CC BY
7 2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОЕДИНЕНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ПАРАЛЛЕПИПЕДНЫХ
ТЕЛ
Нуркулов Жалолиддин Алишер ^ли
Студент Гулистанского государственного университета https://doi.org/10.5281/zenodo.6891714
Аннотация. В статье получены и проанализированы результаты, полученные на основе математической модели и программного обеспечения термоупругой зависимой задачи для тела изотропного параллелепипеда, математическая модель зависимой задачи термоупругости для тела изотропного параллелепипеда представлена в алгоритме и визуальное представление результата, полученного в его программном объединении.
Ключевые слова: композицион, конструкция, термоупругость, теплопроводность, деформация, математическая модель, тензор, квадратная пластина.
MATHEMATICAL MODEL AND SOFTWARE FOR THE PROBLEM OF THERMOELASTIC CONNECTION FOR ISOTROPIC PARALLELEPIPED BODIES
Abstract. In the article, the results obtained on the basis of the mathematical model and software of the thermoelastic dependent problem for the isotropic parallelepiped body were obtained and analyzed. The mathematical model of the thermoelastic dependent problem for the isotropic parallelepiped body was presented in the algorithm and the visual representation of the result obtained in its software association.
Keywords: composition, construction, thermoelastic, thermal conductivity, deformation, mathematical model, tensor, square plate.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование процессов деформирования конструкций и их элементов с одновременным учетом тепловых и механических факторов играет важную роль во многих прикладных задачах науки и техники, связанных с нагреванием различных частей исследуемого объекта. Эти процессы обычно, удобно сформулировать в виде связанных или несвязанных термоупругих и термопластических краевых задач. Несвязанные задачи термоупругости и термопластичности и их численные методы решения достаточно хорошо изучены в литературе[1,2,].
Связанные задачи термоупругости и термопластичности являются важным и бурно развивающимся направлением механики деформируемого твердого тела. В общем случае связанная краевая задача состоит из уравнения движения твердого тела рассматривающегося в сочетании с уравнением притока тепла. Необходимо заметить, что система дифференциальных уравнений в частных производных, состоящая из трех уравнений движения и одного уравнения притока тепла, зависящих от трех компонентов перемещения и температуры относятся, соответственно, гиперболическому и параболическому типу. В общем случае система уравнений является нелинейной и сложной исследований. Даже, а одномерном случае связанная термоупругая задача не поддается аналитическому решению, кроме некоторых обособленных частных случаев[1].
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
Предлагаемая статья посвящена численному решению трехмерной динамической связанной задачи термоупругости для изотропного параллелепипеда. На основе метода конечных разностей выписаны явные и неявные сеточные уравнения.Для решения неявных сеточных уравнений применяется метод прогонки. На основе двух численных методов построены графики характеризующие изменение перемещений и температуры относительно времени и координатным осям. Сравнения показывают, что численные результаты связанной термоупругой задачи поученные на основе явных и неявных схем достаточно близки.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Рассмотрим связанную динамическую задачу термоупругости для изотропных материалов.
Она состоит из уравнения движения
,, + Х = Ри1 (1)
соотношения Дюамеля-Неймана между напряжениями и деформациями для изотропных материалов[2]
аи = Щ + ¡£ч - а(3Я + 2Л)(Т - То)8ц (2)
соотношения Коши
Gi = 1 U, i + Ui )
(3)
уравнение притока тепла[2]
\ТУ - сеТ - т0 •а(3л + 2Л) = О
(4)
с начальными
иЛг=t0 .
\t=to
= *, АЦ = А
(5)
и краевыми условиями
и
Ii
= и0, А i = To,
ajni
s 0
(6)
Где ст.- тензор напряжений, еу - тензор деформаций, и1 - перемещения, Т -температура, X; - объёмные силы, ¡- постоянные Ламе, - теплоемкость при
постоянной температуре, 0 - шаровая часть тензора деформаций, а - коэффициент теплового расширения, Я0 - коэффициент теплового потока, р - плотность, 8у - символ Кронекера.
Соотношения (1)-(3) и (4) можно переписать, соответственно в виде уравнения движения
дТ
д2и
,д2и д2и.
