CC BY
36
УДК 532.517.2
DOI: 10.25206/1813-8225-2018-159-137-142
л. Г. ВАРЕПО1 А. В. ПАНИЧКИН2 О. В. ТРАПЕЗНИКОВА1 М. Д. МЫШЛЯВЦЕВА1 И. В. НАГОРНОВА3
1Омский государственный технический университет, г. Омск
2Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск
3Московский политехнический университет, г. Москва
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ЕЕ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗОНЕ КОНТАКТА
Представлены результаты численного моделирования и компьютерной визуализации картин деформаций, имеющих место в слое вязкой несжимаемой жидкости в процессе ее переноса на подложку между контактируемыми цилиндрами. Численное моделирование проведено с помощью разработанного авторами алгоритма численного решения уравнений Навье—Стокса вязкой несжимаемой жидкости на двухмерной регулярной сетке с помощью конечно-разностных методов с дополнительным расчетом подвижных границ, учитывающего расщепление жидкости с образованием микрокапель и деформации контактируемых поверхностей под действием перепадов давления. Рассматривается ламинарный тип течения вязкой несжимаемой жидкости в точке контакта поверхностей и постоянной скоростью вращения цилиндров. Отмечено, что программная реализация разработанного численного алгоритма на примере печатной системы позволяет автоматизировать расчет коэффициентов переноса краски в зоне печатного контакта и прогнозировать выбор печатной системы.
Ключевые слова: алгоритм численного моделирования, компьютерная графика, уравнение Навье—Стокса, конечно-разностные методы, поверхность, деформация, вязкая несжимаемая жидкость.
Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.3., проект № 0314-2016-0009 (Паничкин А. В.! и в плане НИР ОмГТУ № 17170В от 07.04.2017 г.
Введение. Течения несжимаемой жидкости с подвижными границами свойственны различным технологическим процессам, в том числе характерны и для печатных систем.
В соответствии с основной концепцией стандартизации процесса офсетной печати одной из важных задач является контроль показателей качества печати и его автоматизация. Расширение возможности компьютерной техники и программного обеспечения значительно упрощает моделирование гидродинамических процессов. В этом направлении научных разработок последнего десятилетия представляют научный интерес исследования зарубежных ученых [ 1 — 3]. Анализ работ
отечественных и зарубежных ученых позволяет констатировать факт отсутствия единого подхода к математическому описанию красочных аппаратов, переносу и расщеплению печатной краски [4 — 8]. В основу математического описания положена система алгебраических уравнений, отражающих сложение и деление красочных слоев в контактных зонах. Это позволяет решать динамическую задачу передачи слоев краски на оттиск. Сложность расчетов не всегда позволяет получить количественную оценку определяемых коэффициентов.
Постановка задачи. Принимаем, что печатная краска — это вязкая жидкость. Анализ ранее полученных экспериментальных и теоретических
данных по движению слоя вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами и расщеплению красочного слоя при его переносе с одного цилиндра на другой показал, что проблема недостаточно изучена. При решении такого рода задач приходится преодолевать значительные математические трудности, обусловленные, во-первых, нелинейностью и сложностью уравнений, во-вторых, необходимостью определять свободную поверхность при решении системы уравнений в частных производных, что является характерной особенностью течений в слоях и пленках.
С другой стороны, сложность решения задачи состоит в многообразии характеристик печатной системы. Так, в зависимости от свойств печатной краски и скорости разделения слоя (скорость печатания) изменяется характер разрыва красочного слоя. Следует отметить, что в большинстве работ приводятся данные по переносу краски с упрощенным принятием половинного расщепления с нулевой впитывающей способностью, т.е. условно принято, что красочный слой разделяется пополам по углу отрыва [4 — 7]
Наиболее общей математической моделью для описания течения сплошной вязкой жидкости являются уравнения Навье — Стокса, для решения которых существуют различные численные методы. Одним из распространенных методов аппроксимации несжимаемых течений является метод конечных элементов. Несмотря на последние достижения в области повышения точности аппроксимации в методе конечных элементов, конечно-разностные алгоритмы превосходят его в эффективности и точности [8].
