CC BY
5Математические заметки СВФУ Январь—март, 2023. Том 30, № 1
УДК 517.956.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ПОРИСТОЙ
СРЕДЕ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН
ОТ СИНГУЛЯРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Х. Х Имомназаров, А. А. Михайлов, А. Т. Омонов, С. Тордье
Аннотация. В работе численно решается система пороупругости в бездиссипатив-ном двумерном случае. Исходная система записывается в виде гиперболической системы первого порядка в терминах скоростей матрицы, скорости насыщающей жидкости, тензора напряжений и давления жидкости. Для численного решения задачи используется совмещенный метод аналитического преобразования и конечно-разностного метода. Предлагаемый алгоритм можно рассматривать как аналог известного спектрального метода на основе Фурье-преобразования. Однако, в отличие от него, применение спектрального метода Лагерра позволяет свести исходную задачу к решению системы уравнений, в которой параметр Лагерра присутствует только в правой части уравнений и имеет рекуррентный характер. Показано, что данный алгоритм решения эффективен при моделировании волновых процессов в средах с резко-контрастными границами типа земля — вода — атмосфера.
Б01: 10.25587/8УРи.2023.92.13.007
Ключевые слова: преобразование Лагерра, пористая среда, численное моделирование, волновое поле, разностная схема.
Введение
Исследования процессов конвективного тепло- и массопереноса в насыщенных пористых средах традиционно занимают одно из центральных мест среди современных проблем теоретической теплофизики. Это обусловлено прежде всего актуальностью изучения внутренних механизмов переноса массы и энергии в пористой среде, включая прогнозы и оценку эффективности применения пористых материалов в различных областях техники и технологии. Пористые среды очень широко распространены и отличаются большим разнообразием как в естественных, так и в искусственных материалах. Поэтому изучение процессов фильтрации занимает важное место в биологии, гидрологии, гидродинамике, а также в машиностроении, производстве композиционных материалов [1-5] и др.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант N0. 21-51-15002). © 2023 Имомназаров Х. Х, Михайлов А. А., Омонов А. Т., Тордье С.
Первой публикацией, в которой была сформулирована проблема изучения особенностей макроскопического переноса массы в насыщенной жидкостью пористой среде, был отчет об экспериментальных исследованиях выпускника Политехнической школы, французского инженера Дарси, изданный в Париже в середине XIX в. [6]. Годом позже Дарси опубликовал теоретическую работу с анализом экспериментальных данных и выводом известного соотношения между скоростью насыщающей жидкости и градиентом давления (или напора) в пористой среде, названного впоследствии его именем [7]. Фундаментальность подхода и подробный анализ поставленных вопросов в этих работах создали прочный базис для нового раздела гидродинамики — теории фильтрации жидкостей и газов в капиллярно-пористой среде.
При моделировании распространения сейсмических волн в пористой среде часто используется модель Френкеля — Био [8, 9]. Позднее [10] была предложена термодинамически согласованная нелинейная математический модель для описания упругодеформируемых процессов в пористой среде на основе общих первых физических принципов. Особенностью этих моделей является существование трех типов звуковых колебаний: поперечные и два типа продольных. В отличие от моделей типа Френкеля — Био в линеаризованной модели [10] среда описывается тремя упругими параметрами [11,12]. Эти упругие параметры взаимно однозначно выражаются тремя скоростями упругих колебаний. Это обстоятельство важно для численного моделирования распространения упругих волн в пористых средах, когда известны распределения скоростей акустических волн и физических плотностей матрицы, насыщающей жидкости и пористости.
Исследованию прямых и обратных динамических задач теории пороупруго-сти посвящено много работ (см. [13-33] и указанную там литературу). В данной работе численно решается система пороупругости из [12,13] в бездиссипативном двумерном случае. Исходная система записывается в виде гиперболической системы первого порядка в терминах скоростей матрицы, скорости насыщающей жидкости, тензора напряжений и давления жидкости. Для численного решения задачи используется совмещенный метод аналитического преобразования и конечно-разностного метода. Предлагаемый алгоритм можно рассматривать как аналог известного спектрального метода на основе Фурье-преобразования. Однако в отличие от него применение спектрального метода Лагерра позволяет свести исходную задачу к решению системы уравнений, в которой параметр Лагерра присутствует только в правой части уравнений и имеет рекуррентный характер. Показано, что данный алгоритм решения эффективен при моделировании волновых процессов в средах с резко-контрастными границами типа земля — вода — атмосфера.
