CC BY
54
Полкунов Ю.Г., Спиридонова Е.В.
Оренбургский государственный университет
E-mail: matan@mail.osu.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ГЕОМАТЕРИАЛОВ В СМЕШАННОЙ ПОСТАНОВКЕ
В статье представлены соотношения, которые устанавливают связь между напряжениями и смещениями с коэффициентами интенсивности напряжений первого и второго рода и описывают механизм формирования трещины отрыва при смешанном типе нагружения трещины.
Ключевые слова: зияющая трещина, смешанные краевые условия, коэффициенты интенсивности напряжений I и II рода.
Введение
Поведение скального массива часто определяется наличием в нем нарушений сплошности. К таким нарушениям относятся разломы, плоскости напластования, пустые или заполненные грунтом зияющие трещины. Эти ослабления определяют направление возможного разрыва или взаимного скольжения частей массива.
Экспериментальные данные показали, что при сжатии и сдвиге в зияющих трещинах горного массива возникают нормальные раскрытия и сдвиги по берегам трещины. Подобные задачи вызывают огромный интерес и находят свое большое практическое приложение при сдвижении горных пластов, устойчивости бортов карьеров и выработок, поиске и разработке полезных ископаемых, оценке последствий горных ударов и землетрясений. Для описания данного процесса были предложены модель пилообразной трещины [1, 4-6], модели Р. Гудмана [1-3], дила-тансионная модель [1, 4, 7], вязко-пластические модели [8], модель Е. Андерсона [9, 10], модели М. Чиннэри [9, 11-13] и Т. Маруямы [9, 14].
Данные модели рассматривают только случаи, когда к берегам основной трещины приложены напряжения, и устанавливают связь между напряжением и раскрытием зияющей трещины.
Коэффициенты интенсивности напряжений в конце трещины являются основными критериями в линейной механике разрушения по оценке роста и развития трещин. Поэтому для объективной оценки механизма формирования трещины разрыва при сжатии и сдвиге возникает необходимость в установлении связи между напряжениями и смещениями с коэффициентами интенсивности напряжений.
В настоящее время разрывные смещения породы определяются в основном с помощью периодически возобновляемых геодезических
измерений. Данные эксперименты проводят для контроля сдвижения земной поверхности, для обеспечения безопасной работы газо- и нефтепроводов, реакторов АЭС, железных дорог, туннелей, плотин, мостов, линий электропередачи и других инженерных сооружений и коммуникаций.
Целью данного исследования является разработка аналитических представлений коэффициентов интенсивности напряжений первого и второго рода для трещины, к берегам которой приложены сжимающие и сдвиговые смещения и напряжения.
Постановка задачи
Плоскодеформированное состояние упругой среды описывается в декартовой системе координат уравнениями равновесия
Эахх Эа
+ -
xy
= 0,
Эа™ Эа
xy
+ -
yy
Эx Эу ’ Эx Эу
уравнением совместности деформаций
= 0, (l)
Э 2pxy Э 2е
2
xy
Э 2р
ЭxЭy и законом Гука
1+V
yy
p xx =
p=
yy
E
1+V
E
Эу2 Эx2
(xx -V(axx +ayy ) ) (yy —v(axx + а yy ))
(2)
1+V p =----------а
^xy E xy.
(З)
Компоненты деформаций определяются выражениями
p xx =
Эux
"Э7 ■ ^ =
Эu
y
І
p=
pxy 2
Эu
Эу Эuv ^
x + y
Эу Эx
(4)
xx
В уравнениях использованы следующие обозначения: ux, Uy - компоненты вектора перемещений; охх ,оху ,Оуу - компоненты тензора напряжений; ехх ,£ху 8уу - компоненты тензора деформаций; у - коэффициент Пуассона; Е -модуль Юнга.
Следуя работе [5], введем понятие основной трещины для того участка трещины, на котором заданы смещения, а зияющей трещины -на той части трещины, где заданы напряжения.
Численный алгоритм
Для решения поставленной задачи проводим вычислительный эксперимент, который включает в себя следующую последовательность действий.
1. Решение системы линейных уравнений методом разрывных смещений [15].
Система линейных уравнений имеет следующий вид:
N
N
= Е BIDJ +ЕBlDL, i = 1,M;
j=1
N
j=1
N
aS =Е AjDJ + ЕAjDL, i = M + 1,N;
j=1
N
j=1
N
uL = Е BLsDS +ЕBLLDL, i =IM; j =1 j =1
N
N
oln = E ALD + E AnnDJn, i = M + 1,N. j=1 j=1
Здесь N - количество всех граничных элементов; M - количество граничных элементов, на которые разбивается основная трещина; Dj, DJj - компоненты разрывов смещений j-го отрезка трещины в нормальном и касательном направлениях соответственно; u's, u'n - касательные и нормальные смещения i -го отрезка трещины соответственно; a‘s,a'n - касательные и нормальные напряжения соответственно, заданные на участке ОВ; BSSj,Bsmj,BnSij,Bmj, Assl}, Asnij, Ansij, Annij - фундаментальные решения.
