CC BY
44
Математические структуры и моделирование
УДК 532.517:519.632
2016. № 1(37). С. 50-58
моделирование переноса краски в зоне печатного контакта с учётом деформации
Л.Г. Варепо1
д.т.н., профессор, e-mail: [email protected] А.В. Паничкин2
к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: [email protected]
1Омский государственный технический университет 2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Аннотация. Проведено моделирование переноса краски между вращающимися цилиндрами печатного аппарата многокрасочной офсетной машины на двухмерной сетке с помощью конечно-разностных методов с равномерным шагом. Получены численные решения расщепления краски на выходе из зоны печатного контакта с учётом деформации красконесущей и красковоспринимающей поверхностей.
Ключевые слова: моделирование, модуль упругости, деформация, зона печатного контакта.
Введение
Цель работы заключается в разработке математической модели, методов и программного обеспечения для численного моделирования течения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами между вращающимися цилиндрами, характерного для офсетной печати.
1. Постановка задачи
Согласно данным [1], деформации сжатия декелей и бумаг в статистических условиях впервые исследовал К.В. Тир. Указано, что зависимость а = f(е) напряжения сжатия а декеля толщиной 8 от относительной е или абсолютной А деформации сжатия носит нелинейный характер и выражается следующей формулой:
ат = Е • е = ЕА/8, где E и m — постоянные.
В следствии возникающих при печатании упругих деформаций цилиндров печатного аппарата (рис. 1, а) на величину fy = f + f2 ширина полосы печатного контакта by претерпевает изменения и определяется выражением
Математические структуры и моделирование. 2016. № 1(37)
51
где Ri,R2 — радиусы жёсткого печатного и упругого (с покрышкой офсетного) цилиндров.
Однако при определении коэффициента перехода не учитываются текстурные характеристики запечатываемого материала.
В работах [1,2] авторами проведено моделирование переноса и расщепления печатной краски между вращающимися цилиндрами (офсетным и печатным) печатного аппарата листовой машины офсетной печати традиционного типа и рассмотрен вариант однокрасочной печати на пористом запечатываемом материале (бумага, картон), но без учёта его деформации.
Задача количественной оценки коэффициента расщепления краски в зоне контакта с учётом его деформации, особенностей текстурных характеристик и постоянно обновляющегося ассортимента основных компонентов печатной системы, до сих пор остаётся актуальной.
2. Методы решения
Ограничимся постановкой задачи в полярной системе координат. Реализация используемого подхода выполнена с помощью разработанного алгоритма численного решения уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости с применением конечно-разностных аппроксимаций для дифференциальных операторов на компактном шаблоне с учётом деформации резинотканевого полотна и бумаги.
На фиксированной сетке применяются конечно-разностные методы с вводом подвижных граничных узлов для границы печатного цилиндра и свободной границы жидкости, которая в начальный момент находится на офсетном цилиндре без относительного движения. Расчётную область W представим в форме прямоугольника с регулярной сеткой и равномерными шагами hx,hy (Nx,Ny — число узлов по координатам x,y).
В печатной секции при проходе жидкости через полосу контакта часть её проникает в структуру бумаги (красковоспринимающую поверхность) за счёт впитывания в поры. В следствии возникающих при печатании упругих деформаций цилиндров печатного аппарата (рисунок 1) для некоторого упругого слоя (бумага, резина) определено динамическое уравнение деформации.
Моделирование этого процесса можно описать с помощью уравнений фильтрации при учёте определённых характеристик пористой среды, таких как средний радиус пор. Будем предполагать, что в начальный момент времени t0 = 0 жидкость покоится. Офсетный и печатный цилиндры имеют радиус R, вращаются в сопутствующих направлениях с угловой скоростью ш.
Согласно [2] уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости (печатной краски) для конкретно заданных условий моделирования печатной системы имеют следующий вид при следующем соответствии координат в сопутствующей системе (x,y) = (R0,R — r), при наличии угловой скорости ш и углового ускорения этой системы е:
52
Л.Г. Варепо, А.В. Пэничкин. Моделирование переноса краски...
