Численный метод определения состояния неоднородных оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Старожилова О.В. ©

Доцент, кандидат технических наук,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ

ОБОЛОЧЕК

Аннотация

Статья посвящена численному моделированию тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек, применению итерационного метода для задач упруго - пластического деформирования оболочек при любых сочетаниях граничных условий, исследованию распределения напряжений, прогибов, зон пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций по сечениям оболочки, для характерных точек.

Ключевые слова: Численное моделирование, упруго - пластическое деформирование оболочек, итерационный метод, вторично пластические деформации, зоны пластичности, разгрузки, распределения толщин многослойных оболочек.

Keywords: Iterative method, thin-walled designs, again plastic deformations, zones of plasticity, unloading, digitization of nonlinear operators.

Широкое применение в современной технике тонкостенных элементов конструкций вызывает необходимость разработки надежных и эффективных методов их расчета.

Для решения нелинейных задач используются различные методы последовательных приближений: метод упругих решений, метод переменных параметров упругости,

вариационные методы, методы конечных разностей и конечных элементов. Возникающие в различных отраслях прикладные задачи упругопластичности являются существенно нелинейными. Условия эксплуатации тонкостенных конструкций в виде гибких оболочек требуют решения задач в упруго-пластической постановке, использования достаточно эффективных методов линеаризации нелинейных проблем.

Математическая модель решения дважды нелинейных задач деформирования гибких неоднородных оболочек разработана на основе теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина, использует пятимерное девиаторное пространство с последующим применением итерационного процесса. При знакопеременном нагружении используются соотношения В.В.Москвитина. Физические уравнения используемой теории позволяют единообразно представить соотношения различных теорий пластичности.

В разрешающей системе уравнений учитывается как физическая, так и геометрическая нелинейность, обусловленная тем, что хотя оболочки рассматриваются при малых деформациях, но прогибах одного порядка с толщиной или значительно превышающие ее.

Тонкостенные конструкции оболочечного типа весьма чувствительны к локальным нагрузкам. Исследования несущей способности таких конструкций при локальных силовых воздействиях имеют большое практическое значение. Условия эксплуатации при этом характеризуются внешними воздействиями, которые часто приводят к тому, что материал начинает работать за пределами упругости. Учет нелинейных факторов позволяет более адекватно смоделировать процессы деформирования конструкций.

Дискретизация нелинейных операторов осуществлена методом конечных разностей. Схема вычислений построена таким образом, чтобы максимально использовать экстраполяцию решения для получения нулевого приближения не только по параметру нагрузки, но и по другим параметрам задачи (прогиб и др.). Разработанный алгоритм реализован в виде пакета

© Старожилова О.В., 2015 г.

программ, позволяющего единообразно решать широкий класс задач исследования упругопластических процессов в пологих оболочках.

Для решения упруго-пластических задач введена трехмерная пространственная сетка, в каждом узле которой проводится анализ на принадлежность упругой или упругопластической области деформирования. Внутренние силовые факторы определяются интегрированием напряжений по толщине.

Для решения дважды нелинейной краевой задачи используется двухступенчатый итерационный метод. С учетом принятой схемы дискретизации по пространственным переменным система разностных уравнений после исключения неизвестных в контурных и законтурных точках примет вид

Lh uh = fh, Lh = L1h + L2h

где Щ ={ Uj, Xj eQh} - вектор неизвестных размерности 3 Nh, Nh - число узлов сеточной области Wh , L1h - квадратная матрица, L2h - разностный аналог нелинейной части уравнений,

fh - известный вектор.

Двухступенчатый метод решения системы имеет вид

d +1 —n\ /у — n

Bh (uh uh ) = g n (Lh uh

1 0 0

Bhu = 0 B2 0

1 0 0 B3

ui

U2 ,

U3 _

Bi =Li(E - Tm) B2 =L 2(E - Tm2> B3 =Лз(Е - Ттз)

fh)

где E - тождественный оператор, Tm - оператор сокращения погрешности за mk итераций в методе переменных направлений при решении уравнения

Лк,h zk = rk, k = 1, 2, 3.

При реализации алгоритма решения дважды нелинейной краевой задачи на каждом шаге по параметру прослеживания равновесных состояний организовано два итерационных цикла. Внешний цикл, где вычисляются невязки, основан на методе переменных параметров упругости. Уточнение секущего модуля Gs идет до тех пор, пока в каждом узле трехмерной

сеточной области интенсивности напряжений и деформаций не будут соответствовать диаграмме деформирования. Во внутреннем цикле решаются интегральные уравнения с использованием метода переменных направлений. В каждом узле пространственной трехмерной сетки проводится анализ на принадлежность его упругой или упруго-пластической области деформирования, по найденным деформациям срединной поверхности находятся усилия и моменты. Итерации выполняются до достижения необходимой степени установления процесса, когда характерные значения параметров напряженно-деформированного состояния оболочки перестают меняться в пределах заданной точности. На каждом шаге по параметру нагружения используется метод экстраполяции для получения нулевых приближений. При этом расчет проводится с учетом физической нелинейности.

