РЕШЕНИЕ СВЯЗАННОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЖЕСТКОЗАКРЕПЛЕННОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25, № 2. С. 320-342 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https : //doi

УДК 539.3

Решение связанной нестационарной задачи термоупругости для жесткозакрепленной многослойной круглой пластинв1 методом конечнв1х интегралвнв1х преобразований

© Д. А. Шляхин, Ж. М. Кусаева

Самарский государственный технический университет,

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Аннотация

Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи для жесткозакрепленной круглой многослойной пластины в случае изменения температуры на ее верхней лицевой поверхности (граничные условия 1-го рода) и учета конвекционного теплообмена нижней лицевой поверхности с окружающей средой (граничные условия 3-го рода).

Математическая формулировка рассматриваемой задачи включает линейные уравнения равновесия и теплопроводности (классическая теория) в пространственной постановке в предположении, что при анализе работы исследуемой конструкции можно пренебречь ее инерционными характеристиками. При этом используется полуобратный метод решения, связанный с заданием на цилиндрической поверхности конструкции касательных напряжений, которые позволяют с заданной точностью удовлетворить условия жесткого закрепления пластины.

При построении общего решения нестационарной задачи, описываемой системой линейных связанных несамосопряженных уравнений в частных производных, используется математический аппарат разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований Фурье— Бесселя и обобщенного бпортогонального преобразования. Особенностью данного решения является применение конечного интегрального преобразования, основанного на многокомпонентном соотношении собственных вектор-функций двух однородных краевых задач с выделением сопряженного оператора, позволяющего осуществить решение несамосопряженных линейных задач математической физики. Данное преобразование является наиболее эффективным методом исследования подобных краевых задач.

Научная статья

@® Контент публикуется на. условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https : //creativecommons. org/licenses/by/4. 0/deed.ru)

Образец для цитирования

III л я хи н Д. А., Кусаева Ж. М. Решение связанной нестационарной задачи термоупругости для жесткозакрепленной многослойной круглой пластины методом конечных интегральных преобразований // Вестн. Са.м. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, № 2. С. 320-342. https://doi.org/10.14498/vsgtul797. Сведения об авторах

Дмитрий Аверкиевич Шляхин1 https://orcid.org/0000-0003-0926-7388 доктор технических наук; заведующий кафедрой; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов; e-mail: d-612-mit2OO90yandex.ru Жанслу Маратовна. Кусаева A https: //orcid. org/0000- 0001-7028-0130 аспирант; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов; e-mail: dauletmuratovaSmail. ru

320

(б) Самарский государственный технический университет

Построенные расчетные соотношения дают возможность определить напряженно-деформированное состояние и характер распределения температурного поля в жесткозакрепленной круглой многослойной пластине при произвольном по времени и радиальной координате внешнем температурном воздействии. Кроме того, численные результаты расчета позволяют проанализировать эффект связанности термоупругих полей, который приводит к существенному увеличению нормальных напряжений по сравнению с решением аналогичных задач в несвязанной постановке.

Ключевые слова: круглая многослойная пластина, классическая теория термоупругости, нестационарное температурное воздействие, биор-тогональные конечные интегральные преобразования.

Получение: 15 июля 2020 г. / Исправление: 26 апреля 2021 г. / Принятие: 11 мая 2021 г. / Публикация онлайн: 18 июня 2021 г.

Введение. Неравномерное нестационарное температурное воздействие на конструкцию приводит к образованию тепловых деформаций и напряжений, которые необходимо учитывать при определении прочностных характеристик упругих систем [1—3]. Для описания их работы формулируются начально-кра-евые задачи термоупругости в линейной постановке, математическая формулировка которых включает связанные несамосопряженные дифференциальные уравнения движения и теплопроводности в частных производных.

Проблема интегрирования исходных расчетных соотношений при построении замкнутого решения приводит к необходимости введения ряда допущений. В результате их использования исследуется только уравнение теплопроводности без учета деформирования упругой системы [4—8] или решается несвязанная задача термоупругости для тонкостенных [9—13] и бесконечно длинных тел [14—18].

Использование системы несамосопряженных дифференциальных уравнений, которые формируются в классической (СТЕ) [8] и гиперболической (LS, GHII, GHIII) [19-21] теориях термоупругости, позволило построить связанные замкнутые решения динамических задач в немногих работах. Здесь необходимо отметить статьи, посвященные исследованию гармонических волн и анализу частотного уравнения в бесконечном цилиндрическом волноводе [21] и длинной пластине [20]. В работах [22,23] при использовании классической (СТЕ) теории для бесконечного цилиндра построено нестационарное решение, позволяющее удовлетворить граничные условия первого, второго и третьего рода, а в [24,25] получены результаты для цилиндра конечных размеров с мембранным закреплением его торцов. Из последних работ следует отметить статью [26], посвященную анализу работы жесткозакрепленной пластины при внешнем нестационарном температурном воздействии на ее лицевых поверхностях (граничные условия 1-го рода).

Задача термоупругости становится более сложной при исследовании многослойных конструкций. В данных работах, как правило, рассматривается бесконечно длинный цилиндр. Так, в [27, 28] при действии на конструкцию нестационарной тепловой и механических нагрузок использовалось преобразование Лапласа по времени с численной реализацией расчетных соотношений в области изображений функций.

В настоящей работе объектом исследования является многослойная жест-козакрепленная круглая пластина в случае нестационарного осесимметрич-ного температурного воздействия на ее верхней лицевой поверхности (граничные условия 1-го рода). При этом в исходных расчетных соотношениях не учитываются инерционные характеристики упругой системы, что допустимо при исследовании пластин, для которых выполняется условие 1г*/Ь < 0.01 (/?*, Ь — толщина и радиус пластины) [29]. Новое замкнутое решение связанной осесимметричной нестационарной задачи термоупругости строится при использовании метода неполного разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований.

1. Постановка задачи. Пусть круглая многослойная жесткозакреплен-ная пластина занимает в цилиндрической системе координат (г*,0,г*) область О: {0 < < 0 <> 27г,0 ^ ^ /г*}. Рассматривается случай изменения температуры (г*., на ее верхней (г* = 0) лицевой поверхности при заданной температуре внешней среды ф* на нижней (г* = /г*) плоскости (звездочкой отмечены размерные величины). Расчетная схема представлена на рис. 1.