Постановка задачи
Рассмотрим постановку динамической задачи распространения сейсмических волн от сингулярных источников в средах, состоящих из упругих и пористых слоев. В этом случае распространение сейсмических волн в пористой
среде, насыщенной жидкостью, при отсутствии потери энергии описывается для декартовой системы координат в полуплоскости следующей начально-краевой задачей [11,12, 34]:
дщ ~dt
dir.
ik
dt
+ M
duk dxi
+
+
Ps dvi dt дщ dxk
1 d^
ik
dxk
+
1 dp
p dxi
Fi(xi,x2)/(t),
+
1 dp
p dxi
Fi(xi,x2)f (t),
+
^ 2
. div u--div v = 0,
P
dp
—--(K — apps) div u + appi div v = 0,
dt
Ui |t=0 = Vi |t=0 = &ik |t=0 = p
Pl
Ö22 + p|x2=0 = ^12|ж2=0
-p
P
t=0
= 0,
0,
Ж2=0
где u = (ui, u2) и v = (vi, v2) — векторы скорости упругого пористого тела с парциальной плотностью ps и жидкости с парциальной плотностью pi соответственно, p — поровое давление, <rik — тензор напряжений, p = pl + ps, ps = pS(1 — d0), Pi = pf d0, pf, и pf — физические плотности упругого пористого тела и жидкости соответственно, d0 — пористость, Sik — символ Кронекера, K = Л + 2м/3, А > 0, м > 0, — коэффициенты Ламе, а = pa3 + K/p2, p3a3 > 0 — модуль объемного сжатия жидкой компоненты гетерофазной среды, F = (F1;F2) — вектор массовых сил, f (t) — моделируемый временной сигнал в источнике, F1 и F2 — компоненты вектора силы, описывающей действие локализованного в пространстве источника. Значения этих компонент зависят от типа моделируемого источника:
(1) для источника типа «вертикальная сила»
Fi = 0, F2 = 5(xi — x0)^(x2 — Z0);
(2) для источника типа «центра давления»
д6{х 1 - ж0) dS(x2-z0) F1 = ö(x2-zo)-д-, F2 = ä(x i-xo)-
dx1
(3) для источника типа «диполь без момента»
dx2
Fi =0, F2 = 5(xi — x0)
dS(x2 — z0) dx2
Здесь ж0, ¿о — пространственные координаты источника.
Упругие модули К, м, а3 выражаются через скорость распространения поперечной волны са и две скорости продольных волн сР1, сР2 следующими формулами [35,36]:
М :
psc2,
K
аз
2 pi + Р2 3 р Cs
2р2 + 3 'рС* +
— \ (СР1 —
64 pipa 9 р2
2
8 p.
s2
(Ü — ■
64 pips 9 p2
2
2
Алгоритм решения
Для решения поставленной задачи (1)—(3) применим интегральное преобразование Лагерра по времени [37,38]
сю
^ш{хъх2)= [ ,x2,t)(ht)~^l^(ht)d(ht) (1)
с формулами обращения
ю
—У a х—г гг) I —у
W{xux2,t) = (ht) 2 V --— Wm(x1,x2)C(ht), (2)
z—' (m + а)!
m=0 4 '
где (ht) _ функции Лагерра. В результате данного преобразования исходная задача (1)-(3) сводится к двумерной пространственной дифференциальной задаче в спектральной области:
h m i dvm idpm . n
-u™ + — + -—— = F™(xu x2 - h 2 ps dxk p dxi ^
n=0
n=0
^ + + A-^ife divu-
jdui + dvi\ , л Ps
2 ' у дх^ dxk
m— 1
- ^KSlk div vm = -hY] a?k, (3)
p n=0
m— 1
-Pm-{K- aPPs) div um + аррг div vm = -Л ^ Pn,
m I nm _ m _ ri pn
n=0 = 0.