На рис.1 показано распределение зон пластичности в сечении z = -1 для жестко заделанной по всему контуру цилиндрической панели k1 = 0,k2 = 20,h/b = 0,05, где k1, k2-кривизны, h(x,y) -толщина панели, b- геометрический размер панели, при различных вариантах нагружения р = 50, р = 75, р = 100 .

Интенсивность нагрузки выбиралась таким образом, чтобы главный вектор нагрузки был постоянен для всех схем нагружения и соответствовал равномерно распределенному по всей поверхности давлению интенсивности. Зоны пластичности (рис.1) появляются при нагрузке p = 50, с увеличением p развиваются более интенсивно, занимают почти всю поверхность и уже при нагрузке p = 100 появляются зоны разгрузки. Локальное нагружение приводит к существенному изменению характера деформирования пластин и оболочек.

Проведенный анализ совместного влияния несимметрии в нагрузке и граничных условиях позволяет сделать вывод, что оболочки, находящиеся под действием равномерно распределенной нагрузки, более чувствительны к изменению граничных условий, чем локально нагруженные оболочки.

На основе разработанного алгоритма построен вычислительный комплекс, позволяющий единообразно решать широкий класс задач исследования упруго-пластических процессов в гибких пластинах и оболочках. При разработке вычислительного комплекса учитывались следующие основные требования: наибольшая общность постановок задач из рассматриваемого класса, эффективность в отношении точности решения, экономичность по затратам машинного времени и использованию памяти, компактность и удобство в задании исходной информации, возможность расширения решаемого класса задач. В отдельном постпроцессорном модуле реализована функция визуализации полученных результатов решения упруго-пластических задач: строятся распределения напряжений, деформаций, прогибов, зон пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций по сечениям оболочки, для характерных точек пластин и оболочек приводятся траектории напряжений и деформаций.

Переменность толщины, кривизны, неоднородность материала, нагружение оболочек по малой площадке приводит к появлению областей с большими градиентами напряжений и деформаций. В этом случае необходимо использовать густые сетки, что, в свою очередь, приводит к значительному увеличению размерности систем разностных уравнений.

Внешний цикл, где вычисляются невязки, основан на методе переменных параметров упругости. Уточнение секущего модуля Gs идет до тех пор, пока в каждом узле трехмерной

сеточной области интенсивности напряжений и деформаций не будут соответствовать диаграмме деформирования. Во внутреннем цикле решаются уравнения с использованием метода переменных направлений. В каждом узле пространственной трехмерной сетки проводится анализ на принадлежность его упругой или упруго-пластической области деформирования, по найденным деформациям срединной поверхности находятся усилия и

моменты. Итерации выполняются до достижения необходимой степени установления процесса, когда характерные значения параметров напряженно-деформированного состояния оболочки перестают меняться в пределах заданной точности. На каждом шаге по параметру нагружения используется метод экстраполяции для получения нулевых приближений. Схема вычислений построена таким образом, чтобы максимально использовать экстраполяцию решения для получения нулевого приближения не только по параметру нагрузки, но и по другим параметрам задачи (прогиб и др.).

В отдельном постпроцессорном модуле реализована функция визуализации полученных результатов: строятся распределения напряжений, прогибов, зон пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций по сечениям оболочки, для характерных точек приводятся траектории напряжений и деформаций.

Построенная математическая модель учитывает сжимаемость материала и реальный вид диаграммы деформирования. Дано решение широкого класса несимметричных задач упругопластического изгиба неоднородных оболочек переменной жесткости.

Вычислительные эксперименты показывают, что предложенный метод и алгоритм позволяют учитывать плавное изменение толщины тонкостенных элементов и могут быть применены при их оптимальном проектировании.

Реализация предложенного метода и алгоритма компьютерного численного анализа напряженно-деформированного состояния конструкции осуществлена в виде пакета прикладных программ. Программный продукт предназначен для применения в отраслевых САПР и ERP-системах, допускает автономное использование.

Литература

1. Старожилова О.В. Двухступенчатый итерационный метод в прикладных задачах упругопластичности. Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, Науч.изд. «ТВП», т.9., вып.3, 2002.-С.655.

2. Старожилова О.В. Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций // Вестник УГАТУ.2013.Т.17, №4(57).С.38-43.