ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Давлатов Ш. О.

Каршинский инженерно-экономический институт

Узбекистан, г.Карши Ачилов И.А.

Каршинский инженерно-экономический институт

Узбекистан, г.Карши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА

Аннотация. В этой статье приведен алгоритм численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутта и на основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7.

Ключевые слова. Алгоритм, Рунге-Кутта, схема, программа, Коши, система.

Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute

Uzbekistan, Karshi Achilov I.A.

Karshi Engineering and Economic Institute

Uzbekistan, Karshi

NUMERICAL SOLUTION OF SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE 1ST ORDER

Abstract. In this articlepresents an algorithm for the numerical solution system of 1st order ordinary differential equations using the Runge-Kutta method and a program in the Delphi-7 language is created based on this algorithm.

Keywords. Algorithm, Runge-Kutta, scheme, program, Cauchy, sistem.

1. Постановка задачи.

Найти решение системы

'¿Ух

f (Ух, У 2)

dX ^^

Ф2

= f (X Уx, У2)

dx

удовлетворяющий начальные условия

Ух(x0) = Уx0, У2(x0) = У20' (2)

<

Будем считать, что задача Коши (1)-(2) подставлено корректно, т.е. удовлетворяет все условия следующий теоремы.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области 3 -мерного пространства функции (х,у, у), /2(х,у, у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по у, у, то для любой точки (х0.у0, у0) этой области существует единственное решение

у = ф(X), у 2 =Ф2( Х)

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Х0' у10, у20-

2. Алгоритм решения.

Вводными данными являются следующее:

3. Начальные условия: х0, у0, у20;

4. Отрезок, [ х0; X ] в котором находится решение задачи Коши (1)-

(2).

5. функции Уl,y2),Уl,у2).

4. N число разбиений отрезка [х0;X].

В программу функции /[ (х, у, у), /2 (х, у, у) вводится с использованием элементарных функций, арифметических операций: + сложение,- вычитание, / деление, * умножение, а также действительных чисел. Число л~3,14 вводится символом pi. В следующем таблице даны элементарные функции и ввод их в программу._

№ Элементарные функции Ввод элементарных функций в программу

1 y=|x| mod (x)

2 y=[x] butun (x)

3 y={x} kasr (x)

4 y=xn nGN dar (x:n)

5 y= n4x nGN ildiz (x:n)

6 y= sin x sin (x)

7 y= cos x cos (x)

8 y=tg x tg (x)

9 y=ctg x ctg (x)

10 y= sec x sec (x)

11 y=cosec x cosec (x)

12 y= arcsin x arcsin (x)

13 y= arccos x arccos (x)

14 y= arctg x arctg (x)

15 y= arcctg x arcctg (x)

16 y= ax kurs (a:x)

17 y= ln x ln (x)

18 y= lg x lg (x)

19 y= log x log (x)

20 у= бЬ х бЬ (х)

21 у= Ш х Л (х)

22 у= бсИ х бсЬ (х)

23 у= сЬ х сЬ (х)

24 у= сШ х сЛ (х)

25 у= сбсЬ х сбсЬ (х)

26 у= агеЬ х агеЬ (х)

27 у= агсЬ х агсЬ (х)

28 у= агШ х агШ (х)

29 у= агсШ х агсШ (х)

30 у= агсБес х агсБес (х)

31 у= агсс8с х агсс8с (х)

32 у= ех е (х)

Например функция /(х, у, у) = 3х2 + у\ + в5У2 вводится в программу

в следующем виде ildiz(dar(X:2)+dar(Y1:2):3)+e (5*ёаг(У2:2)).

Задачу Коши (1)-(2) решим методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Разобьём отрезок [х0; X] на N равные части точками

X — хА

х = хА + ¡к; I = 0, N; к =

N

которые называются узлами сетки. Приближенное значение решения у1 (х) в узле г обозначим символом уи, т.е.

У1(х-) - Ун;г=0, N . Аналогично приближенное значение решения у2 (х) в узле г

обозначим символом у2г., т.е.

Уг(хг) ~ У2г;г = 0,N . В этом методе используется следующая схема

1

У1г+1 = У1г (к1г + 2к2г + 2К + Кг X 6

У2г +1 = У2г + \(к + 212г + 213г + 14г ), 6

г = о, N — 1

(2)

где

>

ки = к/х (^^^, уи, у2.), 1и = И/^ (^^^, уи, у2.),

1

1

1

к2/ = ИЛ( Хг + ~ И У И + ~ к1/ , У2i + ^ 11/ )

2 1

2 1

2 1

12/ = ИУ2(Х/ + ~ h, У1/ + ~ к1/ , У 2/ + ~ кг X

2

2

2

к3г = ИЛ( Хг + 1 Л, Уиг + 1 к2/, У 2/ + и 12/)' 13г = ИУ2( Х/ + и И, Уи/ + и к2/ , У 2/ + и 12/ ),

к4/ = И/1(Х/ + Л,У1/ + к3/, У2/ + 13/ ), 14/ = ИУ2(Х/ + И Уи/ + к3/, У2/ + 13/).

(3)

г

На основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7, решающая численно задачу (1) и рисующая график решения. Созданная программа проверена на основе вычислительных экспериментах.

4. Численные расчеты.

Задача. Найти решения задачи Коши для уравнения колебания маятника в

вязкой среде

d 2р dp . —^ + 0,1— + 5Бтр = 0 dt dt

<Р{0) = 0,2 dp

(4)

dt

(0) = 0,1

на промежутке времени [0,2].

Решение. Сделав замену = у, уравнение (4) запишем виде

dt

системы уравнений:

dp dt dу dt

= -( 0,1у + 5Бтр) ,(5)

Р(0) = 0,2; у(0) = 0,1

Ниже приведены численные значения приближенного решения системы (5) в узлах и график ее при N = 20.

<

р [0,0]= 0,2000 р [0,1]=0,2049 р [0,2]=0,1997 р [0,3]=0,1848 р [0,4]=0,1608

р [0,5]=0,1292 р [0,6]=0,0915 р [0,7]=0,0497 р [0,8]=0,0058 р [0,9]=-

0,0379

р [1,0]=-0,0794 р [1,1]=-0,1164 р [1,2]=-0,1474 р [1,3]=-0,1708 р [1,4]=-0,1855 р [1,5]=-0,1909 р [1,6]=-0,1869 р [1,7]=-0,1737 р [1,8]=-0,1521 р [1,9]=-0,1232 р [2,0]=-0,0885

у [0,0]=0,1000 у [0,1]=-0,0015 у [0,2]=-0,1018 у [0,3]=-0,1962 у [0,4]=-0,2802 у [0,5]=-0,3496 у [0,6]=-0,4011 у [0,7]=-0,4323 у [0,8]=-0,4418 у [0,9]=-0,4294 у [1,0]=-0,3958 у [1,1]=-0,3430 у [1,2]=-0,2738 у [1,3]=-0,1919 у [1,4]=-0,1015 у [1,5]=-0,0070 у [1,6]=0,0869у [1,7]=0,1756 у [1,8]=0,2549 у [1,9]=0,3209 у [2,0]=0,3704

График функции р.

График функции ^.

Использованные источники:

1. М.Исроилов. Х,исоблаш методлари. 2-кисм, "Икгисодиёт-Молия" нашриёти, 2008 й. ISBN 978-9943-13-089-0

2. К.Деккер, Я.Вервер. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1988.