CC BY
32
Полкунов Ю.Г., Белобородова С.В.
ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ ТРЕЩИНЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Статья посвящена определению коэффициентов интенсивности напряжений первого рода для трещины, находящейся под заданным углом к полупространству. Установлены зависимости коэффициента интенсивности напряжений первого рода от угла между трещиной и полупространством. Адекватность результатов моделирования подтверждалась их сопоставлением с результатами других авторов.
Ключевые слова: трещина; коэффициент интенсивности напряжений.
Целью настоящей работы являлось определение коэффициентов интенсивности напряжений первого рода в окрестности вершины трещины, находящейся под углом к полупространству.
Напряженно-деформированное состояние упругой изотропной среды в трехмерном случае описывалось уравнениями равновесия
дд хх , дДху + дпх2 = 0
Эх Эу д2
Эдух + дПуу +дДуі = 0 дх Эу д2
дД2х +9Ду + ЭПи = 0 Эх Эу д2
(1)
уравнениями совместности, или неразрывности деформации
_Э_
д2
_э_
Эх
_д_
Эу
Э 2ехх Эу2 д 2£ уу д2 2
д 2е 22 Эх2
д£у2 де
Э 2еуу д 2ех.
дх 2
_ЭХ
ду 2 д 2£хх ’ д22
дех
■7" дх + 2х ду д2
(де2х + деху - де у2
ду V д2 дх
(деху + деу2 - де 2х
дхду
;дХ
дуд2
. д 2£2х
д2дх
д 2е 2
= 2
д2 дх
ду
= 2-
= 2-
дхду
д 2е хх дуд2 д 2еуу , д2дх
(2)
и законом Гука
ехх = Е 1°хх -ППуу +Д22І
е уу = Е (°уу-^Пхх + П22 )
Є22 = Е 1С22 -ППхх + Дуу ^
е =-----------п
ху 2в ху’
(3)
е х2 = ---------------------п х
х2 2G х
е =-----------п
ьу2 2в у2'
Компоненты тензора деформаций определялись следующими соотношениями:
ди.
диу
ди„
ехх дх ; еуу ду ; е22 "д2
1 ( дих диу
еху = — I —- + —-у 2I ду дх
1 ( дих ди2
ех2 = —I —- + —2
21 д2 дх
1 ( диу ди2
еу2 = —I —- +—2 у 2I д2 ду
(4)
компоненты
Здесь
Пхх , Пуу , П22 , Пху , Пх2, Пу2
тензора напряжений;
е хх, еуу, е22, е ху, ех2, еу2 - компоненты тензора деформаций;
их, иу, и2 - компоненты тензора перемещений;
п - коэффициент Пуассона;
Е - модуль Юнга;
О - модуль сдвига.
Для приближенного решения задач с объемными трещинами в пространстве был разработан метод разрывных смещений [1]. Модель объемной трещины в пространстве для расчетов представлена на рисунке 1.
Граничные интегральные уравнения метода разрывных смещений в объемной постанов-
Рисунок 1. Схема моделирования объемной трещины
1
1
1
1
ке сводились к решению системы линеиных уравнений:
°Iix = G^{A11ijDnxj + A12ijDnyj + AlSijDnzj } j=1
°Пу = GX {A21ijDnxj + A22ijDnyj + A23ijDnzj } (5)
= G
j=1
j}
где сП*, °ПУ, oL - нормальное и касательные напряжения на границе тела (i=1,2,...,N);
G - модуль сдвига;
N - количество всех граничных элементов;
Dnxj, Dnyj, Dnz, - компоненты разрыва смещений j-го элемента в касательных и нормальном направлениях соответственно.