Разрешающая система дифференциальных осесимметричных уравнений равновесия и теплопроводности классической (СТЕ) теории термоупругости у-го слоя изотропной среды, а также краевые условия рассматриваемой задачи в безразмерной форме имеют вид [8,9]:

д_ dr

АЛ

д2и

M

ОТ

dz2

,j)T7dW , a2w

dz2

drdz dz

"I ^ + -HIT + «?'- V- = 0,

,U)dT

dz

dr

дТ д2Т (1)дТ (i) д / тт dW\

дг ' dz2

дТ

дг дТ

г = 1 :

г= 1

0 :

г = 0 : —

or г=О

dt

= 0, dW

dz

U\ ч

\Г=1 \Г=1

0;

z=0

dr = 0,

= 0, U\ n = 0;

r=0 lr=0

dW <)V . dr dz J z=o

z = hi, hi Ф h>2, ...,h- hm : {U, W, T} \_2 = [U, W, T}\+z,

(1)

(2) (3)

= 0, TL 0 = ол; (4)

hi

Рис. 1. Расчетная схема [Calculation scheme]

r*

9л -г 9л +2

дг ° .1 -

дг дг -

= а

О)

(Ж + Ш Эг дг

и) 45)

л = /г

г=1г

Лз+1)

О,

9л

— а

а+1)

г

+2

дШ ди

дг дг -

дг

г=/1

¿ = 0: и1=о = \¥1=п = Т1=п = 0,

4=0

14=0

з = 1,2, (5)

х=п

= а{Т-Щ] (6)

(Г)

где

t -

м

к« б2

1 - 2г/0) 2(1 -г>^У

М)

1

АЛ

7(Л т0

йо =

5 АО) Еи+г)(1+уи)у ЁЩГ+Ф+1))'

Лз)

2(l-vЩ, г,и)

М

«Иг О') =

9

7

и+1)

м

7

и) _.

Еи)

(1 - 2гДЛ)

а

(Л

0>а =

ки) =

1 - уО)

1 - 1Аз)) '

^ д 1 У = —+ -;

дг г

7

и)

АШ

„У) '

Т0(гг*, £*) —компоненты вектора перемещений, температура и абсолютная температура начального недефор-мнрованного состояния тела в размерной форме; — время в размерной форме; , —модуль упругости и коэффициент Пуассона изотропного материала ]-то слоя; — коэффициенты теплопроводности, линейного теплового расширения и объемная теплоемкость материала у-го слоя; а — коэффициент теплоотдачи.

Условия (2) определяют жесткое закрепление и теплоизоляцию цилиндрической поверхности пластины, а равенства (3) — осевую симметрию решения. Первые условия (4), (6) учитывают отсутствие нормальных и касательных напряжений на ее лицевых поверхностях, а последние — соответственно, действие температурной нагрузки (граничные условия 1-го рода) и конвекционный теплообмен лицевой поверхности с окружающей средой (граничные условия 3-го рода). Соотношения (5) являются условиями совместности перемещений, температуры, напряжений и идеального теплового контакта (граничные условия 4-го рода) на поверхности жесткого соединения слоев.

2. Построение общего решения. Начально-краевая задачя (1)—(7) решается путем последовательного использования конечного интегрального преобразования Фурье—Бесселя [30] по переменной г и обобщенного конечного

биортогонального преобразования [31] по координате г. При этом для определенности решения ниже рассматривается двухслойная пластина (та = 2).

Принимая во внимание, что преобразование Фурье—Бесселя позволяет исследовать задачи со смешанными однородными граничными условиями [30], заменяем последнее равенство (2) на условие наличия касательных напряжений при г = 1:

EU)

\r=l

2(1 ,+ tfü))

dW dU-dr dz -

r= 1

= Pi(z,t)

(i

и вводим новую функцию го (r, z,t), связанную с W(r,z,t) соотношением

1 + V{j) о

W(r, z, t) = ~^rr2P1(z, t) + W\(t) + w(r, z, t).

(9)

Выражения для Р\, определяются в процессе решения задачи при выполнении условия \¥(1,ж,£) = 0.

Таким образом, рассматриваемая задача решается полуобратным методом, когда на цилиндрической поверхности пластины действуют неизвестные касательные напряжения и известная температурная нагрузка.

Подстановка (9) в (1)—(8) позволяет сформулировать новую задачу относительно функций II, и>, Т, в которой дифференциальные уравнения (1), первые (4), (6) и последнее (5) граничные условия, а также начальное условие относительно вертикальной компоненты вектора перемещений становятся неоднородными с правыми частями Щ, Я2, Дз, В-^, В-2,

{B1,B2,B3} = -r*{(ai$yl9^

(Л =[L r2 ° \ Ji)m2 dz2 {Щ-гдРх

Ö2

dz2)' % r dzdt.

Pi,

z=О

{Ih-lÖPl

10

'10

dz

dz

,(D a

z=h (1)

_dPi

3

»3 a10

^4 = -(ag) 1r2Pi(^,0)-^i(0),

ПО

а граничные условия на цилиндрической поверхности принимают вид

r = l: {7(1, z, t) = 0, ^

Г=1

0Г

9г

0.

г= 1

(Ю)

Применим к краевой задаче относительно U,w,T преобразование Фурье— Бесселя, используя трансформанты

и,н{п, z,t) = / и (г.. z, t)rJi(jnr}dr,

V

{utH(n, z, t),<f)H(n, z,t)} = / {w(r, z, t), T(r, z, t) }rJ0(jnr)d,r

Ja

1Ha основании парности и неразрывности касательных напряжений имеем Р\ | 2=о^ ,h.—0.

и формулы обращения

{»(г, о, Г(г. г. ()} = 2 е'"'"'"-^^'"-'-"^^).

га=0

где — положительные нули функции «/1 (, п = 0,1, 2,...; ]о = 0.

В результате получим следующую задачу относительно трансформант ин, фн-

А, , „0')д2ия &и)Н (Я , _

~ЗпиН+а1 --«2 + а3 Зпфн ~ а 1Н,

-а! эпу}Н + + 2 - аз - 2Я)

(11)

.9 , <Э2о!>Я 9 / (7) , (,") . а)дьин | „

ЗпФн + - ^ ( 4 Фн + аъ'эпин + «5 ) = Язя;

<9,г

г = О :

(1) . , 9гуя < 'Эпин +

.2=0

= Вщ +

<9-ия <9,г

ЗпЫн

х=0

= 0, фн\2=0 = и\н; (12)

г = Л-1 : = {-ия, г«я, </>я} |

_Л(1)

<9(/>я

<9,г

= -Л<2>

дфн

дх

а^+^-а^Т . дх 6 .

дин \-~dz

(1)

ЬгУя

дин дх

Зп™Н

— — а.

7 (2)

3

а^и+^-а^Т

. дх 6 .

= ВЗН] (13)

х = ¡1 :

(2). . ди)Н (2), «6 Зпин + --а\ Фн

дин дх

ЗпЫн

г=Н

о,

= В2н,

^+ Фн1 =,я, (14)

о; ог ] г=ь

£ = 0 : ин 1=0 = фн ¿=п = 0, -шя ¿=п = -Емя;

4=0

14=0

(15)

где

{-Й2Я, -Язя, В\н, • • • , Б4я, $я} =

■)о

Кхн = [ К\г31{]пг)(1г.

