CC BY
15
УДК 532.7:537.3:550.372 ЧИСЛЕНОЕ РЕШЕНИЕ
ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОПОРОУПРУГОСТИ
Шерзад Холматжонович Имомназаров
Институт геологии и минералогии СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 6, аспирант, тел. (383)330-27-91, e-mail: shirz999@mail.ru
Александр Анатольевич Михайлов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
Виталий Николаевич Доровский
Baker Hughes Inc., Новосибирский Технологический Центр, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4а, доктор физико-математических наук, технический советник, тел. (383)332-94-43, e-mail: Vitaly.Dorovsky@BakerHughes.com
Численно исследуется одномерная нестационарная задача электромагнитоупругости пористых насыщенных сред при импульсном воздействии электромагнитным квазистационарным полем. Проиллюстрирована применимость спектрального метода Лагерра к одномерной динамической задачи импульсного воздействия, описываемого уравнениями электо-магнитоакустики. Численно установлены особенности акустического отклика на импульсное электромагнтное воздействие: найдена связь амплитуд «поперечных» акустических волн, пришедших на внутреннюю сторону обсадной колонны от параметров, характеризующих среду и внешнее электромагнитное воздействие. Полученные результаты создают основу для разработки технологических методов измерения электроакустического параметра и электро-проводости среды, расположенной за обсадной колонной.
Ключевые слова: магнитозвуковые колебания, электрокинетические параметры, коэффициент трение, пористая насыщенная среда, преобразование Лагерра.
NUMERICAL SOLUTION OF ONE DYNAMIC MAGNETOPOROELASTICITY PROBLEM
Sherzad Kh. Imomnazarov
Institute of Geology and Mineralogy, Siberian Branch of RAS, 6, Prospect Аkademik Koptyug St., Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Student, phone: (383)330-27-91, e-mail: shirz999@mail.ru
Aleksander A. Mikhailov
Institute of the Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 6, Prospect Аkademik Lavrentiev St., Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D., Researcher, phone: (383)330-83-52, e-mail: alex_mikh@omzg.sscc.ru
Vitaly N. Dorovsky
Baker Hughes Inc., Novosibirsk Technology Center, 4a, Kutateladze St., Novosibirsk, 630090, Russia, D. Sc., Technical Advisor, phone: (383)332-94-43, e-mail: Vitaly.Dorovsky@BakerHughes.com
This paper numerically studies the one-dimensional non-stationary problem of the electromagnetoelasticity of porous saturated media for a pulsed electromagnetic quasi-stationary
field. The applicability of the Laguerre spectral method to the one-dimensional dynamic impulse action problem described by the electromagnetoacoustics equations is illustrated. The acoustic response to the pulsed electromagnetic effect is numerically determined: there is found a correlation between the amplitudes of "transverse" acoustic waves that have come to the inner side of the casing from the parameters characterizing the medium and the external electromagnetic effect. The obtained results form the basis for the development of technological methods for measuring the elec-troacoustic parameter and the electrical conductivity of the medium located behind the casing.
Key words: magnetoacoustic oscillation, electrokinetic parameters, friction coefficient, saturated porous media, Laguerre transform.
Введение
Электропроводность насыщенной формации представляет только часть свойств горной породы. Акустические методы, например, в скважинных схемах с использованием волн Стоунли позволяют измерять проницаемость формации [1-13]. Индукционные методы электроразведки в скважинных условиях преимущественно направлены на измерение омической проводимости среды. Особого внимания заслуживают еще два кинетических параметра пористой среды, насыщенной электролитом: коэффициент межкомпонентного трения и электрокинетическая постоянная. С коэффициентом трения связывают проницаемость среды, а с электрокинетической постоянной - Z-потенциал [14]. В работах [14, 15], в частотном представлении в рамках электромагнитоакусти-ки, предложена технологическая схема измерения электропроводности и проницаемости насыщенной электролитом формации для плоской и цилиндрической геометрии.
