Принципы экстремума для анализа нелинейных сетевых систем с сосредоточенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

- ÄvT (X, tk; #,0)] d#=Z а (x)go (tk )v# (x, tk ;0, tk) +

k=1

+ X а (x)Дя"(тМх, ^ ;0,т) +Мг,^ ;0,т)Я'(г) +

k=1 о

+М х ч;0т) я(т) - яо(т) (х tk ;0, т) -

—т (х, ^ ;0, т) + yv|(x,tk ;0, т)}^ йт-

- X а (Х)Я0 (0) [^ (х, ^ ;0,0) — |(х,^; 0,0)] —

k=l

-X а (х)5[у, (х, ^ 1,0)( (I) + Лу(х, ^; 1,0) ( (I)] + X а (х)П уР^т.

k=1 0 k=10 0

п

Поскольку выполняется условие X а (х) { (х, tk; х,0) - (х, %; х,0)} ф 1,

k=1

полученное уравнение относительно м(х, 0) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое однозначно разрешимо в классе С (Б). Следовательно, сведение задачи (1), (11), (12) к задаче (1), (2) завершено. Теорема 3 доказана.

Литература

1. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент, 2000.

Кабардино-Балкарский государственный университет, Сочинский государственный университет

туризма и курортного дела 10 ноября 2005 г.

УДК 519.711.7

ПРИНЦИПЫ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СЕТЕВЫХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

© 2006 г. В. Ч. Кудаев, Э.Л. Тамбиева

The new principles of extremum and an effective method of the analysis of non-linear network systems founded on them with the concentrated parameters are submitted in this work.

1. Основная задача анализа сетевых систем

Функционирование сетевых систем по переносу вещества или энергии подчинено сетевым уравнениям Г. Кирхгофа - уравнениям неразрывности и потенциальности потока. Вследствие этого анализ и синтез сетевых систем следует проводить на единой математической основе, учитывая спе-

цифику каждого вида сетей (электро-, газо-, нефте-, тепло- и водоснабжения) при конкретном проектировании и создании САПР.

Универсальные сетевые уравнения отражают законы сохранения массы и энергии и аналогичны законам Кирхгофа для электрической цепи. Пусть Г(В, В) - орграф, моделирующий сеть; В - множество его вершин (соответствуют узлам сети), В - дуг (соответствуют ветвям сети); хг, и, - соответственно моделируют величину потока и потерю потенциала при его продвижении по /-й ветви. Согласно сетевому уравнению неразрывности потока, в каждом узле ] должен соблюдаться материальный баланс потоков: ^ Х = Я], У/ е В, где алгебраическая сумма берется по всем дугам

геГ)

графа сети, инцидентных вершине ]; Я] - потребление потока в ]-м узле (если Я >] - узел] является стоком, Я < 0 - источником). Потоки, исходящие из источников и потребляемые в стоках, должны быть равны, т.е.

т I I

2 Я] = 0, т = В|. В связи с последним равенством любое из уравнений

]=0

неразрывности является линейной комбинацией остальных и поэтому одно из уравнений нужно исключить из системы.

Уравнение потенциальности означает, что потоки, приходящие в один узел, имеют одинаковый потенциал, т. е. циркуляция потерь потенциала по

любому контуру сети должна быть равна нулю: ^ иг = 0, Ук е К, к -

гек

контур из множества К линейно-независимых контуров сети.

При продвижении потока по любой ветви сети затрачивается энергия, в связи с чем происходит потеря потенциала потока: иг = /(х,), / = 1, ..., п; п = |В|, где /(хг) - функция, моделирующая потерю потенциала по /-й ветви.

Представленная форма записи сетевых уравнений хотя и наглядна, однако не удобна для исследования систем сетевых уравнений. По этой причине в статье используются матричные уравнения.

