CC BY
12
И|/и01/СУ1У щогь ил ни у/ и&игъо Ч^±1 /Л. 11
УДК 537.52
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ТЕПЛОВОЙ ВОЛНЫ
ПОГЛОЩЕНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ВОЛОКОННОМ СВЕТОВОДЕ
Р. И. Голятина, А. Н. Ткачев, С. И. Яковленко
Тепловая волна поглощения лазерного излучения в сердцевине лазерного световода исследована на основе нестационарного двумерного уравнения теплопроводности. Вычислены скорости распространения волны как функции интенсивности лазерного излучения, а также пороговые значения интенсивности, при которых возникает волна прогрева. Показано, что скорость волны при больших интенсивностях качественно описывается известной из теории горения формулой и пропорциональна квадратному корню из интенсивности излучения. Пороговые значения интенсивности лазерного излучения, полученные в расчетах, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.
Эффект резкого изменения мощным лазерным излучением физических параметров прозрачного конденсированного вещества известен давно [1]. В частности, при превышении интенсивностью лазерного излучения некоторого порогового значения резко повышается коэффициент поглощения излучения. Это приводит при оптических разрядах в конденсированной среде [2, 3] и в газе [4] к распространению волны поглощения навстречу лазерному излучению.
За последние годы большой интерес возник к явлению такого рода в волоконных световодах [5 - 15]. Если на каком-либо участке волокна повышен коэффициент поглощения, то в этом месте происходит нагрев, который приводит к дальнейшему повышению поглощения. Теплопроводность обеспечивает продвижение такой тепловой волны поглощения (ТВП) навстречу лазерному излучению.
г\ ллл I
.X. ТТ 4 ТТ
ТВП ранее рассматривалась в упрощенном стационарном одномерном приближении в системе координат, двигающейся со скоростью волны [7, 8]. В данной работе ТВП рассматривается на основе двумерного нестационарного уравнения теплопроводности. Рассмотрены зависимости скорости движения ТВП от интенсивности излучения и определены пороговые значения интенсивности излучения, при которой возникает ТВП.
Рассматриваемая модель
Уравнение теплопроводности. Нестационарная двумерная модель ТВП в цилиндри ческих координатах г, г в прямоугольной области 0<г<га,0<г</(г!- внешний радиус световода; I - его длина) описывается двумя уравнениями - уравнением теплопроводности (1) и уравнением переноса излучения (2):
к(Т)-(Т{1,г,г))
+
(1)
1д_ г дг
д
г-к(Т)1-(Т(г,г,г))
+ а(Т)1(1,г,г),
д_ дг
1(г,г) = -а(Т)1(г,г).
(2)
Здесь 2 - координата вдоль волновода; г - координата по радиусу; ср{Т) - удельная теплоемкость; I - интенсивность (плотность потока энергии) лазерного излучения; а{Т) - коэффициент поглощения лазерного излучения; к(Т) - коэффициент теплопроводности; р(Т) - плотность вещества. Интенсивность зависит от времени неявным образом через температуру.
Зависимость коэффициента поглощения от температуры была выбрана следующей:
а(Т) =
О, т <тх
«„•(Г-ТО/СГр-Гх), Т\ <Т < Тр,
а
VI
т > тр.
Здесь ар - максимальное значение коэффициента поглощения; Тр - температура, при которой достигается это максимальное значение; Т\ - температура, при которой начинается быстрый рост коэффициента поглощения. Полагалось (Тр — Тг) <С Тр, при этом от величины Т\ результаты расчетов практически не зависят. Исходя из данных работ [7, 8] было положено ар — 560 см'1, Тр = 2000°С. Если существенно изменить величину ар, то результаты расчетов не будут согласовываться с экспериментальными данными. Кроме того, было положено Т\ — 1700°С.
Зависимость теплоемкости от температуры и от характеристик фазовых переходов представлялась в виде:
ср(Г) = со(Т) + Дс(Т, Тт, ДГт, АЯт) + Дс(Г, Тр, ДТР, ДЯР),
где со(Т) - функция, описывающая зависимость теплоемкости от температуры в отсутствие фазовых переходов;
Дс(Г,Г0, ДГ0, АН) = (АН0/т1/2АТ0) • ехр{-[(Т - Г0)/ДЯ0]2}
- функция, описывающая скачок теплоемкости в точке фазового перехода; Тт - температура плавления; Тр - температура, соответствующая резкому повышению поглощения;
о>
АНт - энергия плавления; АНР - энергия фазового перехода при увеличении поглощения. Величина АТ0 характеризует ширину фазового скачка.
Для стекла в представленных здесь расчетах были выбраны следующие параметры [7, 8, 16]: р(Т) = 2.2 гм/см3-, к = 0.02 Вт/см ■ К; со(Г) = ОЛАДж/гм ■ К; Тт = 1600°С; Гр = 2000°С; АНт = 142 Дж/гм-,АНр = 142 Дж/гм] АТт = тК;АТр = 100 К.
Граничные и начальные условия. Считалось, что излучение интенсивности /о, вводится при 2 = 0: /(¿,0,г) = 1о(г). При этом из (2) имеем:
I{t,z) = /о ехр (- j a{T{t,z'))dz'\ .