Цель работы заключается в разработке алгоритма и программного обеспечения для численного моделирования течения малого объёма вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами мтжде контактируемыми вращающимися цилиндрами, характерного для печатной системы, и компьютерной визуализации картин сопутствующих процесср деформаций.
Решение задачи. В численном моделировании течений вязкой несжимаемой жидкости можно вы -делить два класса алгоритмов:
— итерационные методы решения нелинейных разностных уравнений, основанные на идеях расщепления по физическим процессам [9];
— разностные схемы аппроксимации исходных интегро-дифференциальных уравнений [9—11].
В качестве основной характеристики итерационных методов чаще всего используются скоро сходимости итерационного процесса решения нелинейных уравнений и уточняют, что точность численного решения определяется в основном не порядком аппроксимации разностной схемы, а свойствами дифференциального приближения [10-13].
Для решения задачи использована равномерная сетка с количеством расчетных узлов по двум координатам N и Му, равным 80. Выбор итерационного шага т осуществлялся в пределах от 0,0002 до 0,005 для рассмотренной сетки в безразмероых величинах. Применена модель течения вязкой несжимаемой жидкости, описывающей ламинарное течение при определенных ограничениях на скорости движения цилиндров (ен Я 1).
Для рассматриваемой задачи обозначим начальные и граничные значениядлякомпонент скорости и давления жидкости в следующем виде:
При ен 0
с(0, н (5) д Св(0, с 0) д 0; Н(0, о, Н) д НАТМ;
с д
ея я о я е рц ,—я я 0 я
' 2е 2е
При 0 о (0, Т] е точках касания с цилиндрами граничные услетия еля жтдоесги при 0 о (0, К ] (здесь Тк — конечнее вт0мя еоде0инования, ногдя дроис-ходит екннчарельнре оазделение начадьнон яграни-ченной зблаяти жидяостн од дае части по рагхднА-щимся поверхностям жцилендров).
На пе°>вом кондактируемом цилиндре:
ДДяСЖ) д 000, Ж, 0) я 0;
зн зн з2п
т^же, гд д_н,е,я) д н2еоаOCH2т ожя) ■ Зб Зо Зо
На сторсм дoзнодтнндeмoм целидд]эо: Дг(Чц, 9) д М^с, я);
i^0,нт)^í Жi0Д(оJ2,ыо):AмЖ?(оJы,т)|д в Зб цв Зо в1' зят
''В0™2 о Тжи^.н
о Ц о
2Ж ТОИе о2 ояе
^ГЫо2ЖнPаГ—сН(о0рн—оЫИ
1 г2 А зсж
С учетом мaлoнто ско]зос;тс^ дтниcиттляннгт движенея сдавловающих доб(^]зх^нос2«^й с розноцей в нутд внеего и вйеш нено .ддомонир нД—Р) при За -каплитаяещейдя со вдсж0нсм д^ф>орма-
ции чртницы Он для тещины слои Н Жнноги (под-ложкиЗ ив! рЗнины площoн2ю 4°, змоющего мoрддь упругости Ы исягеоория щантыв Ми тяоыщн слов рас^ипывавнись по снедующем0 ур^^нен^ю
вномм с 2 д - Ч- (ян я 2 т м -) • о о Ж] - н.) • о. (1) н
где Цв — оиylчинo реформацри границы (сжатия) на какой-то момент д-)^»^^!-^ [
Дод paccыотояпндй нами задаои п-воведены рнечеты с применднмем обыдныт мeтодoт по ддноч-но-разнтстной С2^е;оли^ с ецавйеыинми З^0 ^>3(2 про ис^оы^;^(^в^]ции 0п0ратора ея в виде (4) с обычной ориентацией о1н]5ноно вдвли уелтвых линий для расчета кннв еитноно-циффуоионногопереноса на примере теемтЕ-ш снстемо: (серенов п^Д1.атно1е[ йе-згнс^кс:^ мджду двумя вмащоющиынся 12нниндрами печатного апнарата( [ Iе, N4)2.
