CC BY
15Численное моделирование зарождения магнитных неоднородностей в реальных магнетиках
Екомасов Е. Г.(Екота80уЕС@Ь8и.Ьа8Ье^.ги), Шабалин М. А., Азаматов Ш. А.
Башкирский государственный университет, Россия, 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32
1. Введение
Известно, что в реальных магнетиках к появлению локальных изменений магнитных параметров приводят различного типа структурные и химические неоднородности, а так же локальное воздействие (механическое, тепловое или световое) [1, 2]. Наличие таких неоднородностей (или дефектов) может приводить к образованию различного рода магнитных неоднородностей, которые влияют на процессы перемагничивания образца [3]. Т.к. точный (микроскопический) расчет обычно провести сложно, приходится моделировать функции, описывающие параметры неоднородного материала [4, 5]. Для ферромагнетиков часто применяется аппроксимация дефекта в виде плоского (или пластинчатого) магнитного включения (ПМВ), конечного по толщине [6]. Влияние плоских неоднородностей магнитной анизотропии (ПНМА) на статические и некоторые динамические свойства магнитных неоднородностей изучались как аналитическими (см. напр. [4-10]), так и численными методами [11-14].
В бездефектном магнетике магнитные неоднородности типа 0-градусной ДГ являются метастабильными, т.е. энергетически более невыгодными по сравнению с однородным состоянием вектора намагниченности. Наличие ПНМА, локально уменьшающей энергию анизотропии кристалла, может приводить к энергетической выгодности 0-градусной ДГ. Поведение такой ДГ в магнитном поле [9], качественно соответствует поведению 0-градусной ДГ, введенной в экспериментальной работе [15] для объяснения особенностей спинового эха в магнитном поле. В [16] было показано, что при наличии ПНМА, в которой локально меняется направление легкого намагничивания, при смещении 180-градусной ДГ из-за приложенного внешнего магнитного поля, в области ПМНА может возникать 0-градусная ДГ. Возникновением впереди движущейся 180-градусной ДГ магнитной неоднородности типа 0-градусной ДГ объяснялась и сверхпредельная скорость движения, наблюдаемая в экспериментах по динамике ДГ в ортоферритах [17]. Однако пока не ясен механизм образования магнитной неоднородности типа 0-градусной ДГ.
С другой стороны, учет пространственной зависимости констант магнитной анизотропии приводит к интересной и с математической точки зрения задаче нахождения решения модифицированного уравнения типа sine-Gordon с переменными коэффициентами, имеющей
важное значение для многих областей современной физики [18]. Известно, что в таких системах, кроме обычных возбуждений - спиновых волн, существуют топологические возбуждения, например вихри [19]. Хотя имеется хорошо разработанная теория возмущений для этого уравнения [20], для случая произвольных изменений параметров материала необходимо использовать численные методы.
В статье рассматривается динамика прохождения 180-градусной блоховской ДГ через плоский слой с параметрами магнитной анизотропии, отличными от параметров в основном объеме бесконечного ферромагнетика и условия возбуждения при этом сильно нелинейных волн (солитонов и бризеров). 2. Метод решения и результаты
Рассмотрим бесконечный ферромагнетик, кристаллографические оси которого Ь, с) совпадают с декартовыми осями координат (х, у, z). Геометрия рассматриваемой модели показана на рис.1, (где т -ферромагнитный вектор, величина W характеризует ширину ПНМА, расположенной между точками х^ и Х2; в-угол в плоскости yz между направлением вектора магнитного момента т и осью легкого намагничивания (ось oz)). Учитывая в плотности энергии
т 0/ г
Х1 \л/ х2 X
Рис.1 Геометрия рассматриваемой задачи
магнетика обменное взаимодействие, анизотропию, зеемановскую энергию и затухание, уравнение Ландау-Лифшица, определяющее движение для намагниченности, в угловых переменных т = да(0,^в,мпв) можно представить в обезразмеренном виде [10]:
д 2в
К
дх
„ -в--sin2$ = кsinв + ав
2 2
(1)
( —
где ~ = I / —0 I, ~ = х /—), —0-ширина блоховской ДГ, К = К(х)/К0- некоторая функция,
определяющая распределение константы анизотропии в магнетике, К0 -константа анизотропии в однородном состоянии, с - предельная скорость спиновых волн, к -нормированное внешнее магнитное поле, а-нормированная константа затухания (релаксации). Заметим, что уравнение
типа (1) можно получить и для случая слабых ферромагнетиков и ферритов [17]. ПНМА прямоугольной формы задаем в виде:
~, ч Г1, ~ < ~ > ~2
^Нх- * ~ 2 (2)
[а , Х1 < X < Х2
Для исследования нелинейной динамики ДГ с ПНМА используем численный метод - метод итераций для явной схемы [21]. Построенный алгоритм численного решения уравнения (1) работал следующим образом. В начальный момент времени задавалось начальное распределение
намагниченности в виде блоховской ДГ во(х) = 2аг^(е~) в параллельной плоскости y0z,
граничные условия для которой имеют вид: в(±го) = 0,п; в(±го) = 0. Далее включалось поле. Используя сетку по координате [-К...К], беря в качестве итерационного параметра время и соблюдая условие сходимости явной схемы вычислялось состояние ДГ в следующий момент времени, из которого получали основные характеристики динамической ДГ. ДГ пересекала область ПНМА после выхода на стационарную скорость движения, соответствующую заданному внешнему магнитному полю.
