ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ ГРУППЫ ЗАДЕРЖАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. В. Пьянков, А. Н. Копылов,

доктор технических наук, кандидат технических доцент наук, доцент

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ ГРУППЫ ЗАДЕРЖАНИЯ

NUMERICAL METHOD FOR SEARCHING AN OPTIMAL LOCATION OF A DETENTION GROUP

Рассмотрена оптимизационная задача по определению места расположения группы задержания с целью минимизации риска охранной деятельности, в которой вероятность причинения ущерба аппроксимирована кусочно-линейной зависимостью. Предложен численный метод решения задачи. Приведены условия применимости данного метода, а также рассмотрен альтернативный вариант аппроксимации вероятности ущерба, позволяющий частично либо полностью снять ограничения применимости предложенного метода. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

The optimization problem of determining the location of the detention group to minimize the risk of security activities, in which the probability of causing damage is approximated by a piecewise linear relationship, is considered. A numerical methodfor solving the problem is proposed. The conditions for the applicability of this method are presented, and an alternative approximation of the probability of damage is considered, which partially or completely removes the limitations of the applicability of the proposed method. The results of computational experiments are presented.

Введение. Охрана имущества является необходимой мерой для сбережения материальных ценностей физических и юридических лиц. Собственники разных категорий могут использовать различные подходы к охране своего имущества: от самых простых, заключающихся в увеличении числа замков и физических препятствий на пути к ценностям либо найме охранников, до сложных — установки интегрированных технических и программных комплексов систем безопасности. При этом очевидно, что чем

Д. О. Смышников,

ООО «Каскад»

больше стоимость материальных ценностей и слабее защищенность мест хранения, тем больше вероятность их хищения.

В настоящее время, благодаря высокому уровню развития телекоммуникационных технологий и экономической привлекательности, самым распространенным способом обеспечения сохранности ценностей является централизованная охрана объектов. Суть централизованной охраны состоит в удаленном наблюдении с помощью технических средств за состоянием мест хранения имущества (охраняемых объектов), реализуемом посредством передачи информации о состоянии объектов на пульт централизованного наблюдения и направления групп задержания (ГЗ) на объекты в случае изменений этих состояний.

В то же время актуальным остается и непосредственный осмотр целостности охраняемого объекта, средств его инженерно-технической укрепленности. Такая задача возлагается на группы задержания, осуществляющие патрулирование по заранее определенному маршруту. При этом необходимо отметить, что постоянное патрулирование не гарантирует сохранения ценностей, но может приводить к значительным расходам (например, на горюче-смазочные материалы, амортизацию автотранспорта и т.п.), что приводит к удорожанию охранных услуг. В связи с этим предлагается перейти от непрерывного патрулирования к периодическому, а группы задержания располагать в местах, повышающих эффективность реагирования на тревожные сообщения с целью снижения риска охранной деятельности.

Постановка задачи исследования. Под риском охранной деятельности будем понимать классическое определение [1], связывающее вероятность причинения ущерба на охраняемом объекте с величиной ущерба, как материального, так и сказывающегося на ухудшении криминогенной обстановки в стране (регионе), появлении негативного международного и общественного резонанса, негативных публикаций в СМИ, подрывающих международный авторитет государства, формирующих негативное отношение к органам внутренних дел:

й=р^, (1) где Я — риск охранной деятельности, р — вероятность причинения ущерба, 5 — величина максимально возможного ущерба.

Для вычисления риска (1) охранной деятельности воспользуемся предложенным в [2] подходом: будем учитывать только время прибытия на охраняемый объект по сообщению «Тревога». Выражение для вычисления вероятности причинения ущерба можно аппроксимировать зависимостью вида

Г£приб

„,_)/- , ьприб < '-макс

Р = { '-макс (2)

V,1, ^приб — ^макс,

где ^риб — фактическое время прибытия группы задержания на охраняемый объект, *;макс — максимальное допустимое время прибытия на охраняемый объект (данный параметр обычно варьируется в зависимости от вида охраняемого объекта от 1 до 10 минут).

