ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОЕДИНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ПАРАЛИПИПЕДА И ЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

А бдураимов Д. Э. старший преподаватель кафедра прикладной математики и информационных технологий

Гулистанский государственный университет

Узбекистан

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОЕДИНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ПАРАЛИПИПЕДА И ЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Аннотация. Исследование процессов деформирования конструкций и их элементов с одновременным учетом тепловых и механических факторов играет важную роль во многих прикладных задачах науки и техники, связанных с нагреванием различных частей исследуемого объекта. Эти процессы обычно, удобно сформулировать в виде связанных или несвязанных термоупругих и термопластических краевых задач. Несвязанные задачи термоупругости и термопластичности и их численные методы решения достаточно хорошо изучены в литературе [2,3,5,6,7].

Ключевые слова: состав, конструкция, термоупругость, теплопроводность, деформация, математическая модель, динамика, тензор.

Abduraimov D.E. senior lecturer

Department of Applied mathematics and information technology

Gulistan State University Uzbekistan

NUMERICAL SIMULATION OF THE PROBLEM OF THERMOELASTIC JOINT OF AN ISOTROPIC PARALIPIPED AND

ITS SOFTWARE

Abstract. The study of the processes of deformation of structures and their elements with simultaneous consideration of thermal and mechanical factors plays an important role in many applied problems of science and technology related to the heating of various parts of the object under study. It is usually convenient to formulate these processes in the form of coupled or uncoupled thermoelastic and thermoplastic boundary value problems. Unrelated problems of thermoelasticity and thermoplasticity and their numerical methods for solving them are quite well studied in the literature [2,3,5,6,7].

Keywords: Composition, construction, thermoelastic, thermal conductivity, deformation, mathematical model, dynamic, tensor.

Связанные задачи термоупругости и термопластичности являются важным и бурно развивающимся направлением механики деформируемого твердого тела. В общем случае связанная краевая задача состоит из уравнения движения твердого тела рассматривающегося в сочетании с уравнением притока тепла. Необходимо заметить, что система дифференциальных уравнений в частных производных, состоящая из трех уравнений движения и одного уравнения притока тепла, зависящих от трех компонентов перемещения и температуры, относятся, соответственно, гиперболическому и параболическому типу. В общем случае система уравнений является нелинейной и сложной исследований. Даже, а одномерном случае связанная термоупругая задача не поддается аналитическому решению, кроме некоторых обособленных частных случаев [1].

Предлагаемая статья посвящена численному решению трехмерной динамической связанной задачи термоупругости для изотропного параллелепипеда. На основе метода конечных разностей выписаны явные и неявные сеточные уравнения. Для решения неявных сеточных уравнений применяется метод прогонки. На основе двух численных методов построены графики, характеризующие изменение перемещений и температуры относительно времени и координатным осям. Сравнения показывают, что численные результаты связанной термоупругой задачи, поученные на основе явных и неявных схем достаточно близки.

1. Постановка задачи связанной задачи термоупругости для изотропных тел.

Рассмотрим связанную динамическую задачу термоупругости для изотропных материалов.

Она состоит из уравнения движения

+ Xi =Ри: (1)

соотношения Дюамеля-Неймана между напряжениями и деформациями для изотропных материалов [2]

а1] = + -а(ЗЛ + 2^)(Т-Т0)д1] (2)

соотношения Коши

¿у =1 к} + и},/ )(3)

уравнение притока тепла [2]

¿Ту -СЕТ Т0'ФЛ + 2М)-¿у = 0 (4)

с начальными

Ч=;0 , Ч=;0 , Т1=*о = То(5)

и краевыми условиями

ы:

= ы° Т 2 = Т0,

11

= *°(6)

^2

где ^ - тензор напряжений, £ - тензор деформаций, ы1 -

перемещения, Т - температура, Хг - объёмные силы, к, л- постоянные

Ламе, с£- теплоемкость при постоянной температуре, в-шаровая часть тензора деформаций, а - коэффициент теплового расширения, к0 -коэффициент теплового потока, р - плотность, 8 - символ Кронекера.

