Синтез искусственной нейронной сети для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Синтез искусственной нейронной сети

для интегрирования кинематических уравнений

в параметрах Родрига-Гамильтона

о ы

а

а

«

а б

Винокуров Игорь Викторович,

к.т.н., доцент, кафедра «Компьютерные системы и сети», Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана, vinokurov_iv@icloud.com

Движение малогабаритного автономного подвижного объекта к цели характеризуется временем и максимальными значениями проекций угловой скорости его вращения на оси связанной с его центром масс системы координат. Определение параметров ориентации Родрига-Гамильтона заключается в интегрировании системы линейных дифференциальных уравнений. Угловая скорость вращения малогабаритного объекта с течением времени может быстро и значительно изменяться. Как следствие, интегрирование кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона с целью вычисления параметров ориентации объекта с заданной точностью за заданное время является задачей, эффективность решения которой определяет эффективность работы всей системы управления таким объектом. Одним из методов ее решения является использование массового параллелизма вычислений, реализуемого искусственными нейронными сетями. В статье реализуется синтез фрагмента нейросетевой системы управления малогабаритным автономным подвижным объектом, реализующего интегрирование кинематических уравнений в параметрах Родрига - Гамильтона .

Ключевые слова: Автономный подвижный объект, искусственная нейронная сеть, нейросетевой логический базис, нейроноподобный элемент, функция активации, системы дифференциальных уравнений, методы Рунге-Кутта.

Поскольку кинематические уравнения в параметрах Родрига-Гамильтона представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений [1], то для синтеза искусственной нейронной сети (ИНС) воспользуемся методикой, предложенной в [2]. В соответствии с ней, ИНС для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона методами Рунге-Кутта должна состоять из 4-х ней-роноподобных элементов. Все нейроноподоб-ные элементы ИНС имеют кусочно-линейную функцию активации.

Как показали предварительные теоретические исследования, для вычисления параметров ориентации малогабаритного автономного подвижного объекта (АПО) вполне достаточен метод Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации.

Матрица весовых коэффициентов межнейронных связей для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона методом Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации определяется в соответствии с [2] следующим образом:

Н2 А2 Н3 А3 + — А Н4 А + — А

2! 3! 4!

Q = Е + НА +2!

Определим матрицы Ак к = 1...5.

А2 = АА--

0 _ ЗхК 2 _ ЗЕ. 2 _ ЗЕ.4 2 / 0 _ ЗЕ 2 _ ЗЕ 2 _ ЗЕ 2

■хЕ 2 0 2 _ ■ уЕ 2 ■хЕ 2 0 2 _ "уЕ 2

■уЕ 2 _ Ш. 2 0 ■хЕ 2 ■уЕ 2 _ ЗЕ 2 0 ■хЕ 2

2 ■уЕ 2 _ ЗЕ 2 0 Зе ч 2 ■уЕ 2 _ ЗЕ 2 0

Зе

~З& + 32е

■се'

■е + зе

Зе

е +

Зе

■е + "е +

Зе

■хЕ ), ■ уЕ ), "гЕ (О - векторные компоненты кватернион-отображения угловой скоро-

сти вращения АПО на оси связанной с ним системы координатЕ.

( 1 4

0 0 Л 0

4 0 0

0 — 1 4 0

0 0 —1 4 .