Суммарный риск охранной деятельности по всем т объектам будем определять в соответствии со следующим выражением:

Мп^-пИ _ н^з -п11

-, еСЛи Гприб I < Ц

т

I , _!гВ-1ЯН> ' (3)

1 | если Гприб I = ^ — ^макс1

где = (х£,у£) — радиус-вектор до /-го охраняемого объекта, в новой системе координат (являющейся отображением географической карты местности), в которой расстояния между ГЗ и объектами равны длинам проложенных маршрутов от места расположения ГЗ до этих объектов на местности, 5£ — величина максимально возможного ущерба на /-м объекте, ^ — средняя скорость движения ГЗ к /-му охраняемому объекту, К — ^ У — расстояние от ГЗ до /-го объекта в евклидовой метрике, гГз — радиус-вектор, определяющий положение группы задержания.

При этом оптимальное место расположения группы задержания гГз опт' будет определяться в соответствии с формулой

гГЗ опт =а^тт йх(гГЗ). (4)

То есть необходимо найти такое место расположения группы задержания, чтобы суммарный риск охранной деятельности был минимальным.

Решение задачи. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом

наискорейшего спуска [3, 4]. Построим последовательность {гГЗ[У]} в соответствии со

следующим соотношением:

гь[у+1] = ^[у] — (^ТЗ[У]), 7 = 0,1,2..........(5)

где

'А6[0,») П13 """П'13 ))■ (6)

При этом положим, что ^ри6 £ < *;макс £ для любого места стоянки группы задержания внутри выпуклого многоугольника, вершинами которого являются охраняемые объекты либо часть из них (при это остальные объекты лежат внутри данного многоугольника). Данный случай наиболее значим для практики. В качестве тгз[°] можно взять центр масс [2]:

—> Ё •

^"Ё^Т (7)

В более общем случае ограничение вида ^ри6 £ < *:макс £ может быть несколько ослаблено. В частности, если очередное приближение не совпадет с точкой, в которой нарушается условие непрерывности градиента функции ^(гТГ) (что соответствует выполнению условий ^ри6 £ = *;макс £ или *:приб £ = 0 хотя бы для одного из охраняемых объектов), данный метод также может быть применим. В противном случае вероятность причинения ущерба можно аппроксимировать зависимостью, в которой отсутствует точка излома, например зависимостью вида

Р

г

приб . ^ . _ о

г , '-приб < '-макс

'-макс

1

1 _ (^приб ^макс 8) . —Г + Л (8)

-1- г ' '-макс и — '-приб ^ '-макс ' и>

4"Гм

1 ^приб — ^макс + ^

где 8 — некоторая величина, удовлетворяющая условию 8 << *:макс.

При этом функция окажется дифференцируемой почти всюду, за исклю-

чением точек, в которых ^риб £ = 0, что практически снимает вопрос об ограничениях, связанных с применимостью метода наискорейшего спуска к решению поставленной задачи. При необходимости можно дополнительно при ^риб £ [0, т] (где т << *^макс) аппроксимировать вероятность причинения ущерба кубической параболой так, чтобы

V

р(^приб) была гладкой функцией при положительных значениях аргумента и, кроме того, выполнялось условие р'(0) = 0:

- | 2 *2 + -2 ^приб 1 4- _ lприб,

ЬМЯКТ ^ ^МЯКТ 1

1

с,

р = <

1 -

приб ^макс ( ^приб — макс'

^приб <

^ — ^приб < ^макс

<5,

(9)

1

^макс ^ — ^приб < ^макс 1 ^приб — ^макс 1

В этом случае градиент функции ^(гГЗ) может быть вычислен при любом значении аргумента.

Заменив тГз на (хрз,Угз) в (3), получим

(^У (^гз-^1)2 +(УГЗ -У!)2 ^Х(хГЗ, Уг3) = £¿ = 1 { ^¡^макс!

_ У(ХГЗ-^1)2+(УГЗ-У1)2

если ^риб I < £ если ^риб I — £

макс I' макс ¿,

(10)

где

^приб I

- I

При этом формулы для вычисления частных производных функции й2(хгз,Угэ) по переменным Хгз и угз примут вид

ахгз Зугз

¿=11

^¿(хгз -щ)

---, если ^риб I < ^м

^макс¿У (хГЗ - ^¿)2 + (УгЗ - У^)2

0, если ^риб I >

51(Угз -У^

если Гприб I < ^м

(11)

¿ = ^ 0, если ^приб I > ^макс I

Градиент при этом может быть задан следующим выражением:

^^ _ /ут ^¿)^(^макс1~

2 ( 1 = 1 ^(СМакс(У(^гЗ-^1)2+(

5 О

?1(УгЗ-У1)^(^макс 1-^приб О

м

(12)

5г'(хГЗ ^')р11макс! ^приб I)

^макс1У(^гЗ-^1)2+(УгЗ'У1)^ 1 = 1 ^¡Смакс ¡УОгЗ-*1)2+(УгЗ-У1)2

где б (О принимает значение равное единице при t > 0 и нулю — при t < 0.