(4)
Ж2=0
Для решения приведенной задачи воспользуемся конечно-разностной аппроксимацией производных по пространственным координатам на сдвинутых сетках с четвертым порядком точности [39]. Для этого в расчетной области введем в направлении координаты г = сетки шг1 и шг1/2 с шагом дискретизации Аг, сдвинутые относительно друг друга на А г/2:
= (х,^Аг,Ь), Аг Л—= • • •, М.
Аналогично введем в направлении координаты х = х2 сетки шх1 и <лх1/2 с шагом дискретизации Ах, сдвинутые относительно друг друга на Ах/2:
( Ах \
<лх\ = (гАх, шх!/2 = ( ^Ах Н—), { = 0,..., N.
На данных сетках введем операторы дифференцирования и , аппроксимирующие производные ^ и с четвертым порядком точности по координатам z = x1 и x = x2:
um(x, z), vm(x, z) G wx1 x wzi,
um(x,z), v2m(x,z) G Wxi/2 x Wzi/2, "11 (x, z), <2(x,z), Pm(x,z) G wx1/2 x wz1, o12(x, z) G wxi x wzi/2.
Определим искомые компоненты вектора решения в следующих узлах сеток:
um(x, z), vj™(x, z) G wx1 x шг1, u^x, z), ^2™(x, z) G wxi/2 x wzi/2,
ari(x,z),am2(x,z),Pm(x,z) G wxi/2 x шг1, ctJ2(x,z) G wx1 x wz1/2.
В результате конечно-разностной аппроксимации задачи (6) получим систему линейных алгебраических уравнений. Представим искомый вектор решения W в следующем виде:
W(m) = (V0(m), Vi(m), .. ., VM+N(m))T,
V = iV'j Ui+1/2,j+1/2 vi,j vi+1/2,j + 1/2 _i+1/2,j _i+1/2,j _i,j + 1/2 pi+1/2,j
V i+j = , u2 , v1 , v2 , "11 , "22 , "12 ,p / •
Данная система линейных алгебраических уравнений в векторной форме может быть записана так:
А + ^E^j W(то) = F(to - 1).
Матрица системы сведенной задачи имеет хорошую обусловленность, что позволяет использовать быстрые методы решения систем линейных алгебраических уравнений на основе итерационных методов типа сопряженных градиентов, сходящиеся к искомому решению с требуемой точностью всего за несколько итераций.
Численные результаты
В данной статье представлены численные результаты моделирования сейсмических волновых полей для тестовой модели среды. Заданная модель среды состоит из двух изотропных слоев: верхний слой — вода, нижний — пористая среда. Физические характеристики слоев были заданы следующими параметрами:
1) верхний слой — p = 1г/см3, cp = 1.5 км/с, cs = 0;
2) нижний слой — pf = 1.5 г/см3, pf = 1 г/см3, сР1 =2.1 км/с, cp2 = 0.6 км/с, cs = 1.3 км/с, d = 0.2.
Рис. 1. Мгновенные снимки волнового поля скорости смещений в момент времени Т = 1с: левый — для их (х, ^-компоненты, правый — для пг (х, ^-компоненты.
Рис. 2. Мгновенные снимки волнового поля скорости смещений в момент времени T = 1.8 секунда: левый — для ux (ж, ^-компоненты, правый — для uz (x,z)-компоненты.
Волновое поле моделировалось от точечного источника типа диполь без момента с координатами х0 = 3 км, z0 = 1.5 км, который расположен в верхнем водном слое. Временной сигнал в источнике задавался в виде импульса Пузырева с несущей в виде
f{t) = exp (-Wo(^2~t0)2) sin(27T/0(i - to)),
где y = 4, fo = 10 Гц, to = 0.15 с.
Результаты численных расчетов волнового поля для заданной модели среды представлены на рис. 1, 2. На данных рисунках изображены мгновенные
снимки волнового поля для ux- и -компонент скорости смещения в фиксированные моменты времени. На рис. 1 для T = 1с, а на рис. 2 для T = 1.8 с. Граница раздела слоев изображена на рисунках сплошной линией.
На рисунках видно, что при падении продольной волны, излучаемой источником заданного типа, на границу раздела слоев в заданной среде образуются соответствующие типы волн. В водном слое возникают отраженные от границ продольные волны, а в нижнем пористом слое возникают два типа продольных волн P1 и P2 и поперечная волна S.