(Я -2м) тт _ ß (т-:---_ /ОС
д\
d2w
дх
■) - о: 7-
öxdy dxöz дх
—
= Р
д2и дГ
2
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
.д\ ö2v
+ + (& + ¿М ) + (Л + MX
d^t ö2w
ö2v
■ дх2 dz
äy2
ÖT
-) - ay-= p —T
дхду dydz 8y dt
d2w ö\> , „ „du e V
---T)~ - ma---
öy öxdz dydz
M( 2 dx
d 2w
oz а
ÖT
d2w
m
и уравнения притока тепла относительно перемещении и температуры
д21 д21 д21
' дх2 дУ2 РЕЗУЛЬТАТЫ
+
2
+
dz
л дТ dt
д 2ы
d2v д2^
дхд дyдt дzдt
) = о
(8)
Заменяя производные в уравнениях (7) и (8) разностными отношениями, получим
n r\ n . n
ы,. ., — 2ы. ., + ы , ., (4 + 2") -J--J + "(
h2
n r\ n . n n r\ n . n
ы , — 2ы. ., + ы . ,, —■ ,, — 2ы. + ы. ., ,
i,j+2k i,j ,k i,j-2,k i,j,k+2_i,j,k i,j ,k—2 ^
h
h
n n n n n n n n
+ 4 + ")( Vi+2^-^'+2,k — Vi— U+U — Vi-+U—U + Vi—1,J—1,k | Wi+2,J,k+2 — Wi—2,j,k+2 — W i+2,j,k—2 + Wi—2j,k—2 ^ ^
4hh
4hh3
rpn rpn n+2 r\ n. n—2
1 i+2, J ,k — 1 i—2, J ,k ы1, J ,k — 2ыг, J,k + ыг, J ,k
ay----— = p ——
2h
T
(A + 2/i) Vi,J+2,k i,J,k + v',j—U j Д U,k 2Vi,J,k + vi—2j',k | Vi,j,k +2 2 Vi,J,k + Vi,J,k—2 ^ +
hi
h2
h2
n n n n n n n n
(л + /луы'2' J+2,k — ы1—2, J +2,k — ыг+2, J—2,k + ыг—2, J—2,k + Wi, J+2,k +2 — Wi, J—2,k +2 — Wi, J +2,k—2 + Wi, J—2,k—2 ^qj
4hh
4h2h3
7"n — Tn i;n+2 _ 9i;n -L- i;n—2
1 i, J+2,k 1 i, J—2,k 4 J ,k 2v;, J,k + J ,k
ay —----= p —--r--—
2h
T
n n , n n о n , n n n , n
/ 1 . о,л i, J,k+1 ^i, J k vi, l,k—2.ll( i+2 J ,k J,k i—1, J,k i, j+l,k ^^i, j k i, J—2 k ч ,
(4 + Л",)-n-+ -n-+-n-) +
h
h
n n n n n n n n
+ + -i+1, j,k+2 —ы1—2,J,k+2 — 2,J,k—2 + ы1—2,',k4 + Vi,J+2,k+2 — Vi,J—2,k+2 — Vi,j'+!,k—! + Vi,J—2,k—2 ^
4hh
3
4hh
2
(11)
in,,+2 — tinj ,k—2 w-+2k — 2w- j,k + w- j,k
ay —J--J-— = p —J---i-i—
2h t
rrrn r)rPn rrin r)rPn rrin
Л /1i + 2, J,k —21i, j, k + Li—2, j ,k , Ti, j +2, k —21i, j, k + Li, j — u , Li, j, k+2
4о(---+---+-
nn 21i, j,k + 1i, j,k—2 ■
hf
h2
hf
—
rpn + 2 rpn
1i, j ,k — 1i, J,k
T
ayTо0
n+2 n+2 n—2 - n — 2
ы1+2, J, k — ы1 — 2, J, k — ы1 + 2, J ,k + ы1 — 2, J ,k
4hj
+
n+2 n+2 n—^ n—2 n+2 n+2 n—^ n—2 v,, j + 2,k — vi, j —2,k — v,, j+2,k + v,, j — 2k | W,, j,k+2 — Wi, j,k—2 — Wi, j,k+2 + W,, j,k—2 ^ _ q
4h t
4h t
(12)
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
Решая разностные уравнения (9),(10),(11) и (12) относительно и"+\, у"+\ , +1 и
Т"+1 соответственно, получаем
т
1 =- ((1+2М) j р
+ (1+ж
Ui+1,j ,k 2ui, j ,k + Ui-1,j ,k
+M-
n
li, j+1,k
nn i, j ,k + Ui, j ,k-1
nnnn Vi+1, j+l,k - Vi-1,j+l,k - Vi+1, j-l,k + Vi-1, j-l,k
4hjh2
nn wi+i,j,k+i - wi-i,j,k+i
nn
wi+i,j,k-i + W-1,j,k-i.
nn
ay i- i-l,j,k) + 2u" 2k lJ'k
— I
n-1
I- ■,
i, j,k
)+
(13)
Vj = - ((1 + 2^)
V",,, -2v" + V
/ ',}+1,k
П + Vn i,j ,k + Vi,j4,k
P
k
+ K-
v;;, ,,, - 2v" + V
/ i+1,j,k
,k i-__^ i,j,k+1
v;,,.., -2v" + v
n + Vn
,,j,k + V,,j ,k-1
h 2
n n n . n n n n . n
+ (.Я + //)(j+1'k - Ui-1'j+1'k - j-1,k + ui-1,j-1,^ wi,j+1,k+1 - Wi,j-1 ,k+1 - Wi,j+1,k-1 + Wi,j-1,k-1
4hh2
4h2h3
nn
1 i,j+1,k 1 i, j-1,k ч п. Г.
ay ————-—) + 2v.