Неоднородные граничные условия (12)—(14) приводятся к однородным путем введения новых функций IIн, Т^я, ¿я, связанных с «я, ниц, фн соотношениями

г/,я (", £) = Я^п, + (7я(?г, £), и!н{п,г,1) = Я2(?г, ,М) + И фн(п, г, V) = Я3(п, г, £) + Ьн(п, л, £),

(16)

где

{ЯЬЯ2} = {Д(л~), /2(^)}Ш1я(£) + {/з(*),/4(*)}0я +

+ + {/7(г), ,Ш}£2я(М) +

я3 = + /12(^я;

/1(2), /зСг). • • •, /12(2) — дважды дифференцируемые функции. Подстановка (16) в (11)—(15) при выполнении условий

г = 0 :

а^РзпНг +

0Я2

0л

= Вт + Шщ,

ая!

. 0л

- ья2

ЛI: {//ь//2.//.(} {//].//¿.//3}

2=0

= 0, Яз|г=0=бс)1я

_Л(1)

0Я3

0л

- _Л(2)

0Я3

0л

дП\

- 0л

- ЗпН2

,(1)

д11у

0л

(17)

- ЗпН2

М); тт ,9Н'2 П)тт % ЗпИ\+——а,3 Щ

(1)4

(1)

, а" (2)

~~ а о '

а^иНг+^-аРщ] =ВШ; (18)

0л

л = /г :

(■2). гт дН2 (2)

Я'6 + —--а3 //.!

0л

0Яг

0л

- ья2

х=Н

2=Н = 0,

= Дш >

ГЛЯ0Яз

а 0л

+ Я3

= (19)

позволяет преобразовать задачу (11)—(15) относительно ия> ¿я:

,.•2 г г , пЦ)д2ин и). дУУн и) -ЗпиН + 0-1 --2 Зп + % Зп^Н —

ЗпУ^Н + + °2 "

02И/я , У), эг/н (У)0Ья

0л

= Г2я,

•2 7- Э2£Я 0

л = 0 :

0л2 0£

дШн

0л

а[ ЗпЩв +

дин

2=0

(20)

0л

"^я =0, ¿яио = 0;(21

-1.г=0

z = /ц : {UH, WH, Lh) | = {t/н, WH, Lh}

Л(1)

dLH

dz

= Л(2)

9л

Шя

- jnWH

= а

(i)

dUH

dz

~ j-nWn

+z

dWH (î)

4 LH

— a„

(i) 41} ,(2)

' (2) . TT . (2) r ' 4 ——--0-3 'LH

= 0; (22) +z

z = h

где

(2) . TT . 9WH (2) r "

0-e ;/«'. // + —--Og

Шн - tfe

- JreWn

z=h

z=h

Ф dLH

a dz

+ LH

z—h

t = 0 : ^ff |i=0 = г'оя, = Wqh, = ^од,

P — R rr 4, ;2 77 „ 3 1,1 „ i ; Jib TT

H — n\H + 3nu 1 ~~ a'l + 2 --°'3 J"-"3'

F -R + n^277 92Я2 dHl ,АЛдНз

2-ff Л-2Н + »1 - - «2 Ь^Г + «3 "g^"»

= 0; (23) (24)

Р П + ¡2 77 ^^ + 9 77 + п77 + аЯ2 ^ 7зя - Лзя + - + (04 Н3 + 5 Зп**1 + % ^ ,

'Моя = —Н\, и>он = В±н — #2, 1оН = —Нз-

Начально-краевая задача (20)—(24) решается с использованием структурного алгоритма вырожденного биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [31]. Для этого на сегменте [О, Н\ вводится КИП с неизвестными компонентами собственных вектор-функций ядер преобразований К1 (Агп, г), К2(Агп, г), Кл(, г), .V, (/.цп,%), N2{цы, г), N3(/цп, г):

G(Ain, n, t) = I a{5j)jnUH(n, z, t) + а^Ьн(п, z, i) -

.70 L

- 4ЛВД», г, t)^] А'з(Аги, s)dz, (25)

{£/#(?*,WH(n,z,t),LH(n,z,t)} =

00

= ^ G(Xin,n, i) {iVi(/iiris z),N2(nin,z), Nzinin, z)} ||A"in||"2, (26)

¿=1

где

fh

\\Kin\\2 = / K3(Xin,z)Ns(iMn,z)dz-, J 0

А»») l~i>in — собственные значения соответствующих однородных линейных краевых задач относительно сопряженных Kk(Xin,z) и инвариантных Nk(^in,z) компонент вектор-функций ядер КИП (k = 1,2,3).

Принимая во внимание кусочно-гладкий характер функций Uhi Wh, ¿я} подвергаем уравнения (20) и краевые условия (21)—(24) вырожденному

КИП [31]. В результате получается задача для трансформанты G(Xin,n,t):

^¡г + AinGin = FH, i = 1,2,..., п = 0,1,..., t = 0 : Gin |t=0 = G0H(n, z),

решение которой имеет вид

Gin = Goh ехр(-Лint) + / Fh{t) exp Лin(r - t)dr,

Jo

(28)

а также две однородные задачи относительно функций = К^г(\т, z) (е=1,2,3,г = 1,2,...,» = 0,1,...):

Jnlylin т «1

Г]2тЛЛ

a ivl in

dz2

ii)„- . Л у), тАз) _0

0'2 3

Аз) ,2 ^W) , , (i), ^lin _ \ Ji) _ a

"l Jn 2in "T" "'2 Jn ^ 5 — u'

, jib , ji)^

(is2

(29)

2 = 0 :

+ (41} -

2=0

Д1)

2=0

= 0, K.

(D|

3wl2=0

= 0; (30)

z-h, ■ fKW KW KW \ I - iK{2) к{2) K{2)\ I

b=7ii'

(44 - a^)jnKZ +

(i)

d,K.

(i) 2 in

dz

,(Da3

(i)

z=hi

-Д2)

-Д2) J2H," гД2) , dI4 In

(4

dz

z=h±

a

(i) l

— a«-

,r/(2)

2=/ll

д(1) Зст

z=ht

= 2) flil3m

dz

z=h%

(31)

z — h:

dIC

dz

1 dz;

z=h

0,

z=h

0,

гЛ^ d4| (2)'

a dz 3in

2=/i

= 0 (32)

= Сl-Чп, z) (e = 1,2,3, i = 1,2,..., n = 0,1,...);

r(j)

Jn^lin + «1

d2N{J-]

Ict

dz2

(?)

