ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Давлатов Ш. О.

Каршинский инженерно-экономический институт

Узбекистан, г.Карши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА

Аннотация. В этой статье приведен алгоритм численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутта и на основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7. Ключевые слова. Алгоритм, Рунге-Кутта, схема, программа, Коши.

Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute

Uzbekistan, Karshi

NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE 1st ORDER

Abstract. In this articlepresents an algorithm for the numerical solution of 1st order ordinary differential equations using the Runge-Kutta method and a program in the Delphi-7 language is created based on this algorithm. Keywords. Algorithm, Runge-Kutta, scheme, program, Cauchy.

1. Подстановка задачи.

£ -'(x,

.Я *о) = Уо

Будем считать, что задача Коши (1) подставлена корректна, т.е. удовлетворяет все условия следующий теоремы.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1 - го порядка)

Если функция^, у) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную у' = /(х, у) , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение у = ф( х) уравнения у ' = / (х, у), определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение ф(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

2. Алгоритм решения.

Вводными данными являются следующее:

1. Начальные условия: x0,у0;

2. Отрезок, [ x0; X ] в котором находится решение задачи Коши (1)

<

3. Функция / (X, у).

4. N число разбиений отрезка [х0;X].

В программу функция / (х, у) вводится с использованием элементарных функций, арифметических операций: + сложение, -вычитание, / деление, * умножение, а также действительных чисел. Число л~3,14 вводится символом р1. В следующем таблице даны элементарные функции и ввод их в программу._

№ Элементарные функции Ввод элементарных функций в программу

1 y=x mod (x)

2 y=[x] butun (x)

3 y={x} kasr (x)

4 y=xn nGN dar (x:n)

5 y= n4x nGN ildiz (x:n)

6 y= sin x sin (x)

7 y= cos x cos (x)

8 y=tg x tg (x)

9 y=ctg x ctg (x)

10 y= sec x sec (x)

11 y=cosec x cosec (x)

12 y= arcsin x arcsin (x)

13 y= arccos x arccos (x)

14 y= arctg x arctg (x)

15 y= arcctg x arcctg (x)

16 y= ax kurs (a:x)

17 y= ln x ln (x)

18 y= lg x lg (x)

19 y= log x log (x)

20 y= sh x sh (x)

21 y= th x th (x)

22 y= sch x sch (x)

23 y= ch x ch (x)

24 y= cth x cth (x)

25 y= csch x csch (x)

26 y= arsh x arsh (x)

27 y= arch x arch (x)

28 y= arth x arth (x)

29 y= arcth x arcth (x)

30 y= arcsec x arcsec (x)

31 y= arccsc x arccsc (x)

32 y= ex e (x)

Например функция /(х, у) = 3х2 + у2 + в5х вводится в программу в

следующем виде ildiz(dar(x:2)+dar(y:2):3)+e (5*dar(x:2)).

Задачу Коши (1) решим методом Рунге-Кутта четвёртого порядка.

Разобьём отрезок [х0; X] на N равные части точками

_ X — х

X = хп + ¡к; I = 0, N; к =-0

1 0 N

которые называются узлами сетки. Значение приближенного решения в узлах обозначим символами у , т.е.

у( х-) * у.; I = 0, N . В этом методе используется следующая схема

Уг+1 = у. + + 2к21 + 2кЪ1 + к41), - = 0, N — 1 ,(2)

где

6

К = М(X- , У. X к2г = М(X + Уг + 1к1г X

к3г = кУ(X + Уг + 1Кг X к4г = М(X + к У- + к3г )"

(3)

На основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7, решающая численно задачу (1) и рисующая график решения. Созданная программа проверена на основе вычислительных экспериментах. 3. Численные расчеты. Задача. Найти решения задачи Коши

— = 2 ху йх

У(0) = 1 на отрезке [0;2].

Точное решение этой задачи у(х) = вх .

Ниже приведены численные значения приближенного решения в узлах и график ее при N = 20.

у[0,0]=1,0000 у[0,1]=1,0101 у[0,2]=1,0408 у[0,3]=1,0942 у[0,4]=1,1735 у[0,5]=1,2840 у[0,6]=1,4333 у[0,7]=1,6323 у[0,8]=1,8965 у[0,9]=2,2479 у[1,0]=2,7183 у[1,1]=3,3535 у[1,2]=4,2206 у[1,3]=5,4194 у[1,4]=7,0991 у[1,5]=9,4873 у[1,6]=12,9350 [1,7]=17,9918 у[1,8]=25,5307 у[1,9]=36,9601 у[2,0]=54,5863

Использованные источники:

1. М.Исроилов. Х,исоблаш методлари. 2-кисм, "Икгисодиёт-Молия" нашриёти, 2008 й. ISBN 978-9943-13-089-0

2. К.Деккер, Я.Вервер. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1988.