Основной задачей анализа сетей является расчет установившегося распределения потока в сети при заданных величинах потока в источниках и стоках сети:

Ах = 0, Ви = 0, и = /х), (1)

где А = {а]}, ] = 1, ..., т - 1, / = 1, ..., п - матрица соединений линейно-независимых узлов сети; т - количество узлов; п - количество ветвей сети; а] - число, равное 0,1, - 1 соответственно, если ветвь / не соединена с узлом], исходит из узла], входит в узел]; х = (хь ..., хп) - вектор потоков (потокораспределение) по ветвям сети; Я = (2Ь ..., Ят-1) - заданный вектор расходов потока в узлах сети; В = {Ькг}, к = 1, ..., с - матрица линейно-независимых контуров сети; с = п - т + 1 - цикломатическое число графа (схемы) сети; Ькг - число, равное 0,1, - 1 соответственно, если ветвь / не

входит в контур к, входит в контур к и ориентирована по направлению контура, входит в контур, но ее ориентация противоположна ориентации контура; и = (и1, ., ип) - вектор потерь потенциала при движении потока по ветвям сети;/х) = /Х) , ...,/п(хп)) - заданная вектор-функция.

Первое, второе и третье уравнения в (1) есть соответственно: уравнение неразрывности потока сети, уравнение потенциальности и уравнение, задающее связь между величиной потока и потерей потенциала при продвижении потока по ветвям сети («закон Ома»).

Система (1) содержит 2п уравнений с 2п неизвестными х,, и,,, = 1, ..., п и имеет единственное решение, например, в случае, когда функции/¡(хг) х,, г = 1, ., п строго выпуклы, что справедливо для инженерных сетей -электрических, трубопроводных гидравлических, газовых, нефтяных.

Методы анализа сетей можно разделить на три направления. Первое -методы увязки, основанные на линеаризации нелинейных зависимостей, декомпозиции задачи анализа и покомпонентной релаксации, когда уменьшение невязок сетевых уравнений производится их последовательной обработкой по отдельным уравнениям и переменным [1-4]. Эти методы из-за нестрогого решения системы линеаризуемых уравнений на каждой итерации приводят к накоплению ошибок и торможению процесса расчета, что делает невозможным их использование для анализа больших сетей. Второе направление связано с применением метода Ньютона и основано на методе контурных потоков или узловых потенциалов [5-9]. Эти методы всегда приводят к решению задачи анализа, хотя количество итераций существенно зависит от начального приближения. Третье направление связано с разработкой экстремального подхода. При этом решение задачи анализа заменяется решением эквивалентной оптимизационной задачи [10-19]. Разработанные здесь методы расчета потокораспределения имеют большое теоретическое значение, однако их практическая реализация через необходимые условия не приводит к новым вычислительным схемам.

Несмотря на множество существующих численных методов, есть явные указания на то, что применяемые методы не оптимальны. В [20] был представлен специальный метод решения задачи анализа для случая, когда

потеря потенциала потока на ветвях сети описывается однородными

2

функциями второго порядка: /¡(х,) = , Si > 0 - число, / = 1, ..., п. Для решения возникающей при этом задачи анализа сети вместо обычно используемой линеаризации Ньютона (или ее модификаций) предлагалась

2

следующая: /¡(хг) = Бх, ~ Бх, хг = Б х,, где х, приближенно равен истинному потоку по ветви. Итерации проводились по схеме Б,(г+2) = Б, (х(г+1) + х(г))/2, где г - номер приближения. Приведена статистика, показывающая подавляющее превосходство предлагаемого метода над иными методами (таблица).

В настоящей статье метод уточняется и обобщается на сети с нелинейными сетевыми функциями/¡(хг), имеющими место на практике. В основу

обобщения положена теорема Максвелла о минимуме диссипации энергии в линейной электрической цепи постоянного тока.

Сравнение методов анализа сетей

Название метода Количество итераций

Кросса 635

Ньютона 21

Линеаризации 4

2. Обобщение теоремы Максвелла на нелинейные сети

Рассмотрим существующие принципы экстремума для сетей с сосредоточенными параметрами при установившемся потокораспределении. На функции f(x,) наложим требования: монотонного возрастания, выпуклости при Xj > 0, fi(0) = 0, нечетности, гладкости, что имеет место для реальных сетевых систем.

