 2 максимальное время безубыточного существования финансовой пирамиды достигается в практически нереализуемом случае. Значит, предположение о независимости объема продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g(г) от их цены при всех значениях цен (то есть функция спроса не зависит от цены), сделанное в условиях следствия 2, не является экономически адекватным.
Естественным уходом от этого предположения является, например, введение функции спроса на обязательства организатора, зависящей от их цены: g(г)_ф( с& (г)) у (г), например, в варианте, рассмотренном в пре-дудущих разделах (см. подробнее [6]).
Интерпретации понятия «диапазон цен»
В приведенных выше утверждениях используется понятие «диапазон цен».
Укажем на возможные варианты его понимания такие, что приведенные утверждения остаются верными.
Выше термин «диапазон цен» понимается как некоторое множество вида \с1;с2] , 0 < с1 < с2 < 1, в котором должны лежать цены с для того,
- |_ о о _| о - <5 о
чтобы утверждения были верны.
Такое ограничение вполне адекватно реальности: исходя из опыта (маркетинговых исследований), априорных предположений и т.п. можно считать, что спрос на обязательства организатора не зависит от их цены при ценах из некоторого отрезка [^; с2 ] (при этом распространение ука-
занного предположения на все возможные цены отрезка [0;1] не является экономически адекватным - см. выше). Отметим, что границы указанного отрезка предполагаются постоянными (не зависящими от времени).
Однако в каких-то случаях, в особенности когда происходит сильное изменение предпочтений покупателей (то есть изменение функции спроса со временем), такое ограничение может оказаться слишком жестким.
Когда мы говорим об изменении свойств функции спроса с течением времени, то в свете рассматриваемых утверждений для нас важна потенциальная изменчивость диапазона независимости функции от цены.
Конечно, можно попытаться абстрагироваться от такой изменчивости. Например, применять утверждение к наиболее узкому диапазону независимости, имеющему место для всех моментов времени одновременно. Но при этом, во-первых, этот диапазон может оказаться очень узким (так что практические результаты утверждений будут бессмысленны), а во-вторых - во многих ситуациях он просто не будет существовать (например, для этого достаточно даже однократного существенного изменения свойств функции спроса со временем). Поэтому попытаемся обобщить понятие «диапазона цен» применительно к более широкому кругу ситуаций.
«Диапазон цен» - это фактически границы области цен, где имеет место независимость функции спроса от цены.
Откажемся от сделанного выше предположения о постоянстве этих границ, то есть будем считать границы зависящими от времени: [с (г);с] (г)], 0 < с1 (г)< с] (г)< 1 при всех г е[0; Т]. Здесь в качестве момента
Т можно рассматривать достаточно большое время, заведомо охватывающее период существования финансовой пирамиды (для удобства можно принять Т _ +го). В приведенных ниже формулировках утверждений значение Т конкретизируется.
Также будем считать, что в какие-то моменты времени возможно равенство clg (г) _ с] (г).
Обобщение утверждений об оценке времени безубыточного существования финансовых пирамид
Переформулируем приведенные выше утверждение и следствие с учетом нового понимания «диапазона цен».
Утверждение'. Зависимость времени безубыточного существования финансовой пирамиды от цены продажи обязательств ее организатора.
Пусть объем продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g(г) не зависит от их цены с(г) в некотором диапазоне цен
Cg (г)е[с] (г) ;с] (г)], 0 < cg (г)< с] (г)< 1 при всех г е[0, Т ].
Тогда для организатора, преследующего цель 1, верно: если финансовая пирамида с зависимостью от времени объема продаж обязательств организатора g (г) и ценой их продажи с (г) существует до момента времени Т>6, то до этого же момента Т существует и пирамида, отличающаяся от первой только ценой продажи обязательств организатора с°°(г)е[с](г);с](г)] при всех ге[0,Т], где cg(г) >Cg(г) при всех ге [0,Т].
Аналогичное утверждение верно для организатора, преследующего цель 2.
Доказательство проводится аналогично доказательству приведенного ранее утверждения.
Сформулируем следствие из этого утверждения.
Следствие 3. Верхние и нижние оценки времени жизни финансовой пирамиды.
Пусть объем продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g(г) не зависит от их цены в некотором диапазоне цен
Cg(г)е[с](г);с](г)], 0 <cg(г)< с](г)< 1 при всех г е [0,Т].
Тогда в качестве верхней и нижней оценок времени жизни финансовой пирамиды для организатора, преследующего цель 1, с произвольной зависимостью цены продажи обязательств организатора от времени с] (г) можно взять времена Т1 и Т2 жизни финансовой пирамиды (здесь Т
- время, превышающее Т и Т2.):
• при постоянных ценах с“ах _ тах с(г) и стт _ тт с (г) соответ-
] ге[0,Т ] ] ] ге[0,Т ] ]
ственно - только в случае если с] (г)<с^ и сшах <с](г) при всех
г е [0,Т ].
• при ценах сШ" (г) _ с] (г) и сЩ-“ (г) _ с] (г).
• при произвольных ценах с]ш'п (г) и с™* (г), удовлетворяющим условиям с] (г )< с™11 (г )< се (г) и с] (г)< с^ (г )< с] (г) при всех
г е [0, Т ].
Аналогичное утверждение верно для организатора, преследующего цель 2.
Таким образом, по сравнению с используемым выше понятие «диапазона цен» расширено на случай зависящих от времени границ, соот-
ветственно предложен обобщенный вариант утверждений. Полученные результаты позволяют получать гибкие оценки времени безубыточного существования финансовой пирамиды во многих реальных случаях.
Обобщенные утверждения описывают большое количество ситуаций.
* * *
В статье в рамках сценарного подхода к моделированию финансовых пирамид кратко описана соответствующая модель, при этом финансовая пирамида понимается как один из видов политики управления долговыми обязательствами организации или государства.
Поставлен вопрос об оценке ее характеристик сторонним наблюдателем (участником рынка или регулирующим органом) в случае, если ему доступна история изменения цен обязательств организатора пирамиды и имеется некоторый прогноз цен на будущее.
При дополнительном предположении о независимости объема продаж обязательств организатора финансовой пирамиды g(t) от их цены в некотором «зависящем от времени» диапазоне цен получены утверждения, дающие простые инструменты для оценки времени безубыточного существования финансовой пирамиды путем сравнения с финансовой пирамидой с известными характеристиками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Blanchard O.-J. and Watson M. Bubbles, rational expectations and financial markets // Wachtel P. Crises in economic and financial structure. Lexington (MA). 1982.
2. Белянин А.В., Исупова О.Г. Финансовые пирамиды в переходной экономике
с точки зрения теории игр // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/10 (www.eerc.ru), 2000.
3. Дубовский С.В. Прогнозирование инфляции и обменного курса рубля в российской нестационарной экономике. М.: Изд-во УРСС, 2001.
4. Дубовский С.В. Обменный курс рубля как результат денежной эмиссии, внешней торговли и блуждающих финансовых потоков // Экономика и математические методы. 2002. Том 38, № 2, с. 84-96.
5. Димитриади Г.Г. Что такое «финансовые пирамиды»: подходы и определения // Электронный журнал "Исследовано в России", 245, с. 26192626, 2004 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/245.pdf.
6. Димитриади Г.Г. Государственные и корпоративные долговые обязательства как
финансовые пирамиды: Моделирование и прогнозирование. М.: Изд-во Моск.
гуманит. ун-та, 2004.
7. Димитриади Г.Г. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид:
цели организатора финансовой пирамиды // Электронный журнал "Исследовано в России", 175, с. 2117-2124, 2003 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/175.pdf и сайт www.mirkin.ru.