(J), diV2m | (j) . дг(Л n "Г tt3 >n Mn — u'

°'2 3

и) А2 Nti) , а1 Jnly2in Jz2 + 2 Jn

ЛЛ,

dNlg u)dN£

u3

dz

dz

0,

(33)

_.;2NU) ,

Jn Mn <

, ... fe(i), дгО') , Ji) , (;

tf z2 ^m у 5 Jn^lin ' 5 "г «4

3in

0;

г = 0 :

г = Л-i :

о(1)-г jV(i) + "6 Jmyun +

dz

z—0

U)

. dz i'i 2mJ ' Sin U=0

Г, „(1) ¿-<1] я Г, „(3) divj^l

L J L fix. J z=hi

0; (34)

V2« dz

a'6 J" 1« ' ^ tt3 iv3m

XD

=/ii

JD «8 7 J2)L

a

. z=h\ r( 2)

(2)

J'R , «'3 iv3j„ i

J z=ri i

= Ч ЗгьЩы > ^

'3

A(i)

dz

z=h\

;Л(2)

dz

z = h :

(2)

Ct'6 'in-V|;,a. +

^Зш (2) лг —- Я'з Wsfe

3—h

0,

z=h\

dNUn dz

— jnN2ir,

J г—/г

(35) = 0,

-AC2) dN3in i

--+ NUn = 0.

a oz -I z-h

используются следующие обозначения:

(36)

В равенствах (27)—(36) {Klin, K2in, КЫп} = {K\g, Ж», K$l}H(h 1 - г) +

iV3OT} = {<, }Я(/*г - г) +

Fh = ~ (F1HKUn + F'2HK'2in + F3HKsin)dz - ag

(i)

К

dWH 1 dt

z=h

fh

Goh = / Цнйш + ШошК2т + lmKun)dz, Jo

H( •) —единичная функция Хэвисайда.

Задачи для трансформанты (27) и сопряженная однородная задача (29), (30) относительно компонент ядра ii'i(Ajn, z), K2{Xin>#), K3(Xin,z) получены в результате применения вырожденного преобразования (25), а соотношения (33), (34) построены путем использования в полученной (сопряженной)

задаче (29), (30) аналогичного (25) КИП cl компонентами ядра Ni(^i,in,z), N2(lMn,z)> N3^iin,z).

Особенность полученных расчетных соотношений (27), (28) заключается в том, что трансформанта нагрузки Fjj включает неоднородное граничное условие. Для определения Fh первоначально принимается | r_h = 0 с по-

&Wu I

следующим определением в процессе решения ^ U-fe-

Системы (29), (33) приводятся к разрешающим дифференциальным уравнениям 6-го порядка относительно функций к[Л(Xin,z), N^\nin,z):

, bU) , bU) , bU) \ rKU) Nu) 1 _ о (37)

Vdr6 m d,r4 dr2

которые допускают разложение на коммутативные сомножители 2-го порядка:

.dz2

+(А-)2] - я) - ^ о=

где

_ ¿, ЛЛ _ о -2 _ /о -2 _ 0£.

- СЛ - ьи) - аи)аи) +

"Зш ~ ./,) и а- и4 ~ и'3 и'5 Т а4 '

£,т = Ат и = 1-Чп при решении соответственно задач (29), (30) и (33), (34), (1)

—действительный корень следующего бикубического уравнения:

[(4?)2]3 - € [(4?)2]2+€(4?)2 - С - о.

Общий интеграл дифференциальных уравнений (33) имеет вид

<} = + ¿зй> «»(4?*) +

+ ехр(^л) + ехр(-^г). (38)

Использование связи между компонентами преобразований, полученных в результате приведения (29), (33) к (37), дает выражения для ХгП,г),

^ зт (Ат, л), N21п (Щъ, г), NЫп , г): . . ли) Лэ)

гп .¡п

~ М&ехрО»*) + Д^ехр(-^г) + - ехрС^г) +

+ + Ь-) ехр(-^г), (39)

¡2 I / лС?)\2

ЛдаЛ д ^/п

" «з [41 ехр«п*) - ехр(-^)],

hfa) — — TP 2in ~ Im

, -ч А^ , л , ч А

(з) in „„f Аз) _л , ^Чп

(Ü

cos(^z) + z) - expQ.z) +

Jn Jn

+ + - jnz) exp(jnz) +

+ E^J-^bf + jrez) exp(-j^),

= + [¿3&sin(4J,) + Et cos(4^)] -

Sin

Здесь

Jib

w3 Jn

bf = 1 +

- 4MI exp(jwz) + E^ exp(-jnz)].

U)

2(/i'i/,''

ЛЛЛЛ , ЛЛЛЛ'

3 5 ~^ 2 4

6(i) = 6 in

2a

(i)

Подстановка (38), (39) в граничные условия (30), (34) позволяет сформировать две системы алгебраических уравнений, решение которых дает воз-

(?) г\(1) а)

можность определить постоянные интегрирования Оип,..., В^, • • •,

(Я

-^екп и собственные значения А»™, /.¿¿п.

Окончательные выражения для функций 11(г,г,£), И^(г,л, £), Т(г, получаются последовательным использованием формул обращения (26), (10) к трансформанте (28). В результате с учетом (9), (16) имеем:

U(r,z,t)=2j2

Jlünr) ^ Min)2

Hi(n, z,t) + J2 G{Xin, n, t)N\{ßin, z) 11K^

1-2

n=s 1

?г=0

EU) MW') Min)2

H2(n, z,t) + J2 П, t)N2(Hin, z)\\Ki,

1-2

i= 1

(40)

n=0

Я3(?г, z,i) + ^ С(А»,t)N3(ßin, z) ||Къ

1-2

i= 1

Полученные выражения в виде рядов являются сходящимися в силу полноты систем функций {Jv(jnf)}^= о на интервале г £ [0,1] и {Kein(Xin, z), Nein {ßini 1 на участке z G [0, /г].

Заключительным этапом исследования является определение функций Wi(t), Pi(z,i), #i(n,zsi), H2(n,z,t), H3(n,z,t).

Сначала рассматривается случай действия только температурной нагрузки ß (Р\ = 0). Тогда Н1, Н2, Н3 определяются из условия упрощений правых частей уравнений (20):

j2H 1 -

(Л&Щ и). ОН2

Üb

dz2

+ а2 ЭП-qT - «8 ЗпЩ = 0

ЛЛ ¿2 тт а\ ЗпИ 2 -

jj), ЭЯ1 ..^¿Шз

dz2

a2 ''jn + О'З

öz =°'

0.

В результате формируются системы уравнений относительно /1 (я), /2 (г), /11(2) и /3(2), /4(2), /12(2)5 решение которых с учетом условий (17) позволяет определить П\. Н2, Щ.