2. Построение аппроксимаций нормального Dn и сдвигового Ds раскрытия зияющей трещины в следующем виде:
о
D =—4uL
п
п x
_ - ашЦ—
“0 + “1-0 + “2
uS0 42
Л
V " /
+...
2(1 v)-^/ x(L - x)a a
G
a:
b0 + b1^0 + b2
an
п
п x
1- arc4—x
V /
+...
\
d 0 + d1~0 + d 2
+...
Vx(L-x)a,
aL
c0 + c1~0 + C2
(7
, о
an
,т0
aS
Vі/
+...
3. Определение аналитических представлений коэффициентов интенсивности напряжений первого и второго рода, необходимо использовать следующие соотношения [16]:
Kj = -j---------------------G-lim -1D=
2 2 • (1 - v) x ^ L -\Jl - x
Kjj =-J—•
G
• lim
Ds
2 2 • (1 - v) x ^ L >/L -
(5)
(6)
где К1, К и - коэффициенты интенсивности напряжений первого и второго рода соответ-
Я/ 3/2 ^ Е
, / м ; ^ =------------модуль сдвига,
2 2 • (1 + V)
Н/м 2; Дп = ип(х,0_)-ип(х,0+) - нормальные раскрытия берегов зияющей трещины; Д = иу (х,0_) - иу (х,0+ ) - сдвиговые раскрытия берегов зияющей трещины; ип (х,0_); ип (х,0+ ) - нормальные смещения нижнего и верхнего берегов трещины, м; иу (х,0_); иу (х,0+ ) - сдвиговые смещения нижнего и верхнего берегов трещины, м; Ь -длина трещины ОВ, м.
Результаты расчетов
На рисунке 1 приведена схема, по условиям которой основная трещина находится под действием сжимающих и касательных смещений, а зияющая трещина - под действием сжимающих и касательных напряжений.
Краевые условия для данной задачи имели следующий вид:
.0
u = -u
ulL = uL при у = 0, A й x й O;
aS =-p, an = q при у = 0, O й x й B.
Здесь uL, u°, p, q- заданные величины.
2
+
u
u
x
+
Таблица 1. Результаты моделирования сдвигового раскрытия зияющей трещины
К х, см , см
расчеты по формуле (8) численное решение
1 0,05 -0,0002572 -0,0002465
2 0,15 -0,0002236 -0,0002179
3 0,25 -0,0001991 -0,0001955
4 0,35 -0,0001779 -0,0001757
5 0,45 -0,0001583 -0,0001572
6 0,55 -0,0001390 -0,0001391
7 0,65 -0,0001195 -0,0001208
8 0,75 -0,0000987 -0,0001014
9 0,85 -0,0000748 -0,0000795
10 0,95 -0,0000424 -0,0000521
Таблица 2. Результаты моделирования нормального раскрытия зияющей трещины
N х, см Оп , см
расчеты по формуле (7) численное решение
1 0,05 -0,0002422 -0,0002989
2 0,15 -0,0002119 -0,0002489
3 0,25 -0,0001896 -0,0002040
4 0,35 -0,0001702 -0,0001734
5 0,45 -0,0001519 -0,0001477
6 0,55 -0,0001339 -0,0001249
7 0,65 -0,0001155 -0,0001040
8 0,75 -0,0000957 -0,0000839
9 0,85 -0,0000728 -0,0000635
10 0,95 -0,0000414 -0,0000401
Рисунок 1. Математический разрез упругой плоскости с зияющей трещиной отрыва и сдвига
Согласно предложенному алгоритму были построены следующие функциональные зависимости нормального и сдвигового раскрытия зияющей трещины:
А, =
- 4
п
п
2 - - х
р(ы°,ы0)+
2(1 ^7х(Ь - х)(0,0343д - 0,9244р); (7) О
=
-4
п
п
I- аГС‘^1 - х
1/(ы 0, ып) +
+ 2(1 ^х(Ь - х)(0,9244р - 0,0343д). (8) G
и 0
Здесь р(и°°, и0) = 0,2209-0 -1,035;
и„
П и 0
¥(и0, иП) = 1,035 + 0,2209—0.
и у
В таблице 1 и на рис. 2 приведены результаты сравнения расчетов раскрытия берегов трещины ОВ, вычисленные по формуле (8) и численно, при следующих входных значениях: Ь = 0,01 м; и0 = и°п = 1,2 -10-6 м; К = 10 - количество граничных элементов, на которые разбивается зияющая трещина ОВ; р = д = 9,8 104Н/м2; V = 0,3; Е = 3 • 104 МПа.
Коэффициенты интенсивности напряжений, когда берега разреза находились под действием нормальных и сдвиговых смещений, определялись по формулам (5) и (6).
В таблице 2 и на рис. 3 представлены результаты сопоставления численных расчетов и расчетов нормального раскрытия зияющей трещины, выполненных на основе соотношения (7) для случая, когда и° = 10иП, при тех же входных данных.