Соотношения (1)-(3) и (4) можно переписать, соответственно в виде уравнения движения

+ 2//)^2ы+//2ы + д+ ^д2у + дау^Т — р^2ы

дл2 ду2 дг2 длду длдг дл д2

,д2у | д| ^ | ^ д 2у | ^ | ^ д2ы | д 2^ ^^дТ - р д2у "дл2 дг2 8у 2 длду дудг ду д£2

,д2^ д, „ д2ы д 2у . , „ „ чд дТ д2w

лЬгг + -^гт) + (к + л)(-Т-Т- + -Т-Т-) + (к + 2 л)—— -ау— = р-

дл ду длдг дудг дг дг & (у)

и уравнения притока тепла относительно перемещений и температуры

2Т д 2Т д Т дТ гг/д2ы 82у д2 ^ л

к)(—Г + —Г +—Г) - С--ауТ0(-+-+-) = О

дл ду дг д^ длд( дуд1 дгд1 (8)

2. Конечно-разностные уравнения и методы решения.

Заменяя производные в уравнениях (7) и (8) разностными отношениями, получим

/1 о \Ы'+1, 1,к - 2Ыпу ,к + Ып-1, ] ,к / Ы ¡,1+1,к - 2ЫП/,к + Ып1-1,к Ыпу ,к+1 - 2ЫП/ ,к + Ыпу ,к-1 ч

(к + 2л)-]--— + Л(—-Т2-]-+ —1-ту-]-) +

« п2 «

п п п п п п п п

+ (к + л)(-—--1--—-)

4\к2 4\к

(9)

'3

Т" , - Т" ып+1 - 2ы" + ып-1 1+1,1 ,к 1-1,1,к 1,1 ,к 1,1 ,к 1,1 ,к ау—1-^ = р—1-1-

2« г2

17И — ?17И -I- 17И 17И — ?17И -I- 17И 17И — Олу" А- V"

Ч 7 +1, к 2Ч у, к + Ч 7-1, к , +1,7, к 2Ч у ,к + V1, у, к , к+1 2Vi,j, к + у,к-1 ч (к + 2Л)-^^- + Л(-%- + -%-} +

" " " " " " " "

{л + иг+1,7+1,к - иг-1,7+1,к - иг+1,у-1,к + иг-1,у-1,к | у+1,к+1 - у-1,к+1 - у+1,к-1 + у-1,к-1

" " "+1 " " 1

тг, у+1,к тг, у-1,к ^г, у,к у,к + ^г, у,к ау—^—,-^^—^ = р —7-у-^^

2Н2 г

(10)

п /-ч п , п п /-ч п , п п /-ч п , п

(Л + 2м) к+1 - 2м;1к + ми,к-1 | ^ м;+и,к - 2м^к + м;-1,л к | ,У+1,к - 2wi, Лк + , 1 -1,к) +

й32 й2 Ь^

П П П I 1 п н " .

+ (А + /¿у",+1,1, к+1 - и,-1,1,к+1 - и,+1,1, к-1 + -1,1, к-1 + 1+1, к+1 - ,1 -1, к+1 ~ ^ 1+1,к-1 + '•]-1,к-1 4

(11)

4й1й3 4\Ь2

+1 - -1 <+1к - Ъм" 1 к + <

осу—----= р—--г--—

2Ь3 т

ГТ1 П Г\ГТ1Г1 . ГТ1 П ГТ1П гугт!Г1 . гт1 П гт1 П гугт! Ц , л/' П

- А ' + 1,1 ,к - 21 ', 1 ,к + 1 '-1,1 ,к 1 ',1 + 1,к - 21 ', 1 ,к + 1 ', 1 -1,к Т ', 1 ,к+1 - 21 ', 1 ,к + Т ', 1,к-1 ч

Л(-Ь2-+-¡¡2-+-¡¡ь-}

ГТ1 п+1 У^п п + 1 п+1 п-1 . п-1

Т;, 1 ,к - Т;, 1 ,к гт ,и;+1,1 ,к - и;-1,1 ,к - и;+1,1 ,к + и;-1,1 ,к ,

- ---ОУТ (- - - - +

т 4Ь1т

и+1 и+1 и-1 , и-1 л,,п+1 л,,п+1 ,,«-!