В данной работе геометрическая постановка, предложенной в [15] задачи, сохраняется. Дополнительно предполагается в скважине присутствие обсадной колонны, вне которой создается импульсное квазистационарное переменное магнитное поле, протекающим импульсным электрическим током. Вдоль скважины система рассматривается однородной. Исследуется акустический отклик системы. Для простоты анализа рассматриваемой задачи предполагается, что в акустическом отношении обсадная колонна является продолжением формации с точки зрения прохождения поперечных акустических колебаний. Поднимается вопрос о возможности измерения электропроводности, электроакустической константы и проницаемости по амплитудам поперечных акустических колебаний, пришедших в виде отклика на электромагнитное воздействие на внутреннюю сторону обсадной колонны.
Постановка задачи
В цилиндрических координатах (r,^,z) для полупространства ÇRt, да) скорости матрицы u = (0, и насыщающей жидкости v={0,v(p,vz),
магнитное поле В = (0,удовлетворяют следующей начально-краевой задачи
дЧ 2 д т _/. . \ аесе дВ7 д2и7 , ди7 ,
= С —ьит-8(0\ит - ут) +----, -^ = С2 Ь—--ею (и - )-
" 1 т т Ала дг дг2 г дг У 2 г}
дг
2 г
дг
а8Се Т В
ду
дг
<Р=°(ит- ут)
В0 ЬВт асе дВ2
4лр1г 4ла дг
дг дг ду _
'с 2
е ьВт -аСер- (Ч - у
Вп
4ла
(и - у )+у —0
V 2 2 ' т „
дг
В
дг
= ((и2-у2) + = Ь
В дВ асе
+
ЬВт, 4лр1г дг Ала
2
ср дВ2 асер, ( \ В0
е 2+—еЛ (ит- у )+у -2.
а V т т 2 г
V
Ала дг
с нулевыми данными Коши и граница г = Я1 свободная от напряжений и магнитного поля:
дЧт-Чт = 0 дЧ2.
дг г ' дг
= 0,
Вт = 0
В 22 = В2 0(г),
где р = р1 + р,.; р,,, рг - парциальные плотности матрицы и жидкости; V, и -скорости жидкости и матрицы; В - магнитная индукция; а - электропроводность; X - коэффициент трения; а - электроакустический параметр;
X = X - а / (Г; с - скорость звука; се - скорость света; Постоянное магнитное
д
поле В0 = (В0 / г,0,0) направлено вдоль оси Ог; ш= ХР1.
Для решения поставленной задачи применим интегральное преобразование
—С —*" а
Лагерра по времени Жт(х1,х2) = I Ж(х1,х2,г)(кг) 2¡^(кг)сС (кг), с формулами об-
0
— а " т ! —
ращения Ж (х1, х2, г) = (кг )2 £-Жт (х1, х2УП( кг), где а (кг) - функции Ла-
т=0( т + а)!
герра.
В результате данного преобразования исходная задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области [16-20]
к т 2 С ^ т — к .. _г +8 4 т ф т
т-1 т-1
с к 8ас кСВт
—ит - с2— Ьит + ею-(ит - ут) = Гт
Л - г 7 - 2 т т 4ла 2 сСг 71
кеас т-1 свп
ГГ = -к2£(т - п)и) - ке(£(и) - у-) + £
п=0
п=0
4ла п=0 Сг
2 з т
к &и и рас к
—ит — с2Ь——ит +ет-(ит — ут ) + ^е~ЬВ; = /;, 4 : г ¿г * 2' ^ ^ 4по 2 * ^ '
т—1
т—1
/; =—к2У(т — п)и"2 —нбю^(К —П) — ^ГУЬВ; ,
п=0
п=0
4жа ;=
Ъ В ас ¿Вт
2 * ( * *У 4жаг * 4жа ¿г
п=0 т—1
(р
п=0
к В ¿Вт ас
— Щи; — У;)----
2 2 .. 4жр1г ¿г 4жа
т—1
ЬВ т =— к У
ср
п=0
к " вт 2 * " а
¿г
кт 2 В — Ь
г с2 4 же *
асер1
а
^1(ит — ут) + V тВ0
\ 2 2 ' *
т—1
= — к У в; ,
< се 2 ¿В." , аср
4жа ¿г а
2 т — у;) + утВ°
\ * * / 2
п=0
т —1
—к У в: .