При рассмотрении динамики прохождения ДГ через область ПНМА было обнаружено, что в некоторых случаях (К < 0), в этой области возникают магнитные неоднородности. Причем в зависимости от величины К и Ж (Ж = Ж/80) наблюдались различные сценарии эволюции таких
магнитных неоднородностей. На рисунке 2 приведена типичная динамика прохождения ДГ через область ПНМА и эволюция, возникающей в области ПНМА магнитной неоднородности, для
случая К = -1.5 , Ж = 1.2-т.е. малой площади ПНМА. Видно, что при достаточном приближении
ДГ к области ПНМА ( ? = 204, когда значение угла в в этой области заметно отличается от п), впереди ДГ появляется нуль-градусная ДГ. После прохождения ДГ возникает магнитная неоднородность солитонного вида, амплитуда которой, максимальная в центре ПНМА, колеблется
от в™3* до -в™^, а величина амплитуды сильно зависит от К и Ж (и стремится к нулю при К ^ 0 ). На рисунке 3 приведена зависимость значения угла в центре области ПНМА от времени -
в ) для рассмотренного на рисунке 2 случая. Совпадение полученной численно зависимости в* (~ ) с формулой [22]:
г ^—_ л
в = Аехр(- а(х - ~))с/£ 1 — * sm(a)y(t - ~ - ~х))есй^/л/1 -¿~2 (~ - ))
145 150 155 145 150 155 145 150 155
Рис.2 Зарождение и эволюция магнитной неоднородности типа
145 150 155
покоящийся бризер в области
ПНМА для случаяK = -1.2, W = 1, h = 0.025,а = 10 2.
Рис. 3. Зависимость значения угла намагниченности магнитной неоднородности 6 в центре области ПНМА от времени для случая изображенного на рис.2.
где А = 0.7, а = 10- , со = 0.5, у = 1, V = 0, о = 0, ^ = 212, описывающей решение уравнения
sin-Gordone типа "покоящегося бризера" с учетом затухания, позволяют в дальнейшем считать полученную в данном случае магнитную неоднородность затухающим "покоящимся бризером".
Из рисунка 2 видно, что затухание бризера происходит и вследствии излучения спиновых волн.
*
Однако, полученный из аппроксимации зависимости угла 6 от времени декремент затухания оказался практически равным задаваемому а, т.е. вклад излучения бризера в затухание мал.
На рисунке 4-5 приведены зависимости амплитуды бризера в начальный момент времени
Атях от величины К и Ж, полученные при движении ДГ во внешнем магнитном поле h=0.025.
*
Из рисунков видно, что при уменьшении области ПНМА максимальное значение 6 убывает и стремится к нулю. Зависимость Атях (к) для малых К близка к линейной, а при увеличении К описывается степенной функцией, близкой к квадратичной для рассмотренных небольших ширин Ж области ПНМА. Зависимость Атях (ж) для больших Ж имеет явную тенденцию выхода на стационар.