Рис. 1. Зона печатного контакта; 1 — офсетный цилиндр; 2 — печатный цилиндр; 3 — резина; 4 — бумага; 5 — слой краски; 6 — краска в порах бумаги; 7 — разрыв и пыление краски; Р0 — внешнее атмосферное давление, Р1 — давление со стороны краски на резину; Р2 — давление со стороны краски на бумагу; H1o, Hi, H2o ,H2 — начальные и после деформации толщины резины (индекс 1) и бумаги (индекс 2); S — площадь сечения в окрестности расчётного узла.
dUr dUr UpR dUr (Up + ur)2
dt + r dr + r dOR r
1 dP p dr
+ v
V2 Ur
Ur
2R dUp \ ~t2 deR))
dUp + F dUp + UeR dUp + dt +Ur dr + r dOR +
Ur Up |2U + _
-----+2Ur u+sr —
r
1 R dP p r dOR+V
V2 Up
Up 2ROUA r2 + r2 dOR) ’ (1)
где
dUr Ur R dUp
—- +—- +------
dr r r dOR
0,
1 dU d2 U
v2 U — -—+
r dr dr2
+
R2 d2 U T2 (dOR)2
— оператор Лапласа, v — кинематическая вязкость, p — плотность жидкости, P — давление, Ur,Up — компоненты скорости в полярной системе координат.
Численная реализация расчётов течения жидкости по уравнениям (1) представлена в работе [2].
Для некоторого упругого слоя (бумага, резина) плотностью p с модулем Юнга E и толщиной H определим динамическое уравнение деформации под давлением Pi на подвижной границе (в данном случае соприкасающейся с жидкостью, где производится расчёт этого давления). При этом на неподвижной
Математические структуры и моделирование. 2016. № 1(37)
53
границе с другой стороны будет возникать давление противодействия Р2, которое при сравнительно малых скоростях может приближённо приравнено к Рь учитывая, что равновесное состояние деформируемого слоя было при внешнем атмосферном давлении Р0.
Сделаем допущение: скорость движения границ будет меньше на несколько порядков в сравнении со скоростями распространения упругих возмущений, которые будем считать быстро устанавливающимися и не образующими в решении волновых характеристик. При рассматриваемых в работе величинах модуля Юнга, размерах областей и скоростях вращения цилиндров эта величина будет равна от 40000 до 100000. Таким образом, распределение деформации по толщине слоя будем считать равномерной (|| одинаковая по толщине слоя h) с силой Гука, также равномерно распределённой по толщине (dF = -c(|| — 1)dh). Отсюда для некоторой точки этой поверхности интегральная сила на всю толщину слоя с центром масс xc будет в виде Fc = — f0H c(!| — 1) dh = —c(dh — 1)H. При c = ES/H с изменением толщины за время At на величину (|| — 1)H = Ar + 2xc эту силу представим в виде: Fc = —ES/H (Дг + 2 xc).
При этих же предположениях будем считать, что давление со стороны жидкости Р 1 будет выравниваться с давлением на деформируемый слой с другой стороны Р2 (в случае без учёта поля тяготения). И, следовательно, силу воздействия на центр масс слоя через малые площадки S можно положить удвоенной в таком виде: 2(Pi — P0)S.
Тогда уравнение движения центра масс такого слоя по его толщине как равномерно деформируемого слоя за некоторый малый промежуток времени At, при котором давление Р1 около заданной граничной точки слоя площадью S будет фиксированным (взятым из расчётов движения жидкости), представим в следующем виде:
) ■ S + 2(Pi — Ро) ■ S, (2)
где Ar — величина деформации границы (сжатия) на какой-то момент времени t1. Интегрируя уравнение (2) определяем новое смещение границы Ar + 2xc на момент времени t2 = t1 + At с учётом начальных значений на предыдущий момент времени t1 Ar, xc = 0 и определённой величины x'c>1 от предшествующего расчёта с учётом начального значения x'c,1 = 0 при t1 = 0 и Ar = 0, которое после преобразования примет вид:
E
pHSxc = — — ( Ar + 2xc
dx2
dxc
■pH*( t+xc| +4(Р1 — Ро)^
1
pH
(3)
Проинтегрировав (3), получаем решение для скорости перемещения центра масс слоя:
x2 x*2
xc х c,1
4E / Ar ■ xc x2
м—+f
+ 4(Р1 —
Ро)
x
c
pH'
54
Л.Г. Варепо, А.В. Паничкин. Моделирование переноса краски...
Полагая, что интервал времени At достаточно мал и что для каждого начального времени ti здесь рассматривается xc,\ = 0, при замене производной xc на конечно-разностную xc/At получим уравнение для значения xc на момент времени t2 в следующем виде:
x
2
c
At2
x
c,1
2
4E [At ■ xc x2
M — + if
+ 4(Pi -
P ) x
Po) pH
1
или в виде следующего квадратного уравнения:
x
2
c
1 +
2A t2E pH 2
4At2
pH
(Pi - Po)
E At 2 H
xc
At2 ■ xl 1
0.