Подставляя (12) в (5) и заменив тГз на (хгз,угз), получим расчетную формулу для [У+1]\

( [У+1] „ вычисления I хгз , угз ..

Для нахождения на каждой итерации можно воспользоваться каким-либо численным методом одномерной оптимизации, не накладывающим ограничения на дифференцируемость целевой функции, например, методом золотого сечения [3]. При этом минимально допустимое Я[-/] следует положить равным нулю, а максимально допустимое достаточно легко определяется на каждом шаге исходя из того, что очередное приближение (хгз+1],Угз+1]) не должно оказаться за границами вышеупомянутого выпуклого многоугольника, вершинами которого являются охраняемые объекты.

Так как в общем случае ( тГз

[У]

(пЛ)

не будет являться унимодальной

V

т

т

функцией от Я, то можно предварительно протабулировать производную функции (ггЗ^ — ЯУЙх (гГз^)) по Я на отрезке [о,я|4дХ] с некоторым шагом, а затем выделить интервалы, на границах которых данная производная принимает значения разных знаков (либо равна нулю на одной из границ, а на другой — отлична от нуля). Очевидно, что приведенный подход не гарантирует унимодальности функции на найденных интервалах, как и не гарантирует нахождения всех интервалов унимодальности, однако в этом нет необходимости, так как метод наискорейшего спуска не гарантирует нахождения глобального минимума функции й2(хГз, Угз). В связи с этим приведенный алгоритм желательно выполнить неоднократно для различных начальных приближений, взятых внутри упомянутого ранее выпуклого многоугольника, вершинами которого являются охраняемые объекты. В качестве условия остановки процесса приближения можно взять неравенство вида

(ХГЗ

[7+1] [у+1]\

Угз

Яу (X,

(ГМ Л,Ш)

х (хгз , угз )

< е.

Рассмотрим для примера задачу поиска оптимального места расположения группы задержания по охране трех объектов, приведенную в работе [2]. Имеем: х = (1, 5,1) км, у = (5,1,1) км, 5 = (15000,20000,10000) руб., V = (40,40,40) км/ ч, £макс = (1,1,1) ч. Положим (х[0],уг[0]) равным (2,78,2,33), что соответствует центру масс, рассчитанному по формуле (7), £ = 15 руб. Результаты работы рассматриваемого численного метода сведены в табл. 1.

Таблица 1

} Я (хгз,угз), км Дх, РУб.

0 — — (2,78,2,33) 18317

1 (—1,24 • 102, 5,68 • 102) 7,02 • 10-4 (2,87,1,93) 18193

2 (—2,36 • 102, —5,32 • 101) 9,17 • 10-4 (3,09,1,98) 18166

3 (—3,06 • 101,1,56 • 102) 6,20 • 10-4 (3,11,1,88) 18158

Таким образом, окончательно запишем: (хгз опт,уГЗ опт) « (х^Урз') «

(3,11,1,88). Так как отклонение (х^Ур^) от (х[0],уг[0]) относительно невелико

(^(3,11 — 2,78)2 + (1,88 — 2,33)2 «0,56 км), то очевидно, что рассчитанный в работе

[2] центр масс является достаточно неплохим начальным приближением для решения

поставленной задачи. Значение целевой функции при перемещении от (х[0],уг[0]) к

(хгз],Угз]) уменьшилось незначительно (менее 1%).

Изменим условие задачи, положив 53 = 5000 руб. В соответствии с (7) центр

масс окажется в точке (3,00,2,50), которую возьмем в качестве первоначального приближения (х[0],уг[0]). Результаты работы численного метода сведены в табл. 2.

Таблица 2

} Я (хгз,Угз), км я* РУб.

