Численные методы теплогидравлического расчета сетей инженерных коммуникаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 3 (2), с. 168-172

УДК 681.324

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕПЛОГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СЕТЕЙ ИНЖЕНЕРНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

© 2011 г. Р.А. Штыков

Муромский институт Владимирского государственного университета

[email protected]

Поступила в редакцию 20.01.2011

Рассматривается новая методика проведения гидравлических расчетов в автоматизированных системах управления инженерных коммуникаций большой размерности.

Ключевые слова: инженерные сети, теплоснабжение, матрица, математическая модель, алгоритм расчета.

Г идравлические расчеты лежат в основе анализа режимов тепловых, газовых, водопроводных и напорных канализационных сетей. Любые информационные системы по инженерным сетям, не предусматривающие проведения гидравлических расчетов, имеют крайне ограниченные возможности применения и потому вряд ли могут рассматриваться всерьез.

Методов решения задач гидравлического расчета вполне счетное количество, и они также хорошо известны; но проблема состоит в его более или менее приличном изготовлении. Поэтому на первый план выступает качество и алгоритмов, и программной реализации гидравлического расчета.

Рассмотрим схему с установившимся движением жидкости, состоящую из и участков, 7 узлов и к линейно независимых контуров, к = и - г +1.

Разработку линейно независимых циклов для выполнения расчета потокораспределения в гидравлических сетях можно осуществить при помощи основного дерева графа гидравлической системы для определения матриц соединений и матриц контуров. Построение основного дерева выполняется с помощью алгоритма Краскала. На схеме выделяется некоторое дерево, связывающее все её 7 узлы. В результате все участки разобьются на (г -1) участок дерева и к участков, не вошедших в это дерево, которые называются хордами. Каждая хорда замыкает определенную последовательность участков дерева и однозначно определяет контур, который фиксируется соответствующей строкой матрицы контуров.

Определим эти две основополагающие матрицы.

Введем полную матрицу А соединений 7 узлов и и ветвей сети, однозначно описывающую ее конфигурацию, безотносительно к конкретным длинам ветвей и фактическому месторасположению узлов. В этой матрице на пересечении строки у, соответствующей узлу у и столбца

I, соответствующего ветви I, помещается элемент а-. Этот элемент принимает следующие

значения: а- = 0 - если ветвь I не соединена с

—

узлом у, а- = -1 - если ветвь I исходит из узла у, а- = 1 - если узел у является для ветви I конечным. Таким образом, в каждом столбце матрицы А только два не нулевых элемента, это 1 и -1, поэтому сумма всех ее строк дает нулевую строку, что означает их линейную зависимость. Поэтому ранг матрицы, то есть максимальное число ее линейно независимых строк или столбцов составит 7 - 1. Для расчетов будем использовать усеченную матрицу соединений с размерами (г -1) • и , имеющую только линейно

независимые строки, ее обозначим А . Она получается из матрицы А вычеркиванием любой из строк, как правило этой строкой является строка 7.

Введем полную матрицу В контуров. В матрице контуров на пересечении строки г, соответствующей контуру к и столбца I, стоит элемент Ъ .. Этот элемент принимает следующие

значения: Ь = 0, если ветвь I не принадлежит

контуру г, Ъ„. = 1, если ветвь I входит в контур к

и ее ориентация совпадает с направлением его обхода, Ь . = -1, если ветвь I входит в контур г,

но ее ориентация противоположна направлению его обхода.

Для гидравлических сетей имеет место квадратичный закон гидравлического сопротивления:

^ + Ні = Г х2 >

(1)

где х. - неизвестный расход, гг - сопротивление участка, - напор равный разности пьезометрических отметок на концах участка (линейное падение напора), Н. - активный (действующий)

напор.

Зная длину трубопровода и его внутренний диаметр, данное сопротивление найдем по формуле:

А Оча) + 4)

гі (к) - ■

і(к) + 4, (к) , (к)

(2)

где /э - эквивалентная длина местных участков

(сопротивлений), I - длина участка сети, 1 -внутренний диаметр трубопровода, g - ускорение свободного падения, к - коэффициент, характеризующий хорду, Л8 - постоянный коэффициент, зависящий от фэ,

(3)

где ф - абсолютная эквивалентная шероховатость,

к =-

к

(4)

сать в виде

С использованием матрицы соединений А, балансы могут быть записаны сразу для всей схемы: Ах = V.