п=0
Решение задачи реализовано с помощью конечно-разностного метода со вторым порядком аппроксимации [19]. На рис. 1 представлен график функции и (слева) и и. (справа), как функции времени на границе скважины.
Рис. 1. Физические параметры среды в системе СГС: а = 107 (см3 / гс2) , Я = 10см, а = 109 с—1, ш = 107 с—1, В0 =103 Г, р = 0.1г/см3, се = 3-1010см/с, с =1105 см / с, £ = 0.1, В:0(г) = 103 ехр (—ж /0 (г — г0)2 / 8) э1п(2ж /0(г — г0)),
/0 = 100 Гц, г0 = 0.015 сек.
Оказалось, что справедлива более общая формула ы9 ~ ды2 / 8?, полученная
в частотном представлении в работе [14] ы2 — 1ыу . Здесь с* - характерная
частота, на которой модули акустического отклика поперечных волн
равны. Численно для нестационарной задачи с импульсными амплитудами показано, что на внутренней стороне обсадной колонны максимальные значения акустических амплитуд зависят от параметров насыщенной пористой среды и амплитуд магнитного поля следующим образом:
о В0В а В 1
ы_ —---0—, и = —■
се 4лр' * х 4яр к(А)'
Здесь к ( А1) —функция внутреннего радиуса скважины, представленная на
рис. 2. Представленная формула по измеренным значениям акустических амплитуд, амплитудам электромагнитных полей и плотности формации позволяет измерить электропроводность формации, и отношение ее двух кинетических коэффициентов: проницаемости и электроакустической константы.
к
0.032 0.030 0.028
0.026 / ■ »
♦
*
*
*
А1, см
10 20 30 40 50 60
Рис. 2. Вычисленная функция внутреннего радиуса скважины к (А1)
Заключение
Рассмотрена задача магнитоакустического отклика пористой насыщенной электролитом среды на индукционное внешнее электромагнитное воздействие при наличие постоянного магнитного поля. Оказалось, что справедлива более общая формула, полученная в частотном представлении в работе [14]. Численно для нестационарной задачи с импульсными амплитудами показано, что на внутренней стороне обсадной колонны максимальные значения акустических амплитуд зависят от параметров насыщенной пористой среды и амплитуд магнитного.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Cheng C., Jinzhong Zh., Burns D. Effect of in-situ permeability on the propagation of Stoneley (tube) waves in a borehole // Geophysics. - 1981. - v. 46. - № 7. - P. 1042—1052.
2. Winkler K., Liu H., Johnson D. Permeability and borehole Stoneley waves: comparison between experiment and theory // Geophysics. - 1989. - v. 54. - № 1. - p. 66—75.
3. Paillet F.L. and Cheng C.H. Acoustic Waves in Boreholes, 1-264. - Boca Raton, Florida: CRC Press, 1991.
4. Burns D.R. Predicting Relative and Absolute Variations of In-Situ Permeability from Full-Waveform Acoustic Logs // The Log Analyst. - 1991. - v. 32. - No. 3. - pp. 246-255.
5. Tang X.M., Cheng C.H., Toksoz M.N. Dynamic Permeability and Borehole Stoneley Waves—A Simplified Biot-Rosenbaum Model // J. of the Acoustical Soc. of America. - 1991. -v. 90. - No.3. - pp. 1632-1646.
6. Tang X., Cheng C.H., Toksoz M.N. Stoneley-Wave Propagation in a Fluid Filled Borehole with a Vertical Fracture // Geophysics. - 1991. - v. 56. - No. 4. - pp. 447-460.
