Численные методы решения двумерного волнового уравнения с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Ключевые слова: волновое уравнение; численные методы; разностные схемы; запаздывание.

Сконструировано семейство методов для численного решения двумерного волнового уравнения с запаздыванием.

Рассмотрим волновое уравнение с эффектом последействия вида

с граничными: и(0,у,і) = д1(у,і), и(Х,у,і) = д2(у,і):0 ^ у ^ У, і0 ^ і ^ Т, и(х, 0,і) = д3(х,і), и(х, У, і) = д4(х, і): 0 ^ х ^ X, і0 ^ і ^ Т и начальными условиями: и(х, і) = ф(х, у,і): 0 ^ ^ х ^ X, 0 ^ у ^ У, і0 — т ^ і<і0. Здесь х, у, і - независимые переменные, и(х,у,і) -искомая функция, щ(х, у, •) = {и(х, у, і + 8), —т ^ в < 0} - функция-предыстория искомой функции к моменту і, т> 0 - величина запаздывания, f (х,у,і,и(х,у,і),ь,і(х,у, •)) - функционал, определённый на [0,Х] х [0, У] х [і0,Т] х М х Q, Q = Q[—т, 0) — множество функций и(С), кусочно-непрерывных на [—т, 0) с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа, ||и(-)||д = 8ир^е[_г 0) |и(£)|. Будем предполагать, что функционал f и функции ф,ді,д2,дз,д4 таковы, что задача имеет единственное решение. Численные алгоритмы решения одномерного уравнения гиперболического типа с эффектом последействия были изучены в [1].

Разобьем отрезок [0,Х] на части с шагом Ь1 = Х/Ы1, [0, У] на части с шагом Н2 = У/N2, где Nl,N2 - некоторые целые числа. Введем точки: хі = іН1, і = 0,1 1, ук = кН2,к =

= 0,1... ^2. Разобьем отрезок [і0,Т] на части с шагом А, і = і0 + і А,і = —т,... ,М. Обозначим приближение точного решения и(хі,ук і) через и3ік.

Введем дискретную предысторию точного решения к моменту іі при фиксированных і, к: {иі к}і = {иі к : і — т ^ І ^ і}. Оператором интерполяции-экстраполяции назовем отображение: І: {и[к}і ^ Vі,к(•) Є ^—^ А].

Для 0 ^ в ^ 1 рассмотрим семейство методов:

© Е.Е. Таширова

д2и 2 Ґ д2и д2и

ді2 а \дх2 + ду2

(

^ + f (х, у, і, и(х, і), щ(х, у, •)): і0 ^ і ^ Т, 0 ^ х ^ X, 0 ^ у ^ У

А2

+ва2

+(1 — 2в)а2

і = 1,... Nl — 1, к = 1,... N — 1, і = 0,... М — 1,

(1)

2704

с граничными: и0к = дг(у к,Ь?),и3М1 к = д2(ук^3),и^0 = дз(хг,г?),и?М2 = д^х^) и начальными условиями: и? к = ф{х1,ук ,1?): — т ^ ^ 0, ^ к (у? к (•)) — функционал, определенный на V?к(•) = I({и\к}) е Я[—г, А], связанный с функционалом f (Хг,ук,и?кк(•)).

При в = 0 получается явная схема, при других в, 0 <в ^ 1, при каждом фиксированном І получаем систему уравнений. Для того чтобы привести систему к виду, при котором ее можно решить методом прогонки, перейдем к факторизованной схеме [2]. Идея метода заключается в замене оператора, стоящего на верхнем слое, произведением одномерных операторов.

При каждом tj определим значения дискретной модели у^ =

Введем оператор К = Е + Д2вА\ + Д2вА2. Тогда уравнение (2) можно привести к виду:

С учетом соотношения (E + A2sA1)(E + A2sA2) = E + A2sA1 + A2sA2 + O(A4), получаем

При фиксированном ] получаем систему, которая эффективно решается с помощью двух прогонок по каждому из направлений х и у.

1. Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды ИММ УрО РАН, Т. 18, № 2. С. 222-231.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00089

Tashirova E.E.NUMERICAL METHODS FOR SOLVING TWO-DIMENSIONAL WAVE EQUATION WITH AFTEREFFECT

uj0 0 uj0 1

jj u1 0 u1 1

Введем операторы A1 и A2 :

A1uj = —a

R(yj+l — 2Уі + yj—l) + A2(A1 + A2)yj = a2f] (v(')).

R = R1R2 + O(A4) = (E + A2sAl)(E + A2sA2) + O(A4).

Перейдем к факторизованной схеме:

RlR2(yj+l — 2Уі + yj—l) + A2(A1 + A2)yj = a2f] (v('))-

ЛИТЕРАТУРА

27G5

A family of methods is constructed for the numerical solution of a two-dimensional wave equation with time delay.

Key words: wave equation; numerical methods; difference schemes; time delay.

УДК 539.165.2

СУЩЕСТВУЕТ ЛИ БОЗОН ХИГГСА?

© В.Р. Терровере

Ключевые слова: бозон Хиггса; электрослабая теория; симметрия; масса.

Теория бозона Хиггса основана на нестандартном уравнении Клейна-Гордона. Решение этого уравнения является неограниченым. Этот факт является одним из аргументов считать, что бозон Хиггса не существует.

Математическое мифотворчество — это математически безупречная теория, не имеющая никакого отношения к физической реальности, но авторы которой утверждают обратное. Например, это теории Андрея Линде [1] и Стивена Хокинга [2]. В [3, с. 185] утверждается, что теория Хиггса «простейшая физически осмысленная модель со спонтанным нарушением симметрии.» Цель данной работы проверить, действительно ли это физически осмысленная модель?

Теория бозона Хиггса основана на лагранжиане скалярного поля ф

ь = т — V = 2(дф2 — V (ф), (1)

где Т и V - кинетическая и потенциальная энергия поля. Если /л2 > 0 и V(ф) = 1л2ф2, то из уравнения Эйлера-Лагранжа можно получить линейное уравнение Клейна-Гордона

'С?ф = Е = —^2ф ■ (2)

В отличие от векторной силы Ньютона л С2Цг /СЬ2 = Ег = —дV/дqi сила Хиггса является скаляром и сама зависит, как и 4 ускорение, от поля ф. Именно такой силой является сила упругой пружины, связанной с грузом, и поэтому колебания груза на пружине являются наглядным физическим аналогом уравнения (2), которое предварительно необходимо привести к виду свободных одномерных колебаний [4, с. 77]

д2и . 2 „ [~к

дч + ш«и = 0 ’ и° = \т' (3)

где к - жесткость пружины. Решение этого уравнения ограничено. Для системы с одной

степенью свободы уравнение (2) упрощается

д2ф д2ф 2

ф ф + л2ф = 0. (4)

дЬ2 дх2

Теперь воспользуемся методом разделения переменных ф(х,Ь)= и(Ь)у(х) и подставим это выражение в (4) уд2и/дЬ2 — ид2у/дх2 + /л2иу = 0 . Если для произвольной точки х* справедливо д2у/дх2\х=х^ =0 , то д2и/дЬ2 + /л2и = 0 . Это означает, что решение уравнения (2) ограничено.

2706