CC BY
10
УДК 1Г> 517-519 (iï7.
ЧИГЛРННЫЙ PAC4FT СУММАРНЫХ РАЛИАЛЬНЫХ ГИЛ И ВРА1Ц AT F ЛЬНЫ X МОГ/ = HTOR ГИЛ
С ПОВСРХНОСТСИ ЦИЛИНДРОВ
А. В. Пашпкш:1, -L 1. Варепо"
1Институт математики голени C.JJ. Соболева СО РАН, с. Омск, Россг*я 'Омский государственный технический университет, с. Омск, Россия
Аннотация - Определение действующих моментов сил при имеющих место неровностях цилиндра, когда происходит деформация контактирующих поверхностей вращающихся цилиндров п подложки при взаимодействии с вязкой несжимаемой жллкогткю, по-прежнему является одной m первостепенных
ДЯЧ. Чш-JIHHHKIII ригчп Д.1М р:1 |И:1. IHHhlt CII.I И МИЧСИ l ПК Г IIHiei [IJ.IhHhIMII НЬфНАННИНЧН Д.11И . IHlJmpM и-||уН11ЦНХГИ IIUKH|l\HliriHÎi IIJHIKO IM.Il M Г Y4HIIIM /|И1К|ММ И1Ж eeiKII К ИКНИ!! HIHI m y t. IHK llllKf p \ Hill I HlÎ KPJIX-
него п нижнего цилиндров и их скоростей деформации. В работе представлены результаты численного моделирования для количественной оценки радиальных сил вращательных моментов сил с поверхностен цилиндров, возникающих в процессе переноса вязкой несжимаемой жидкости на подложку между двумя вращающимися цилиндрами. Показано определение в дискретном виде динамических величин (радиальной н касательной силы, момента сил) па примере одной расчетной ячейки. Отмечено, что учет деформации границ приводит ¡¿уменьшению расчетных динамических величин в 3-5 раз и уменьшению растекания краски около границ окончания печатной области.
Киочееые слоеа: численное моделирование, поверхность, радиальные силы и моменты сил. деформация. вязкая несжимаемая жидкость.
I. Ввк.чкниь
Тенденции кошсурептоспосоопосго на современном рынке печатного оборудования дшегуют условия их не прерыпеого ccDeomeiicTDODCJEM. Основное назначение офсетпых печатных мятппп - многократное получение идентичных оттасков путем нансссння вязкой несжимаемой жидкости (краски) на запечатываемую подложку контактным способом под действием давления. С другой стороны, зто выполнение техяслогического процесса печатают со свойственными ему разнообразными деформациями, обусловленными контактными язлениямн в офсетных печатных машинах. Факт наличия различных деформаций оказывает существенное влияние на качество продукции к функционирование различных механических систем. Наличие деформаций в реальном печат-
HOV 1.рОЦГ«ТГ И НГНОЧМОЖНОПН ИХ ПОЛНОГО упрингним ПХ1ЯК.1ИН» Чг1АН\К' няучнук» IIJKlfxiirMy — уЧПИ И yilJMH-JlfHHV H V И рПИГНИГ К(ТIOJK1H IJlrfyri М «'111|*1ннги1 анилк« ИрОтХОЛХЩНХ НН11ГННЙ III X НО. IHK V ДгфорМгЩИИ уклингп-м 1и нон1)111и1г11ЯК)1Цнии при ог.гнкг кячгони игчигной 1пх>дук1.ии и ]»иГи)пх-|1о: п6н:к1и оомрудикнним
Необходимым углопнем для достижения требуемого качества конечного печатногп продула [" ] в прпцеггр эксплуатации офсетных печатных машин является учет влияния на динамические характеристики цнтнндров процесса переноса вязкой несжимаемо® жидкости (краски) на подложку/ при моделировании и последующем проектировании печатных аппаратов офсетных печатных машин.
Поиск новых подходов для решения данной проблемы, принимая во внимание, что теоретические разработки. в частности разработка математических моделей, моделирующих работу функциональных узлов печатной машины, относятся к числу приоритетных, не утратила езеей актуальности и в настоящее время.