Слева в формуле стоит алгебраическая сумма расходов по всем участкам, имеющим общий узел у, а справа расход в узле: нагрузка у_ > 0,

если в узле у находится потребитель, приток V- < 0, если в узле у находится источник и

V = 0, если узел является точкой разветвления

потоков по схеме.

Значение V. < 0, должно быть задано таким

образом, чтобы имел место их общий нулевой баланс по всем 7 узлам схемы:

2 г-1

X V = 0, Кг =-£г7. . (8)

7=1 М

Второй закон Кирхгофа требует суммарного нулевого изменения напоров й,- для любого

контура схемы - для этого достаточно, чтобы выполнялось равенство

X *, = 0. (9)

с

С использованием матрицы контуров В, напоры могут быть записаны сразу для всей схемы: Бк = 0.

С учетом (6) и (9) уравнения, соответствующие второму закону Кирхгофа, имеют вид

где I * - сумма коэффициентов местных сопротивлений, dм - внутренний диаметр местных участков, X - коэффициент гидравлического трения.

В случае, когда нет данных о местных сопротивлениях, эквивалентная длина принимается приближенно в долях от линейной длины:

1э = а I. (5)

Поскольку по знаку величины гг необходимо судить о направлении потока на участке и соответственно о знаке й., то (1) можно запи-

X я,- Х| Х| = нк,

(10)

где Я., Хі - гидравлическое сопротивление и расходы на всех участках і контура к, Ик - алгебраическая сумма действующих напоров на всех участках, входящих в контур к .

Таким образом, математическая модель по-токораспределения для гидравлических сетей сводится к системе уравнений, состоящей 7 - 1 линейных уравнений вида (7) и к нелинейных уравнений вида (11):

Xх = V> ■/ = 1>->т-1>

X Ъ х,\х\ = нк.

(11)

(6)

Для любого потокораспределения должны выполнятся два сетевых закона Кирхгофа. Во-первых, в каждом узле выполняется материальный баланс:

(7)

Решение задачи потокораспределения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений вида (11). Как показала практика расчетов больших гидросистем (крупных городов или мегаполюсов), для систем уравнений с матрицами, размерность которых превосходит 500-700, начальное приближение

к

к

должно лежать настолько близко к решению, что практическая ценность вышеуказанных алгоритмов теряется - технические требования к точности решения на порядки слабее, чем требования увязочных методов к начальному приближению.

В качестве расчетного метода мы используем предложенный в работе [4] метод последовательных приближений, который обеспечивает сходимость на системах с числом неизвестных до 10000 при небольшом числе итераций.

Рассмотрим метод последовательных приближений применительно к системе (11).

Значение V- должно быть задано таким образом, чтобы имел место их общий нулевой баланс по всем 7 узлам схемы.

Будем решать полученную систему уравнений методом последовательных приближений. На каждой итерации решается система линейных уравнений вида:

Xі = sign(X)Я^\X,.|.

а)

в*

\п \і

да

У./1

' Ц " і .и :1 ,1.1111 ;у1' 11 .и 11' її ні

б)

і а ним №№0

(12)

|С

1

0Л

0Д1

(■.«і

о

V * .

*

1 і"),"1 і'і'Цііч. мц

*5

Нпри

где а; - коэффициент линейной части системы (а = 1 если энергоресурс в трубопроводе входит в узел, д. = -1 если энергоресурс трубопроводе выходит из узла и д. = 0 если участок I инцидентен узлу); й. - коэффициенты соответствующие нелинейной части системы, получаемые следующим образом:

В работах Файзулина, Денисова и Меренко-ва (см., например [4]) показано, что в качестве начального приближения целесообразно принять X0 = 1, (г = 1,2,..., п), а коэффициенты

а = 0.3, в = 0.7 , итерации продолжаются до тех пор, пока величина невязки между левой и правой частью уравнений нелинейной части не будет меньше заданной величины.

С целью обеспечения более быстрого затухания колебаний невязки и уменьшения числа итераций была проверена и предложена модификация, в которой после первой итерации применяется поправочный коэффициент ю = 0.48

Рис. 1. Расчет последовательных приближений:

а) стандартным методом, б) модифицированным методом

Докажем, что матрица соединений А и выбранное на схеме цепи дерево однозначно определяет матрицу контуров В, что может быть использовано для ее автоматического построения при расчетах на компьютере.

Перенумеруем переменные х; таким образом, чтобы расходы оказались в конце матрицы, то есть хг = (Хв, хк), где Х0 = (х1..х2_1) - расходы на участках дерева, хк = (..хи) - расходы на хордах.