Функция (£) определяется из условия И^(1,/г., £) = 0:

п=0 ¿=1

Затем к цилиндрической поверхности пластины прикладываются касательные напряжения {и)\ = ■§ = 0). Условия уравновешенности пластины, парности и неразрывности касательных напряжений

I = 0, Р1\2=омл = 0

.!о

позволяют записать 1\ (г, /) в виде следующей зависимости:

РхСМ) -

-8т(^-^-(л-/г1))я(л-/г1)]. (41)

Функции Я1, Н2 также вычисляются из условия упрощений правых частей дифференциальных уравнений (20):

(3)д'Н1 , Лз)Л 9Я2_П ¿З)А2 тт д'2 Н'2 ЛЛ А дН1

йНх - + «2 ■'м-^т = 0, - ^ - фз»^ =

В этом случае образуются системы дифференциальных уравнений относительно функций /5(2), /еСг); /т(^), /а'(г) и Д(г), /ю(я), которые решаются при удовлетворении граничных условий (17).

Сумма двух результатов расчета позволяет определить постоянную бо из условия интегрального равенства нулю вертикальных перемещений цилиндрической поверхности пластины:

Гн Jo

3. Численный анализ результатов. Выводы. Рассмотрим случай действия на верхней лицевой поверхности (г* = 0) упругой системы (Ь = 1м) температурной нагрузки

ь>Кг*,и) = (1 - -и) + Н(и -4ах)1 (42)

V о / 1_ Ч ¿1тях '

при известной температуре внешней среды §* = 293 К (20 °С); коэффициент теплоотдачи между поверхностью пластины и воздухом а = 8.7Вт/(м ♦ К). Здесь Ттах = — То] — максимальное значение температурной

нагрузки и время, при котором тепловое внешнее воздействие достигает наибольшей величины в размерной форме ах = 373 К (100 °С), То = 293 К (20°С),^ах = 10с).

Двухслойная пластина (Ь = 1 м), изготовленная из стали (у = 1) и пластика (] =2), имеет следующие физико-механические характеристики материалов:

{£(1)^(2)} = {20,0.33} х Ю10 Па, {Л^.Л^} = {50,0.2} Вт/(м-К),

К),

{t,(i)iW(2)| = {о.28,0.33},

{CW,Cf} = {3.8,0.23} х100Дж/(ма

К(1),с42)}= {1.2,8} Х.10"5 1/К.

На рис. 2, 3 представлены графики изменения температурного поля T*(0,z,t), перемещений W*(0,z,t) и компоненты тензора напряжений arr(r,z,t) по пространственным переменным в различные моменты времени t. Анализ численных результатов расчета позволяет сделать следующие выводы.

о

ф

s

-g

H ®

ft

а

s

80

* 60 о"

г 40

20

-—

\l

0.05 0.1

Axial Position, z

0.15

0.2

0.025

0.05

Axial Position, z

0.075

Рис. 2. Графики изменения температуры в конструкции по аксиальной координате г в различные моменты времени: hi = hi = 0.1, 1—t = imax, 2— t = 550£max, 3 — t = 1100imax

(сверху) И hi = ho = 0.05, 1 —t = imax, 2—t = 150 ¿шах, 3 — t — 300 imax (снизу) [Figure 2. Graphs of temperature changes in the structure along the axial coordinate at various points in time: hi = ho, = 0.1, 1 —t = tm&x, 2—t = 550 imax, 3 — i = 1100imax (at the top of the figure), and hi = ho = 0.05, 1 —t — imax, 2—i = 150imax, 3 — t. = 300imax (at the bottom)]

О

N

о"

0) и

tu а

а £

M

о

g

I

О)

о ев

а

аз

5

<S

Рн

I

О

о

С

0.0 -2.0 -4.0 -6.0

2.0 1.0 0

-1.0

0.02 0.04 0.06 0.08

Axial Position, z

X !

0 1•10~4 2•10-4

Dimensionless Time, t

2

0.2 0.4 0.6

Radial Position, r

0.8

1.0

Рис. 3. Графики изменения температуры, перемещений и напряжений в металлической части конструкции (Л. = 0.2); сплошные линии — с учетом связанности термоупругих полей; пунктирные линии — без учета связанности термоупругих полей; метки сверху: 1 — t = ах,

2— i = 1001„

in

= 1.3 • 10

-4.

метки снизу:

метки по середине: 1 — 2 = h, 2— г = hi,

1 / — / та,: - 2 / — 1100 t шах

[Figure 3. Graphs of temperature, displacement and stress changes in the metal part of the structure (h = 0.2); the solid lines correspond to the solution with the connectivity of thermoelastie fields; the dashed lines correspond to the solution without the connectivity of tliermoelastic fields; labels at the top: 1 — t = tmax, 2 — t = 100fmax; labels in the middle: 1 — z = h, 2— г = hi, txaxx = &3 • 10~4; labels at the bottom: 1 — t — im»x, 2 — t = 1100 imax]

1. При достижении температурной нагрузкой максимальных значений t = imaxj t max = ^max вследствие большой теплопроводности металла на внутренней поверхности стальной части пластины (рис. 2, кривые 1) наблюдается достаточно высокая температура:

Т*(0, hi, imax) = 63 "С, /7,1=0.1;

Т*(0, hi, imax) = 71 °С, hi =0.05.

При этом толщина пластины оказывает существенное влияние на время полного прогрева конструкции и на температуру ее нижней (z = h) лицевой поверхности. Для толстой (h = 0.2) пластины Т*(0, h, t) = 60 "С, t = 1100 imax, а для более тонкой (/?, = 0.1) конструкции Т* (О, h, t) =64 °С, t = 300fmax (рис. 2, кривые 3).

2. Связанность термоупругих полей приводит к уменьшению температуры пластины (рис. 3 сверху), росту перемещений (рис. 3 по середине), что приводит к увеличению радиальной компоненты тензора напряжений сТ0(г, 0, t) (рис. 3 снизу) до 10 % во время ее прогрева. Наибольший эффект связанности полей наблюдается в центре пластины при достижении температурной нагрузкой максимальных значений t = tmах (рис. 3 снизу кривая 1).

3. При достижении температурной нагрузкой максимальных значений (t = imax) верхняя лицевая поверхность пластины (z = 0) на участке 0 ^ г < 0.55 испытывает растяжение в радиальной плоскости, а на оставшемся участке — сжатие. Однако в процессе прогрева конструкции область сжатия увеличивается и при установившемся тепловом режиме t = 1100imax данная плоскость будет сжата, а напряжения arr(r, 0, i) — постоянны (рис. 3 снизу, кривая 2).

В заключение следует отметить, что построенный алгоритм расчета позволяет также исследовать начально-краевые задачи термоупругости для многослойной пластины в случае действия силовой нагрузки и кинематического воздействия на ее лицевых поверхностях, а также учитывать воздействие внутренних источников тепла, расположенных в области соединения слоев.

