CC BY
2
Давлатов Ш. О.
Каршинский инженерно-экономический институт
Узбекистан, г.Карши Ачилов И.А.
Каршинский инженерно-экономический институт
Узбекистан, г.Карши
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ СЕТКА НА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Аннотация. В этой статье приведен алгоритм численного решения уравнения теплопроводности методом сетка на прямоугольной области и на основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7.
Ключевые слова. Алгоритм, метод сетка, схема, программа, Delphi-7, система.
Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute
Uzbekistan, Karshi Achilov I.A.
Karshi Engineering and Economic Institute
Uzbekistan, Karshi
NUMERICAL SOLUTION OF THE HEAT CONDUCTION EQUATION USING THE GRID METHOD ON A RECTANGULAR AREA
Abstract. In this articlepresents an algorithm for the numerical solution heat equations using the mesh method on a rectangular area and a program in the Delphi-7 language is created based on this algorithm.
Keywords. Algorithm, grid method, scheme, program, Delphi-7, sistem.
1. Подстановка задачи.
В области Q = (0,T) xQ найти u( x, y, t) решение уравнения
теплопроводности
du ,2.д2u дY n ✓ n ^ ^ч
7T = A2(-^ + —j) + f(x,y,t), z = (x,y)eQ (1) dt dx dy
удовлетворяющий условии
u(z,0) = p(z), zeQ, (2) u(z, t) = z, t), z e dQ,0 < t < T .(3)
Здесь Q = {z = (x, y): a < x < b, c < y < d}, 5Q - граница области Q,
A = const > 0, Q = Q u dQ, f (z, t), <p(z), y(z, t) -заданные непрерывные функции.
Будем считать, что задача (1)-(3) подставлено корректно[2]. 2. Алгоритм решения.
Вводными данными являются следующее:
1. Постоянные: А, Г, a, b, c, d;
2. Функции f (x, y, t ),<( x, y),^( x, y, t).
3. Nt, Nx, N числа разбиений соответственно по t, x, y .
В программу функции f (x, y, t ),<( x, y),^( x, y, t) вводится с использованием элементарных функций, арифметических операций: + сложение,- вычитание, / деление, * умножение, а также действительных чисел. Число л~3,14 вводится символом pi. В следующем таблице даны элементарные функции и ввод их в программу._
№ Элементарные функции Ввод элементарных функций в программу
1 y=x mod (x)
2 y=[x] butun (x)
3 y={x} kasr(x)
4 y=xn nGN dar (x:n)
5 y= n4x nGN ildiz (x:n)
6 y= sin x sin (x)
7 y= cos x cos (x)
8 y=tg x tg (x)
9 y=ctg x ctg (x)
10 y= sec x sec (x)
11 y=cosec x cosec (x)
12 y= arcsin x arcsin (x)
13 y= arccos x arccos (x)
14 y= arctg x arctg (x)
15 y= arcctg x arcctg (x)
16 y= ax kurs (a:x)
17 y= ln x ln (x)
18 y= lg x lg (x)
19 y= log x log (x)
20 y= sh x sh (x)
21 y= th x th (x)
22 y= sch x sch (x)
23 y= ch x ch (x)
24 y= cth x cth (x)
25 y= csch x csch (x)
26 y= arsh x arsh (x)
27 y= arch x arch (x)
28 y= arth x arth (x)
29 y= arcth x arcth (x)
30 У= arcsec x arcsec (x)
31 У= arccsc x arccsc (x)
32 У= ex e (x)
Например функция /(х, у, £) = 3х2 + у2 + е5 вводится в программу в следующем виде ildiz(dar(X:2)+dar(Y:2):3)+e (5*dar(T:3)).
Задачу (1)-(3) решим методом сетка. Разобьём отрезок [0; Т] на равные части точками
Т
£ = пт; п = 0, N ; т = —.
Аналогично разобьём отрезок [а;Ь] на N равные части точками
Ь - а
х = а + ¡к ; 1 = 0, N ; к =
1 х' ' х ' х
N.
и разобьём отрезок [с;й] на N равные части точками
й - с
у, = С+к; y=0, N; ку =■
Ny■
= (х, у, К)- называется узлом сетки. Приближенное значение решения и(х, у, £) в узле •п обозначим символом ип , т.е.
y Ь'
и(х, У,, £п) ~ иП .
¡1
Частные производные аппроксимируем следующим образом:
ди , ч ип1 - и"
(X, У,, = --1 + О(т);
д£ т
д2и и"\\ - 2ип+1 + и"+/; ^ (X, у,, £п+1) = 1-11 '-— + 0(к2); (4)
д2 и <+; - 2ип+1+ип+;
|т( х-, у,, £п+1)=—-+°(ку2).
Используя (4) составим следующую неявную разностную схему для
(3)
п+1 ~п Гип+У - 2ип+1 + ип,+1 ип+1 - 2ип+1 + ип+1 Л
и - и
,_¡¡^ = а
т
1-1, У 1+и + у-1 У 1 +1
V кх к;
+ /(х1, у, , tn+1),
п = 0, N -1, - = 1, N -1,, = 1, N -1.
у
Порядок аппроксимации 0{т + к2 + к2). (5) запищим следующим
виде:
A t n+i AT n+i —T ut-u - 1У Un-i +
h2
h2
У
i - 2 A2t
v h2 - hy,
n-i
u,, -
A T n—i _ A T ,
2 Ui—ij ,2 Uj—i
n—i
h 2
h 2
= t/ (x, У, , tn—i)— u
y
n = 0, N, -1, i = i, Nx -1, j = i, N -1.