, 1+1,к- у',1 -1,к- У',1+1,к + , 1 -1,к | м',1,к+1- м', 1 ,к-1- м', 1 ,к+1 + , 1 ,к-1 4Ь2т 4Ь3т

(12)Решая разностные уравнения (9),(10),(11) и (12) относительно и"+1, V Щ +1 и Т"Ц соответственно, получаем

п+1

2

= т (( Д + 2^) -1-,-11* + --+ --) +

р Ь ¡2 Ь,

У1 П П П У1 У1 п п

.(<■,. \/+1,1+1,к - -1,1+1,к - +1,1 -1,к + -1,1 -1,к , +1,1 ,к+1 - -1,1,к+1 - +1,1 ,к-1 + -1,1 ,к-1 ч + + -—-+-—-)

4ЬЬ 4ЬЬ

ггт гут

-оу )+2и;: 1,к - и,-;: 1к

(13)

п+1 т" ^ о , о ч 1+1,к - 2У;, 1 ,к + у;, 1 -1,к +1,1 ,к - 2У;, 1 ,к + -1,1,к , у;, 1 ,к+1 - 2У;, 1 ,к + у;, 1,к-к ,

у;,+,к = — (( Д + -Т2-1-+ -1-Т2-+ -Т2-1-) +

р п2 Ь Ь,

/7 /7 77 /7 , ,, /7

+ (Л + /¿Xи,+1,1+1,к - и;-1,1+1,к - и;+1,1 -1,к + и;-1,1 -1,к +

-и;+1,1+1,к и;-1,1+1,к и;+1,1 -1,к + и;-1,1 -1,к Щ;, 1+1,к+1 Щ;, 1 -1,к+1 Щ;, 1+1,к-1 + Щ;, 1 -1,к-1

4ЬЬ 4Ь2Ь

гт^П грп

1 ^ м ^ - 1

;, 1+1,к ;, ]-1,к \ , о п п-1

- ^ -) + 2^,у, к - ^;,1,к

2Ь2

(14)

, т2 - 2м" + м" м" .+ м" м" , - 2м" +

-.«.п+1 // ^ , Л ;, 1,к+1 ;, 1,к ;, 1 ,к-1 . , / ;+1,1,к ;, 7,к ;-1,1,к . ;, 1 + 1,к ;, т,к ;, 1 -1,к ч .

мг +к =—((Д + 2М)—--Г2-1-+ М-1-ТГ- + —-72--) +

, р п3 Ь Ь2

п п п п п п п п

+ + /и^ и;+1,1,к+1 - -1,1,к+1 - и'+1,1,к-1 + и'-1,1,к-1 | У;, 1+1,к+1 - У;, 1 -1,к+1 - У;, 1+1,к-1 + 1-1,к-1 ^

4\къ 4\к2

пп

;, 1 ,к+1 ;, 1 ,к -1 \ г\ п п-1

■ «г-2-^1-) + 2м;,1,к- ^^

3

(15)

гр" ОТ7" _1_ Т7" Т7" ОТ7" _1_ Т7" Т7" ОТ7" _1_ Т7"

"+1 _ +1,у, к - 2Тг, у,к + 1,у, к тг, у+1,к -21г,у,к + тг,у-1, к тг, у, к+1 - 2Тг,у, к + тг,у,к-1 -

, у,к = (к0( 72 1 72 1 72 -

7 С£ Н Н2 Н3

"+1 "+1 " 1 " 1 "+1 "+1 " 1 " 1 гр (иг+1,у,к - иг-1,у,к - иг+1,у,к + иг-1,у,к "г,у+1,к - ч,у-1,к - "г,у+1,к + "г,у-1,к

