Научная статья на тему 'Численное моделирование нестационарного течения и теплообмена при свободной конвекции в замкнутом объеме цилиндра'

Численное моделирование нестационарного течения и теплообмена при свободной конвекции в замкнутом объеме цилиндра Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
60
9
Поделиться
Ключевые слова
ТЕПЛООБМЕН / HEAT TRANSFER / ГИДРОДИНАМИКА / HYDRODYNAMICS / СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ / FREE CONVECTION / ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / NUMERICAL SIMULATION

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Нечаев Валерий Владимирович, Ковалевский Игорь Геннадьевич, Тупицын Алексей Альбертович

Представлены постановка и решение задачи исследования нестационарного течения жидкости и теплообмена при свободной конвекции в ограниченном объеме цилиндра. Система дифференциальных уравнений переноса импульса, энергии и неразрывности движения жидкости в частных производных записана в цилиндрической системе координат и консервативной форме. Уравнения движения Навье Стокса записаны в приближении Буссинеска. Разработан алгоритм численной реализации решения дифференциальных уравнений в частных производных при нестационарном конвективном тепломассопереносе методом конечных разностей. Получены конечноразностные аналоги дифференциальных уравнений в консервативной форме. В конечноразностные аналоги дифференциальных уравнений введен дополнительный коэффициент, позволяющий уменьшить схемную вязкость для сохранения монотонности схемы. Проанализированы условия на границах заданного пространства в каждый момент времени. Решение системы дифференциальных уравнений нестационарного конвективного тепломассопереноса в частных производных проводилось по явной схеме. Рассчитаны нестационарные поля температур в заданном объеме цилиндра. Произведен расчет функции тока и вихря скорости в узлах пространственной сетки для различных моментов времени. Представлены расчетные изолинии для функций тока и вихря скорости при разных значениях безразмерного времени. По результатам расчета проанализировано возникновение вторичных течений и циркуляции движения жидкости внутри ограниченного объема цилиндра при наличии источника тепла. По результатам расчетов определена устойчивая область с интенсивным движением жидкости при стабилизации течения. Приведено сравнение результатов численного моделирования с данными физического эксперимента для однотипного течения.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Нечаев Валерий Владимирович, Ковалевский Игорь Геннадьевич, Тупицын Алексей Альбертович,

NUMERICAL SIMULATION OF THE NON-STATIONARITY FLOW AND HEAT EXCHANGE AT THE FREE CONVECTION IN THE CLOSED VOLUME OF THE CYLINDER

Statement and solution of research problem of liquid non-stationary flow and heat exchange at free convection in closed volume of the cylinder are presented. The differential equations system of transfer of an impulse, energy and liquid movement continuity in partial derivatives is written down in cylindrical system of coordinates and a conservative form. The Navier Stokes movement equations are written in the approximation of Bussinesq. The algorithm of numerical implementation of the differential equations solution in partial derivatives is developed at a non-stationary convective heat-and-mass transfer by a method of finite differences. Finite-difference analogs of the differential equations in a conservative form are obtained. The additional coefficient, allowing reducing circuit viscosity for preservation of monotony of the scheme is entered into finite-difference analogs of the differential equations. Conditions on borders of the defined space in each point of time are analysed. The decision of differential equations system of a non-stationary convective heat-and-mass transfer in partial derivatives was passed according to the explicit scheme. Non-stationary fields of temperatures in the set volume of the cylinder are calculated. Calculation of flow function and vorticity in knots of a spatial grid for various points of time is fulfilled. Calculating isolines for functions of flow and a vorticity are presented at different values of boundless time. By results of calculation, emergence of secondary currents and circulation of movement of liquid in the limited volume of the cylinder in the presence of heat source is analysed. By results of calculations, the stable area with heavy traffic of liquid at flow stabilization is defined. Comparison of numerical modeling results with data of physical experiment is given for the same flow.