0 — — (3,00,2,50) 16579

1 (—3,94 • 102,4,93 • 102) 2,07 • 10-3 (3,82,1,48) 16115

2 (—6,33 • 102, —5,00 • 102) 3,78 • 10-4 (4,06,1,67) 15988

3 (—1,88 • 102, 2,45 • 102) 1,53 • 10-3 (4,35,1,30) 15901

4 (—4,67 • 102, —3,44 • 102) 2,40 • 10-4 (4,46,1,38) 15859

5 (—1,53 • 102,1,82 • 102) 1,21 • 10-3 (4,65,1,16) 15815

6 (—4,29 • 102, —3,51 • 102) 1,33 • 10-4 (4,71,1,21) 15794

7 (—1,07 • 102,1,94 • 102) 4,11 • 10-4 (4,75,1,13) 15784

Имеем: (хГЗ опт,Угз опт) ~ (хгз',Угз') ~ (4,75,1,13). Как видно из таблицы 2, от-

{ [7] [7]\ ( [0] [0] Л гп,

клонение (*р3 ,угз ) от (*гз , Угз ), рассчитанного в соответствии с (7), достаточно ве-

лико: У (4,75 — 3,00)2 + (1,13 — 2,50)2 « 2,2 км. При этом координаты оптимального места расположения группы задержания приближаются к координатам одного из охраняемых объектов. Таким образом, выбор центра масс в качестве оптимального (либо квазиоптимального) места расположения группы задержания не всегда является удовлетворительным, однако, несмотря на приведенный пример, центр масс при отсутствии какой-либо дополнительной информации об охраняемых объектах вполне логично взять в качестве первоначального приближения для рассматриваемого в работе численного метода.

Заключение. Рассмотренный в работе подход позволяет численно решить оптимизационную задачу по определению места расположения группы задержания с целью минимизации риска охранной деятельности. Разработанный численный метод может быть достаточно легко реализован в виде компьютерной программы, что позволяет предположить высокую вероятность его применения в деятельности как государственных, так и частных охранных структур. Это позволит существенно снизить риск охранной деятельности и повысить сохранность и целостность материальных ценностей собственников, повысить авторитет органов внутренних дел, государства, а также иных охранных структур.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смышников Д. О., Пьянков О. В. Оптимизация процессов обработки сообщений в системах передачи информации // Вестник Воронежского института МВД России. — 2016. — № 2. — С. 183—190.

2. Смышников Д. О. Математическая модель размещения групп задержания при осуществлении охранной деятельности // Вестник Воронежского института МВД России. — 2019. — № 1.— С. 83—90.

3. Копылов А. Н. Курс лекций по численным методам. — Воронеж : ВИ МВД России, 2006. — 136 с.

4. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы : учебное пособие для студентов технических университетов / под ред. А. И. Кибзуна. — М. : Физматлит, 2004. — 398 с.

REFERENCES

1. Smyshnikov D. O., Piankov O. V. Optimizatsiya protsessov obrabotki soobshcheniy v sistemakh peredachi informatsii // Voronezh : Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2016. — № 2. — S. 183—190.

2. Smyshnikov D. O. Matematicheskaya model razmeshcheniya grupp zaderzhaniya pri osushchestvlenii okhrannoy deyatelnosti // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2019. — № 1. — S. 83—90.

3. Kopylov A. N. Kurs lektsiy po chislennym metodam. — Voronezh : VI MVD Rossii, 2006. — 136 s.

4. Formalev V. F., Reviznikov D. L. Chislennyye metody : uchebnoye posobiye dlya stu-dentov tekhnicheskikh universitetov / pod red. A. I. Kibzuna. — M. : Fizmatlit, 2004. — 398 s.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Пьянков Олег Викторович. Заместитель начальника кафедры инфокоммуникационных систем и технологий. Доктор технических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: ovpyankov@mail.ru

Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-33.

Копылов Алексей Николаевич. Доцент кафедры математики и моделирования систем. Кандидат технических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: k-a-n-777@yandex.ru.

Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-11.

Смышников Дмитрий Олегович. Генеральный директор.

ООО «Каскад».

E-mail: ksb@kaskadsb.ru

Россия, 109444, Москва, ул. Ферганская, 2, корп. 2. Тел. (495) 710-71-61.

Pyankov Oleg Victorovich. Deputy head of the chair of Communication Systems and Technologies. Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

E-mail: ovpyankov@mail.ru

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-33.

Kopylov Alexey Nikolaevich. Assistant Professor of the chair of Mathematics and Systems Modeling. Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

E-mail: k-a-n-777@yandex.ru

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-11.

Smyshnikov Dmitry Olegovich. General director.

LLC «Cascade».

E-mail: ksb@kaskadsb.ru

Work address: Russia, 109444, Moscow, Ferganskaya Str., 2, bldg. 2. Tel. (495) 710-71-61.

Ключевые слова: охранная деятельность; риск, оптимальное место расположения; численный метод.

Key words: security activities; risk; optimal location; numerical method.

УДК 519.6