Для примера была рассмотрена небольшая разбивка зияющей трещины К = 10, но даже при такой разбивке выбранный алгоритм решения задачи является достаточно устойчивым, что и показывают результаты численных расчетов. Так относительная погрешность решений, приведенных в таблице 1, составляет в среднем 4%, а в таблице 2 - 9%.
На основании разработанного алгоритма были получены коэффициенты интенсивности напряжения первого и второго рода:
Кг =
о • ы0-42
• (і-у)
(0,2209^0 -1,035) +
п• Ь
(0,0343д - 0,9244р),
(9)
К и =
о • ы0-л/2
• (1,035 + 0,2209—0) +
л/Ь • п • (1 -V)
(0,9244р - 0,0343д).
п • Ь
Формула (9) справедлива, когда и° > 4,7иП. Таким образом, для описания физических процессов, которые протекают в трещиноватых горных массивах, в работе установлены крите-
ы
+
2
+
рии развития зияющей трещины, к берегам которой приложены сжимающие и сдвиговые смещения и напряжения.
Выводы
1. Сформулирована новая математическая модель, которая в отличие от моделей, приведенных другими исследователями, описывает формирование трещины нормального разрыва под действием и смещений и напряжений.
2. Разработан численный алгоритм образования трещины нормального разрыва, когда к берегам разреза приложены смешанные краевые условия.
3. Разработаны новые аналитические представления коэффициентов интенсивности напряжений первого и второго рода, которые описывают новый механизм развития трещины отрыва при сжатии и сдвиге.
4. Установлены прямо пропорциональные линейные зависимости коэффициентов интенсивности напряжений первого и второго рода, от сжимающих и сдвиговых смещений точек берегов основной трещины.
5. Установлена связь между сдвиговыми и нормальными смещениями, при которой осуществляется нормальное раскрытие берегов зияющей трещины.
Цсм
Рисунок 2. Сдвиговое раскрытие зияющей трещины, вычисленное:
---аналитически и - численно
Цсм
Рисунок 3. Нормальное раскрытие зияющей трещины, вычисленное:
- аналитически и-----численно
Список использованной литературы:
1. Введение в механику скальных пород / Д.Х. Троллоп, Х. Бок, Б.С. Бест, К. Уоллес и др.- М.: Мир, 1983. - 276 с.
2. Goodman, R.E. Methods of geological engineering in discontinuous rocks / R.E. Goodman. - St. Paul West Publish. Co., 1976. - 472 pp.
3. Goodman, R. E. A model for the mechanics of jointed rock / R. E. Goodman, R. L. Taylor, T. L. Brekke. - J. soil Mech. Found. Div. ASCE, 94, 1968. - Р 637 - 659.
4. Гудман, Р Механика скальных пород / Р. Гудман. - М.: Стройиздат, 1987. - 232 с.
5. Черепанов, Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения / Г.П. Черепанов. - М.: Недра, 1987. - 308с.
6. Patton, F.D. Multiple modes of shear failure in rock / F.D. Patton. - Proc. 1- st Congr. Int. Soc. Rock Mech., Lisbon, 1966. - p. 509-513.
7. Николаевский, В.Н. Механика деформаций и разрушения горных пород / В.Н. Николаевский. - М.: Недра, 1984.
8. Кашников, Ю.А. Деформирование скального массива по системам трещин / Ю.А. Кашников, Е.М. Якушина, С.Г. Яших-мин // Известия вузов. Горный журнал. - 1992. - №3. - С. 75-80.
9. Стоянов, С.С. Механика формирования разрывных зон / С.С. Стоянов. - М.: Недра, 1977. - 144 с.
10. Anderson, E.M. The Dynamics of Faulting / E. M. Anderson. - Edinburg, 1951. - 206 pр.
11. Chinnery, M.A. The dynamics of the strike slip fault / M.A. Chinnery. - Ph. D. Thesis. Univ. of Toronto, 1962. - 138 pр.
12. Chinnery, M.A. The stress changes that accompany strike slip faulting / M. A. Chinnery. - «Bull. Seism. Soc. Am.», 1963, vol. 53, №5. - p. 921 - 932.
13. Chinnery, M.A. The dislocation fault model with a variable discontinuity / M. A. Chinnery, J. A. Petrak. - «Tectonophysics», 1968, vol. 5, №6. - Р 513- 529.
14. Maruyama, T. Stress fields in the neighborhood of a crack / T. Maruyama - «Bull. Earthqu. Res. Inst.», 1969, vol. 47, №1. - p. 1-29.
15. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / Крауч, А. Старфилд. - М.: Мир, 1987. - 328 с.
16. Линьков, А.М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А.М. Линьков. - СПб.: Наука, 1999. - 382 с.
введения об авторах: Полкунов Юрий Григорьевич, заведующий кафедрой математического анализа Оренбургского государственного университета, доктор технических наук, доцент тел. (3532)775941, e-mail: matan@mail.osu.ru Спиридонова Екатерина Владимировна, преподаватель кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета, e-mail: www.skatyusha@rambler.ru