ЛИТЕРАТУРА
1. Chen X., Zhang Y., Yan S. Two-dimensional simulations of resin flow in dual-scale fibrous porous medium under constant pressure //J. Reinforced Plastics Compos. 2013.V. 32, N 22. P. 1757-1766.
2. Gantois R., Cantarel A., Dusserre G., Felices J. N., Schmidt F. Mold filling simulation of resin transfer molding combining BEM and level set method // Appl. Mech. Mater. 2011. V. 62. P. 57-65.
3. Loudad R., Saouab A., Beauchene P., Agogue R., Desjoyeaux B. Numerical modeling of vacuum-assisted resin transfer molding using multilayer approach //J. Compos. Mater. 2017. V. 51, N 24. P. 3441-3452.
4. Song Y. S. Mathematical analysis of resin flow through fibrous porous media // Appl. Compos. Mater. 2006. V. 13, N 5. P. 335-343.
5. Yang B., Tang Q., Wang S., Jin T., Bi F. Three-dimensional numerical simulation of the filling stage in resin infusion process //J. Compos. Mater. 2016. V. 50, N 29. P. 4171-4186.
6. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris: V. Dalmont, 1856.
7. Darcy H. Recherches experimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux. Paris: Mallet-Bachelier, 1857.
8. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. география и геофизика. 1944. Т. 8, № 4. С. 133-146.
9. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. Low-frequincy range //J. Acoust. Soc. Amer. 1956. V. 28. P. 168-178.
10 Доровский В. Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. 1989. № 7. С. 39-45.
11. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В., Роменский Е. И. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах // Физика горения и взрыва. 1993. № 1. C. 100111.
12. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. New York: Nova Sci., 1995.
13. Lake L. Enhanced oil recovery. Prentice Hall: Englewood Cliffs, 1989.
14. Vafai K. Porous media: Applications in biological systems and biotechnology. London: Taylor & Francis, 2011.
15. Aker E., Maloy K. J., Hansen A. Simulating temporal evolution of pressure in two-phase flow in porous media // Phys. Rev. 1998. E 58. P. 2217-2226.
16. Zhao B. et al. Comprehensive comparison of pore-scale models for multiphase flow in porous media // PNAS. 2019. N 116. P. 13799-13806.
17. Имомназаров Х. Х. Характеристики интерференционных волновых полей в присутствии пористого слоя // Докл. АН. 1997. Т. 352, № 1. С. 105-108.
18. Имомназаров Х. Х. Численное моделирование некоторых задач теории фильтрации для пористых сред // Сиб. журн. индустр. математики. 2001. Т. 4, № 2. С. 154-165.
19. Alekseev A. S., Imomnazarov Kh. Kh., Grachev E. V., Rakhmonov T. T., Imomnazarov B. Kh. Direct and inverse dynamic problems for a system of equations of homogeneous elastic-porous media // Appl. Math. Lett. 2004. V. 17, N 9. P. 1097-1103.
20. Imomnazarov Kh. Kh., Zhapbasbay B. M. Optimization method to solve the inverse problem of electrokinetics for vertically inhomogeneous media //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 5. P. 481-491.
21. Imomnazarov Kh. Kh., Kholmurodov A. E. Direct and inverse dynamic problems for SH-waves in porous media // Math. Comput. Model. 2007. V. 45, N 3-4. P. 270-280.
22. Сорокин К. Э., Имомназаров Х. Х. Численное решение линейной двумерной динамической задачи для пористых сред // Журн. СФУ. Сер. математика и физика. 2010. Т. 3, № 2. С. 256-261.
23. Имомназаров Х. Х., Имомназаров Ш. Х., Рахмонов Т. Т., Янгибоев З. Ш. Регуляризация в обратных динамических задачах для уравнения SH волн в пористой среде // Владикавк. мат. журн. 2013. Т. 15, № 2. С. 45-57.
24. Imomnazarov Kh. Kh., Mikhailov A. A. Application of a spectral method to numerical modeling of the propagation of seismic waves in porous media with energy dissipation // Numer. Anal. Appl. 2014. V. 7, N 2. P. 117-123.