(—1 0 0 Л 0 ( 0 —УхБ УуЕ —УгБ

4 2 2 2

0 —1 0 0 УхЕ 0 УуЕ

4 2 2 2

0 0 —1 0 УуЕ 0 УхЕ

4 —1 2 2 2

0 0 0 У2Е УуЕ 0

4 , 1 2 2 2

( 1ухЕ 1ууЕ 1ЩЕ Л

8 8 8 1ууЕ

0

1ухЕ

0

1куЕ 1у2Е

0

1угЕ 1куЕ 1ухЕ

-■2-0 0 4

1ухЕ 8

0

Л(

0-^00 4

0 0-^0 4

0 0

0 —2. 4

-■2-0 0

0-2-0 4

0 0

0 0

-1 0

0 -24

( г 2

1 16 0 0 0

0 12 16 0 0

0 0 12 16 0

0 V 0 0 12 16)

А5 = А4 А =

(12 16 0 0 Л 0 ( 0 2 УуЕ 2 —у1К. 2

0 12 16 0 0 УхЕ 2 0 2 УуЕ 2

0 0 12 16 0 УуЕ 2 2 0 УхЕ 2

0 V 0 0 12 16, V 2 УуЕ 2 2 0

0 1'УхЕ 32 ?2 УуЕ 32 1 32

?2ухЕ 32 0 2 32 2 1 УуЕ 32

12ууЕ 32 ?2угЕ 32 0 ?2 УхЕ 32

32 ?2ууЕ 32 ?2ухЕ 32 0

Здесь £ = ^2е + + ■ Следовательно, можно сделать вывод, что для кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона:

А2к = (—1)к (4)к Е = (—4)к Е,

А2к+1 = (—\)к (^ )к А = (—4)к А.

Матрица весовых коэффициентов межнейронных связей принимает в таком случае следующий вид:

2 = Е + НА + Ь2 А 2 + Н1 А3 + Н- А 4 = Е + НА — Ь2 I2 Е — ^ А + Н1 Е = 2! 3! 4! 2! 4 3! 4 4! 16

' 1 0 0 0 Л

Н2 12 Н4 12 Н3 12 Н2 12 Н4 12 0 10 0

= (1 — + -5-) Е + (Н — -5-) А = (1 — -5- + -5-) +

2! 4 4! 16 (

0

Н3 12 +(Н——^) 3! 4

УхЕ

3! 4

УуЕ УЕ 2 2

2! 4 4! 0 0 10

, 0 0 0 1 .

УХЕ 0 2

УуЕ ЩЕ

2 2

ЩЕ 2

(1—ь2 1+ь! 1!

2! 4 4! 16

УуЕ 2

ЩЕ 2

0

УхЕ

УуЕ

УхЕ 2

—УхЕ

УхЕ ( 2

Щё ( 2

УЕ

^ 4)

3! 4

!) 3!4

(Н—^

2 3! 4

—ь! 1+Ь4£

2! 4 4! 16

УЕ (

(Н—Ь31)

.2 3! 4

(1—£ (1—1Н2)

8 48

1.2

2

УуЕ

Л 4)

3!4

-УЕ (Н-2 3! 4 Уе

2

УЕ (Н— 2 /2 4) 3! 4 УуЕ

2

—^ 1 + Н412 УхЕ (

(Н—^ 1) 2 3! 4

—ухЕЬ (1—12)

2 ( 24)

2! 4 4! 16

_УхЕ

Н31Л

(Н—

(Н—Ь3 1)

3! 4

Н—I 1)

' 3! 4

Н3 1 Н2 1 Н412 (Н——1——^ 2 3! 4 2! 4 4! 16

—^шЪ (1—12 ^

2 ( 24)

ЩхеН (1—1Н_) 1—Н. (1—1Н1)

2 ( 24) 8 ( 48)

—щеЪ (1—1Н2)

2 ( 24)

УЕН (1 Л2) 2 24

щуЕн (1—1Н:) 2 ( 24)

УгЕН (1 — 1НН_) 2 ( 24)

щеН (1—1н:) 1Ж)

2 ( 24 ) 8 ( 48)

—уеН (1—1Н2)

2 ( 24)

УхЕН (1 —12) 2 ( 24)

УуЕН (1 ) 2 ( 24)

_ууеН(1—1^) 1—£а—§£)

2 24 8 48

и определяет следующую систему нейросе-тевых функций [2]:

Ъ+1~ №,

е=

1—1н2(1—1н2) —ухеН(1—1н2) уубн(1 12

о 48 2 24 2 24

ухбн(1 -А 1 1н2(1 1н2) ууен(1 1н2)

2 24 о 48 2 24

уяёН(1 1Н2)Л

2 24

УуЕН 1л 1Н2

2 "(1—34)

убН(1—1н2) —у^бН(1—1н2) 1—^н2(1—1н2) уе(1—1Ь

2 24 2 24 8 48 2 24

1—У

У^ё^^! 1Н2) уубН(1—1н2) —ухбН(1—1н2) 1—1н2(1—

2 24 2 2г ^ 48

Сформируем ИНС, описываемую этой системой нейросетевых функций. Пусть первый ней-роноподобный элемент этой ИНС реализует суммирование следующего вида:

О

55 I»

55 РЧ

г

2

А

о ы

а

у+1=а_ Уга_ Уй у^^г (1_ 12) >*-

_Зуе!Н_ (1_ ^ уъ1 _ЗЕН (1_ УН2) у4г.