Матрицу В можно записать в следующем виде:

В =

Ь11 К-1

(14)

(13)

То есть В = (Вб, Ек), А = ( Аб , А к), где Е - единичная матрица.

Таким образом,

Это позволило приблизить порядок получения вектора X к решению, сократив число итераций, колебания невязки быстро затухают. В качестве примера рассмотрим гидравлическую сеть, состоящую из 1000 ребер графа и 960 узлов (см. рис. 1).

Аэ хэ + Ак хк = V, следовательно,

х г = А г) (V — А к хк).

(15)

(16)

Матрица А в , обратная к , здесь всегда существует, поскольку в случае графа-дерева

к

1

1

его матрица соединений (без последней строки) будет иметь определитель, отличный от нуля, матрица не особенная.

Выявим связь между матрицами соединений А и контуров В. Рассмотрим однородную систему уравнений первого закона Кирхгофа Ах = 0, и покажем, что любая строка матрицы В является ее решением. Действительно, пусть а] = (а]Л а]п) - у'-я строка А(у = 1г-1),

= (Ьп агп) - г-я строка В(г = 1к), где

элементы а^ и Ьгг. (/ = 1,..., и) принимают значение 0, 1 или -1.

Когда контур г не проходит через узел у ненулевые элементы Оу. и Ъп- имеют обязательно различные номера I и, поэтому, скалярное произведение аТЬг = 0. Если же, простой контур г проходит через узел у, то ему могут принадлежать лишь две ветви 1Х, 12, инцидентные данному узлу, и только для них одновременно

не равны нулю соответствующие элементы а ■■

№

и Ън , так что скалярное произведение фактически будет сводится к сумме двух слагаемых:

ЛБ1 = 0.

(19)

а ■ Ь = а Ь + а Ь .

] Г ]1\ Г1\ ]12 Г1г .

Таким образом, если рассматривать матрицы блочной структуры то:

АВ1 =

= \Ав А

:]в Ек I

[а в А к ][в В к I

= А ВВВ + А кЕТк = 0, (20)

то есть

Ав Бп + А к = 0,

откуда следует, что

Бв = — А в А к.

(21)

(22)

(17)

Как видно из рис. 2, в любом случае прохождения контура через узел у, произведения в правой части равенства (17) обязательно имеют разные знаки, так что их сумма равна 0 и поэтому всегда аТ Ьг = 0 :

Рис. 2. Варианты прохождения контура г через узел j

Так как это справедливо для любых у и г, то:

ЛЬГ = 0, (г = 1,..., к), (18)

то есть любая строка матрицы В (берется здесь как вектор-столбец) удовлетворяет системе (14). Это может быть записано сразу для всех строк, что приведет к искомому произведению матриц:

Это выражение связывает матрицы Вв, А в, А к и отражает тот факт, что матрица соединений А и выбранное на схеме цепи дерево однозначно определяет матрицу контуров В.

Указанные действия позволили определить следующие данные:

1) методику гидравлического и теплового расчета инженерных коммуникаций, позволяющую провести расчет дополнительных параметров (температура, скорость) в рамках гидравлического расчета, что не требует проведения теплового и конструкторско-гидравлического расчета и экономит время и ресурсы;

2) при расчете стационарного потокорас-пределения в многокольцевых гидравлических сетях для обеспечения более быстрого затухания колебаний невязки и уменьшения числа итераций учесть поправочный коэффициент ю = 0.48;

т ——1 —

3) выражение Во = -Ао Ак, связывающее

матрицы БП, А б , А к и отражающее тот факт,

что матрица соединений А и выбранное на схеме цепи дерево однозначно определяет матрицу контуров В.

Список литературы

1. Андрияшев М.М. Техника расчета водопроводных сетей. М.: Сов. законодательство, 1932. 64 с.

2. Андрианов Д.Е., Макаров К.В., Штыков Р.А. Системы оперативного управления пространственно распределенными объектами. М.: Радио и связь, 2005. 211 с.

3. Бакластов А.М., Бродянский В.М., Голубев Б.Н. Промышленная теплоэнергетика и теплотехника: Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1983. 551 с.

4. Денисов Е.Е. Математическое моделирование динамики жидкости с использованием теории графов // Математическое моделирование. 1996. № 2. С. 91-105.

NUMERICAL METHODS OF THERMOHYDRAULIC CALCULATION OF UTILITY NETWORKS

R.A. Shtykov

A new method of hydraulic calculations for automated control systems of large-scale utility networks is considered.

Keywords: utility networks, heat supply, matrix, mathematical model, calculation algorithm.