CC BY
23
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТОКОВ В КОЛЬЦЕВЫХ ТРУБОПРОВОДНЫХ СЕТЯХ
© 2005 г. Б. Р. Байрактаров
In work some optimization problem is considered for sharing the flows in round-robin pipe - line networks. Built mathematical model. New method and algorithm have been built for deciding a problem on the base of model and method of variables decomposition.
Основные задачи проектирования трубопроводных систем заключаются в выборе мест размещения и параметров источников; конфигурации сети, связывающей множество потребителей с источниками; физико-технических параметров всех элементов системы; мероприятий по обеспечению и повышению структурной и технологической надежности системы [1].
В практике проектирования существуют три основных схемы систем водоснабжения для населенного пункта: сети с насосной станцией в корневой вершине; с башней в начале сети; с контррезервуаром.
Выбор конкретной схемы системы водоснабжения проектировщиком зависит от графика почасового водопотребления населенным пунктом в течение суток; от рельефа местности и ряда некоторых других факторов. Если почасовой график водопотребления не содержит резких перепадов (близок к равномерному потреблению), то, как правило, предпочтение отдается первой схеме, т.е. системе без регулирующих сооружений. Следует учесть, что при любой схеме водоснабжения сеть рассчитывается, когда система работает с наибольшей нагрузкой. Для определения оптимальных параметров системы вариант схемы принципиального значения не имеет. Не нарушая общности дальнейших суждений, можно рассматривать схему водоснабжения как сеть с насосной станцией в корневой вершине.
В рассматриваемой задаче места размещения и параметры источников, а также конфигурация сети считаются заданными, необходимо выбрать параметры элементов системы.
Ранее эта задача решалась в рамках создания САПР систем водоснабжения. В рассматриваемой работе предлагается подход, согласно которому введением условия согласования в выбранных узлах сети стало возможным уйти от итерационного метода решения задачи, предложенного в [2].
Задача формулируется следующим образом: при заданном плановом положении сети (рис. 1), а также при заданных технических требованиях и ограничениях, необходимо определить величины и направления потоков, диаметры труб участков сети и напор на напорном сооружении таким образом, чтобы стоимость сети была минимальной.
1 О
I®-
-Ф-
-0L
Рис. 1
Постановка задачи
Пусть задана кольцевая водопроводная сеть, состоящая из двух упорядоченных множеств: множества узлов - вершин 3 = {]: ]=1, 2, 3, ..., т}, состоящего из источника ] = 1, потребителей и простых точек разветвления а > 1), и множества участков - ветвей I = {/': / = 1, 2, 3, ..., п}, отображающих заданные попарные связи (соединения) между узлами, т.е. каждому I ставится в соответствие единственная пара чисел из множества 3 -начало и конец участка. С точки зрения теории графов эта сеть - конечный ориентированный граф (орграф). На рис. 1 изображена схема трубопроводной сети, содержащая вершины с номерами 1, 2, 3, ..., 10, и участки 1 - 2, 2 - 3, 4 - 3, 9 - 10 и т.д.
Сформулируем определения основных понятий, введенных в [1].
Определение 1. Элементарным кольцом на сети назовем такую замкнутую последовательность участков сети, которая ограничивает часть плоскости, не содержащую внутри себя других участков.
Определение 2. Контуром на сети назовем любую конечную и замкнутую последовательность участков на сети, у которой совпадают только начальный и конечный узлы. В дальнейшем будем рассматривать именно такие контуры.
Определение 3. Выбранную систему контуров на всей сети назовем линейно независимой, если количество контуров, входящих в эту систему, равно количеству элементарных колец на сети (для плоских сетей это количество однозначно определяется: к = п - т + 1).
Определение 4. Выбранную линейно независимую систему контуров назовем главной, если каждый из контуров содержит хотя бы один участок, не входящий ни в какой другой контур. Такие участки назовем хордами.
Необходимо отметить, что удаление всех хорд из кольцевой сети превращает ее в полностью разомкнутую сеть, без каких-либо циклов, т.е. некоторое остовное дерево. Например, в приведенной ниже схеме сети хордами могут быть участки: 3 - 9, 9 - 10, 2 - 3 и 3 - 4.
Введем обозначения: О* - общий расход воды, л/с, подаваемый в сеть;
* т
О] - расход воды, потребляемый в ]-м узле, причем О = 2 О] ; Н™ -
1=2
требуемый свободный напор (давление) в /-м узле, м; - высотные отметки узлов, м (поверхность земли относительно уровня моря); I, - длина 1-го участка, м; х, - расход воды, т.е. величина потока, протекающего через /-й участок; И, - потери напора (давления) воды на ,-м участке, м; утЫ, Vтах - допустимые пределы изменения скорости течения воды в трубопроводе, м/с; Н* - напор на напорном сооружении (либо высота ствола башни).
Кроме того, пусть Б = {ёр} и С = {ср} - упорядоченное множество стандартных диаметров труб (сортамент труб) и соответствующее множество стоимостей одного погонного метра каждого диаметра.
