CC BY
12
УДК 550.34
ОБ ОДНОМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОРОУПРУГОСТИ
Холматжон Худайназарович Имомназаров
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-83-52, е-mail: imom@omzg.sscc.ru
Равшанбек Кадамбаевич Юсупов
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха, 742000, Республика Узбекистан, г. Нукус, ул. Академика Ч. Абдирова, 1, ст. преподаватель, тел. (99861)223-60-47
В статье получена замкнутая одномерная система динамических интегродифференци-альных уравнений первого порядка относительно компонент скоростей вектора смещений упругого пористого тела, насыщающей жидкости и тензора напряжений в диссипативном приближении. Рассматриваемая математическая модель является термодинамически согласованной и в общем случае удовлетворяет первым физическим принципам. Распространение волн в насыщенной жидкостью пористой среде записывается одномерной системой уравнений через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений и компонент тензора напряжений, используя принцип суперпозиции Больцмана в интегралах свёртки с функциями последействия. Исследована зависимость дисперсионного соотношения полученной системы от физических и кинетических параметров.
Ключевые слова: пористая среда, сила трение, проницаемость, гиперболическая система, скорость смещений, относительная скорость, интеграл свертки.
ABOUT ONE INTEGRAL AND DIFFERENTIAL EQUATION OF THE DYNAMIC POROELASTICITY THEORY
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov
Institute of the Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS, 6, Prospect Аkademik Lavrentiev St., Novosibirsk, 630090, Russia, D. Sc., Leading Researcher, phone: (383)330-83-52, e-mail: imom@omzg.sscc.ru
Ravshanbek K. Yusupov
Karakalpak State University named after Berdakh, 1, Academician Ch. Abdirov St., Nukus, 742000, Republic Uzbekistan, Senior Lecturer, phone: (99861)223-60-47
In this paper, we obtain a closed one-dimensional system of first order dynamic integro-differential equations relative to the velocity components of the displacement vector of an elastic porous body, a saturating fluid, and a stress tensor in the dissipative approximation. The considered mathematical model is thermodynamically consistent and in the general case satisfies the first physical principles. The propagation of waves in a liquid-saturated porous medium is written down as a one-dimensional system of equations in terms of the relationship between the displacement velocity components and the stress tensor components, using the Boltzmann superposition principle in convolution integrals with after-effect functions. The dependence of the dispersion relation of the obtained system on physical and kinetic parameters is investigated.
Key words: porous medium, force friction, permeability, hyperbolic system, displacement velocity, relative velocity, convolution integral.
Введение
Присутствие воды и газа в подземных резервуарах приводит к фазовым сдвигам и зависимости от частоты изменения амплитуды сейсмических волн (например, [1, 2]). В работах [3-13] ввели двухфазную модель среды для описания взаимосвязанного распространения волн в пористой флюидонасыщенной среде. Большое внимание уделяется также моделям диссипации пористой среды и способам ее учета в уравнениях состояния.
Фундаментальное свойство упруго-пористой насыщенной среды, следующее из теории Био, состоит в том, что в таких средах могут распространяться две продольные волны, быстрая и медленная, а также поперечная волна.
Эта система описывает распространения сейсмических волн в пористой среде и в изотропном случае содержит четыре независимых упругих параметра [3-13]. Линеаризованная теория континуальной теории фильтрации является замкнутой системой дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов скорости смещений упругого пористого тела и скорости жидкости [14, 15]. Также как теория Френкеля-Био описывает распространения сейсмических волн в пористой среде. Фундаментальное свойство упруго-пористой насыщенной среды, состоит в том, что в таких средах могут распространяться две продольные волны, быстрая и медленная, а также поперечная волна. В отличие от него в изотропном случае описывается тремя независимыми упругими параметрами.
В низкочастотном режиме разработаны методы моделирования во временной области [14, 15] и в указанной там литературе. В высокочастотном режиме возникают дробные производные, что приводит к значительному усложнению численного моделирования волновых полей для модели Biot-JKD [11]. Предыдущие значения решения действительно необходимы для оценки оператора свертки, что означает, что временная эволюция решения должна быть учтена, т.е. система уравнений является с памятью. Это значительно увеличивает требования к оперативной памяти при численном моделировании и делает невозможным крупномасштабное моделирование. Известно, что в литературе были предложены два подхода. Первый подход состоит в дискретизации оператора свертки [16], а второй основан на использовании диффузионного представления дробной производной [17]. В последнем подходе произведение свертки заменяется континуумом диффузионных переменных - или переменными памяти - удовлетворяющие локальным дифференциальным уравнениям [18]. Этот континуум затем дискретизируется с использованием соответствующих квадратурных формул, приводящих к модели Biot-DA (модели Био - диффузионное приближение).