Зыд з:
ар (ые,н)ы ц-—н я оеЫы ои((,М]Яo,0-g)l им]
^он.ы-д01 зо
е0 д -и од
Ц рд
20„
20! М
и, и
„о и? р О0
е" д-а-д-ра-
2 20) 202
(3)
(4)
где Ы — сыорнсяь; н — оператор градиента; в — плотность жидкости; р — давление; v — кине-
матическая вязгсость; V2 — оператор Лапяаса; f — сояемвля ющие ускорений от ваешних сил (сил тяготения) и сил от Fpеобразоваоит координат; t — врetH; x = (х, y) — коо.дината ву:ки в евклидовом пространств е; ю —рвл:втя ск=р ос2авртщения; д — векторная вояичяна ускореоия 12олт[ тяготения; \, Я!, Я,Я_2 — о:араторы =д]р:ияа л^нгщии на шаг сетки ввурх или вяиз по осяи x и у.
Разраб отан алгоритм чесленного моделиро=ания для автяматиз:цаи рясчета коэффициентов переноса вязкой несжи маемой жидкости между контакти-руемыми цилиндрася.
Алгориом чис лянн vre л од:ниря:аоия для ав ао -матизации расчета коэффициентов переноса вязкой несжим=емой жидкосяи в зоне контакта и его практиче ская реализа ц=я.
Алгориам включает нлщдующие мояум1 :
— ввад данных и условий модялирования;
— пооверка условий адгезии вязкой несжимаемой жидаоста на соответствующих п оверхностях;
— расчет стеяаяиояных сля и меяментов сил.
Чиссенный рлсяет две яадиалятых сил Fr и моментов М для деформярующейся поверхности проводился с щч^том даскретной сетки в окрестности узлов певерхности верхнего и нижнего цилиндров и их скор оетей деф ojtm ации по методу, реализованному а [16-, что является необходимым при опредеаении касательных напряжений. Суммарные величины F, Мф по всемграничным узламповерх-ности цилиндра, соприкасающимся с жидкостью, могут быть полу=яны в виде:
= YN Fp.
оссо]'
Мт
= ущ м ,
(5)
— компьютерная графика картин деформаций в слое вязкой несжимаемой жидкости в процессе переноса на подложку в контактной зоне.
На рис. 1 представлен фрагмент практической реализации алгоритма численного моделирования для автоматизации расчета коэффициентов переноса вязкойнесжимаемой жидкости на контактируе-мую подложку на примере печатной системы.
где ^ — число расчетных узлов по координате х (или ф), е н — единичный орт для г-го направления радиуса вектора около приграничного (г,7)-го узла расчетной сетки.