Зависимость между потерями напора, диаметром, расходом воды и скоростью течения воды задается известными соотношениями гидравлики [3].
Приведенные затраты
W (Н \ И, х) = а^С (И,, х,)!, + вН (1)
/=1
где С(И,, х,) представляется в виде кусочно-линейной функции относительно потерь напоров И, (в [4] описывается ее построение) и выражает стоимость единицы длины /-го участка трубопровода, руб.; а, в- нормативные коэффициенты, значения которых зависят от срока окупаемости системы и включают амортизационные отчисления. Первое слагаемое выражает капитальные затраты на строительство сети, второе - затраты на эксплуатацию системы. Очевидно, что в сети необходимо выполняются первый и второй законы Кирхгофа:
X X, = Q], (2)
]
где суммирование проводится по участкам /, примыкающим к /-му узлу (первый закон Кирхгофа - соблюдение баланса расхода в узле);
X и, = 0, (3)
г
(второй закон Кирхгофа г = 1, 2, ..., к, где к - количество элементарных колец на сети). Второй закон Кирхгофа означает, что алгебраическая сумма потерь напоров по любому контуру г равна нулю.
Для соблюдения условия поддержания заданного давления в узлах сети необходимо выполнение ограничения на значение создаваемого напора на напорном сооружении
Н* > шах{Н;е - 21 + г - + X И^}, (4)
!еТ/
где Т - вектор-строка, элементами которого являются номера участков, входящие в одну из траекторий из/-го узла в узел 1 (траектория - это путь поступления воды из корневой вершины в /-ю). В зависимости от технических условий и качественных показателей воды должно быть соблюдено ограничение на скорость течения воды
Утт < V/ < Утах, (5)
где Утп, Утах - заданный диапазон изменения скорости течения воды; -скорость течения воды на /-м участке.
Таким образом, задача заключается в следующем: найти минимум функционала (1) при ограничениях (2)-(5).
Метод решения задачи
Ввиду взаимозависимости основных искомых переменных наиболее естественной является декомпозиция по этим переменным х и к. Это позволяет свести исходную задачу к двум: 1) при фиксированных диаметрах труб на участках сети определить величины и направления потоков х, удовлетворяющих первому и второму законам Кирхгофа («увязка» сети). 2) при фиксированных направлениях и величинах потоков х минимизировать функционал (1) по переменной к.
Для решения первой задачи воспользуемся методом контурных расходов (МКР), описанным в [1], который является методом последовательных приближений относительно потоков х. Суть его заключается в том, что задача «увязки» сети сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Определим первоначальное направление потоков по принципу максимального растекания жидкости по сети, начиная с корневой вершины 1. После введения матрицы инцидентности А, первый закон Кирхгофа можно записать в виде:
АТХ = ОТ, (6)
1, если /-й участок выходит из ] -го узла где а] = •1-1, если /-й участок входит в] -й узел ; О - вектор-
0, если /-й участок не соединен с ] -м узлом
столбец узловых расходов; хТ - вектор-столбец искомых потоков.
Далее, определив к хорд, выберем на сети главную систему контуров, причем множество I перестроим таким образом, чтобы первые к участков являлись хордами. Полученное направление потоков на хордах примем за положительное направление обхода соответствующих контуров. Введя матрицу контуров Вк х п, второй закон Кирхгофа запишем в матричной форме в виде
ВкТ = 0, (7)
1, если /-й участок включен в г -й контур с положительным направлением -1, если /-й участок включен в г -й контур . с отрицательным направлением 0, если /-й участок не включен в г -й контур Здесь г = 1, 2, ..., к, / = 1, 2, ..., п, а кт - вектор-столбец потерь напоров.
где где brj =
Таким образом, получили п (т - 1 + k = п) уравнений относительно 2п неизвестных. Добавим системы (6), (7). Количество уравнений в них равно п, а количество неизвестных 2п (неизвестные х и к). Поэтому эта система дополняется еще п уравнениями относительно этих же неизвестных. Используется соотношение между потерями напора, расходом и коэффициентом гидравлического сопротивления трубы (квадратичной закон зависимости, который является следствием известной формулы Дарси -Вейсбаха из гидравлики) с учетом направления движения потоков = = sxi\xi\. В матричной форме:
h = SXL
(8)
где Sn х п и Хп х п - диагональные матрицы, элементами которых соответственно являются и \х, \.
Таким образом, первая задача сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными относительно к и х.
Для решения второй задачи кольцевая сеть расщепляется в тупиковую (рис. 2) введением дополнительных фиктивных вершин т + 1, т + 2, ..., т + k в конечных точках хорд. Очевидно, что для соблюдения второго закона Кирхгофа на фиктивных вершинах необходимо выполнение условия согласования
-H-m+r -Н-ю
(9)
где г = 1, 2, ..., к, тг - номера фактических узлов, породивших узлы т+г; Нт - текущий напор в узле т; г = 1, 2, ..., k.