2h
n - Vn-1 j,k i, j,k
)+
(14)
0 n ЛП.П n ЛП.П n ЛП.П
n+1 т' „ . W.jk+1 - 2w.jk + wy-1 jk - 2W,jk + W-1,jk Wi,j+1,k - 2wi,j+ wi,j-1,k
Wi,+,k = — ((1 + 2^) ---2-— + fi(-j--j-- + —--2-—
h h h
P
+(1+Лu
n n n . n n n n . n
i+1, j,k+1 - Ui-1, j,k+1 - Ui+1,j ,k-1 + Ui-1, j,k-1 Vi,j+1,k+1 - Vi,j-1,k+1 - Vi,j+1,k-1 + Vi,j-1,k-1 -
4hh
4hh
nn
«у i,j,k+1 - j-1) + 2w_ 2h
n ^i"-1
) +
15)
rpn от7n _l tn tn от7n _l tn tn г)ггп i
лг7и+1 т , i+1,j,k - 21 i,j,k + 1 i-1,j,k 1 i,j+u - 21 i,j,k + 1 i,j-1,k 1 i,j,k+1 - 21 i,j,k + 1 i,j,k-1 Л
^ ^(1o(-^-+-¡¡j-+-m-) -
c„
¡1
n+1
n+1
2
n+1
________________n-1 n-1 л1П+1 л.-! _L
т /Ui+1,j,k - Ui-1, j,k - Ui+1, j,k + Ui-1, j,k Vi,j+1,k - Vi, j-1,k - Vi, j+1,k + Vi, j-1,k ay10( + +
4h т
4h2T
+ wi, j, k+1 - wi, j, k-1 - wi, j, k+1 + wi, j, k-1 ^ + ^
4h3T
n
i, j,k
(16)
Уравнения (13)-(16) позволяют найти значения перемещений и температуры на слое (п+1) если известны значения перемещений на двух предыдущих слоях. Значения перемещений на двух начальных слоях (п=0 , п=1) можно найти из начальных условий
и0Л к = Фх (X , У ] , 2к ) , v0Л к = (> уу > ^ ) , Л к = (> уу > ) , Т0Л к = Т0 (17)
Уравнение (13) при п=0 принимает вид
2
h
h
2
+
n
2
2
2022
иш-2о22: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
о Г. 0 0
T' „„ „ ч ui+1,j,k —2ui,j,k + ui—1,j,k
.2 -0 uj,;,k = — ((4 + 2")
p
о ло,о о ло,о
u 2u + u u 2u + u
/,j+1,k i,j,k i,j—1,k ^ i,-,k+1 i,j,k i,-,k—1 ^ ^
1
A.
A.
о о о о о о о о
, . N/Vi+1,j+1,k — vi—1, j+1,k — Vi+1, j—1,k + vi—1,j—1,k Wi+1,j,k+1 — Wi—1,j,k+1 — Wi+1, j,k—1 + Wi—1,j,k—1 -+ (4 + ")(--------— + ■
■ ay
4Afi2
оо
i+U,k i—ljо —1 + 2ui, j,k — ui, j,k
4AjA3
(18)
2A
Заменяя в начальном условии
и,-
It=t)
VI производную разностным отношением
получим
ы —ы "2
t,J,klh^J,k = ,у-,Zk) или ы2,j,k = 2^(хг,y,,Zk)+ы;;!,*
(19)
Исключив из уравнении (18),(19) значения ы. \к , получим
о п о о T".....ui+1,j ,k — 2ui, j,k + ui—1, j,k
1 T2
u1, j ,k = — ((4 + 2")
2p
+ (4 + ")(
о 0о,о о 0о,о
Aj+1,k— 2ui,-,k + ui,j—1,k ui,j,k+1— 2uij,k + ui,-,k—1Л + "(—-j--- + -j---) +
A i
A'
о о о . о о о о . о
vl+1, j+1,k — vi—1,-+1,k — vl+1, j—1,k + vi—1,-—1,k wi+1, j ,k+1 — wi—1,- ,k+1 — wi+1,-,k—1 + wi—1,-,k—1.