Здесь
A11ij =-Рш sin Y+ F131cos y ;
A12,j = -^122sin y+F132cos y ;
A13ij=-p123sin y+ F133cos y ;
A21ij = -F2212 sin 2y + F331 -2 sin 2y+ F231cos 2y a 22ij = “F222 2 sin 2y + F332 ^2 sin 2y + F232 cos 2y A23ij = -F223 1 sin 2y+ F333 -2 sin 2y + F233 cos 2y
A32U = F222 sln2 YIF332 cos2 y- F232 sm 2y ;
>3lj
F=
as,
Mil
F112 =
4n(1-v) AS
4n(1-v)
(6v-3)^ I15 %
ASJ
4n(1 -v) F=
1 у2 x 2z2
(2v - 2W I (3 - 6v )\ 115 —=-
AS:
F122 =
4n(1 -v)
asj 4n(1 -v)
AS
„ yz , д yz - 3v^y Il5—f-
4n(1-v) AS
(6v-3)Hy I15 ^
4n(1 -v)
- (1 Iv)—313v^-5115-
F13? =”
AS:
4n(1-v) AS,
Рисунок 2. Схема поворота трещины относительно полупространства
F221 =
4n(1-v) AS
4n(1 -v) AS
F222 =
4n(1-v)
„ „ „ч xz , ду z (6v - 3)^ 115^-
- 3 Ц I15 x±
F993 =
as,
4n(1-v)
F231 =
1 x 2 у 27 2 ^
(2v-2)- I (3 - 6v) — 115 y-r
AS,
4n(1 -v)
- 3v if Ц5 Щ-
F?3? = -
AS,
4n(1-v)
F233 =
-(lIv)^13vxT115-y z
AS,
F331 = -
4n(1-v)
AS,
F332 =“
4n(1 -v) AS,
F333 =
4n(1-v) AS
„ xz 4 „ xz - 3 JT1l5-T
- 3H115
„5 7
4n(1-v)
r = <Jx2 I у 21 z
1 <Z 1<Z 4 -“3-6 “5 115 “7"
x = x; - x,
у = ( - у j )с°8Р j + (- 2 )пв j;
2 = -( - Уj вj + ( - Zj j;
. = (2 - v),/2G
Ш_ п(1-v;
А = (2 — v)^І2G Л22"=ж(1 ^;
А = ^/2в_.
Аззи = п(1 - v^/s:;
А12ц = А13Ц = А2Щ = А23Ц = А3Щ = А32Ц = 0 ;
7=01 -в ] - наклон 1-го элемента относительно >го;
р; - угол 1-го элемента с осью ОУ; х5, у5,- координаты 1-го элемента;
АБ, - площадь 1-го элемента.
xz 1 _ ху z
A31H = F22l sln YIF331 cos Y-F23l sln 2 Y
Таблица 1. Таблица значений функции, зависящей от угла наклона плоскости трещины к полупространству
11 5 3 7 5
2 24 12 8 3 24 4 24 6
А-5 0,6501 0,6505 0,6515 0,6435 0,6561 0,6663 0,6659 0,6769 0,746
В работе было рассмотрено полупространство и трещина размером шх1 под углом а к полупространству. На обоих берегах по всей поверхности трещины действовали нормальные напряжения о ш (рисунок 2).
Коэффициент интенсивности напряжений первого рода определялся по следующей формуле [2]:
К1 =-.—G—Пт (6)
1 V 2 2(1 - v )^1,/Гг ’ ^
где С - модуль сдвига;
п - коэффициент Пуассона;
Бп - разрыв смещений в нормальном направлении;
1 - длина трещины.
Аппроксимация Бп в окрестности вершины трещины осуществлялась на основе параболической зависимости. Коэффициент интенсивности напряжений определялся для точки С, приведенной на рисунке 3.
При моделировании данной задачи были использованы следующие исходные данные:
- коэффициент Пуассона »=0,3, модуль Юнга £=30000 МПа;
- размеры плоскости 80х80 мм;
- размеры трещины 40х20 мм (т=40 мм, 1=20 мм);
- разбивка плоскости 10х10 элементов;
- разбивка трещины 15х10 элементов;
- угол поворота полуплоскости
п 11п 5п 3п п 7п п 5п п
а =—,--,—,—
2 24 12 8 3 24 4 24 6 '
В результате расчетов был разработан коэффициент интенсивности напряжений первого рода от угла наклона прямоугольной трещины к полупространству
Рисунок 3. Схема вычисления коэффициента интенсивности напряжений первого рода
К = оп^ Б14^а), (7)
где Б - напряжение на поверхности прямоугольной трещины;
8=ш-1 - площадь поверхности трещины;
^а) - функция, зависящая от угла наклона плоскости трещины к полупространству, приведенная в таблице 1.
Анализ приведенных результатов показал, что уменьшение угла наклона трещины к полупространству увеличивает коэффициент интенсивности напряжений первого рода.
Сопоставление результатов расчетов осуществлялось с коэффициентом интенсивности напряжений первого рода для полупространства с ортогональной трещиной [3]:
К = 0,65о0 п12 Б14, (8)
где Б - площадь поверхности трещины.
В результате сравнения данных, представленных в таблице 1, с соотношением (8) и формулой (7) можно сделать вывод об адекватности полученных результатов.
Таким образом, в результате расчетов были установлены коэффициенты интенсивности напряжений первого рода для полупространства с трещиной под углом а.
Список использованной литературы:
1. Герике Б.Л. Математические модели циклического разрушения крепких горных пород дисковым инструментом. / Б.Л. Герике, Ю.Г. Полкунов, П.Б. Герике. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2001. - 171 с.
2. Линьков А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А.М. Линьков. - СПб.: Наука, 1999. - 382 с.
3. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2 т. Т.2 / под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - 453 с.
