Численное моделирование волны пробоя в световоде Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17)2009

IZ VESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17)2009

УДК 519.63

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНЫ ПРОБОЯ В СВЕТОВОДЕ

© о. Е. ЯЧМЕНЕВА*, В. И. ГОРБАЧЕНКО** Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра вычислительных систем и моделирования e-mail: *ojachmeneva@rambler.ru, **gorvi@mail.ru

Ячменева О. Е., Горбаченко В. И. - Численное моделирование волны пробоя в световоде // Известия ПГПУ им. В. Г.Белинского. 2009. № 13 (17). С. 149-157. - На основе одномерного уравнения теплопроводности исследована волна пробоя в волоконном световоде с учетом времени остывания световода. Численное решение построено на основе метода конечных разностей. Найдены зависимости скорости волны пробоя от интенсивности лазерного излучения и времени остывания световода. Найдено критическое значение времени остывания световода, при котором происходит потухание волны пробоя. Исследованы пороговые значения интенсивности, при которых возникает волна пробоя.

Ключевые слова: волна пробоя, волоконный световод, лазерное излучение, скорость волны пробоя.

Yachmeneva O. E., Gorbachenko V. I. - Numerical modeling of fiber fuse in optical fibers // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 149-157. - The fuse-effect in single-mode optical fibers was studied with one-dimensional unsteady-state thermal conductivity partial differential equation (PDE). Numerical calculations are based on finite-difference method (FDM). The results of experiments with mathematical model are shown on the graphics of thermal wave rate which is depending on start optical power and on time to get fiber cold. The critical value of time to get fiber cold which results to extinction of thermal wave is calculated. Keywords: fuse effect, optical fiber, fiber fuse, optical power.

Введение

Под действием оптического излучения интенсивностью более 1 МВт/см2 при условии дополнительного инициирования процесса в волоконных световодах возникает явление, называемое волной пробоя. У данного явления есть и другие названия: catastrophic damage (катастрофическое разрушение), fiber fuse-effect (эффект плавления) [1], тепловая волна поглощения [2], оптический разряд [3].

Ввод лазерного ^—^—^ V \мс

излучения Г I) ] <\г

P ~ \Вт Q- / -&

I Одномодовый волоконный

Волна

световод горения

Рисунок 1. Схема эксперимента

Явление выглядит следующим образом (см. рисунок 1). Если в одномодовый световод вводится лазерное излучение мощностью порядка 1Вт, то при определенных условиях в области сердцевины световода возникает область яркого белого или голубоватого свечения, которая движется по световоду навстречу лазерному излучению

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

со скоростью около 1м/с. В сердцевине световода после пробегания звездочки в большинстве случаев образуются полости, при этом волноводные свойства световода полностью нарушаются. Так могут разрушаться участки световодов большой длины. Исследование волны пробоя носит важный практический характер, поскольку световоды широко используются в промышленности.

В настоящей работе волна пробоя рассматривается на основе одномерного уравнения теплопроводности. На основе построенной модели проводятся эксперименты по исследованию пороговых значений интенсивности лазерного излучения, при которых возникает волна пробоя. Вторая серия экспериментов направлена на нахождение критического значения параметра - времени остывания световода,- при котором происходит потухание волны. Третья серия экспериментов выявляет зависимость скорости волны от времени остывания световода и интенсивности лазерного излучения.

Постановка задачи

Система уравнений

Нестационарная одномерная модель волны пробоя в световоде в безразмерной форме описывается системой из двух уравнений:

д

д-1 ($, х) = —а (Т)1 ($, х), (1)

х) = ^Т(К х)-^1«, х), (2)

д д2 д Т

д Т х)=дх2Т с,х)-дх1х) - т

где I - интенсивность лазерного излучения; T - температура; а(Г) - коэффициент поглощения лазерного излучения; х - координата вдоль оси световода; t - время; т - время остывания. Здесь (1) - уравнение теплопроводности, (2) - уравнение переноса излучения.

-1

Зависимость коэффициента поглощения от температуры выбрана следующим образом: а (Т) = кг Т . Граничные условия

Излучение с интенсивностью ^ вводится в волокно на левой границе световода в точке х = —х0:

I(Г, 0) = 10. (3)

Считаем, что сток тепла с концов световода отсутствует:

дТ_ дх

дТ_

дх

= 0 . (4)

Начальные условия

Вычисления необходимо проводить для нескольких значений параметра т. Для первого варианта при т = 1 начальные условия для интенсивности излучения соответствуют «ступеньке»:

|70,х < х0, I (0, х) = \ 0 0

[0, х > х0.