1 □-
"12
Рис. 2
Математическая модель второй задачи состоит в минимизации функционала (1) при ограничениях
' Н} = Н * + (71 - 2;) -2 кЛ > Нсв,
i^T,
Н св _ Н
m + r mr '
v ■ < v < v
min — i — max'
где j = 1, 2, ..., m, m + 1, ..., m + k, r = 1, 2, ..., к и i = 1, 2, ..., n.
Алгоритм решения задачи
Для решения первой задачи строится итерационный процесс, на каждом шаге которого решается система линейных уравнений порядка к относительно приращений к потокам Ах, к которой сводится система уравнений (6), (7) и (8).
Действительно, предположим, что нам известно Ы-е приближение потоков и определены гидравлические сопротивления каждого участка при условии > Ут/п, тогда N + 1-е приближение к потокам определим из соотношения
хЫ + 1 = хЫ + АхЫ (11)
Если из уравнений (8) и (7) исключить переменную к, то получим
BSXT = 0. (12)
Подставив (11) в (12) и пренебрегая слагаемыми, содержащими (АхЫ)2, будем иметь
2BSXNхNАхN = BSXNхN. (13)
Решая эту систему линейных уравнений, находим приращения к потокам АхЫ(/ = 1, 2, ..., к) в к хордах. Для определения приращения к остальным т - 1 потокам решается система линейных уравнений
ААхЫ = 0 (14)
из т - 1 уравнений относительно АхЫ (/ = к + 1, к + 2, ..., п), которая следует из системы уравнений (6). Таким образом, итерационный процесс (11), (13) и (14) продолжается до тех пор, пока не выполнится условие «невязки» по потокам | хЫ + 1 - хЫ\ < е, где е - заданная точность «увязки».
Итак, из заданного сортамента Б выбраны для каждого участка диаметры труб, удовлетворяющие условию > Ут/п, т.е. определены гидравлические сопротивления относительно которых получены значения переменных х и к, удовлетворяющие первому и второму законам Кирхгофа.
Для решения задачи минимизации функционала по переменной к используется метод и алгоритм условной оптимизации функционала, описанный в [4]. Однако условие (9) вносит некоторые изменения в алгоритм решения задачи, а именно величины «ресурсов» (понятие ресурса участка введено в [4]) и фиктивных узлов (участков) определяются из условия
АHm+r
AHc:+r, если АИтВ+г <AH™
лит:, если Антв+r >Анс:
(15)
где АНт и АНт+г - соответственно «ресурсы» участков т г и т+г.
Ранее предложенный в [2] метод решения задачи заключался в том, что строился итерационный процесс, на каждом шаге которого решались попеременно подзадачи 1) и 2). Процесс завершался, когда абсолютное изменение значения функционала от итерации к итерации не превышало заданной величины. Условие (16) гарантирует выполнение второго закона Кирхгофа в процессе минимизации функционала.
На основе предложенного алгоритма разработан программный комплекс на языке Си для ПК, который отвечает современным требованиям, предъявляемым к программным продуктам, включенный в состав АРМ проектировщика [5]. Программный комплекс предусматривает различные режимы, в том числе, проведение проверочных расчетов.
Литература
1. МеренковА.П., ХасилевВ.Я. Теория гидравлических цепей. М., 1985.
2. Байрактаров Б.Р. Моделирование и расчет оптимальных параметров сетей водоснабжения: Дис. ... канд. тех. наук. Нальчик, 1992.
3. Абрамов Н.Н. Расчет водопроводных сетей. М., 1976.
4. БайрактаровБ.Р. // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 2. С. 41-47.
5. А.с. № 990950. Россия. 2002. Российское агентство по патентам и товарным знакам. Программный комплекс Технико-экономический и гидравлический расчет кольцевых сетей.
Кабардино-Балкарский государственный университет 30 июля 2004 г.
УДК 519.217
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ ДО ПОЛНЫХ РЫНКОВ И МИНИМИЗАЦИЯ МОМЕНТОВ НАРУШЕНИЯ ПОЛНОТЫ
© 2005 г. Т.А. Волосатова, И.В. Павлов
In this article we obtained the criteria of the interpolation possibility (in the sense of Haar) of the initial financial market to complete one. The theorem of the minimization of the completeness violating times is proved too.
Введение
Пусть (Q, F) - измеримое пространство с конечной ст-алгеброй F, фильтрация F = (Fk )=0 удовлетворяет условиям N < да, Fo = {Q, 0},
Fk Ф Ф Fk + 1 (0 < k < N) и FN = F; Dk - множество всех атомов ст-алгебры Fk, P - множество всех вероятностных мер P на (Q, F), нагружающих все атомы из DN.
Введем в рассмотрение (B, З)-рынок, состоящий из одной акции S = = (Sk ) (с.в. Sk > 0 и измеримы относительно Fk, Vk) и детерминированного банковского счета B = (BBk ) (где Bk > 0, Vk). Введем стандартным образом «дисконтированный» финансовый рынок (1, Z), на ко-