Для линейных цепей постоянного тока Дж.К. Максвелл доказал следующую теорему [11]: «В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределенными по закону Ома, оказывается меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания токов». В наших обозначениях теорема Мак" 2

свелла имеет вид Э (x) = X Si xi = Sx, x ^ min, Ax = Q, где S, > 0 - число

i=1

(электрическое сопротивление проводника); x, - величина тока по i-й ветви электрической цепи.

При расчетах нелинейных сетей использовался аналог теоремы Максвелла:

Э (x) = X f (x )x, = f (x), x ^ min, Ax = Q. (2)

i=1

Е. Черри и У Миллар указали [12] на неэквивалентность задач (1) и (2) для нелинейных сетей и доказали, что задача (1) эквивалентна задаче:

n xi

V(x) = X J fi (и^ min, Ax = Q.

i=1 0

А.П. Меренков в [21] показал, что задачи (1) и (2) эквивалентны только при выполнении условия:

X fi (xi ) = 0 «X fi'(xi)x = 0, (3)

isk isk

где k - любой из контуров выбранной системы линейно-независимых контуров.

Для обобщения теоремы Максвелла на нелинейные сети выделим полный набор функций, на котором любые индивидуальные задачи (1) и (2) эквивалентны. Полнота набора означает, что его нельзя дополнить какой-

либо функцией без нарушения эквивалентности - сразу можно предъявить такую индивидуальную задачу (1), что (1) и (2) будут неэквивалентны.

Теорема (о полном наборе функций минимальной диссипации энергии). Задачи (1) и (2) эквивалентны при любых исходных данных тогда и

только тогда, когда / (х,) = Б, |х, 1 х,, Б, > 0, а > 1, , = 1,..., п.

Доказательство. Докажем необходимость. Рассмотрим сеть (рис. 1), содержащую контур, образованный двумя ветвями с и^Х1) = 8/х\), и2(х2) = /х2), где 8 - управляемый параметр. Пусть g > 0 - фиксированное число; «1 > 0, и2 > 0 - произвольные наперед заданные числа, такие, что «1 + и2 = g. Подберем 8 так, чтобы на «ь и2 выполнялось уравнение потенциальности:

8/и) = /"2). (4)

Рис. 1. Схема сети

Для того чтобы задачи (1) и (2) были эквивалентны в этом случае, необходимо, чтобы и и и2 было решением задачи:

\э = 8/(Х1) Х1 + /(Х2) Х2 ^ min, (5)

(5)

х1 + х2 = g, х1, х2 > 0.

Ввиду того, что целевая функция в (5) непрерывна и строго выпукла на допустимом множестве, решение задачи единственно, а необходимое условие экстремума является и достаточным. Из условия экстремума задачи (5) с учетом того, что «1 > 0, и2 > 0 обязано быть единственным ее решением, получим

8/'(«1) Щ + 8/и:) = /'(»2) 02 + ТЫ. (6)

Из (4) следует, что (6) эквивалентно условию

8 Г(щ) = /'(02) 02. (7)

Из (4) и (7)

5= / (и2 ) 8= /' (и2 )и2 те /'(и1 )и1 = Г(и2 )и2

f )' f Ь ' ' ' f U ) f (и2) '

Но и1 > 0, и2 > 0 - произвольные значения. Поэтому имеет место условие

f'(x) x

±Л-1- = а- const, x e (0, g), (8)

f (x )

т.е. (8) есть дифференциальное уравнение. Решив его с учетом предъявляемых к искомым функциям требований, получим

f(x) = Г xr4x. (9)

Поскольку fx) - произвольно выбранная из искомого набора функция, то все функции набора имеют вид (9).

Сформируем контур из двух функций: г xa и r2 x2a. Тогда потоки по контуру в соответствии с правилами Кирхгофа распределятся так, что

Г xj"1 = r2x2a, x1 + x2 = g. (10)

В соответствии же с принципом минимума:

а-1 _ а -1 а _ аг

rx1 x^ — а2Г2x2 x2, т.е. ö^rx! — а*2r2x2 . (11)

Но (10) и (11) выполнятся одновременно, только если a1 = а2. Таким образом, получаем, что искомый набор функций может содержать лишь

функции вида г, \x, |а 1 xi где ri > 0 могут быть различны у различных ветвей сети, но a > 1 - одно и тоже у всех ветвей сети.