Рис. 4 Зависимость максимальной амплитуды Рис.5 Зависимость максимальной амплитуды затухающего бризера Атях от глубины затухающего бризера Атях от ширины
области ПНМА К при h=0.025 (1 - Ж = 0.4, области ПНМА Ж при h=0.025 2 - Ж = 0.6,3 - Ж = 0.8,4 - Ж = 1.2,5 - Ж = 1.4) (1 - К = -0.1,2 - К = -0.2,3 - К = -0.3, . 4 - К = -0.5, 5 - К = -0.8).
Такое поведение можно объяснить тем, что в этом случае практически вся магнитная неоднородность сосредоточена внутри области ПНМА и увеличение ее ширины Ж уже не приводит к заметным изменениям начальных параметров бризера.
* ~ ~
На рисунках 6-7 приведена зависимость частоты колебаний угла в для бризера с от К и
Ж, которую можно получить из анализа в ) для разных параметров области ПНМА, вычисленной при h=0.025. Из рисунков видно, что с уменьшением области ПНМА частота
( 2у/2
колебаний стремится к единице. Известно [22], что энергия решения типа бризера Е ~ 11 - со I , откуда следует, что с уменьшением области ПНМА энергия (как и амплитуда) полученного нами бризера стремится к нулю. Зависимость ~ от К и Ж можно приближенно описать формулой ~ = 1 - а£п , где п близка к 2 для £ = Ж и п близка к 0.5 для £ = К .
Сравнение показывает сильное отличие от ранее полученных зависимостей для частот трансляционной с~т и пульсационной а ц мод колебаний ДГ [23]. Например, с~т и с~П стремятся к нулю, в случае стремления площади НКМА к нулю.
При увеличении области ПНМА, до определенного значения, эволюция зарождающегося после прохождения ДГ "покоящегося бризера" меняется. Из рисунка 8 видно, что начиная с I = 320, колебания продолжаются только в области положительных значения в. Отметим, что частота колебаний, нуль-градусной ДГ, в которую преобразуется бризер, существенно больше
бризерной (рис.8). Заметим, что при изменении переменных K и W нуль-градусная ДГ может зарождаться и в области отрицательных значений угла в.
При дальнейшем увеличении области ПНМА после прохождения ДГ, сразу появляется колеблющаяся нуль-градусная ДГ (рис.9). На рисунке 10 представлена зависимость амплитуды A
статической нуль-градусной ДГ от ширины области ПНМА W, полученной численно и определенная в экспериментальной работе [15] для иттриевого ортоферрита. Из рисунка 10 видно, что имеется качественное совпадение экспериментальных и вычисленных амплитуд нуль-градусной ДГ, а вычисленную зависимость можно приближенно описать формулой
cos A = 1.8/KW .
1
Я 0.8 4 i ! : *
0.6 4 I ж а А * Ш ■ *
0.4 А т ■ -2
0.2 т t »4
W
Рис. 6 Зависимость частоты колебаний бризера со Рис.7 Зависимость частоты колебаний
от глубины области ПНМА К при Ь=0.025 затухающего бризера ё от ширины °бласти
(1 - Ж = 0.4,2 - Ж = 0.6,3 - Ж = 0.8,4 - Ж = 1.2, ПНМА Ж при Ь=0.025 (1 - К = -0.1,
5 - Ж = 1.4). 2 - К = -0.3, 3 - К = -0.5, 4 - К = -0.8).
Рис.
315 3S5
Зависимость
значения угла Рис. 9. Зависимость значения угла
намагниченности
магнитной
намагниченности магнитной неоднородности в в
*
центре области ПНМА от времени (бризер, неоднородности в в центре области ПНМА переходящий в нуль-градусную ДГ) К = -1.5, от времени (нуль-градусная ДГ) К = -2.4,
Ж = 1.2, к = 0.025. Ж = 1.2, к = 0.025.
На рисунке 11 приведена область параметров определяющих существование каждого из рассматриваемых сценариев эволюции магнитной неоднородности и приведено сравнение с аналитическим выражением, полученным в экспериментальной работе [15] из феноменологических соображений.
Рис.
10
Зависимость амплитуды A Рис. 11 Область параметров, определяющих
стабилизированной нуль-градусной ДГ от существование бризера (1), 0-градусной ДГ (2),
ширины области ПНМА W при K = -1.8: 1- аналитическое решение для нуль-градусн°й ДГ
численно решение, 2-аналитическое выражение KW = 2 [15] (3). cos A = 2/KW [15].