25. Imomnazarov Kh. Kh., Imomnazarov Sh. Kh., Korobov P. V., Kholmurodov A. E. Direct and inverse problems for nonlinear one-dimensional poroelasticity equations // Dokl. Math. 2014. V. 89, N 2. P. 250-252.
26. Priimenko V. I., Vishnevskii M. P. An identification problem related to the Biot system // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2015. V. 23, N 3. P. 219-230.
27. Imomnazarov Kh. Kh., Mikhailov A. A., Rakhmonov T. T. Simulation of the seismic wave propagation in porous media described by three elastic parameters // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. P. 591-599.
28. Vishnevskii M. P., Priimenko V. I. On the solvability of some dynamic poroelastic problems // Sib. Math. J. 2019. V. 60, N 3. P. 429-449.
29. Imomnazarov Kh. Kh., Jabborov N. M. Application of A-analytic functions to the investigation of the Cauchy problem for a stationary poroelasticity system // J. Contemp. Math. Fundamental Directions. 2019. V. 65, N 1. P. 33-43.
30. Vicente B. J., Priimenko V. I., Pires A. P. Mathematical model of water alternated polymer injection // Transport in Porous Media. 2020. V. 135. P. 431-456.
31. Turdiyev U., Imomnazarov Kh. A system of equations of the two-velocity hydrodynamics without pressure // AIP Conf. Proc. 2021. V. 2365. 070002.
32. Imomnazarov Kh, Kholmuradov A. E., Dilmuradov N. Direct and inverse dynamic quasilinear problems of poroelasticity // AIP Conf. Proc. 2021. V. 2365. 070020.
33. Da Silva R. B., Priimenko V. I. An analytical solution of the saturated and incompressible poroelastic model for transient wave propagation // Euaras. J. Math. Comput. Appl. 2021. V. 9, N 2. P. 12-31.
34. Imomnazarov Kh. Kh. A mathematical model for the movement of a conducting liquid through a conducting porous medium: I. Excitation of oscilations of the magnetic field by the surface Rayleigh waves // Math. Comput. Model. 1996. V. 24, N 1. P. 79-84.
35. Имомназаров Х. Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Докл. АН. 2000. Т. 373, № 4. С. 536-537.
36. Imomnazarov Kh. Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000. V. 13, N 3. P. 33-35.
37. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., Reshetova G. V. Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method // Pure Appl. Geophys. 2003. N 160. P. 1207-1224.
38. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., Reshetova G. V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophys. Prospect. 2003. N 51. P. 37-48.
39. Levander A. R. Fourth order velocity-stress finite-difference scheme // Proc. 57th SEG Annu.
Meeting. New Orleans, 1987. P. 234-245.
Поступила в редакцию 27 декабря 2022 г. После доработки 13 февраля 2023 г. Принята к публикации 28 февраля 2023 г.
Имомназаров Холматжон Худайназарович
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 imom@omzg.sscc.ru
Михайлов Александр Анатольевич
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090 alex_mikh@omzg.sscc.ru
Омонов Алишер Тошпулатович
Ташкентский государственный экономический университет, Ташкент 100066, Узбекистан alisher.omonov1992@mail.ru
Тордье Себастьян Университет г. По, По 64300, Франция sebastien.tordeux@univ-pau.fr
Математические заметки СВФУ Январь—март, 2023. Том 30, № 1
UDC 517.956.3
NUMERICAL MODELING OF THE SEISMIC WAVES PROPAGATION IN A POROUS MEDIUM FROM SINGULAR SOURCES
Kh. Kh. Imomnazarov, A. A. Mikhailov, A. T. Omonov, and S. Tordeux
Abstract: A linear two-dimensional problem in the form of dynamic equations of porous media for the components of velocities, stresses and pressure is considered. The dynamic equations are based on conservation laws and consistent with the thermodynamics conditions. The medium is considered to be ideal (there is no energy loss in the system) isotropic and two-dimensional inhomogeneous with respect to space. For the numerical solution of the problem posed, the method of integrating the integral Laguerre transform with respect to time with finite-difference approximation in spatial coordinates is used. The solution algorithm employed makes it possible to efficiently carry out simulations in a complex porous medium and to study the wave effects arising in such media.