7. Saxena V. Permeability Quantification from Borehole Stoneley Waves // paper T. Trans., Annual Logging Symposium, SPWLA. - 1994. - pp.1-22.
8. Kimball C.V., Endo T. Quantitative Stoneley Mobility Inversion // paper BH 1.1. Expanded Abstracts, Annual Meeting Technical Program, SEG. - 1998. - pp. 252-255.
9. Dorovsky V.N., Podberezhnyy M., Nefedkin Y. Stoneley attenuation length and pore fluid salinity // Russian Geology and Geophysics. - 2011. - Т. 52. - № 2. - С. 250-258.
10. Dorovsky V., Dubinsky V., Podberezhnyy M., Nefedkin Y. Effect of porous fluid properties on stoneley wave parameters [Электронный ресурс] // Saint Petersburg 2010. Proceedings 4th International Conference (5-8 April 2010). - 2010.
11. Dorovsky V.N., Nefedkin Y.A., Fedorov A.I., Podberezhnyy M.Y. A logging method for estimating permeability, velocity of second compressional wave, and electroacoustic constant in electrolyte-saturated porous formations // Russian Geology and Geophysics. - 2010. - v. 51. -№ 12. - pp. 1285-1294.
12. Podberezhnyy M., Nefedkin Y., Lamukhin A. Nonlinear effects in liquid and in fluid saturated friable media under DC Field // Saint Petersburg 2006: International Conference and Exhibition (Saint Petersburg, 16-19 October 2006). - 2006. - С. C009
13. Dorovsky V., Dubinsky V., Fedorov A., Podberezhnyy M., Nefedkin Yu., Perepechko Yu. Method and apparatus for estimating formation permeability and electroacoustic constant of an electrolyte-saturated multilayered rock taking into account osmosis. Patent Application Publication US 2010/0254218 A1. Oct. 7. - 2010.
14. Доровский В. Н., Доровский С.В. Электромагнитоакустический метод измерения электропроводности и дзета-потенциала // Геология и геофизика. - 2009. - Т. 50 (6). - С. 735744.
15. Имомназаров Ш.Х., Доровский В.Н. Магнитозвуковые колебания в скважинных условиях, определяющие электрокинетические параметры пористой насыщенной среды // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2017. XIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 17-21 апреля 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. Т. 1. - С. 186-190.
16. Mikhailenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems // Applied Mathematics Letters. - 1999. - No. 12. - pp. 105-110.
17. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // Pure apll. Geophys. -2003. - No. 160. - pp. 1207-1224.
18. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophysical Prospecting. - 2003. - No. 51. - pp. 37-48.
19. Имомназаров Х.Х., Михайлов А. А. Применение спектрального метода для численного моделирования сейсмических волн в пористых средах при наличии диссипации энергии // СибЖВМ. - 2014. - Т. 17. - №2. - с. 139-147.
20. Berdyshev A, Imomnazarov Kh, Jian-Gang Tang, Mikhailov A. The Laguerre spectral method as applied to numerical solution of a two-dimensional linear dynamic seismic problem for porous media // Open Comput. Sci. - 2016. - v. 6. - pp.208-212.
REFERENCES
1.Cheng, C., Jinzhong, Zh., Burns, D. (1981). Effect of in-situ permeability on the propagation of Stoneley (tube) waves in a borehole. Geophysics, 7, 1042—1052.
2.Winkler, K., Liu, H., Johnson, D. (1989). Permeability and borehole Stoneley waves: comparison between experiment and theory. Geophysics, 1, 66—75.
3.Paillet, F.L., Cheng, C.H. (1991). Acoustic Waves in Boreholes, Boca Raton, Florida: CRC
Press.
4. Burns, D.R. (1991). Predicting Relative and Absolute Variations of In-Situ Permeability from Full-Waveform Acoustic Logs. The Log Analyst, 3, 246-255.