— расчет деформаций границ;
— расчет коэффициентов переноса вязкой несжимаемой жидкости между контактируемыми цилиндрами;
Рис. 1. Фрагмент практической реализации алгоритма численного моделирования для автоматизации расчета коэффициентов переноса краски на бумагу
a)
b)
Рис. 2. Компьютерная графика деформаций в слое вязкой несжимаемой жидкости: подложка № 3, L = 5 мкм и б = 2 мкм, скорость вращения цилиндров печатного аппарата 10 рад/с (а-Ь, t = 0,30Ч0-3, 0,50Ч0-3)
а)
а)
Ь)
Ь)
Рис. 3. Компьютерная графика деформаций в слое вязкой несжимаемой жидкости: подложка № 3, L = 5 мкм и б = 2 мкм, скорость вращения цилиндров печатного аппарата 10 рад/с (а-Ь, t = 0,30Ч0-3, 0,50М0-3)
Рис. 4. Компьютерная графика деформаций в слое вязкой несжимаемой жидкости: подложка № 3,
L = 5 мкм, скорость вращения цилиндров печатного аппарата 10 рад/с (а-Ь, t = 0,30Ч0-3, 0,50М0-3)
Таблица 1
Результаты численного моделирования
Номер Скорость, вращения, рад/с Количество краски на подложке, %
в объемных слоях на поверхности общее кол-во
1 10 5,62 59,4 59,77
1 20 4,18 59,7 59,99
2 10 9,80 45,97 55,77
2 20 8,24 41,62 49,84
Программная реализация алгоритма позволяет автоматизировать расчет коэффициентов переноса краски в печатной системе: на поверхность подложки в зоне контакта между цилиндрами печатного опп араоа; в структуру подложки, общее количеств о краски на поверхности подложки; коэффициент «пыления краски» [17, 18]. Компьютерная графика визуализации картин деформаций слоя вяз кот не -сжимаемой жидкости в период прохождения зоны контакта показана на примере печатной системы в зависимости от печатно-технических характеристик контактируемой подложки (рис. 2 — 4).
Результаты в зависимости от характеристик ко м п онентов печатной системы и условий переноса жидкости при учете деформации границ: 85 = 2 мкм, г,иг2 = 0 ,13 = (раки ус ы цилиндров), р = ратм = = 105 Н/м2, v = 0,012 м2/с представлены в табл. 1. §£ = 4 мкм .
Заключение. Полученные результаты подтверждают целесообразность применения представленного в работе подхода к определению количественной оценки характеристик переноса вязкой несжимаемой жидкости между контактируемыми цилиндрами. Приведенные расчеты показывают, что коэффициент, характеризующий перенос краски в печатной системе, зависит от характеристик печатной системы.
Приведенные картины компьютерной графики иллюстрируют этапы взаимодействия компонентов печатной системы. Отображают в виде графических картин деформационные изменения в слое жидкости в зоне печатного контакта.
Отличительные особенности предложенного алгоритма от аналогов:
— позволяет провести расчет коэффициентов переноса краски на запечатываемую подложку при офсетном печатании с учетом деформации компонентов печатной системы;
— позволяет осуществить расчет впитывания компонентов красочной системы в объемные слои запечатываемого материала;
— способствует автоматизации расчета контролируемых показателей.
Библиографический список
1. Koivula H., Preston J. S., Heard P. J., Toivakk M. Visualisation of the distribution of offset ink components printed onto coated paper // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2008. Vol. 317, Issues 1-3. P. 557 — 567. DOI: 10.1016/j.colsurfa.2007.11.043
2. Reis N. C. Jr., Griffiths R. F., Santos J. M. Numerical simulation of the impact of liquid droplets on porous surfaces // Journal of Computational Physics. 2004. Vol. 198 (2). P. 747-770. DOI: 10.1016/j.jcp.2004.01.024.
3. Reis N. C. Jr., Griffiths F. R., Santos J. M. Parametric study of liquid droplets impinging on porous surfaces // Applied Mathematical Modelling. 2008. Vol. 32, Issue 3. P. 341-346. DOI: 10.1016/j.apm.2006.12.006.
4. MacPhee J. Fundamentals of lithographic printing. GATFPress Pittsburgh, 1998. 365 p. ISBN 0-883 62-214-9.
5. Voltaire J. Ink film splitting acoustics in offset printing. Stockholm, 2006. 54 p. ISBN 91-7178-261-3.
6. Vlachopoulos G., Claypole T., Bould D. Ink mist formation in roller trains // IARIGAI 2010 proceedings: Advances in printing and media technology. Montreal, Canada. 2010. Vol. 37. P. 227-234.
7. Claypole J., Williams P. R., Deganello D. Control of breakup of ink filaments in offset printing // IARIGAI 2012 proceedings:
Advances in printing and media technology. Ljubljana, Slovenia. 2012. Vol. 39. P. 207-211.