4AxA2
4AjA3
ay
^о _ т^о
1 i+1, j,k 1 i—1, j,k s о 7 / \
-) + ui,- ,k + Vi( x, y-, Zk)
2A
(20)
Аналогичным способом находится значения функций V и w на первом слое. Значения температуры Т на первом слое можно найти заменяя в (16) смешанные
производные другими разностными отношениями
т0 огрО , грО грО , грО
гр о 07^о I Т7 о т7 о I Т7 о т7 о ОТ7^ _|_7^о
rpl T 1 i+1, j,k — 21 i, j,k + 1 i—1, j,k 1 i, j+i,k — 21 i, j,k + 1 i, j—i,k 1 i, j,k+1 — 21 i, i,k + 1 i, j,k—1 Ti,-.k =— (4о(-
с
a;
2
, j , k i , j +1, k
A
i,j ,k i,j—i,k i,-,i 2 2
1
A2
) —
rr, ,ui+\,j,k ui—1,j,k Mi+1,j,k + Mi—1,j,k Vi,j+i,k Vi,j—i,k Vi,j+i,k + Vi,j—i,k
— a/ro (—------— + 1-—-—-^-1- +
2A j t
w;,-,k+i — wi,-,k—i — w°-,k+i + w^k—i „ „ + —------^^—)) +1
2A T
(21)
2A T
о
i, j,k
На последующих слоях п = 2,3,... значения перемещений и температуры находятся соответственно из уравнений (13)-(15) и (16).
В рассмотренном методе была использована явная разностная схема. Если, в первых слагаемых уравнений (9-12) верхний индекс п заменить на п+1 сеточные уравнения становятся неявными и удобны для применения метода прогонки[4] соответственно по и Т. Значения перемещений и температуры на двух первоначальных слоях находятся из начальных и краевых условий. ОБСУЖДЕНИЕ
2
2
A
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION 2022
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
Тестовая задача: В качестве примера решалась связанная задача термоупругости (16) явным методом(методом сеток) и методом прогонки, при следующих начальных и граничных условиях:
и(х, У, 4=0 = 0, у(х, У,^ = 0 , У, ^ = 0 т(х, У, ^ = т0 ,
и(х, У, г^ = 0 , у(х, У, 2,1^ = 0, ^(х, У, 1^ = 0 ,
т (x, y, г | х=0 = т0 + Т08т(яУ(у))8т(ж(к)), т(x, y, z, I ^ = 70 + ^т^СО^т^^
т(х> У>2, г)|у=0 = Т01 т(x, ^ 2 гЛу=4 = т01 т(x, У^^ 2 г)2,0 = Т0, Т(х' У, 2, г )2=/3 = Т0
при следующих константах X = 0.6, X = 0.9, ¡ = 0.5, а = 0.05 , Се = 3.5, Т0 = 10, ^ = 0.1, ^ = 0.1, къ = 0.1, т = 0.01, р = 1, ^ = = 1Ъ = 1, X = 0.6
Распределение перемещения по времени Распределение перемещения по оси ОУ (и(х,у,7;1;) по 11(к)) при х=0.2 ; у=0.3; 7=0.3 (и(х,у,7Д) по у(1)) при х=0.2 ; 7=0.3; 1=0.1
Распределение перемещения по оси 02 Распределение перемещения по времени (у(х,у,7;0 по 7(к)) при х=0.2 ; у=0.1; 1=0.08 Су(х,у^Д) по г(к)) при х=0.1 ; у=0.2; 7=0.5
ВЫВОДЫ
На рисунках показаны распределение перемещений по различным сечения параллелепипеда относительно координатным осям и времени. Сравнения численных результатов полученных по рассмотренным двум методам, показывают, что они достаточны близки.
2022
UIF-2022: 8.2 SCIENCE AND INNOVATION
ISSN: 2181-3337 international scientific journal №4
REFERENCES
1. Абдураимов Д. Э. У., Адилов А. Н., Турдиев А. П. У. АНИЗОТРОП ВА ИЗОТРОП ЖИСМЛАР УЧУН ТЕРМОЭЛАСТИК БОГЛЩ МАСАЛАНИНГ ИККИ УЛЧОВЛИ ХЩАТДАГИ МАТЕМАТИК МОДЕЛИ //Scientific progress. - 2021. - Т. 1. - №. 5. - С. 449-453.
2. Абдураимов, Достонбек Эгамназар Угли, Малика Норкуловна Норматова, and Рената Фидановна Монасипова. "ЛИБМАН ТИПИДАГИ ИТЕРАЦИН УСУЛНИ ЭЛАСТИКЛИК НАЗАРИЯСИ МАСАЛАСИГА ^УЛЛАШНИНГ МАТЕМАТИК МОДЕЛИ." Science andEdUcation 2.1 (2021): 15-20.
3. Нуркулов Ж. А. У. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ ПО ПРОТОКОЛАМ В КОРПОРАТИВНОЙ СЕТИ //Science and innovation. - 2022. - Т. 1. -№. A3. - С. 158-163.
4. Культин Н.Б. С++Builder в задачах и примерах.-СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-336 с.