DOI: 10.25587/SVFU.2023.92.13.007 Keywords: Laguerre transform, porous medium, numerical simulation, wave field, difference scheme.
REFERENCES
1. Chen X., Zhang Y., and Yan S., "Two-dimensional simulations of resin flow in dual-scale fibrous porous medium under constant pressure," J. Reinforced Plastics Compos., 32, No. 22, 1757-1766 (2013).
2. Gantois R., Cantarel A., Dusserre G., Felices J. N., and Schmidt F., "Mold filling simulation of resin transfer molding combining BEM and level set method," Appl. Mech. Mater., 62, 57-65 (2011).
3. Loudad R., Saouab A., Beauchene P., Agogue R., and Desjoyeaux B., "Numerical modeling of vacuum-assisted resin transfer molding using multilayer approach," J. Compos. Mater., 51, No. 24, 3441-3452 (2017).
4. Song Y. S., "Mathematical analysis of resin flow through fibrous porous media," Appl. Compos. Mater., 13, No. 5, 335-343 (2006).
5. Yang B., Tang Q., Wang S., Jin T., and Bi F., "Three-dimensional numerical simulation of the filling stage in resin infusion process," J. Compos. Mater., 50, No. 29, 4171-4186 (2016).
6. Darcy H., Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, V. Dalmont, ed., Paris (1856).
7. Darcy H., Recherches Experimentales Relatives au Mouvement de L'eau Dans les Tuyaux, Mallet-Bachelier, Paris (1857).
8. Frenkel Ya. I., "On the theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil," J. Phys. USSR, No. 8, 230-241 (1944).
9. Biot M. A., "Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. Low-frequincy range," J. Acoust. Soc. Amer., 28, 168-178 (1956).
10. Dorovsky V. N., "Continual theory of filtration," Sov. Geol. Geofiz., No. 7, 34-39 (1989).
11. Dorovsky V. N., Perepechko Yu. V., and Romensky E. I., "Wave processes in saturated porous elastically deformed media," Comb. Explos. Shock Waves, No. 1, 100-111 (1993).
© 2023 Kh. Kh. Imomnazarov, A. A. Mikhailov, A. T. Omonov, S. Tordeux
12. Blokhin A. M. and Dorovsky V. N., Mathematical Modelling in the Theory of Multivelocity Continuum, Nova Sci., New York (1995).
13. Lake L., Enhanced Oil Recovery, Prentice Hall, Englewood Cliffs (1989).
14. Vafai K., Porous Media: Applications in Biological Systems and Biotechnology, Taylor&Fran-cis, London (2011).
15. Aker E., Maloy K. J., and Hansen A., "Simulating temporal evolution of pressure in two-phase flow in porous media," Phys. Rev., E 58, 2217-2226 (1998).
16. Zhao B. et al., "Comprehensive comparison of pore-scale models for multiphase flow in porous media," PNAS, No. 116, 13799-13806 (2019).
17. Imomnazarov Kh. Kh., "Characteristics of interference wave fields in the presence of a porous layer [in Russian]," Dokl. RAN, 352, No. 1, 105-108 (1997).
18. Imomnazarov Kh. Kh., "Numerical simulation of some problems of filtration theory for porous media [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 4, No. 2, 154-165 (2001).
19. Alekseev A. S., Imomnazarov Kh. Kh., Grachev E. V., Rakhmonov T. T., and Imomnazarov B. Kh., "Direct and inverse dynamic problems for a system of equations of homogeneous elastic-porous media," Appl. Math. Lett., 17, No. 9, 1097-1103 (2004).
20. Imomnazarov Kh. Kh. and Zhapbasbay B. M., "Optimization method to solve the inverse problem of electrokinetics for vertically inhomogeneous media," J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 5, 481-491 (2004).
21. Imomnazarov Kh. Kh. and Kholmurodov A. E., "Direct and inverse dynamic problems for SH-waves in porous media," Math. Comput. Model., 45, No. 3-4, 270-280 (2007).
22. Sorokin K. E. and Imomnazarov Kh. Kh., "Numerical solution of a linear two-dimensional dynamic problem for porous media [in Russian]," Zh. Sib. Fed. Univ., Ser. Mat. Fiz., 3, No. 2, 256-261 (2010).