2 24 2 4 24

Второй нейроноподобный элемент ИНС пусть реализует суммирование вида:

у = ■хЕН (1 1н1л у + (1 "ф2 11 у +

у2г +1 = _ у1г + (1 _ _ у21 +

■ЕЬп У?, ЗуЕНп УН2 + (1 _ -—)у3; _ —— (1 _ -—)у4;. 2 24 2 24

Третий нейроноподобный элемент ИНС пусть

реализует суммирование вида:

У31+1 = уи--2 (1 +

+ (1 ^Л УН2)) у + ЗхЕН (1 Ун2) у

И, наконец, последний, четвертый нейроно-подобный элемент ИНС пусть реализует суммирование вида:

■генп Ун2 зуен,л Ун2

у4! +1 = -j2^(1 _ уц + _ у2г _ ■хен (1 ун2)у + (1 ун2(1 ун2))у

Все нейроноподобные элементы ИНС

приведены на рис. 1.

У2<

2 24 з 2 Уг , ЕЛ (1- )

у,2 к 48

- - (1- )

2 24 ^ I

й,

г 24

-л/ Л; I гЛ2. V-' 2 1 yJ

2 24

У,3

: 24'

8 48

■V2r

УМ

2 24 fa ^¡х

1-5» о-5Ц , .,2 8 4«

2 24

2 24

■>'4i

2 24 ^ ¡J,2

WyEk J 8 48

(I-— ) 2 24

У2 i

s

«

a б

2 24

Рис. 1. Нейроноподобные элементы ИНС для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона

Объединение нейроноподобных элементов в ИНС для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона методом Рунге-Кутта 4-го порядка аппроксимации приведено на рис. 2.

8 48 ]

"в

2 24

2 24

8 48

»Ж

ik wvgh и,1 - (I - ) - J (1 -4 )

2 24 2 24

«Г

'Ун

w-.Ehn & , _wzEh ty

2 24 2 V 24'

2 ,2 2 24 2 24

л

L-^V^)

8 48

2 24 2 24 ->4/

2 24

2 24

8 48

Рис. 2. ИНС для интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона

v 2 2 2

На рис. 1 и 2 £ = WxE + + WzE .

Литература

1. Бранец, В.Н., Шмыглевский, И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. - М.: Наука, 1973. - 320 с.

2. Винокуров, И.В. Интегрирование систем дифференциальных уравнений в нейросетевом логическом базисе / И.В. Винокуров // Инновации и инвестиции. - 2017. - №11. - С.114-117.

Synthesis of artificial neural network for integration of kinematic equations with Rodriga-Hamilton parameters Vinokurov I.V.

Bauman MSTU

The motion of an autonomous mobile object to a target is characterized by the time and maximum values of the angular velocity projections of its rotation on the axis of the coordinate system associated with it. The determination of the Rodriga-Hamilton orientation parameters consists in the integration of a system of linear differential equations. The angular velocity of rotation of a small object with time can change rapidly and significantly. As a consequence, the integration of kinematic equations with the Rodriga-Hamilton

parameters for the purpose of calculating the parameters of the object's orientation with a given accuracy for a given time is a task whose efficiency determines the efficiency of the entire control system of such an object. One of the methods of its solution is the use of mass parallelism of computations realized by artificial neural networks. In the article, a part of the neural network control system is implemented for a small-sized autonomous mobile object that realizes the integration of kinematic equations with the Rodriga-Hamilton parameters.

Key words: Autonomous mobile object, artificial neural network, neural network logical basis, neuron-like element, activation function, systems of differential equations, Runge-Kutta methods. References

1. Branets, VN, Shmyglevsky, I.P. Application of quaternions in

problems of orientation of a solid body. Branets, I.P. Shmyglevsky. - Moscow: Nauka, 1973. - 320 p.

2. Vinokurov, I.V. Integration of systems of differential equations

in a neural network logical basis. Vinokurov // Innovations and Investments. - 2017. - № 11. - P.114-117.