Текст научной работы на тему «Численное моделирование нестационарного течения и теплообмена при свободной конвекции в замкнутом объеме цилиндра»

Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

УДК 536.24:519.632 Нечаев Валерий Владимирович,

к. т. н., доцент кафедры «Энергообеспечение и теплотехника», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: valery.nechaev@yandex.ru

Ковалевский Игорь Геннадьевич, доцент кафедры «Электрооборудование и физика», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: kovalevskiy_50@mail.ru

Тупицын Алексей Альбертович, д. х. н., профессор кафедры «Прикладная механика», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: altfr@mail.ru

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ЦИЛИНДРА

V. V. Nechaev, I. G. Kovalevsky, A. A. Tupitsyn

NUMERICAL SIMULATION OF THE NON-STATIONARITY FLOW AND HEAT EXCHANGE AT THE FREE CONVECTION IN THE CLOSED VOLUME

OF THE CYLINDER

Аннотация. Представлены постановка и решение задачи исследования нестационарного течения жидкости и теплообмена при свободной конвекции в ограниченном объеме цилиндра. Система дифференциальных уравнений переноса импульса, энергии и неразрывности движения жидкости в частных производных записана в цилиндрической системе координат и консервативной форме. Уравнения движения Навье - Стокса записаны в приближении Буссинеска. Разработан алгоритм численной реализации решения дифференциальных уравнений в частных производных при нестационарном конвективном тепломассопереносе методом конечных разностей. Получены конечноразностные аналоги дифференциальных уравнений в консервативной форме. В конечноразност-ные аналоги дифференциальных уравнений введен дополнительный коэффициент, позволяющий уменьшить схемную вязкость для сохранения монотонности схемы. Проанализированы условия на границах заданного пространства в каждый момент времени. Решение системы дифференциальных уравнений нестационарного конвективного тепломассопереноса в частных производных проводилось по явной схеме. Рассчитаны нестационарные поля температур в заданном объеме цилиндра. Произведен расчет функции тока и вихря скорости в узлах пространственной сетки для различных моментов времени. Представлены расчетные изолинии для функций тока и вихря скорости при разных значениях безразмерного времени. По результатам расчета проанализировано возникновение вторичных течений и циркуляции движения жидкости внутри ограниченного объема цилиндра при наличии источника тепла. По результатам расчетов определена устойчивая область с интенсивным движением жидкости при стабилизации течения. Приведено сравнение результатов численного моделирования с данными физического эксперимента для однотипного течения.

Ключевые слова: теплообмен, гидродинамика, свободная конвекция, численное моделирование.

Abstract. Statement and solution of research problem of liquid non-stationary flow and heat exchange at free convection in closed volume of the cylinder are presented. The differential equations system of transfer of an impulse, energy and liquid movement continuity in partial derivatives is written down in cylindrical system of coordinates and a conservative form. The Navier - Stokes movement equations are written in the approximation of Bussinesq. The algorithm of numerical implementation of the differential equations solution in partial derivatives is developed at a non-stationary convective heat-and-mass transfer by a method of finite differences. Finite-difference analogs of the differential equations in a conservative form are obtained. The additional coefficient, allowing reducing circuit viscosity for preservation of monotony of the scheme is entered into finite-difference analogs of the differential equations. Conditions on borders of the defined space in each point of time are analysed. The decision of differential equations system of a non-stationary convective heat-and-mass transfer in partial derivatives was passed according to the explicit scheme. Non-stationary fields of temperatures in the set volume of the cylinder are calculated. Calculation offlow function and vorticity in knots of a spatial grid for various points of time is fulfilled. Calculating isolines for functions of flow and a vorticity are presented at different values of boundless time. By results of calculation, emergence of secondary currents and circulation of movement of liquid in the limited volume of the cylinder in the presence of heat source is analysed. By results of calculations, the stable area with heavy traffic of liquid at flow stabilization is defined. Comparison of numerical modeling results with data of physical experiment is given for the same flow.