Докажем достаточность. Проверкой убеждаемся, что критерий эквивалентности (3) задач (1) и (2) на выделенном классе функций выполняется автоматически, так как для функций из этого класса ^(и^и — а ^ (и1). Теорема доказана.

Теорема о полном наборе функций позволяет понять, как должны быть устроены аналоги принципа Максвелла для нелинейной сети: нелинейную

сетевую функцию следует представлять в виде f (xi) — (pi (xi) xö. Рассмотрим представление f (xi) — ((xi) xi, поскольку оно приводит при расчетах к линейной системе уравнений.

Определение. Вектор xx назовем потоком сети, если он является решением задачи (1), и полупотоком, если он удовлетворяет уравнению неразрывности Ax = Q.

Теорема (о неподвижной точке). Полупоток xx тогда и только тогда есть поток сети, когда он является решением задачи:

n „ 2

Э^, x) = 2 9i(x) xi = p(x) x, x ^ min, Ax = Q. (12)

i—k

В (12) ^(x) - диагональная матрица, на месте (i, i) которой стоит ^i(xi); знак «,» в целевой функции означает скалярное произведение векторов. Еще раз подчеркнем, что задача (2) и теорема (12) различны: решение x задачи (2) не будет решением задачи (12) при фиксации полупотока x

Доказательство. Будем пользоваться алгеброй контурных потоков. Выделим на графе сети некоторое дерево, связывающее все m узлов. Хорды к дереву и ветви дерева перенумеруем соответственно 1, ..., c и c + 1, ..., n. Каждая хорда замыкает на дереве единственный контур. Эти контуры ориентируем по хордам и присваиваем им номера хорд. Матрицы

и векторы при этом расщепляются на части, соответствующие хордам и дугам дерева:

x — (xx, x9), A — (Ax, Aq), B — (Bx, Bq) — (E, Bq),

Axxx + Aqxq — Q, xq — Aq' (Q - ^ ) — ^ + DQ.

Последняя - формула контурных потоков для рассматриваемой здесь задачи (1), в ней D - квадратная матрица порядка (m - 1) путей снабжения каждого узла по дугам из корня дерева.

В соответствии с представлением x = (xx, xq) перепишем задачу (12) в виде Э =y(x) xx, xx + фч) xq, xq ^ min, Axxx + Axq = Q, где (ф (xx), ф (xq)) = = 9(x).

Воспользовавшись формулой контурных потоков xq = Bxx + DQ, получим задачу на безусловный минимум функции: Э =^(xcx) xx xx + ^xq) (Bqxx + + DQ), Bqxx + DQ.

Из необходимого условия экстремума функции получим:

ЗЭ/dxx = 2^x(xx) xx + 2Bqyq(xq) (Bqxx + DQ) = 2^x(xx) xn + 2Bqyq(xq) xq = = 2Bq^x(xxx) xn + 2Bqyq(xq) xq = 2B^(xxx) x = 0; B^(xx) x = 0.

Поскольку (12) - задача выпуклого программирования, то последнее условие есть критерий экстремума.

Пусть x - поток. Тогда должно удовлетворяться уравнение Bfix) = = Byfyx = 0 системы (1) и поэтому xx будет и решением уравнения Byfyx = 0, являющегося критерием оптимальности задачи (12). Пусть xx - решение задачи (12), т.е. B^(xx)xx = 0 и A xx = 0, но тогда xx есть и решение задачи (1). Теорема доказана.

Представленное обобщение теоремы Максвелла содержит два полупотока - фиксируемый и варьируемый. Если оба полупотока поставить в равное положение - не фиксировать ни один из них, то имеет место следующая

Теорема (о седловой точке). Задача (1) эквивалентна задаче: n

Э(x, y) — Z f (x )yi — f (x), y ^ max min,

i—1 111 У x (13)

Ax — Q, Ay — Q.

Теорема доказывается аналогично предыдущей с использованием алгебры контурных потоков. Условия экстремума в задаче:

Bfx) = 0, B(dfx)/dx) у = 0, (14)

где xx, y - решение задачи (13); xx - поток.