Д. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
D работе [2] делается акцент только на ахтквное управление потоком вязкой несжимающейся жидкости по отношению к вращающемуся цилиндру, а не лри переносе последней аа подложку, контактирующую с поверхностью вращающегося цилиндра.
Компьютерная имитация немонотонного распределения красочней пленки при переносе ее на подложку з красочном аппарате представлена в работе [3], ставится вопрос о компенсации вибрации.
Рассмотреть этого вопроса в работах [1, 5] носит в основном информативный характер, рассматриваются в основном перенос жидкости мех<д\г двумя параллельными пластнпами па стадии растяжения. разрыва и отзачп жидкости. Оценивается влияние па перепое жидкости поверхностного натяхеепня. углов контакта. Отмечается зависимость результата моделирования от угла контакта на боковой стенке полости.
В работах [6. 7] представлены результаты численного моделирования расчета показателей переноса вязкой несжимаемой жидкости на подложку с учетом деформации, однако влияние вращательных моментов сил в них не затрагивалось.
Определение действующи?, моментов сил при имеющих место неровностях цилиндра, когда происходит деформация поверхности цилиндра при взаимодействии с вязкой жидкостью и другим цилиндром, лс-прежнему
IHTrariiH Н ЦГНЦЖ! КНИМ-1НИЧ ШЧ ЛГДПКа ГГ.1ГИ R ГШ1К1 <1ЧГ]»ГДЬ, НГо1)Х(>ДИ1\11Х'1Ь khltK)}K1 I рнгкции NÜCainihHMX и н11|ми.1ьнмх нип]пжгний на нтК1Х(1,Ц4Мыг идпраклгним (ии ¡¡идиус-нги ixipy к (н и 11илин;цм или к нормали радиуса Цг111ИИ;||М К И.ИХ КОПИ НраЩГНИ*) при иитприроиииии ЧГИХ КГЛИЧИН 'ШИ(К И]1ГДС17!ШП«Г|- КИК имунимй 1И1 и ■ :рак i ичегкий ииггргг при ирпгкирокании и «кгмлу/пнции пгчагных машин
Ш. Мьтоды
деленный расчет для радиальных сил и моментов с этими интегральными выражением для деформирующихся поверхностей проводился с учетом дискретной сепш в окрестности узлов поверхностей верхнего и пнж него цилшгдрог и их скоростей деформации, что является необходимым при определешш касательных иапря жепни.
Моделирооахше проведено с помощью разработанного алгоритма авторами численного решения уравиесши Нпвьс Стокса вязкой несжимаемой жидкости на двухмерной сетке с помощью конечно-разностных аппроксимаций для дифференциальных операторов на компактном шаблоне Рассматривается ламинарный тип тече-еия вязкой несжимаемой жидкости в точке контакта поверхностей и постоянной скоростью вращения шкнн-дров.
Численные рягчегы по пгре.тегению дикамичегчагс характеристик были ттроирдены ня сетке ЯОлЯО дтти начального размера жидкости с толщиной ск — 2:0-10'6 м н шириной ¿3 = S^D IO"4 м. для кинематической вязкости V = 0.012 м2/с. плотности р ~ 10' кг/м*. коэффициенте поверхностиого патяжешм :кндкостн С.„ - 0,05 НУм.
ГУ. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕ1ТШ
Рассмотрим на примере одного из цилиндров определение дискретных величин для напряжений в окрестности г -го узла по трансвсрсальному направлению цилиндра с расчетной площадкой размером hjr) на L: (рис. 1). |дг 7.: — дл и ни jKic чпжио МЛГМГН1И кдемк цилиндра
Рис 1. Определение в дискретном виде динамических ьеличин (радиальной и касательной силы, момегпа сил) от одной расчетной япейкн
Па рис. I. на примере граничного узла "'04 ". рассмотрим определение в дискретном виде динамических величии т одной рас-кгший пчелки. Так как ра^лкиривлеи-М иолирнли система координа1 (г, с переходим а аналогичную систему (х, у) = (Я^.Д — г), то величина шага по сетке Аг будет соответствовать размерности при радиусе г = Я, и ЬТ(г) = кхо = Аг К, где — шаг сетки по углу ф.