Решение (4) принимает вид:
(4)
2 A t2E 2 PH
(Pi - Po)
EAr 2 H
±
4At4
P2H2
(Pi - Po)
2
EAr 2 H + i i о At2 E 1 + 2 pH2 ■ At2 ■ x2,1
x
c
Знак «+» или «
1 + 2
A t2E pH2
(5)
» в (5) выбираем в соответствии со знаком выражения
(Pi - Po)
EAr 2 H
, которое показывает направление деформации границы. На-
пример, при положительности этой разности величина (величина сжатия) xc положительна и наоборот для отрицательных значений.
При занулении её величину xc можно принять тоже равной нулю, тогда и величина xc,1 будет Близкой к нулю и меняющей знак.
В расчётах принимаем модуль упругости офсетного резинотканевого полотна — 29 МПа.
3. Результаты исследования и их обсуждение
На рисунках, представленных ниже, показаны картины деформации границ цилиндров и области течения краски с мгновенными линиями тока, полученными из поля скоростей путём интегрирования в расчётной области следующих соотношений с точностью O(hX+h2) после задания на одной из границ значений для функции тока ф = 0:
R — y дф дф R ду U, dx v
Численные решения на сетке 80х80 приведены на рис. 2-6 при угловой скорости равной ш = 10 рад/с на разные моменты времени с модулями упругости резины и бумаги Е1 = 2,9 ■ 107kg/m2 и Е2 = 4,8 ■ 106kg/m2 (размеры области приведены в mm по оси y, а по оси x соответствуют им при y = 0, R = 0, 3m).
Математические структуры и моделирование. 2016. №1(37)
55
Рис. 2. Геометрия границ краски и цилиндров при t = 0,50 • 10 4c.
Рис. 3. Геометрия границ краски и цилиндров при t = 0,26 • 10 3c.
56
Л.Г. Варепо, А.В. Пэничкин, Моделирование переноса краски,,.
0.008 0.000 0.008
Рис. 4. Геометрия границ краски и цилиндров при t = 0,33 ■ 10 4c.
0.008 0.000 0.008
Рис. 5. Геометрия границ краски и цилиндров при t = 0,38 ■ 10 3c.
Математические структуры и моделирование. 2016. №1(37)
57
Рис. 6. Геометрия границ краски и цилиндров при t = 0,40 ■ 10 3c.
Результаты моделирования представлены в табл. 1.
Таблица 1. Результаты расщепления красочного слоя
Номер образ- ца Шероховатость Ra ,мкм Средний радиус пор, нм Количество краски, проникшей в структуру бумаги, % Количество краски, закрепившейся на поверхности бумаги, % Суммарное количество краски на оттиске, %
Без учёта дефо рмаций
1 0,3 55 3,05 52,03 55,08
2 0,5 110 25,3 35,21 72,54
С учётом дефо шаций
1 0,3 55 2,99 51,43 54,42
2 0,5 110 16,78 44,17 60,95
Анализ данных (табл. 1) показывает, что с учётом деформации бумаги количество перешедшей краски с красконесущей поверхности (офсетный цилиндр) на красковоспринимающую — пористый запечатываемый материал (печатный цилиндр) аналогично варианту без учёта деформаций и зависит от текстурных
58
Л.Г. Варепо, А.В. Паничкин. Моделирование переноса краски...
характеристик запечатываемого материала, определяемых его композиционным составом, микрогеометрией его поверхности. Полученные результаты являются подтверждением того, что в случае одновременного учёта деформации и текстурных характеристик бумаги суммарное количество краски на оттиске несколько снижается по сравнению с вариантом без учёта деформаций.
Литература
1. Паничкин А.В., Варепо Л.Г., Бобров В.И. Численное моделирование переноса краски в зоне печатного контакта листовой офсетной печати // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2012. № 5. С. 30-36.
2. Паничкин А.В., Варепо Л.Г. Численный расчёт свободного движения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 2. С. 62-71.
modeling of transfer of paint in the zone of printing contact taking into account deformation
L.G. Varepo1
Dr.Se.(Eng.), Professor, e-mail: [email protected] A.V. Paniehkin2
Ph.D.(Phys.-Math.}, Senior Scientist Researcher, e-mail: [email protected]
10msk State Technical University, Moskow State University of Seal of Ivan Fedorov 2Mathematies Institute of Sobolev SB RAS,
Abstract. Modeling of transfer of paint between rotating cylinders of the printing is carried out the device of the poliehromatie offset ear on a two-dimensional grid by means of the final and differential methods with an even stride. Numerical solutions of splitting of paint at the exit are received from a zone of printing eontaet taking into aeeount deformation of paint-bearing and paint-absorbing surfaces.
Keywords: modeling, modulus of elasticity, deformation, zone of printing eontaet.