Условия (14) - обобщение условия А.П. Меренкова (3). На рис. 2 дана геометрическая иллюстрация теоремы для сети, состоящей из контура, составленного из двух ветвей. В этом случае имеем две переменных: x, y -полупотоки по одной из ветвей; (g - x) и (g - y) - полупотоки по другой; g - заданная величина.

3. Экстремальный метод контурных потоков анализа сетевых систем

Представляемый метод анализа сетевых систем будет использовать алгебру контурных потоков, поскольку при этом зависимые переменные выражаются через свободные без обращения матрицы A: xq = A- (Q - Axxx) = = BqXx + DQ.

Метод основан на теореме (12), содержащей важную информацию по решению задачи анализа сети (1). Во-первых, в ней речь идет о значениях полупотоков - фиксированного X и варьируемого x. Во-вторых, следует найти решение x системы Bf(X) x = 0, являющейся критерием оптимальности задачи ^(;r) x, x ^ min. В-третьих, следует найти то значение x, на котором x = x. Таким образом, теорема предписывает определенный порядок решения задачи анализа сети. Пусть x(r) - текущее приближение к решению задачи (1). Решив систему Bflx(r)) x = 0, найдем x(r+4 Поскольку на

(r) (r+1)

оптимальном решении задачи значения x и x должны совпасть, разработчики метода линеаризации [20] усредняют полупотоки, полагая

x(r + 2) = (x(r+1) + x(r))/2, что ведет к убыванию величины ||x(r-1 - x(r+!)|| со

скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Однако в таком виде метод не совершенен, так как не использует всю имеющуюся информацию. Для увеличения скорости сходимости будем использовать хорошо известный подход Франка-Вулфа к решению оптимизационных задач, состоящий в том, что на каждой итерации из множества допустимых решений задачи выделяется отрезок, на котором решается исходная оптимизационная задача. В данном случае на линейной комбинации полу-

(r) (r+1)

потоков x и x

x(r+2) =a(r+2) x(r) + (1 -a(r+2))x(r+1}, a(r+2) e[0;1]

следует определить то значение a(r+2), на котором решение задачи одномерной оптимизации

Э (a) = Ja(r+2)xr +(1 -a(r + 2)) x(r+1))(ax(r )+(1 -a)x(r+1)),

^ ' (15)

(ax(r)+(1 -a)x(rmin, ae[0;1]

совпадает со значением а(г+2), либо наименее отклоняется от него. Из условия оптимальности задачи (15) получим, что таким является то значена + 2))

ние а(г+2), на котором величина

da

принимает наименьшее зна-

чение на отрезке [0; 1].

Время решения задачи определения а(г+2) мало в сравнении со временем решения системы линейных уравнений Вф(х) х = 0 и не сказывается на общем времени решения задачи анализа сети.

Таким образом, уточнение и обобщение представленного в [20] метода состоит в том, что на каждой итерации после определения двух крайних точек х(г) и х(ж) следует определять и их наилучшую линейную комбинацию х(г+2) для продолжения процесса вычислений. В таком виде метод эффективен для сетевых функций, имеющих место на практике. На рис. 3 дана геометрическая иллюстрация метода. Векторы (х(г+2) - хг) и (х(г+4) -

_ >+-2>

) не ортогональны, но при малых ||x(r+1) - xr\\ близки к таковым.

•л*"»

—?— ¿r+V -О

Рис. 3. К геометрической иллюстрации метода анализа

Метод состоит из следующих шагов:

1. Задаются входные данные по рассчитываемой сети: схема сети, величины источников и стоков, сетевые функции ветвей.

2. Выделяются системы контурных потоков и фундаментальных контуров. Для этого строится любое дерево сети, и определяются хорды к нему. Хорды и ребра дерева ориентируются. Хордам присваиваются номера 1, ..., с; дугам дерева - с + 1, ..., п. Замыкаемые хордами контуры нумеруются номерами хорд и ориентируются по их направлению.

3. Потоки по дугам выражаются через потоки по хордам: хч = Вчхч + DQ.