ау 0( м + м

4цт 4п2 г

"+1 "+1 " 1 " 1 , 7,к+1 - 1 - ^,у,к+1 + ^,у,к-1 лл , Т"

+ 4Н г ^

(16)

Уравнения (13)-(16) позволяют найти значения перемещений и температуры на слое (п+1) если известны значения перемещений на двух предыдущих слоях. Значения перемещений на двух начальных слоях (п=0, п=1) можно найти из начальных условий

ы) /к =ф1(лг , у! , гк V0 1,к =ф2(лг , у! , гк /,к = рз(л , у/, гк )> = Т0 07)

о,у ,к " У1V-*И-У/^к)? у0,],к - Г2\ЛпУ/^к)? у%у,к - Г3\ЛпУ/^к)? 1 ¿,у,к

Уравнение (13) при п=0 принимает вид

„1 . А иг+1,ук - 2иоук + иг-1,у,к , . ,гиг,У+1,к - 2иоу,к + иг,у-1,к , иг,у,к+1 - 2и0у,к + иоу,к-1 ч./о.-.ч иг у к =-((к + 2Л)-71-+ Л(-71-+-71-) + (к + Л) '

р н Н н

✓ 7+1,к 7+1,к 7-1,к + у-1,к у,к+1 у,к+1 ^+1,у,к-1 + у,к-1 ч у,к у,к ч 0 0 -1

( 4НН + )-ау 2Н ) + 2и7 ^

(18)

Заменяя в начальном условии ы= = Уо производную разностным

ы1,.,, - ы 1

отношением получим ^- 0,ук =^1(л!,у/,гк) или ы^/к = 2/W(Xl,у/,гк) + ы/ (19) Исключив из уравнений (18),(19) значения ы-п, получим

„1 Г /уо.о ,лы)+1,/,к -2ы0/,к + ы01,У,к , ,,гы),у+1,к - 2ы),у,к + ы),у-1,к , ы0у ,к+1-2ы),у,к + ы0/,к-1Л , ыо, /,к = 77" ((к + 2л.)-71-+ л(-71-+-71-) +

2р «2 й22 Щ

уУ)+1,/-+1,к - У)-1,у-+1,к - У0+1,у/-1,к + У)-1,у-1,к ^0+1,у,к+1 - ^0-1,у,к+1 - у,к-1 + ^0-1,у,к-1ч

Г.0 — Г.0

- аУ i+1,y•, 2- ^ ) + ы!,/ к + Щ (л', у/, гк )

(20)

Аналогичным способом находится значения функций V и w на первом слое. Значения температуры Т на первом слое можно найти заменяя в (16) смешанные производные другими разностными отношениями

гр0 ОТ'О 7^0 гр0 ОТ'О 7^0 т^О ОТ'О т^О

Т1 г м / ' г+1,у,к - 2Т г,у,к +1 г-1,у,к , 1 г,у+1,к - 2Т г,у,к +1 г,у-1,к , 1 г,у,к+1 - 2Т г,у,к +1 г,у,к-1 ч т

ту = ^ (к°(-Н2-+-Н2-+-^-}-ау?0'

и^ ., -и1,., -и ° ., + и0, ., , -у^ , , + ^^ + ,

^ г+1,у,к г-1,7,к г+1,у,к г- 1,у,к ^ г,7+1,к - 1,к г,7+1,к г,7-1,к ^ г,7,к+1 г,у,к-1 г,7,к+1 г,у,к-.1 ^^ ^ утО

2Нг 2Нг 2Нг

(21)

На последующих слоях п = 2,3,... значения перемещений и температуры находятся соответственно из уравнений (13)-(15) и (16).

В рассмотренном методе была использована явная разностная схема. Если, в первых слагаемых уравнений (9-12) верхний индекс п заменить на п+1 сеточные уравнения становятся неявными и удобны для применения метода прогонки[4] соответственно по ии Т. Значения перемещений и температуры на двух первоначальных слоях находятся из начальных и краевых условий.