В [16], диффузионный подход предложен для одномерной однородной модели пористых сред. По сравнению с [16], были внесены важные улучшения: хорошее представление вязкой диссипации во всем диапазоне частот; оптимизация модели; оценка вычислительных усилий с точки зрения требуемой точности.
В 1987 году Джонсон-Коплик-Дашен (JKD) [16] получили общее выражение для диссипации в случае случайных пор. Вязкие силы зависят в этой модели в частотной области от квадратного корня от частоты. Следовательно, это приводит во временной области к интегродифференциальному уравнению с сингулярным ядром.
Одномерная система динамических уравнений пороупругости для поперечных волн в диссипативном приближении
Рассмотрим распространение нелинейных поперечных сейсмических волн в случае, когда парциальные плотности матрицы пористого тела р3, насыщающей жидкости Р1, а также модуль сдвига / являются постоянными, а сила трения, определяющая диссипацию энергии, является функцией разности скоростей р = р(и - V). При таких предположениях система нелинейных одномерных уравнений пороупругости может быть записана в следующем виде [17, 18]:
и-Р,
= с*их, (1)
V = P,
где и и V - скорости пористой матрицы и насыщающей жидкости, соответст-
ди ди Л Л , р .
венно; и = —, их =--операторы дифференцирования; = рр(1 -ф), рг = р{ф, ф
д/ дх 3 3
- пористость, рр и рр - физические плотности пористого тела и насыщающей жидкости, соответственно; р^<7 - тензор напряжений, с( р , е = р1 / р . Линеаризуем систему (1), получим систему уравнений первого порядка
и=°х-хрг (и"^,
= с<их, (2)
V =ХР1 (и -
где х - коэффициент межфазного трения.
В случае, когда пористая среда является с памятью в системе (2) вводятся интегральные операторы свертки [16, 19]:
и =°х-ЩХ*(и~^,
°г = с<их, (3)
V = рх*(и - v)
где * - является оператором свертки во времени.
Дисперсионный анализ
Исследуем условие существование решение системы (3) в виде плоских монохроматических волн
(и, V, а) = К, Уо, а 0)е'к ). (4)
Подставляя решения (4) в системе (3), приходим к однородным линейным однородным линейным алгебраическим уравнениям на амплитуды и0, уо,а 0
(ю+/вр/х(ю))ио - 1ЩХ(ш)У + као = 0,
ке^щ + ша 0 = 0, (5)
Ф/Х(ш)ио + (ш + Ф/ Х(ш))уо =
В (5) х(ю)~ преобразование Фурье от функции) по времени. Условие существования решений вида (4) сводится к равенству нулю определителя системы (5) и дисперсионное соотношение принимает вид
к 2
1+г № р- р
ш Рэ J
цк . х(ю) — 1 +1р/
Ps V ш
Эта выражение позволяет определить скорость е( (о) = со / к. Представим е( (а) в виде
е{ (ш) = А(ш) - /В(ш), (6)
где А(ш) = Яее((ш), В(ш) = - 1те((ш).
В этом случае выражение (4) можно преобразовать [15]
(и, V, а) = (ио, Уо, а о) е-1ш(1 - х / и (ш))е- х / ^(ш), (7)
Скорость поперечной волны и (ш) и длина поглощения (ш) определяются посредством А(ш) и В(ш) формулами
А 2( ш) + В 2( ш)
и (ш) =-А^-•
Ха(ш) = А2(ш) + В2(ш). (8)
шВ(ш)
Высокочастотным пределам фазовой скорости волн сдвига удовлетворяет
соотношение с™ = / р3 .
На рис. 1 и 2 показаны дисперсионные кривые соответствующие скорости и длина поглощение для поперечной волны. Физические параметры, используемые в численных экспериментах, взяты из [15, 16]:
I--2 2
£(—) = —1-/ /1 +1—, О = Лф ^ , р{ = 1 040 (кг/м3), ц= 1.5• 10-3(Па• с), крр; V О 4а2к2р/
рр = 2 650 (кг/м3), / = 2.93-109(Па), ф = 0.335, а = 2, к = 10-11(м2),Л = 2.19•10-5(м).