о
Однако при численном интегрировании это выражение неудобно, поскольку содержит искомую величину В конкретных расчетах распределение вводимой интенсив-
ности по радиусу соответствовало "ступеньке":
70(г) = 70, при г < г0; 1о(г) = 0, при г > г0. Считалось, что сток тепла с поверхности световода отсутствует:
int^r)
= 0, £г(М,г)
= 0.
*=П г=/
Начальные условия соответствовали "ступеньке":
T(t,z,r)|i=0 = То, при z < zp; T(t,z,r)|i=0 = Гр, npnz > zp,
я г, цш г, цт
О
Рис. 1. Линии равного уровня температуры, проведенные с шагом 500°С. В разрывах линий указана температура в 1000°С\ a) I0 = 1 MBm/cM2,t = 80цс\Р = 0.5Вт, та = 4цм), б) /0 = 4 МВт/см2, t = 210р,с{Р = 4 Вт, г0 = 4/лм).
где zp - координата точки начального возмущения. В расчетах полагалось Т0 = 20°С.
Результаты расчетов
Распространение волны поглощения. Характерное распределение температуры по оси световода при слабом и сильном лазерном излучении иллюстрируют рис. 1, 2. Как и следовало ожидать, имеет место пик температуры, продвигающийся навстречу лазерному лучу. Спад температуры за пиком обусловлен падением интенсивности лазерного излучения за счет поглощения на длине порядка а"1 = 18 мкм и теплопроводностным охлаждением. При меньшей интенсивности излучения охлаждение более существенно, поэтому пик выражен резче.
Скорость фронта ТВП Vf определялась по зависимости от времени координаты фронта zf(t), определяемой равенством T(t,r = 0,z}) = Тр (рис. 2, 3). Зависимость zf(t) с хорошей точностью следовала линейной зависимости zj(t),= vjt + const, и по наклону Zf(t) находилась V/. Результаты расчетов представлены на рис. 4. Там же приведены экспериментальные данные [15].
Скорость ТВП. В теории горения для скорости распространения пламени было получено выражение, пропорциональное квадратному корню из удельной мощности энерговыделения [19]. Оно используется в теории распространения разрядов [2] и может быть в данном случае записано в виде:
т оС Т оС
Рис. 2. Распределение температуры по длине Т(1,,г,г = 0) в различные моменты времени для /0 = 1 МВт/см2, Р = 0.5 Вт, г0 = 4 рм (а); и 10 = 4 МВт/см2, Р = 4 Вт,г0 = 4 рм (б): (а) 1 - г = 10/хс;2-г = 38рс;3-1 = 66/хс;4- I = 80¿¿с; ^ 1 - * = 10¿¿с; 2 - * = 90/хс;3- * = 170/хс; 4 — г = 210/хс.
t», = yJkapI0/(Tp - Та)/(рср). (3)
В работах [7, 8] предложено несколько иное, более общее выражение для скорости фронта ТВП, которое можно записать в виде:
Vf = vf0'(J(Io/Ich) + l-l). (4)
Здесь vjo = kap/2pcp - характеризует линейное нарастание скорости с ростом интенсивности в слабых полях; Ich = kap(T — Ta)/4 - характеризует интенсивность лазерного излучения, при которой линейная зависимость переходит в корневую. Для параметров расчетов, представленных на рис. 4, имеем: v/o = 0.034 м/с, Ich = 5.8 • 10_3 МВт/см \ Выражение (4) при /0 Ich переходит в выражение (3). В выражении (4) учтены затраты энергии на разогрев смеси, которыми пренебрегается при получении (3). Проведенные нами расчеты скорости фронта vj, в отсутствие охлаждения, согласуются с расчетами по формуле (4), когда интенсивность много больше пороговой (см. ниже). Впрочем, в рассматриваемых условиях результаты, получаемые на основе выражений (3) и (4), близки (см. рис. 4). Более существенным оказывается влияние охлаждения
Пороговые интенсивности. В серии расчетов была определена пороговая интенсивность Ith Для различных значений г0 (см. рис. 5). При /0 < Ith волна прогрева не возникает. Оценку порогового значения интенсивности Ith\ излучения можно получить,
Vf, m/s
150 200
t, JJ.S6C
100
I^MW/cni
Рис. 3. Зависимость координаты Zj фронта тепловой волны поглощения от времени t. Координата фронта Zj определяется как точка, в которой T(t,zj,r = 0) = Тр = 2000 А". Пунктир Zf(t) = Vft + const, где Vj — 0.29 м/с, I0 = AM Вт/см? ,Р — А Вт,г0 = Арм.