Keywords: heat transfer, hydrodynamics, free convection, numerical simulation.

Введение нестационарного конвективного тепломассопере-

Большинство теплоэнергетических аппара- носа. Процессы теплообмена и гидрогазодинамики тов и установок проектируются на основе расчета протекают в паровых и водогрейных котлах, подо-

иркутским государственный университет путей сообщения

ду

+ у(г7г;) = -1 у ~ + уУ2гГ - ¿рГ; (1)

Р

— + у(у г) = а У 2Т; дт v '

(2)

гревателях сетевой воды, радиаторах и конвекторах систем теплоснабжения, а также во многих других тепломассообменных аппаратах. Наряду с теплоэнергетикой в других отраслях промышленности (нефтехимической, биофармацефтиче-ской) используются устройства и аппараты, в которых возникают нестационарные свободнокон-вективные течения. Разработка и проектирование таких аппаратов и установок с улучшенной экономичностью, высоким коэффициентом полезного действия, повышенной надежностью является актуальной задачей. В связи с этим непрерывно возрастают требования к точности расчетов процессов переноса в каналах и замкнутых объемах, а также описанию нестационарных свободнокон-вективных течений с источником тепла [1-3].

Математическое моделирование процессов, происходящих в сплошных средах, сводится к решению систем дифференциальных уравнений. При этом для удовлетворительной точности моделей необходимо учитывать движение самой среды. Если такой средой является жидкость или газ, то возникает необходимость решения уравнений гидрогазодинамики и тепломассообмена.

Свободноконвективное течение возникает в сплошной среде, например в жидкости, вследствие разности плотностей, обусловленной разностью температур в поле массовых сил. Относительно внешних массовых сил предполагается, что они вызваны силой тяжести, т. е. являются постоянными. Не учитываются возможное вращение и связанное с ним действие сил Кориолиса. В отношении термодинамических и теплофизических свойств жидкости применяются предположения, лежащие в основе приближения Буссинеска [4]. Жидкость предполагается динамически и статически несжимаемой, т. е. ее плотность не зависит от давления, но может зависеть от температуры.

Течение жидкости будет рассматриваться в осесимметричном вертикальном объеме цилиндра. Предполагается, что течение возникает под действием точечного источника тепла, расположенного внутри объема на его оси симметрии.

Основные уравнения

Для нестационарного свободноконвективно-го движения жидкости с описанными выше свойствами основная система уравнений состоит из уравнения переноса импульса, уравнения переноса энергии и уравнения неразрывности потока, которые в физических переменных имеют вид [4]:

Уу = 0. (3)

В системе уравнений (1-3) используются обозначения: ^ - время протекания процесса; у -скорость движения среды; £ - ускорение свободного падения; р - плотность; V - кинематическая вязкость; в - коэффициент объемного расширения; а - коэффициент температуропроводности; ~ = р - р^ и Т = Т -Тм - давление и температура жидкости соответственно, отсчитываемые от первоначальных равновесных величин рда и Тда; У -оператор Гамильтона.

В записанных уравнениях для перехода к безразмерным величинам в качестве характерных масштабных параметров принимаем:

- радиус цилиндра Я;

- максимальную избыточную температуру на источнике тепла Тт - Тда, где Тт - температура на источнике тепла;

- скорость движения среды, определяемую выражением у0 = £Р(Тт - Тш)Я2у-1, где g - величина ускорения свободного падения, V - величина скорости движения среды;

- время, определяемое выражением (0 = Я2^1.

Это позволяет ввести следующие безразмерные величины:

V =—; т = —; - =—; г =—; р =

'п

© = -

Я

Т

Я

Т - Т

т да

где © - избыточная безразмерная температура жидкости.