На рис. 4, 5 приведены графики, позволяющие сделать выводы о влиянии приближенного выполнения граничного условия W{l,z,t) = 0 = 0)

на напряженно-деформированное состояние упругой системы:

1) аппроксимация касательных напряжений arz(l,z,t) с помощью функции Pi(z, t) позволяет существенно снизить градиент вертикальных перемещений (туг) п0 аксиальной координате при г = 1 (рис. 4, кривая 1) по сравнению с соответствующей величиной при г = 0 (рис. 4, кривая 2);

2) учет функции Pi(z,t) в приближенном представлении (41) приводит к увеличению касательных напряжений (рис. 5, кривые 2, 3). При этом дальнейшее ее уточнение, связанное с использованием более сложной зависимости по высоте пластины, не приводит к существенному изменению численных значений касательных напряжений в пластине.

Кроме этого, решение задачи, когда к цилиндрической поверхности пластины прикладываются касательные напряжения Pi(z,t) (o>i = # = 0), приводит к несущественному изменению остальных компонент тензора напряжений и температурного поля, за исключением azz в приграничном слое.

Axial Position, z

Рис. 4. Степень сжатия конструкции по высоте: 1 —г = 1, 2— г = О [Figure 4. The compression ratio of the structure in lieiglit: 1 —r = 1, 2 — r = 0]

Рис. 5. Графики изменения касательного напряжения по высоте конструкции; сплошные линии — с учетом функции Pi(z,tmax); пунктирные линии — без учета функции Pi(z,tmBX)',

метки: 1 — г = 1, 2— г = 0.8, 3 — г = 0.5 [Figure 5. Graphs of shear stress changes along the structure's height; the solid lines correspond to the solution with the function Pi (z, fmax); the dashed lines correspond to the solution without the function Pi(2,illlax); labels: 1 —r = 1, 2 — r = 0.8, 3 — r — 0.5

-2.0

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Axial Position, z

Отметим, что при действии внешней температурной нагрузки в виде гладкой функции по радиальной координате (42) ряды, входящие в разложения (40), сходятся достаточно быстро, как правило, при п = ОД,,.., 10, г = 0,1,..., 10 (вычисление ряда заканчивается, когда численное значение последнего члена ряда составляет меньше 1 % от суммы предыдущих членов). В случае вычисления механических напряжений сходимость рядов ухудшается и количество учитываемых членом ряда (в среднем) увеличивается в два раза.

Заключение. В представленной работе при использовании классической теории термоупругости построено новое замкнутое решение осесимметричной задачи для многослойной жесткозакрепленной пластины. Полученные расчетные соотношения позволяют учесть связанность температурных и упругих полей.

Использование приближенного выражения для функции касательных напряжений не оказывает существенного влияния на напряженно-деформированное состояние и температурное поле пластины.

Представленный алгоритм расчета позволяет также исследовать начально-краевые задачи термоупругости для многослойной пластины в случае действия силовой нагрузки и кинематического воздействия на ее лицевых поверхностях, а также учитывать воздействие внутренних источников тепла, расположенных в области соединения слоев.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Д.А. Шляхин — идея исследования, формулировка целей и задач исследования, математическая постановка задачи и разработка подходов для построения общего решения, анализ численных результатов и формирование выводов, работа с черновиком рукописи. Ж.М. Кусаева — построение замкнутого решения рассматриваемой начально-краевой задачи, реализация построенного решения в среде Mathcad 15, верификация результатов и формирование выводов, работа с черновиком и переработанным вариантом рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-31-90042.

Библиографический список

1. Подстригая Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука,, 1984. 368 с.

2. Boley В., Weiner J. Theory of Thermal Stresses. New York: Wiley, 1960. xvi+586 pp.

3. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

4. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. Киев: Наук, думка, 1965. 202 с.

5. Радаев Ю. Н., Таранова М. В. Волновые числа термоупругих волн в волноводе с теплообменом на боковой стенке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Фш.-мат. науки, 2011. №2(23). С. 53-61. https://doi.org/10.14498/vsgtu965.

6. Шашков А. Г., Бубнов В. А., Яновский С. Ю. Волновые явления теплопроводности. Системно-структурный подход. М.: Едиториал УРСС, 2004. 296 с.

7. Кудинов В. А., Карташев Э. М., Калашников В. В. Аналитические решения задач тепло.массопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высш. шк„ 2005. 430 с.

8. Кудинов В. А., Клебнеев Р. М., Куклова Е. А. Получение точных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности ортогональными методами // Вестн. Сейм,, гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, №1. С. 197-206. https:// doi.org/10.14498/vsgtul521.

9. Карта.шов Э. М. Аналитические .методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк„ 1985. 480 с.

10. Филатов В. Н. Расчет на температурные воздействия гибких пологих оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер / Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Саратов: СГУ, 1989. С. 108-110.

11. Кудинов В. А., Кузнецова А. Э., Еремин А. В., Котова Е. В. Аналитические решения квазистатических задач термоупругости с переменными физическими свойствами среды// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. №2(35). С. 130-135. https://doi.org/10.14498/vsgtul219.

12. Кобзарь В. Н., Фильштинский Л. А. Плоская динамическая задача термоупругости // ПММ, 2008. Т. 72, №5. С. 842-851.

13. Sargsyan S. Н. Mathematical model of micropolar thermo-elasticity of thin shells //J. Thermal Stresses, 2013. vol.36, no. 11. pp. 1200-1216. https://doi.org/10.1080/01495739. 2013.819265.

14. Жорник А. И., Жорник В. А., Савочка П. А. Об одной задаче термоупругости для сплошного цилиндра// Изв. ЮФУ. Техн. науки, 2012. №6(131). С. 63-69.

15. Жуков П. В. Расчет температурных полей и термических напряжений в толстостенном цилиндре при импульсном подводе теплоты// Вестник ИГЭУ, 2013. №3. С. 54-67.

16. Макарова И. С. Решение несвязной задачи термоупругости с краевыми условиями первого рода// Вести. Сейм. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №3(28). С. 191-195. https://doi.org/10.14498/vsgtul088.

17. Harmatij H., Krol M., Popovycz V. Quasi-static problem of thermoelasticity for thermosen-sitive infinite circular cylinder of complex heat exchange// Adv. Pure Math., 2013. vol.3, no. 4. pp. 430-437. https://doi.org/10.4236/apm.2013.34061.

18. Lee Z.-Y. Coupled problem of thermoelasticity for multilayered spheres with time-dependent boundary conditions// J. Mar. Sci. Tech., 2004. vol.12, no.2. pp. 93-101.

19. Lord H. W., Sliulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity// J. Mech. Phys. Solids, 1967. pp. 299-309. https ://doi . org/10.1016/0022-5096(67)90024-5.

20. Ковалев В. А., Радаев Ю. H., Семенов Д. А. Связанные динамические задачи гиперболической термоупругости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.. Информатика, 2009. Т.9, №4(2). С. 94-127. https://doi.org/10.18500/ 1816-9791-2009-9-4-2-94-127.

21. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н., Ревинский Р. А. Прохождение обобщенной GNIII-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мателттиш. Механика.. Информатика., 2011. Т. 11, №1. С. 59-70. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-ll-l-59-70.

22. Сеницкий Ю. Э. К решению связанной динамической задачи термоупругости для бесконечного цилиндра и сферы// Прикл. мех., 1982. Т. 18, №6. С. 34-41.

23. Шляхин Д. А., Кальмова М. А. Связанная нестационарная задача термоупругости для длинного полого цилиндра // Инженерный вестник Дона, 2020. №3. http://ivdon.ru/ ru/magazine/archive/n3y2020/6361.

24. Лычев С. А. Связанная динамическая задача термоупругости для конечного цилиндра// Вестн. Сам. гос. ун-та. Естественнонаучн. сер., 2003. №4(30). С. 112-124.

25. Лычев С. А., Манжиров А. В., Юбер С. В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости// Изв. РАН. МТТ, 2010. №4. С. 138-154.

26. Шляхин Д. А., Даулетмуратова Ж. М. Нестационарная связанная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепяенной круглой пластины // Вестник ПНИНУ. Механика., 2019. №4. С. 191-200. https://doi.Org/10.15593/perm.mech/2019.4.18.

27. Fu J. W., Chen Z. Т., Qian L. F. Coupled thermoelastic analysis of a multi-layered hollow cylinder based on the C-T theory and its application on functionally graded materials// Compos. Struct., 2015. vol.131, no. 1. pp. 139-150. https://doi.org/10.1016/j-compstruct. 2015. 04.053.

28. Vitucci G., Mishuris G. Analysis of residual stresses in thermoelastic multilayer cylinders // J. Eur. Ceram. Soc., 2016. vol.36, no.9. pp. 2411-2417, arXiv: 1511.06562 [cond-mat.mtrl-sci]. https://doi.org/10.1016/j . jeurceramsoc. 2015.12. 003.

29. Шляхин Д. А., Даулетмуратова Ж. M. Нестационарная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Инженерный журнал: наука, и инновации, 2018. №5(77), 1761. 18 с. https://doi.org/10.18698/ 2308-6033-2018-5-1761.

30. Sneddon I. N. Fourier Transforms. New York: McGraw-Hill, 1950. xii+542 pp.

31. Сеницкий Ю. Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Матем., 1996. №8. С. 71-81.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 2, pp. 320-342 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtul797

MSC: 74F15, 74S20

Solution of the coupled nonstationary problem of thermoelasticity for a rigidly fixed multilayer circular plate by the finite integral transformations method

© D. A. Shlyakhin, Zh. M. Kusaeva

Samara. State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russian Federation.

Abstract

A new closed solution of an axisymmetric non-stationary problem is constructed for a rigidly fixed round layered plate in the case of temperature changes on its upper front surface (boundary conditions of the 1st kind) and a given convective heat exchange of the lower front surface with the environment (boundary conditions of the 3rd kind).

The mathematical formulation of the problem under consideration includes linear equations of equilibrium and thermal conductivity (classical theory) in a spatial setting, under the assumption that their inertial elastic characteristics can be ignored when analyzing the operation of the structure under study.

When constructing a general solution to a non-stationary problem described by a system of linear coupled non-self-adjoint partial differential equations, the mathematical apparatus for separating variables in the form of finite integral Fourier-Bessel transformations and generalized biorthogo-nal transformation (CIP) is used. A special feature of the solution construction is the use of a CIP based on a multicomponent relation of eigenvector functions of two homogeneous boundary value problems, with the use of a conjugate operator that allows solving non-self-adjoint linear problems of mathematical physics. This transformation is the most effective method for studying such boundary value problems.

The calculated relations make it possible to determine the stress-strain state and the nature of the distribution of the temperature field in a rigid round multilayer plate at an arbitrary time and radial coordinate of external temperature influence. In addition, the numerical results of the calculation

Research Article

©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http: //creative commons . org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Shlyakhin D. A., Kusaeva Zh. M. Solution of the coupled nonstationary problem of thermoelasticity for a rigidly fixed multilayer circular plate by the finite integral transformations method, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 2, pp. 320-342. https: //doi. org/10.14498/vsgtul797 (In Russian). Authors' Details:

Dmitriy A. Shlyakhin © https://orcid.org/0000-0003-0926-7388

Dr. Techn. Sci.; Head of Dept.; Dept. of Structural Mechanics and Engineering Geology;

e-mail: d- 612-mit2009@yandex. ru

Zhanslu M. Kusaeva A https://orcid.org/0000-0001-7028-0130 Postgraduate Student; Dept. of Structural Mechanics and Engineering Geology; e-mail: DauletmuratovaQmail. ru

© Samara State Technical University

339

allow us to analyze the coupling effect of thermoelastic fields, which leads to a significant increase in normal stresses compared to solving similar problems in an unrelated setting.

Keywords: round multilayer plate, classical theory of thermoelasticity, non-stationary temperature influence, biorthogonal finite integral transformations.

Received: 15th July, 2020 / Revised: 26th April, 2021 / Accepted: 11th May, 2021 / First online: 18th June, 2021

Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.

Authors' contributions and responsibilities. D.A. Shlyakhin: Idea of study; Formulation of research goals and aims; Mathematical formulation of the problem; Development of methods for constructing a general solution; Interpreting results and drawing conclusions; Writing — original draft. Zh.M. Ivusaeva: Constructing a closed solution for the considered initial-boundary value problem; Implementation of the solution by Mathcad 15; Interpreting results and drawing conclusions; Writing — original draft and review & editing. The authors are absolutely responsible for submitting the filial manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript. Funding. This study was funded by RFBR, research project no. 20-31-90042.

References

1. Podstrigacli Ya, S., Lomakin V. A., Kolya.no Yu. M. Termouprugost' tel neodnorodnoi struk-tury [Thermoelasticity of Bodies with Inliomogeneous Structure], Moscow, Nauka, 1984, 368 pp. (In Russian)

2. Boley B., Weiner J. Theory of Thermal Stresses. New York, Wiley, 1960, xvi+586 pp.

3. Nowacki W. Dinamicheskie zadachi termouprugosti [Dynamic Problems of Thermoelasticity], Moscow, Mir, 1970, 256 pp. (In Russian)

4. Kovalenko A. D. Vvedenie v termouprugost' [Introduction to Thermoelasticity]. Kiev, Nauk. dumka, 1965, 202 pp. (In Russian)

5. Radayev Yu. N., Taranova. M. V. Wavenumbers of type III thermoelastic waves in a long waveguide under sidewall heat interchanging, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2011, no. 2(23), pp. 53-61 (In Russian), https://doi.org/10.14498/vsgtu965.