5. Tang, X.M., Cheng, C.H., Toksoz, M.N. (1991). Dynamic Permeability and Borehole Stoneley Waves—A Simplified Biot-Rosenbaum Model. J. of the Acoustical Soc. of America , 3, 1632-1646.
6. Tang, X., Cheng, C.H., Toksoz, M.N. (1991). Stoneley-Wave Propagation in a Fluid Filled Borehole with a Vertical Fracture, Geophysics, 4, 447-460.
7. Saxena, V. (1994). Permeability Quantification from Borehole Stoneley Waves. paper T. Trans., Annual Logging Symposium, SPWLA, 1-22.
8. Kimball, C.V., Endo, T. (1998). Quantitative Stoneley Mobility Inversion. paper BH 1.1. Expanded Abstracts, 1998 Annual Meeting Technical Program, SEG, 252-255.
9. Dorovsky, V.N., Podberezhnyy, M., Nefedkin, Yu. (2011). Stoneley attenuation length and pore fluid salinity, Russian Geology and Geophysics, 2, 250-258.
10. Dorovsky, V., Dubinsky, V., Podberezhnyy, M., Nefedkin, Yu. (2010) Effect of porous fluid properties on Stoneley wave parameters, Saint Petersburg 2010. Proceedings 4th International Conference (5-8 April 2010), 17.
11. Dorovsky, V.N., Nefedkin, Yu.A., Fedorov, A.I., Podberezhnyy, M Y. (2010). A logging method for estimating permeability, velocity of second compressional wave, and electroacoustic constant in electrolyte-saturated porous formations. Russian Geology and Geophysics, 12, 12851294.
12. Podberezhnyy, M., Nefedkin, Yu., Lamukhin, A. (2006). Nonlinear effects in liquid and in fluid saturated friable media under DC Field. Saint Petersburg 2006: International Conference and Exhibition (Saint Petersburg, 16-19 October 2006), C009.
13. Dorovsky, V., Dubinsky, V., Fedorov, A., Podberezhnyy, M., Nefedkin, Yu., Perepechko, Yu. (2010). Method and apparatus for estimating formation permeability and electroacoustic constant of an electrolyte-saturated multilayered rock taking into account osmosis. Patent Application Publication US 2010/0254218 A1.
14. Dorovsky, V. N., Dorovsky, S.V. (2009). Electromagnetic-acoustic method for measuring electrical conductivity and zeta potential. Russian Geology and Geophysics, 6, 735-744.
15. Imomnazarov, Sh. Kh., Dorovsky, V. N. (2017). Downhole magnetoacoustic oscillations determining the electrokinetic parameters of saturated porous medium. In Sbornik materialov Interekspo Geo-Sibir'-2017: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: T. 1. [Proceedings of Interexpo GE0-Siberia-2017: International Scientific Conference: Vol. 1.] (pp. 186-190). Novosibirsk: SSUGT [in Russian].
16. Mikhailenko, B.G. (1999). Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems, Applied Mathematics Letters, 12, 105-110.
17. Mikhailenko, B.G., Mikhailov, A.A., Reshetova, G.V. (2003). Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method. Pure apll. Geophys, 160, 1207-1224.
18. Mikhailenko, B.G., Mikhailov, A.A., Reshetova, G.V. (2003). Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method, Geophysical Prospecting, 51, 37-48.
19. Imomnazarov, Kh.Kh., Mikhailov, A.A. (2014). Application of a spectral method for numerical modeling of propagation of seismic fields in porous media dissipative case. Numerical Analysis and Applications, 2, 139-147.
20. Berdyshev, A., Imomnazarov, Kh., Jian-Gang Tang, Mikhailov, A. (2016). The Laguerre spectral method as applied to numerical solution of a two-dimensional linear dynamic seismic problem for porous media. Open Comput. Sci. 6, 208-212.
© Ш. Х. Имомназаров, А. А. Михайлов, В. Н. Доровский, 2018