Начальное и граничное условие аппроксимируем следующим образом:
u0 = Р(X, Уj X zj = (xi, У, ) е nh,
= р(x, у, , tn—i X =(x, у,) е d^h, (7)
u
0
г
ij n—i
0 < tn—i <rN„ n = 0,Nt - i.
Здесь QA = = (x, y): a < x < b, c < y < d |.
Задача (6)-(7) устойчива (см.[1],стр.181, теорема 2 ).Полученная система линейных уравнений (6) относительно un замкнута вместе (7).
Для системы линейных уравнений (6) выполняется диагональное преобладание [3]. Следовательно систему линейных уравнений (6) можно решить например методом 3ейделя[3].
На основе этого алгоритма создана программа на языке Delphi-7, решающая численно задачу (1)-(3) и рисующая график решения. Созданная программа проверена на основе вычислительных экспериментах.
3. Численные расчеты.
Задача. В области Q = {0 < x < 5, 0 < y < 5,0 < t < 5 } найти u(x,y,t) решение уравнения теплопроводности
du d2u д 2u . — = — — TT - 3 (8)
удовлетворяющее начальное условие
.2 , _ .2
dt dx dy2 альное усло u(x, y,0) = x2 — y2 (9)
и граничные условия
u(0, y, t) = y2 — t, 0 < y < 5,0 < t < 5;
u(5,y,t) = y2 — t — 25, 0 < y < 5,0 < t < 5; u(x,0,t) = x2 — t, 0 < x < 5,0 < t < 5; u(x,5,t) = x2 — t — 25, 0 < x < 5, 0 < t < 5. Точное решение задачи (8)-(i0) u( x, y, t) = x2 — y2 — t Решение.
.(i0)
Ниже приведены численные значения приближенного решения задачи (8)-(10) в узлах и график ее при разбиении N = 10, N = 10, N = 20 и
при Т = 5.
^0,0]=5,00 u[1,0]=5,25u[2,0]=6,00u[3,0]=7,25u[4,0]=9,00u[5,0]=11,25 u[6,0]=14,00u[7,0]=17,25u[8,0]=21,00u[9,0]=25,25u[10,0]=30,00 u[0,1]=5,25u[1,1]=5,50u[2,1]=6,25u[3,1]=7,50 u[4,1]=9,25
u[5,1]=11,50u[6,1]=14,25u[7,1]=17,50u[8,1]=21,25u[9,1]=25,50 u[10,1]=30,25 u[0,2]=6,00u[1,2]=6,25u[2,2]=7,00 u[3,2]=8,25
u[4,2]=10,00u[5,2]=12,25u[6,2]=15,00u[7,2]=18,25 u[8,2]=22,00
u[9,2]=26,25u[10,2]=31,00 u[0,3]=7,25u[1,3]=7,50u[2,3]=8,25
u[3,3]=9,50u[4,3]=11,25u[5,3]=13,50u[6,3]=16,25u[7,3]=19,50 u[8,3]=23,25u[9,3]=27,50u[10,3]=32,25 u[0,4]=9,00 u[1,4]=9,25
u[2,4]=10,00u[3,4]=11,25u[4,4]=13,00u[5,4]=15,25u[6,4]=18,00 u[7,4]=21,25u[8,4]=25,00u[9,4]=29,25u[10,4]=34,00 u[0,5]=11,25
u[1,5]=11,50u[2,5]=12,25u[3,5]=13,50u[4,5]=15,25 u[5,5]=17,50
u[6,5]=20,25u[7,5]=23,50u[8,5]=27,25u[9,5]=31,50u[10,5]=36,25 u[0,6]=14,00u[1,6]=14,25u[2,6]=15,00u[3,6]=16,25u[4,6]=18,00 u[5,6]=20,25u[6,6]=23,00u[7,6]=26,25u[8,6]=30,00 u[9,6]=34,25 u[10,6]=39,00 u[0,7]=17,25u[1,7]=17,50u[2,7]=18,25u[3,7]=19,50
u[4,7]=21,25u[5,7]=23,50u[6,7]=26,25u[7,7]=29,50 u[8,7]=33,25
u[9,7]=37,50u[10,7]=42,25 u[0,8]=21,00u[1,8]=21,25 u[2,8]=22,00 u[3,8]=23,25u[4,8]=25,00u[5,8]=27,25u[6,8]=30,00u[7,8]=33,25 u[8,8]=37,00u[9,8]=41,25u[10,8]=46,00 u[0,9]=25,25u[1,9]=25,50
u[2,9]=26,25u[3,9]=27,50u[4,9]=29,25u[5,9]=31,50 ^6,9]=34,25
u[7,9]=37,50u[8,9]=41,25u[9,9]=45,50u[10,9]=50,25 u[0,10]=30,00
u[1,10]=30,25 u[2,10]=31,00 ^3,10^32,25 u[4,10]=34,00 u[5,10]=36,25 и[6,10]=39,00 и[7,10]=42,25 и[8,10]=46,00 и[9Д0]=50,25 и[10Д0]=55,00
График решения и( х, у, £)
Использованные источники:
1. М.Исроилов. Х,исоблаш методлари. 2-кисм, "Иктисодиёт-Молия" нашриёти, 2008 й. ISBN 978-9943-13-089-0
2.А.Тихонов, А.Самарский. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.
3. М.Исроилов. Х,исоблаш методлари. 1-кисм, Тошкент, У^итувчи, 1988.