Заключение
Выявлены три сценария зарождения и эволюции магнитных неоднородностей после прохождения ДГ через плоский слой с параметрами магнитной анизотропии, отличными от параметров в основном объеме бесконечного ферромагнетика. Для первой из магнитных неоднородностей типа "затухающего бризера" построена зависимость максимальной амплитуды и частоты колебаний магнитной неоднородности в центре области ПНМА. Определен декремент затухания бризера и показано, что в данном приближении, вклад излучения бризера в затухание мал. Для второй из них-"затухающий бризер", переходящий в нуль-градусную ДГ найдено что частота колебаний, нуль-градусной ДГ, в которую преобразуется бризер, существенно больше бризерной. Причем в зависимости от значений К и Ж нуль-градусная ДГ может зарождаться как в области положительных, так и отрицательных значений угла в. Для третьей из них - нуль-градусной ДГ, вычислена амплитуда такой магнитной неоднородности, качественно совпадающая с известным аналитическим выражением. Литература
1. Вансовский С.В. Магнетизм.-М.: Наука, 1971.-1032 с.
2. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны.-М.: Наука, 1987.-272 с.
3. Hubert A., Schafer R. Magnetic domains// Springer-Verlag.-1998..-Berlin,Hedelberg.- 696 p.
4. Мицек А.И., Семянников С.С. ФТТ. - 1969. - Т.11. - Вып.5. - с. 1103-1113.
5. Филиппов Б.Н., Танкеев А.П., Лебедев Ю.Г., Раевский Е.И. ФММ, 1987, 49, вып. 3, с. 518531.
6. Крюков И.И., Мысовская Л.Н., Сахаев К С. ФММ. - 1990. - №10. - с. 37-45
7. Кабыченков А.Ф., Шавров В.Г. ФТТ.-1987.-т.29.-вып.1.-с.202-203.
8. Шамсутдинов М.А., Филиппов Б.Н. ФММ.-1991.-№8.-с.87-96.
9. Шамсутдинов М.А., Веселаго В.Г., Фарзтдинов М.М., Екомасов Е.Г., ФТТ.-1990.-т.32.-№ 2.- с.497-502.
10. Paul D.I. J.Phys.C: Solid State Phys.-1979.-vol.12.-p.585-593.
11. Дьячук П.П., Лариков Е.В. ФТТ.-1995.-т.37.-№12.-с.3735-3737.
12. Плавский В.В., Шамсутдинов М.А., Екомасов Е.Г., Давлетбаев А.Г. ФММ.-1993.-т.75.-вып.6.-с.26-33.
13. Paul D.I. Phyz.Rev.Lett.-1982.-v. 53.-№ 3.-p.1649-1654.
14. Badescu S.C., Badescu V., Rezlescu N., Baduscu R. JMMM.-1999.-v.193.-p.132-135.
15. Балбашов А.М., Залесский А.В., Кривенко В.Г., Синицын Е.В. Письма в ЖТФ.-1988.-т.14.-вып.4.-с.293-297.
16. Веселаго В.Г., Владимиров И.В., Дорошенко Р.А., Плавский В.В. Изменение структуры доменных границ и однородности намагниченности на неоднородностях магнитной анизотропии // Препринт № 53. - Т-02948 - М.: ИОФ АН СССР. - 1989. - 34 с.
17. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Четкин М.В. УФН.-1985.-т.146.-вып.3.-с.417-458.
18. Kivshar Y.S., Pelinovsky D.E., Cretegny T., Peyrard M. Phys. Rev. Lett.- 1998.- V.80.- №23.-p.5032 - 5035.
19. Косевич А.М., Иванов Б. А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка.-1988.-192 с.
20. Fogel M.B., Trullinger S.E., Bishop A.R., Krumhandl J.A. Phys.Rev.B.-1976.-vol.15.-№3.-p.1578-1592.
21. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Наука. 1987.-600с.
22. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.- М.-Мир.-1988.-694 с.
23. Азаматов Ш.А., Бухарметов А.Ф., Екомасов Е.Г., Шабалин М.А. Сборник трудов XIX международного школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники".-Москва.- Июнь.- 2004.-c.807-809.