Из геометрических условий задачи следует, что функции температуры, скорости и давления обладают аксиальной симметрией и, следовательно, все характеристики движения не зависят от азимутальной координаты. Поэтому уравнения свободной конвекции в консервативной безразмерной форме (при записи переменных опускается черта над безразмерной величиной) в цилиндрической системе координат имеют вид [5]

дУг Г дУг дпг —- + Ог| у—- + —-дТ I д- дг

= -О дР + 1АГ - ^ - ;

д- - д- { д- ) дг -

(4)

ду

+ Ог| V,

ду.

ду.

■г — + — дТ I - д- г дг

др 1 д Г дуг ^ д V

= ©-Ог-^ +--1 -

дг - д-1 д-

дг2

с) с)

— (-у- Н^Н )= 0;

д- дг

(5)

(6)

у

о

да

д& д& д&)

— + Grl vr - — + v. - =

дt r _г _z )

= Pr-1 " 1 д f д&) д2

r- + — 2

r _г V _г ) _z

(7)

есть vr

0 и

д r

д v,

1 ду

r дг '

1 _у .

r _z '

Q =

_z дг

(8)

В таком случае система уравнений (4-8) запишется в виде

"1 д

Gr r

дО д t

д_ д r

1 д

r дr

/

1_{г2 О)

r _гх }

+

О

\ Л

V V д2 у

а?

д у

J~z yJ д

+ r — _г

+

д_

д z

д2 О

дz2 \

1 дУ

r д r

ад_у

д r

+ r2 О = 0;

(9)

1

r _г

ш

Pr-1

д t

1 д r _г

д&) д2 &

_г ) _z1

Gr

r

В уравнениях (4-7) обозначения безразмерных величин: времени - t; радиальной и вертикальной проекций вектора скорости жидкости на радиальную r и вертикальную z координаты - vr и vz соответственно; избыточных давления и температуры жидкости - p и & соответственно. Безразмерные комплексы - число Грасгофа Gr = gP(Tm - T^)R3v2 и число Прандтля Pr = via.

В начальном состоянии жидкость неподвижна и имеет одинаковую температуру во всех точках среды.

Граничные условия: на боковых стенках и дне объема выполняются условия прилипания и непроницаемости стенок: vr = 0 и vz = 0; на оси объема, в силу осесимметрии, отлична от нуля только вертикальная компонента скорости vz, то д v

■ = 0; граничные условия на сво-

д_ _г

д у

'JZ

\\

+ -

д_ _z

&

ду д r

(ii)

Г ( & -

V I д2 л

Граничные условия для переменных у, а и & преобразуются к виду:

- на боковой стенке цилиндра

у = 0; ^ - 0; д& = 0;

д г д г

на дне цилиндра

■ = п- дУ

у = 0; = 0; = 0;

д z д Z

на оси симметрии цилиндра у =

0; = 0;

д Z

бодной верхней поверхности: vz = 0 и —г- - 0

д 2

Граничные условия для избыточной безразмерной температуры & на адиабатных стенках области записываются в виде

— -о- д& _0 д г ' д 2 Численная аппроксимация конечных разностей

Расчет течения выполним в удобной для численной реализации форме в переменных «функция тока у - вихрь скорости а», которые через компоненты скорости определяются соотношениями [6]

- на верхней свободной поверхности цилиндра

у = 0; = 0; а = 0.

д г

Аппроксимация записанных дифференциальных уравнений разностными уравнениями осуществляется на равномерной пространственной сетке с шагом h по координатам г и z, в которой к -1, К, у -1,3 (рис. 1). Нумерация точек пересечения линий сетки начинается в горизонтальном направлении от оси симметрии слева направо, в вертикальном направлении снизу вверх от единицы.

у+1-

7-1-

Q

м

р

к- 1

к+ 1

(10)

(1, 1)

Рис. 1. Конечно-разностная сетка для системы разностных уравнений

Узел с индексами (^ у") будет ^м справа и у-м снизу. Начало координат совпадает с узлом (1,1).

Расстояние по горизонтали определяется выражением

_г = ^ - 1)^_

r

V

1

Vr =

r

V

)

текущее время

t = (п - 1)т,

где т - шаг по времени, определяемый из условия устойчивости разностной схемы [6, 7], п - количество шагов по времени, определяющее временной слой разностной схемы.