Для определения действия сил на оси цнлнндров от поверхностен контакта с краской произведем расчет значения интеграла следующего вида с учетом основных напряжений жидкости н условий несжимаемости и прилипания вязкой жидкости на твердых границах (при постоянном радиусе цилиндра г = R ):
Fr=Jjs[ CP Ро) 2vp(™;))Rd<pdl (1)
ддс г, ц), I- цилиндрические координаты ииверхиос.и S. Р — давление на поверхности шишнлра и жидммли. Pq -внешнее анчо^ферное давление.
Дли опргдглгним дг-йп кующих моигнпж сил Мф шшх и ir.iKHti (и гй милиндрин нечшходим» и]х;ин 1приро-
ватъ касательные напряжения vp I по поверхности контакта жидкости с цилиндром при рассмотрении
положительных моментов сил против часовой стрелки:
[-vp(^)]R~d<fdL (2)
Для пахол<деш2я сЬщей радиальной силы и момента сил для данных цилиндров проведем суммирование по расчетгллм ячейкам деоормнроэаосых поверхностен, находящихся во взаимодействии с соприкасающейся жщцсостыо. с которой создаются силовые напряжется Так. если расчетный узел "О", слижайппш по шшексу г к граничном-/ узлу "С4" цилиндра. принадлежит области жидкости, то в этом граничном узле будет произведено вычисление дискретных вешгчнп tri,tM^ при величине радикса — К + Уи104:11 У"1® <Р\ ~ *i
Нормальное и касательное направления и, г с утлом с/, к радиусу вектору г здесь можно определить по координация* ГлКГДИИХ y.4JICl К ^Х,- С*« 1 l.^ï I XCl-t't,.' И 110 У'"> fi. НрГДПИНЛНКНЦПО дигкргный шаг 11(1 <j! К 11(1—
лярной системе координат и определяемого на равномерной сетке з виде (S = h^/R. Таким образом, определим этот угол с. в виде
и - arr:t.u([(rifHl4) - ríy(23)) • i:iis/?]/[(t îj/(14) + r¿j(23)) • sm fi]) 0)
Для приближенного определения величин [Р - Pq) при вычислении ГГ,Мф в качестве Г будем использовать Pí>fl04). определяемое или через значение давления в ближайшем расчетаом узле Р(^0| с точностью о(Лу), пли с точностью О (jiy ) с перерасчетом из зыражения. получаемого на основе уравнения движения по компоненте у в виде при hx = £ • R,hx = xí(9,i!(0) - xí(0Z lil(Q2),hy = rtJ(y¡ - riií(0)l hy = rr(0)/(0l - r!(04):
i«' ИЧ<*> l.'y +Р А
\ di r Or r Сц/R r )i j V r r-
ZJxdUyy-)
r* Wi j
+0(h\), (4)
„•»,. 1 ОСг , 02иг , ь* д-Цг где V* ГЛ. = —-—|- —— + ——-—— 61 - угловая скорость рра чтения
Г Эг &<-■!■ г- >.Э<?Ю-
Для вктчиг.-ения Р.^04 необходимо ггротр?гти яямяну иернктх и кггрых частных ттротпяплтшх от 11 г, 11 ^ на конечно разностные производные в окрестности узла(ж„ у, }. Также для приближенного определеппя произвол
дУл . . Г. Чу
ных в выражении -г1- С"о5(а) +—-Ып(а), используемого в проекциях напряжении, воспользуемся конечно-
с г г Оу?
разностными приближениями /1*1^ и Лдля ^^ и (на неравномерных узлах с шагами к н А будем использовать для них обозначения Л* и и,.):
_ 1 ,»>■ тт №->•?) и 2 _ дг ~ ( 4 пу,'7 пу I 0(Н у)
=Л +0(}гл (5)
«г _ 1 . < т, , г; Ь* „ у , .