и
Рис. 2
Систему (3) можно представить в случае с переменными коэффициентами в виде интегро-дифференциального уравнения относительно скорости смещений упругого пористого тела. В случае для малых значений пористости данное уравнение имеет вид [20]
utt (t, х) - c2t (t, x)uxx (t, x) + a1 (t, x)ut (t, x) +
t
+ a2 (t, x )ux (t, x) + a3 (t, x)u (t, x) + J a4 (t - r, x )u (r, x) d т = f (t, x),
0
где коэффициенты ak (t, x) - заданные не обращающиеся в нуль ни в одной точке функции, f (t, x) - описывает источник.
Заключение
Получена замкнутая одномерная система динамических интегро-диффе-ренциальных уравнений первого порядка относительно компонент скоростей вектора смещений упругого пористого тела, насыщающей жидкости и тензора напряжений в диссипативном приближении. Математическая модель является термодинамически согласованной и в общем случае удовлетворяет первым физическим принципам. Распространение волн в насыщенной жидкостью пористой среде записывается одномерной системой уравнений через взаимосвязь компонент вектора скорости смещений и компонент тензора напряжений, используя принцип суперпозиции Больцмана в интегралах свертки с функциями последействия. Исследована зависимость дисперсионного соотношения полученной системы от физических и кинетических параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Castagna J. P., Sun S., Wu S.R. Instantaneous spectral analysis: detection of low-frequency shadows associated with hydrocarbons // The Leading Edge. - 2003. - v. 22. - pp. 120-127.
2. Korneev V.A., Goloshubin G.M., Daley T.V., Silin D.B. Seismic low-frequency effects in monitoring of fluid-saturated reservoirs // Geophysics. - 2004. - v. 69. - pp. 522-532.
3. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. география и геофизика. - 1944. - Т. 8. - №4. - С. 133-150.
4. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated Porous Solid I. // J. Acoust. Soc. Amer. - 1956. - Vol. 28. - pp. 168-178.
5 Biot, M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II: High-frequency range // J. Acoust. Soc. America. - 1956. - Vol. 28. - pp. 179-191.
6. Fellah, Z.E., Chapelon, J.Y., Berger, S., Lauriks, W., and C.D.Ultrasonic wave propagation in human cancellous bone: application of Biot theory // J. Acoust. Soc. Am. - 2004. - No. 116. -pp. 61-73.
7. Carcione, J. M. Computational poroelasticity - A review // Geophysics. - 2010. - v. 75. -pp. 75A229-75A243.
8. Chiavassa, G. and Lombard, B. Time domain numerical modeling of wave propagation in 2D heterogeneous porous media // J. Comp. Phys. - 2011. - v. 230. - pp. 5288-5309.
9. Lu, J. F. and Hanyga, A. Wave field simulation for heterogeneous porous media with singular memory drag force // J. Comp. Phys. - 2005. - v. 208. - pp. 651-674.
10. Haddar, H., Li, J. R., and Matignon, D. Efficient solution of a wave equation with fractional-order dissipative terms // J. Comp. Appl. Math. - 2010. - v. 234. - pp. 2003-2010.
11. Blanc, E., Chiavassa, G., and Lombard, B. Biot-JKD model: simulation of 1D transient poroelastic waves with fractional derivatives // J. Comput. Phys. - 2012. - v. 237. - pp. 1-20.
12. Gautier, G., Groby, J. P., Dazel, O., Kelders, L., De Rick, L., and Leclaire, P. Propagation of acoustic waves in a one-dimensional macroscopically inhomogeneous poroelastic material // J. Acoust. Soc. America. - 2011. - v. 130. - pp.1390-1398.
13. Coussy, O. Mechanics of Porous Continua, John Wiley and Sons. - 1995.
14. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В., Роменский Е.И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва - 1993. - No 1. -C. 100-111.
15. Blokhin A.M., Dorovsky V.N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum, Nova Science, New York. - 1995.
16. Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media // J. Fluid Mech. - 1987. - v. 176. - pp. 379-402.