8. Ozaki Y., Kimura M. Visualisation of printing of ink vehicle on paper surfaces by a SEM technique // Appita J. 2000. Vol. 3. P. 216-219.
9. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990. 660 с.
10. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 c.
11. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.
12. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979. 222 с.
13. ПаничкинА. В. Ускорение сходимости в расчетах стационарных течений жидкости при больших числах Рейноль-дса // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. Спец. вып. 3. С. 38-44.
14. Panichkin A. V., Varepo L. G. The numerical calculation of a viscous incompressible fluid transfer onto poros surface between rotating cylinders // Springer Proceedings in Physics. 2014. Vol. 154. P. 79-83. DOI: 10.1007/978-3-319-04639-6_11.
15. Panichkin A. V., Varepo L. G., Trapeznikova O. V. The numerical calculation of the viscous incompressible fluid transfer between contacting surfaces // IOP: Materials Science and Engineering. 2016, Vol. 124. P. 1-6. DOI: 10.1088/1757-899X/124/1/012106.
16. Varepо L. G., Panichkin A. V. Numerical calculation of total radial forces and rotary moments from the cylinders surface // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 858. 012039.
17. Варепо Л. Г., Паничкин А. В. Расчет сил и моментов сил взаимодействия цилиндрических поверхностей при переносе вязкой несжимаемой жидкости на подложку: свидетельство о регистрации программы для ЭВМ. М.: ФИПС, 2016. № 2016617529 от 20.08.2016.
18. Варепо Л. Г., Паничкин А. В. Расчет коэффициентов переноса вязкой несжимаемой жидкости на подложку между контактируемыми цилиндрическими поверхностями: свидетельство о регистрации программы для ЭВМ. М.: ФИПС, 2016. № 2016617873 от 20.08.2016 г.
ВАРЕПО Лариса Григорьевна, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Нефтегазовое дело, стандартизация и метрология» Омского государственного технического университета (ОмГТУ).
SPIN-код: 4980-6679 AuthorID (РИНЦ): 657039 AuthorID (SCOPUS): 6507043152 ResearcherID: B-1163-2015 ORCID: 0000-0001-5366-2700
ПАНИЧКИН Алексей Васильевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории математического моделирования в механике Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. SPIN-код: 9581-6045 AuthorID (РИНЦ): 129760 AuthorID (SCOPUS): 56503836400 ResearcherID: U-1369-2017 ORCID: 0000-0002-4757-6168
ТРАПЕЗНИКОВА Ольга Валерьевна, ассистент кафедры «Автоматизация и робототехника» ОмГТУ. SPIN-код: 5648-6365 ORCID: 0000-0001-6919-397X ResearcherID: O-7611-2015
МЫШЛЯВЦЕВА Марта Доржукаевна, доктор физико-математических наук, доцент (Россия), заведующая кафедрой «Высшая математика» ОмГТУ.
БРНЧ-код: 4952-9267 ЛиШогГО (РИНЦ): 391268 Яе8еагсЬегГО: Н-5361-2013
НАГОРНОВА Ирина Викторовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Инновационные материалы принтмедиаиндустрии» Московского политехнического университета. БРНЧ-код: 9273-5758 ЛиШогГО (РИНЦ): 235762 ОЯСГО: 0000-0001-5336-1262 Яе8еагсЬег1Б: Л-6582-2017
Адрес для переписки: laгisavaгepo@yandex.гu
Для цитирования
Варепо Л. Г., Паничкин А. В., Трапезникова О. В., Мыш-лявцева М. Д., Нагорнова И. В. Моделирование переноса вязкой несжимаемой жидкости и компьютерная графика ее деформаций в зоне контакта // Омский научный вестник. 2018. № 3 (159). С. 137-142. БОН 10.25206/1813-8225-2018-159-137142.
Статья поступила в редакцию 29.05.2018 г. © Л. Г. Варепо, А. В. Паничкин, О. В. Трапезникова, М. Д. Мышлявцева, И. В. Нагорнова