23. Imomnazarov Kh. Kh., Imomnazarov Sh. Kh., Rakhmonov T. T., and Yangiboev Z. Sh., "Regularization in inverse dynamic problems for the equation of SH waves in a porous medium [in Russian]," Vladikavkaz. Mat. Zh., 15, No. 2, 46-58 (2013).
24. Imomnazarov Kh. Kh. and Mikhailov A. A., "Application of a spectral method to numerical modeling of the propagation of seismic waves in porous media with energy dissipation," Numer. Anal. Appl., 7, No. 2, 117-123 (2014).
25. Imomnazarov Kh. Kh., Imomnazarov Sh. Kh., Korobov P. V., and Kholmurodov A. E., "Direct and inverse problems for nonlinear one-dimensional poroelasticity equations," Dokl. Math., 89, No. 2, 250-252 (2014).
26. Priimenko V. I. and Vishnevskii M. P., "An identification problem related to the Biot system," J. Inverse Ill-Posed Probl., 23, No. 3, 219-230 (2015).
27. Imomnazarov Kh. Kh., Mikhailov A. A., and Rakhmonov T. T., "Simulation of the seismic wave propagation in porous media described by three elastic parameters," Sib. Elektron. Mat. Izv., 16, 591-599 (2019).
28. Vishnevskii M. P. and Priimenko V. I., "On the solvability of some dynamic poroelastic problems," Sib. Math. J., 60, No. 3, 429-449 (2019).
29. Imomnazarov Kh. Kh. and Jabborov N. M., "Application of A-analytic functions to the investigation of the Cauchy problem for a stationary poroelasticity system," J. Contemp. Math., Fundamental Directions, 65, No. 1, 33-43 (2019).
30. Vicente B. J., Priimenko V. I., and Pires A. P., "Mathematical model of water alternated polymer injection," Transp. Porous Media, 135, 431-456 (2020).
31. , "A system of equations of the two-velocity hydrodynamics without pressure," AIP Conf. Proc., 2365, 070002 (2021).
32. Imomnazarov Kh., Kholmuradov A., and Dilmuradov N., "Direct and inverse dynamic quasilinear problems of poroelasticity," AIP Conf. Proc., 2365, 070020 (2021).
33. Da Silva R. B. and Priimenko V. I., "An analytical solution of the saturated and incompressible poroelastic model for transient wave propagation," Euaras. J. Math. Comput. Appl., 9, No. 2, 12-31 (2021).
34. Imomnazarov Kh. Kh., "A mathematical model for the movement of a conducting liquid through a conducting porous medium: I. Excitation of oscilations of the magnetic field by the surface Rayleigh wave," Math. Comput. Model., 24, No. 1, 79-84 (1996).
35. Imomnazarov Kh. Kh., "Some remarks on the system of Biot equations [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 373, No. 4, 536-537 (2000).
36. Imomnazarov Kh. Kh., "Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium," Appl. Math. Lett., 13, No. 3, 33-35 (2000).
37. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., and Reshetova G. V., "Numerical modeling of transient seismic fields in viscoelastic media based on the Laguerre spectral method," Pure Apll. Geophys., No. 160, 1207-1224 (2003).
38. Mikhailenko B. G., Mikhailov A. A., and Reshetova G. V., "Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method," Geophys. Prospect., No. 51, 37-48 (2003).
39. Levander A. R., "Fourth order velocity-stress finite-difference scheme," Proc. 57th SEG Annu. Meeting, pp. 234-245, New Orleans (1987).
Submitted December 27, 2022 Revised February 13, 2023 Accepted February 28, 2023
Kholmatzhon Kh. Imomnazarov, Aleksandr A. Mikhailov Institute of Conputational Mathematics and Mathematical Physics, 6 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia imom@omzg.sscc.ru, alex_mikh@omzg.sscc.ru
Alisher T. Omonov
Tashkent State University of Economics,
49 Islom Karimov Street, Tashkent 100066, Uzbekistan
omonovat@tsue.uz
Sebastien Tordeux
Universite de Pau et des Pays de l'Adour, BP 1155, 64013 Pau Cedex, France sebastien.tordeux@univ-pau.fr