6. Sliaslikov A. G., Bubnov V. A., Ianovsky S. Yu. Volnovye iavleniia teploprovodnosti. Sistemno-strukturnyi podkhod [Wave Phenomena of Heat Conductivity. System and Structural Approach]. Moscow, Editorial URSS, 2004, 296 pp. (In Russian)

7. Kudinov V. A., Kartashev E. M., Kalashmkov V. V. Analiticheskie resheniia zadach teplo-massoperenosa i termouprugosti dlia mnogosloinykh konstruktsii [Analytical Solutions of Heat and Mass Transfer and Thermoelasticity Problems for Multilayer Structures], Moscow, Vyssh. Shk„ 2005, 430 pp. (In Russian)

8. Kudinov V. A., Klebleev R. M., Ivuklova E. A. Obtaining exact analytical solutions for nonstationary heat conduction problems using orthogonal methods, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara. State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.|, 2017, vol.21, no. 1, pp. 197-206 (In Russian), https://doi.org/10.14498/vsgtul521.

9. Kartashov E. M. Analiticheskie metody v teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical Methods in the Theory of the Thermal Conductivity of Solids]. Moscow, Vyssh. shk., 1985, 480 pp. (In Russian)

10. Filatov V. N. Calculation of the temperature effects of flexible gently sloping shells supported by an orthogonal grid of edges, In: Nelineinye zadachi rascheta tonkostennykh konstruktsii

[Nonlinear Problems of Calculating Thin-Walled Structures], Saratov, Saratov State Univ., 1989, pp. 108-110 (In Russian).

11. Kudinov V. A., Kuznetsova A. E., Eremin A. V., Kotova E. V. Analytical solutions of the quasistatic thermoelasticity task with variable physical properties of a medium, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.j, 2014, no. 2(35), pp. 130-135 (In Russian), https://doi.org/ 10.14498/vsgtul219.

12. Kobzar' V. N., Fil'slitinskii L. A. The plane dynamic problem of coupled thermoelasticity, J. Appl. Math. Mech., 2008, vol.72, no. 5, pp. 611-618. https://doi.org/10.1016/j-j appmathme ch. 2008.11. 002.

13. Sargsyan S. H. Mathematical model of micropolar tliermo-elasticity of thin shells, J. Thermal Stresses, 2013, vol.36, no. 11, pp. 1200-1216. https://doi.org/10.1080/01495739. 2013.819265.

14. Zliornik A. I., Zhornik V. A., Savochka P. A. On a problem of thermoelasticity for a solid cylinder, Izv. YuFU. Tekhn. Nauki, 2012, no. 6(131), pp. 63—69 (In Russian).

15. Zliukov P. V. Calculation of temperature fields and thermal stresses in thick-walled cylinder under impulse heat supply, Vestnik IGEU, 2013, no. 3, pp. 54-57 (In Russian).

16. Makarova I. S. The solution of uncoupled thermoelastic problem with first kind boundary conditions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, no. 3(28), pp. 191-195 (In Russian), https://doi.org/ 10.14498/vsgtul088.

17. Harmatij H., Krol M., Popovycz V. Quasi-static problem of thermoelasticity for thermosen-sitive infinite circular cylinder of complex heat exchange, Adv. Pure Math., 2013, vol.3, no.4, pp. 430-437. https://doi.org/10.4236/aprn.2013.34061.

18. Lee Z.-Y. Coupled problem of thermoelasticity for multilayered spheres with time-dependent boundary conditions, J. Mar. Sci. Tech., 2004, vol. 12, no. 2, pp. 93-101.

19. Lord H. W., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity, J. Mech. Phys. Solids, 1967, pp. 299-309. https ://doi. org/10.1016/0022-5096(67)90024-5.

20. Kovalev V. A., Radayev Yu. N., Semenov D. A. Coupled dynamic problems of hyperbolic thermoelasticity, Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform., 2009, vol.9, no. 4(2), pp. 94-127 (In Russian), https: //doi , org/10.18500/1816- 9791 - 2009- 9-4-2-94- 127.

21. Kovalev V. A., Radayev Yu. N., Revinsky R. A. Generalized cross-coupled type-Ill thermoelastic waves propagating via a waveguide under sidewall heat interchange, Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform., 2011, vol. 11, no. 1, pp. 59—70 (In Russian), https://doi.org/ 10.18500/1816-9791-2011-11-1-59-70.

22. Senitskii Yu. E. Solution of coupled dynamic thermoelasticity problem for an infinite cylinder and sphere, Sov. Appl. Mech., 1982, vol. 18, no. 6, pp. 514-520. https://doi. org/10.1007/ BF00883341.

23. Slilyakhin D. A., Kalmova M. A. A coupled unsteady thermoelasticity problem for a long hollow cylinder, Engineering Journal of Don, 2020, no. 3 (In Russian), http://ivdon.ru/ ru/magazine/archive/n3y2020/6361.

24. Lychev S. A. A coupled dynamic problem of thermoelasticity for a finite cylinder, Vestn. Samar. Gos. Univ., Estestvennonauchn. Ser., 2003, no. 4(30), pp. 112—124 (In Russian).

25. Lychev S. A., Manzhirov A. V., Joubert S. V. Closed solutions of boundary-value problems of coupled thermoelasticity, Mech. Solids, 2010, vol. 45, no. 4, pp. 610-623. https://doi. org/10.3103/S0025654410040102.

26. Slilyakhin D. A., Dauletmuratova Zli. M. Non-stationary coupled axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed round plate, PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, no. 4, pp. 191-200 (In Russian). https://doi.Org/10.15593/perm.mech/2019.4.18.

27. Pu J. W., Chen Z. T., Qian L. F. Coupled thermoelastic analysis of a multi-layered hollow cylinder based on the C-T theory and its application on functionally graded materials, Compos. Struct., 2015, vol. 131, no. 1, pp. 139-150. https://doi.org/10.1016/j.compstruct. 2015.04.053.

28. Vitucci G., Misliuris G. Analysis of residual stresses in thermoelastic. multilayer cylinders, J. Eur. Ceram. Sac., 2016, vol.36, no.9, pp. 2411-2417, arXiv: 1511.06562 [cond-mat.mtrl-sci]. https://doi.org/10.1016/j . jeurceramsoc. 2015.12. 003.

29. Shliakliin D. A., Dauletmuratova Zh. M. Nonstationary axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed circular plate, Engineering Journal: Science and Innovation, 2018, no. 5(77), 1761, 18 pp (In Russian), https://doi.org/10.18698/2308-6033-2018-5-1761

30. Sneddon I. N. Fourier Transforms. New York, McGraw-Hill, 1950, xii+542 pp.

31. Senitskij Yu. B. Biorthogonal multicomponent finite integral transformation and its application to boundary value problems of mechanics, Russian Math. (Iz. VUZ), 1996, vol. 40, no. 8, pp. 69-79.