Рис. 4. Зависимость скорости распространения фронт,а ТВГ1 от интенсивности лазерного излучения. Кривые - результаты расчетов при различных радиусах кора; точки - экспериментальные значения. 1 - корневая зависимость (3); 2 - зависимость (4); 3 - расчет при г о — 50 рм; 4 — г0 = 20 рм; 5 — г0 = 10/¿.и; 6 — г0 = А рм; 7 — г0 = 2 рм. Использовались экспериментальные данные для SiO^-GeOi волноводов внешним диаметром \2Ърм [12]. Косые кресты - An = 0.04 - разница показателей преломления в центре и на периферии, d — 3.3 рм - диаметр сердцевины, заполненной излучением; прямые кресты - An = 0.009, d = 5.75 рм; прямоугольники - An — 0.0015, d = 11.05^л«.
приравняв поглощаемую мощность ар ■ Ith\ эффективному теплоотводу k. В ре-
зультате имеем
Ith\ =
6(ГР -Т0)-к
г па
(5)
о "Р
В численных расчетах пороговое значение определялось по значению скорости 0.1 м/с. Сопоставление формулы (5) с результатами численных расчетов и измерений пороговых значений интенсивности [12] проведено на рис. 5. Видно, что в рассмотренном диапазоне данных оценка отличается от расчетов примерно в два раза. В то же время
1Л, MW/cm2
Рис. 5. Зависимость пороговых значений интенсивности от диаметра сердцевины световода д0. Кружки - экспериментальные данные [12]; сплошная кривая - результаты расчетов; штриховая кривая - оценка (5).
результаты двумерного расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Проведенные расчеты показали, что тепловая волна поглощения, бегущая по сердцевине световода, хорошо описывается нестационарным двумерным уравнением теплопроводности и стационарным уравнением для интенсивности лазерного излучения Скорость ТВП при интенсивностях, намного превышающих пороговое значение, хорошо описывается известной из теории горения формулой и пропорциональна квадратному корню из интенсивности света. Пороговое значение интенсивности лазерного излучения по порядку величины оценивается из сравнения нагрева с теплоотводом. Полученное на основе расчетов пороговое значение интенсивности хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Вычисленные зависимости скорости волны от интенсивности света и пороговые значения интенсивности согласуются с имеющимися экспериментальными данными.
Авторы благодарны Е. М. Дианову за постановку задачи, А. С. Бирюкову и И. А. Буфетову за обсуждение результатов, а также А. А. Фролову за предоставление результатов измерений в оцифрованном виде.
ЛИТЕРАТУРА [1] А с к а р ь я н Г. А., П р о х о р о в А. М., Чантурия Г. Ф., Ш и п у л о 32
Г. П. ЖЭТФ, 44, вып. 6, 2180 (1963); Прохоров A.M. Квантовая электроника. Избранные труды. М., ИздАТ, 1996, с. 87.
[2] 3 е л и к и н Н. В., К а с к Н. Е., Радченко В. В., и др. Письма в ЖТФ, 4, вып. 21, 1296 (1978).
[3] К а с к Н. Е., К о р н и е н к о Л. С. Изв. АН СССР, 4, N 6, 1010 (1982).
[4] Р а й з е р Ю. П. Лазерная искра и распространение разрядов. М., Наука, 1974.
[5] К a s h у а р R. Proc. Intenat. Conf. Lasers'87, Lake Tahoe, Nevada, Dec. 7-11, 1987, p. 859.
[6] К a s h у a p R. and В 1 о w К. J. Electronics Letters, 24, No 1, 47 (1988).
[7] H a n d D. P. and R u s s e 1 P. St. J. Optics Letters, 13, No 9, 767 (1988).
[8] H a n d D. P. and R u s s e 1 P. St. J. 14th. ECOC 11-15 Sept, 1988, part 1, p. 111.
[9] К a s h у a p R., S а у 1 e s A., and Cornwell G. F. Proceedings of SPIE, 2965, 586 (1997).
[10] D r i s с о 1 1 Т. J., С a 1 о J. M., and L a w a n d у N. M. Optics Letters. 16, No 13, 1046 (1991).
[11] D i a n о v E. M., Mashinsky V. M., M у z i n a V. A., et al. Sov. Lightwave Comraun., 2, 293 (1992).
[12] Д и а н о в E. M., Буфетов И. А., Фролов А. А. и др. Квантовая электроника, 32, N 6, 476 (2002).
[13] Davis D. D., M e t t 1 e r S. C., and Di Giovanni D. J. Proceedings of SPIE, 2714, 202 (1997).
[14] Davis D. D., Mettler S. C., and Di Giovanni D. J. Proceedings of SPIE, 2966, 592 (1997); Optics Letters, 28, No. 12, 974 (2003).
[15] Бабичев А. П., Бабушкина H. А., Братковский A. M. и др. Физические величины. Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М., Энергоатомиздат, 1991. IBSN 5-283-04013-5.
[16] Калиткин Н. Н. Численные методы. Москва, Наука, 1978.
[17] S у t s к о Yu. I. and Y а к о v 1 е п к о S. I. Laser Physics, 6(5), 989 (1996).
[18] М а р ч у к Г. И. Методы расщепления, М., Наука, 1988.
[19] Зельдович Я. Б., Франк-Каменецкий Д. А. Ж. физ. хим., 12, вып. 1, 100 (1938); Зельдович Я. Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика. М., Наука, 1984, с. 226.
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 16 июня 2004 г.