17. Имомназаров Х.Х., Имомназаров Ш.Х., Коробов П.В., Холмуродов А.Э. Прямая и обратная задача для нелинейных одномерных уравнений пороупругости // Доклады Академии Наук. - 2014. - том 455. - № 6. - С. 640-642.
18. Имомназаров Х.Х., Холмуродов А.Э. Моделирование и исследование прямых и обратных динамических задач пороупругости. Изд. Университет, Ташкент, 2017. - 120с.
19. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости, Мир, 1974
20. Yangiboev Z. The first Darboux problem for second order hyperbolic equations with memory // Mathematical Modeling in Geophysics. — 2015. — No. 18. — pp. 49-52.
REFERENCES
1. Castagna, J. P., Sun, S., Wu, S.R. (2003). Instantaneous spectral analysis: detection of low-frequency shadows associated with hydrocarbons. The Leading Edge, 22, 120-127.
2. Korneev, V.A., Goloshubin, G.M., Daley, T.V., Silin, D.B. (2004). Seismic low-frequency effects in monitoring of fluid-saturated reservoirs. Geophysics, 69, 522-532.
3. Frenkel, Ya.I. (1944). On the theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil. J. Phys. USSR, 8, 230-241.
4. Biot, M.A. (1956). Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated Porous Solid I. J. Acoust. Soc. Amer., 28, 168-178.
5 Biot, M. A. (1956). Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II: High-frequency range. J. Acoust. Soc. America 28, 179-191.
6. Fellah, Z.E., Chapelon, J.Y., Berger, S., Lauriks, W., and C.D. (2004). Ultrasonic wave propagation in human cancellous bone: application of Biot theory. J. Acoust. Soc. Am. 116, 61-73.
7. Carcione, J. M. (2010). Computational poroelasticity - A review, Geophysics 75, 75A229-75A243.
8. Chiavassa, G. and Lombard, B. (2011). Time domain numerical modeling of wave propagation in 2D heterogeneous porous media, J. Comp. Phys. 230, 5288-5309.
9. Lu, J. F. and Hanyga, A. (2005). Wave field simulation for heterogeneous porous media with singular memory drag force. J. Comp. Phys. 208, 651-674.
10. Haddar, H., Li, J. R., and Matignon, D. (2010). Efficient solution of a wave equation with fractional-order dissipative terms. J. Comp. Appl. Math. 234, 2003-2010.
11. Blanc, E., Chiavassa, G., and Lombard, B. (2012). Biot-JKD model: simulation of 1D transient poroelastic waves with fractional derivatives. J. Comput. Phys. 237, 1-20.
12. Gautier, G., Groby, J. P., Dazel, O., Kelders, L., De Rick, L., and Leclaire, P. (2011). Propagation of acoustic waves in a one-dimensional macroscopically inhomogeneous poroelastic material. J. Acoust. Soc. America. 130, 1390-1398.
13. Coussy, O. (1995). Mechanics of Porous Continua, John Wiley and Sons.
14. Dorovsky, V.N., Perepechko, Yu.V., Romensky, E.I. (1993). Wave processes in saturated porous elastically deformed media. Comb., Expl. and Shock Waves, 1, 93-103.
15. Blokhin, A.M., Dorovsky, V.N. (1995). Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum, Nova Science, New York.
16. Johnson, D.L., Koplik, J., Dashen, R. (1987). Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media. J. Fluid Mech., 176, 379-402.
17. Imomnazarov, Kh.Kh., Imomnazarov, Sh.Kh., Korobov, P.V., Kholmurodov, A.E. (2014). Direct and inverse problem for the nonlinear one-dimensional poroelasticity equations. In Doklady Akademii Nauk [Journal of Doklady Mathematics], 455(6), 640-642 [in Russian].
18. Imomnazarov, Kh.Kh., Kholmursdov, A.E. (2017). Modelirovanie i issledovanie pryamikh I obratnikh dynamicheskikh zadach porouprugosti [Modeling and investigation of direct and inverse dynamic problems of poroelasticity]. Tashkent: Tashkent University [in Russian].
19. Chistensen, R. (1971). Theory of Viscoelasticity, Academic Press, New York.
20. Yangiboev, Z. (2015). The first Darboux problem for second order hyperbolic equations with memory. Mathematical Modeling in Geophysics. 18, 49-52.
© Х. Х. Имомназаров, Р. К. Юсупов, 2018