З.Тестовая задача. В качестве примера решалась связанная задача термоупругости (1-6) явным методом(методом сеток) и методом прогонки, при следующих начальных и граничных условиях: и(х,у, z, г} = 0 ,

А^у^А^=^ Ах,у,2,*Х=0=0Т(х,у,2,*\=0 = To, u(x,y,=0, Л^У^Аг=

м{х y, z, г )| Г = 0 , т{х, y, ^ г \ х=0 = Т0 + Т0МлуО'))^л2(к)) ,

т(x, y, z, г 1 х=1 = т0 + Tosin( луО')) sin( шО^)

т(x,y,z,г|у=0 = т0, т(x,^z,гЦ = т0, т(х,у,z,4=0 = Т0, т(x,^z,г= Т0

при следующих константах Л =0.6, Я = 0.9, ^ = 0.5, а = 0.05, Се = 3.5, Т =10,\ =0.1, к2 =0.1, \ =0.1, т = 0.01, р = 1, =1, Л =0.6

Распределение перемещения по Распределение перемещения по оси времени (и(х,у,^) по t(k)) при x=0.2; OY М^У^О по у(1)) при x=0.2; У=0.3; z=0.3 z=0.3; 1^0.1

Распределение перемещения по оси Распределение перемещения по

02 (у(х,у^Д) по z(k)) при х=0.2; времени (v(x,y,z,t) по ^к)) при У=0.1; 1^0.08 х=0.1; у=0.2; z=0.5

4.Заключение.На рисунках показаны распределение перемещений по различным сечения параллелепипеда относительно координатным осям и

времени. Сравнения численных результатов, полученных по рассмотренным двум методам, показывают, что они достаточны близки.

Использованные источники:

1. Khaldjigitov, A. A., Yusupov, Y. S., Rasedee, A. F. N., & Long, N. N. (2019, April). Mathematical modeling and simulation of the coupled strain space thermoplasticity problems. In Journal of physics: Conference series (Vol. 1212, No. 1, p. 012023). IOP Publishing.

2. Khaldjigitov, A. A., Nik Long, N. M. A., Qalandarov, A., & Eshkuvatov, Z. K. (2014). Mathematical and numerical modelling of the thermoplastic coupled problem. In International Conference on Mathematical Sciences and Statistics 2013: Selected Papers (pp. 69-75). Springer Singapore.

3. Каландаров А.А., Адамбаев У., Худазаров Р.С. Связанные и несвязанные задачи термо-упруго-пластичности // Вестник НУУз, мех-мат серия.-2010.-№3.-С.92-95.

4. Khaldjigitov, A. A., Babajanov, M. R., Kalandarov, А. A., & Khudazarov, R.

5. (2020). Coupled dynamic thermoplasticity problem for transversely isotropic parallelepiped. International Journal, 8(7), 3958-3964.

5. Халджигитов, А. А., Каландаров, А. А., & Абдураимов, Д. Э. (2020). Численное решение динамической краевой задачи теории упругости для ортотропных тел. Инновацион ва замонавий ахборот технологияларини таълим, фан ва бошкарув сох,аларида куллаш истикболлари халкаро конференцияси материаллари, 548-551.

6. Абдураимов, Д. Э. У., Норматова, М. Н., & Монасипова, Р. Ф. (2021). ЛИБМАН ТИПИДАГИ ИТЕРАЦИН УСУЛНИ ЭЛАСТИКЛИК НАЗАРИЯСИ МАСАЛАСИГА КУЛЛАШНИНГ МАТЕМАТИК МОДЕЛИ. Science and Education, 2(1), 15-20.

7. Abduraimov, D. (2022). TRANSVERSAL ISOTROPIC BODY FOR TWO-DIMENSIONAL THERMOELASTICS RELATED TO THE EXAMPLE OF THE MATHEMATICAL MODEL AND ITS INSTRUCTIONS. CENTRAL ASIAN JOURNAL OF EDUCATION AND COMPUTER SCIENCES (CAJECS), 1(6), 6-11.