Перед волной при х < х0 лазерное излучение не поглощается, поэтому I = 10. После полного поглощения луча при х > х0 I = 0. Уравнение интенсивности (1) можно решать как обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), поскольку в нем не содержится производной по времени. Поэтому для решения задачи Коши достаточно одного граничного условия (3), которое в случае ОДУ будет называться начальным условием.

Начальные условия для распределения температуры имеют вид:

|гр+х, х < х0,

Т (х,0) = \ 0' (5)

I гр—х, х > х,

и и 1 , „ ,

где р± = — + .--ъ— ; и - скорость распространения оптического заряда, для 1 = 0 и = 1; т - время остывания све-

± 2 V 4 т товода.

х=- х

х=+ х.

0

0

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Ожидается, что решение задачи Коши с такими начальными условиями приведет к выходу волны на установившийся режим равномерного движения с некоторой скоростью и за время ~ 1.

Для следующих вариантов с меньшим временем остывания (т = 0.9,0.8,...) в качестве начальных условий нужно брать установившиеся профили интенсивности излучения I и температуры Т , полученные в предыдущем варианте.

Ожидается, что для некоторого т п будет выход на режим равномерного движения (время выхода растет по мере уменьшения параметра т ), а для следующего тп+1 решение будет стремиться к I = 1, Т = 0, то есть произойдет «потухание» разряда. В этом случае следует брать точку в середине интервала (т п ,т п+1), чтобы как можно точнее определить критические значения времени остывания световода и скорости движения фронта волны.

Численное решение

Уравнение интенсивности излучения (1) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с заданным начальным условием (3). Для численного решения данного уравнения применим од-ношаговый метод Рунге-Кутты второго порядка [4]. В одношаговых методах решение в новой точке получается из одного решения в предыдущей точке. Формулы метода Рунге- Кутты второго порядка в применении к уравнению (1) имеют вид:

1м = I. + к(1 к1 +1 к2), 1 = 0, Ых -1,

к = I (х, I,), (6)

к2 = I (х1 + к, I . + кк1),

где к - шаг по пространственной переменной; I = —ке TI - функция правой части; к1,к2 - коэффициенты метода Рунге-Кутты.

Метод Рунге-Кутты второго порядка имеет погрешность порядка 0(к3'). Интенсивность излучения зависит от температуры, поэтому уравнение пересчитывается на каждом временном шаге.

Уравнение теплопроводности (2) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. Для численного решения воспользуемся методом конечных разностей [5]. Разностную схему для уравнения (2) построим на сетке

= |х. = I = 0, Ж; ^ = кт, к = , (7)

где к - шаг по пространству; т - шаг по времени; Ых - число шагов по пространственной переменной; № - число шагов по времени; 1 <г < Ых - множество узлов по пространственной переменной; 1 < к < N - множество узлов по времени. Пространственный шаг конечно-разностной сетки должен совпадать с шагом, принятым в методе Рунге-Кутты (6).

Аппроксимация внутренних точек

Рассмотрим аппроксимацию внутренних точек уравнения теплопроводности (2). При использовании явного шаблона аппроксимации дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимируется на нижнем временном слое. Аппроксимация уравнения теплопроводности (2) на явном шаблоне выглядит следующим образом:

Тк - тк-1 Тк-1 - 2Тк-1 + Тк-1 Тк-1

т—= ±Ы—т1г-1 - Т--I (1 к) + 0(т + к2) (8)

т к2 р 1

тк _ тк

где I (I* ) = .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ►►►►►

Отмечена зависимость поведения волны оптического разряда и мощности излучения, вводимой в световод. При недостаточной мощности излучения волны пробоя не возникает.

Исследовано влияние параметра времени охлаждения световода на распространение и потухание разряда. В результате расчетов определено критическое значение времени охлаждения, при котором происходит потухание разряда. Численное значение т = 0.608594.

Получена зависимость скорости движения волны от интенсивности излучения: с ростом интенсивности увеличивается скорость волны. Серия экспериментов по уменьшению времени остывания световода показала, что с уменьшением времени остывания скорость волны также уменьшается.

Работа выполнена совместно с Институтом структурной макрокинетики и проблем материаловедения (ИСМАН) РАН. Авторы выражают благодарность д. ф.-м. н. Э. Н. Руманову и к. ф.-м. н. А. Ю. Довженко за помощь в постановке задачи.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Буфетов И. А., Дианов Е. М. Оптический разряд в волоконных световодах // Успехи физических наук. Т. 175. №1. С. 100-103.

2. Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Расчет скорости и порога тепловой волны поглощения лазерного излучения в волоконном световоде // Квантовая электроника. 2004. Т. 34. № 8. С. 761-764.

3. Райзер Ю. П. Оптические разряды // Успехи физических наук. 1980. Т. 132. Вып. 3. С. 550-581.

4. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512с.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

6. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Издательство МЭИ, 2003. 596 с.