4. На каждой итерации решается система линейных контурных уравнений В^(х(г))х = Фх(хХг)) хх + ВчЧ>ч (^У)(Вдхх + _ 0 и определяется х(г+1)

х

5. Проводится пересчет потоков по дугам дерева по формуле контур-

х(г+1) _ В х(г+1) + DQ.

ных потоков: xq

= BqXX

6. Формируется вектор X(r+1) = (X<xr+1),

X

(r+1)

q

-, ^ (r+2) иэ(а ) 7. Определяется то значение а , на котором величина -

dа

наименее уклоняется от нуля.

S. Определяется следующее приближение: x(r+2) = a(r+2) x(r) + (1 - a(r+2)) x(r+1). 9. Определяется выполнение условия останова процесса: ||x(r) - x(r+1)|| < < s, где s - заданная точность решения задачи (1).

Шаги 4-9 повторяются до тех пор, пока на очередной итерации не будет выполнено условие останова.

Проведенный вычислительный эксперимент подтвердил эффективность метода. Количество итераций при расчете сетей зависит от вида целевой функции и величины ||x(0) - x(1)||, где x(0) - точка старта (начальный полупоток); x(1) - первое приближение. Расчет сетей не требовал более 3-S итераций даже при случайном задании x(0). При малом значении величины ||x(0) - x(1)|| расчет завершался за три итерации.

Литература

1. Андрияшев М.М. Техника расчета водопроводной сети. M., 1932.

2. Лобaчев В.Г. // Сан. техника. 1934. № 2.

3. Cross H. Analysis of flow in networks of conductors // Urbana, Illinois, 1936. November. Bul. № 2S6. Р. 29.

4. СушревМ.Г. // Изв. вузов. Нефть и газ. 1965. № 6. С. 4S-52.

5. Martin D., Peters G. // J. of the Inst. of Water Engineers. 1963. Vol. 17. Р. 17.

6. Xacилев В.Я., Светлов К.С., Тaкaйшвили М.К. Mетод контурных расходов для расчета гидравлических цепей. Иркутск. 196S. 100 с. Деп. M.: СЭИ СО -ВИНИТИ АН СССР, № 339-36S.

7. Epp R., Fowler A. // J. of the Hydraulic Division. ASCE. 1970. Vol. 96. № HYI. S. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на инженерных сетях. M., 1976.

9. XacилевВ.Я. и др. Mетоды и алгоритмы расчета тепловых сетей. M., 197S.

10. Мaкcвелл Дж. Трактат об электричестве и магнетизме. Оксфорд, 1S73.

11. Шевяков Л.Д. // Горн. журн. 1929. № 1. С. 3-6.

12. Черри Е., Миллaр У. Некоторые новые понятия и теоремы в области нелинейных систем // Автоматическое регулирование. M., 1954. С. 261-273.

13. Birkhof G, Diaz J.B. // Quarterly ofApllied Math. 1956. Vol. 13. № 4. P. 431-443.

14. Carteron J. Calcul des veseaux mailles de conduite an l'aide d'une calculatrice electronique. Grenoble, 1956. Vol. 11. Special A. P. 173-177.

15. Пшеничный Б.Н. // ЖВM и MФ. 1962. № 5. С. 942-947.

16. Ермольев Ю.М., МельникИ.М. Экстремальные задачи на графах. Киев, 196S.

17. Койдa Н.Ц. Вариационные методы гидравлического расчета трубопроводов. Mmœ, 196S.

1S. Вacильевa Е.М., Левит Б.Ю., Лившиц В.Н. Нелинейные транспортные задачи на сетях. M., 19S1.

19. Xрaмович И.Л. Управление водными ресурсами. Потоковые модели. M., 2001.

20. Don J. Wood, Carl O.A. Charles // J. of the hydraulic division. 1972. Vol. 9S. № 7. Р. 1157-1170.

21. МеренковА.П. // ЖВM и MФ. 1973. Т. 13. № 5. С. 1237-124S. Институт информатики и проблем регионального управления

КБНЦРАН, г. Нальчик_18 ноября 2005 г.