=Л*иг + 0(1г\) (б)
На основе выражении типа (5) - (б) для вычисления давления на границе расчетной области Р^до*) взамен (4] получим следующую прполнженную фор\г>-л'^
- (ми, + + +
v.
v ( л?иг + л*уг - -
nl-hy „ V . '•Kv+fcyl
У "У
»2
(7)
Суммарные величины F, , М^ по всем граничным узлам поверхности цилиндра, соприкасающимся с жидкостью. могут быть получены в знде:
Fr = Fneri = У"
(8)
1ДС iVl - ЧИСЛО рсКМС.яыа у^ЛОН UU К1ХфДШ1а1Г X (hJ-И V). bri — единичный opi ДЛЯ f-ю HrtlipdliJiemiM радиуса вектора около приграничного (i,y) —го узла расчетной сетки.
VI. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ На рно. 2 показаны изменения радиальных сил для случая отсутствия деформаций поверхностей цилиндров, а но рис. 3 подобные расчеты для случая взаимодействий с деформирующими поверхностями цилиндра и подло>исн.
1Г, -|
10 -
5
T 0 -
о 5 -
X -10
-15 J
Т 5 7 9 11
время t*2*10-5
21 23
•Ряд1 Рпд2
I'hc. 2. Радиальные силы давления на цнлнндры 1 н 2 Ьсз деформации прн фильтрации на цилиндре 2(ряд 2)
11 13 15
■Ряд1 ■Ряд?
время Г2Ч0-5
Рнс. 5. Радиальные силы давления па шипщцры 1 и 2 прн деформации и фильтрации на щгашдре 2 (ряд 2)
Можно отмепггь. что в случае отсутствия деформаций грашщ возникает пше силовых нагрузок d середшге периода взаимодействия цилиндров с жидкостью, когда происходит максимально? ее сжатие.
VT RhTROlbTИ ЗАТСШТО-НИК
Реа.тичаттия предложенчпго подхода к ретпетго яадачи по определению дейгтнутощих моментгт сип, nveic-шлх место нри неровное ix\ ии..ннлрс.. клда пролеходш деформация конiахшр уклциа иоверхшхлей ьр<ш_ак:-шлхся инлнндров а процесс с переноса вязкой несжимаемой жидкости на подложку. шжазала следующее.
- у чех деформации храннх. нрнводих к умеххьпхеншо расчсхных ¿лнамнческих величин а З-f раз к уменьшению растекания краски около границ окончания печатной области:
- максимальные значения возникают как в начальный момент гидрох-юелмического удара при столкновении печатного цилиндра с жидкостью, так и в конце при разделении (разрыве) жидкости по цилиндрам и переносе не подложу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ISO 12647-2:2004. Graphic technology - Process control for tlxe production of half-tone colour separations, proof and production prints. Part 2: Offset lithographic processes, 2012. 19 p.
2. Ou У. R. Decision anc Control relative to a rotating cylinder A V. Ou /.' Decision and Control, LhEE Conference Publications, 1992. Vol. 1. P. 3399-3101. DO!: 10.1109' CDC. 1992.371221.
3. Yu J., Wei ?. [et al.JS limitation the axial oil distribution of offset printing !> Electrical and Control Engineering (ICECE), IEEE Conference Publications. 2011 P. 4968-4971. DO! 10.1109/ICECENG 2011.6057508.
4. Huang W.-X, Lee S.-H, Sung H. J. [et al ] Simulation of liquid transfer between sepzrating walls for modeling TIHi lC»-£,li1VUir-oiTsH imilllll J //7и1ГЧ1И|10;м1 Jllllliw' t»f Нгя! Jllll! FlllulFloW. ?.008 Vol 79 ТИ1 5 P 14Я6—1446
5. Reis N C Jr., Griffiths R. F , Santos J. M. Numerical simulation of The impact of liquid droplets oti porous surfaces // J. Coinput. Pliys. 2004. V_ 198. P. 747-770.
6. Pamchkin A.V.. Varepo L. G. The Numerical Calculation of a viscous Incompressible Fluid transfer onto Poros Surface between Rotatmg Cylinders1/ International Multidisapknary Microscopy Congress. Springer Proceedings in Physics. 2014. Vol. 154. P.79- 83.
7. Varepo L. Pamclikm A. The simulation of the viscous fluid splitting at the outlet of the engagement zone between cylinder surfaces and substrate H Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines 7005689. 2014 P. 1—4.