Поскольку рассматривается течение в замкнутом объеме цилиндра с обратными потоками, все производные по пространственным координатам, входящие в уравнения вихря скорости и энергии, аппроксимируются разностями против потока, а производная по времени - разностью вперед по времени.

При аппроксимации разностями против потока кроме физической вязкости возникает схемная вязкость, которая может привести к нарушению монотонности схемы. Поэтому, согласно [8], введем коэффициенты, уменьшающие схемную вязкость, но оставляющие разностную схему схемой против потока.

Рассмотрим аппроксимацию члена

~д~г

(

О

д у д -

Л

уравнения (9).

Направление течения связано с д У • если

д - '

эта величина положительна, то течение относительно узла (к, у) направлено от Р к М, если отрицательна, то от Q к Р (см. рис. 1).

С учетом этого запишем для д У > о:

д-

~д~г

(

О

д у

д -

Л

О

к ,у

УА+1, у Ук-1,у 0 Ук+1,у-1 Ук-1,у-1 - О.

2 Л

к ,у -1

2 к

(12)

2к2 [(Ук+и

-1,у )Ок

ук- 1,у )Ок,у (Ук+1, у-1 -Ук -1, у -1 )Ок, у-1 ]■

и для ду < о:

д -

А[одУ

дг I д-

У к +1, у+1 ук-1, у+1 У к+1, у ук-1, у

Ок у1 2к Ок ,у

(13)

к

= ^2[(У к+1, у+1 -Ук-1, у+1 )о

[(у

к ,у+1 '

(У к +1,у -Ук-

1. )Ок,у ]

Объединим выражения (12), (13):

А|одУ

дг I д-

1

2Л2

(ук+1,у -Ук-1,у) + ук+1,у -Ук-1,. 2

(Ук+1 у-1 - Ук-1,у-1)+ |Ук+1 у-1 - Ук-1,у-1 2

1Ок ,у-

Оку-1 +

(14)

| (Ук+1,у+1 - Ук-1,у+1)+ |Ук+1,у+1 - Ук-1,у+1 п

2

(Ук+1,у -Ук-1,у)+ |Ук+1,у -Ук-1,у| 2

к ,у+1

О,

Присутствие в этом уравнении разности величин у сначала в круглых скобках, а затем под знаком модуля определяет, что два члена, записанные в квадратных скобках, будут в любом случае равны нулю. Оставшиеся члены определят разностную схему, ориентированную против потока.

Преобразуем выражение (14) к виду

А|ОдУ

дг I д-

, 12 [(у к +1,у+1

к+1,у+1 Ук-

(Ук+1, у-1 -У к-1, у-1К, у-1 ]

у

'к ,у+1 '

4к2 [Ук+1„/+1

"Ук ,у+1 Ок ,у +

(15)

+ У к+1, у+1 - У к-1, у+1 Ок, у -

у+1 У к-1, у+1 Ок, у+1

-|Ук+1

- |Ук+1, у-1 - У к-1, у-1 Ок, у-1] и запишем, используя аппроксимацию (15), разностную схему членов уравнения, связанных с дифференцированием по координате г:

д2О О _д_ (пдУ дг2 - дг I д-

Ок, у+1 -2Ок, у +Ок, у-1

О-

^ [(У к+

(к- 1)к 4кк+1,у+1

-(У к+1, у-1 -У к-1, у-1 )о к, у-1 ] вг 1

к2

У к-1, у+1

у+1 Г к ,у+1

kj '

Ук+у

+1 Ук -1, у+1 О к, у +

(к -1)к 4к2

+ |Ук+1, у-1 -Ук -1, у-1 Ок, у-

|Ук+1,у+1 - Ук-1,у+1 Ок,у+1 - |Ук+1,у-1 - Ук-1,у-1 Ок,у-1 ]

4к(к -1) ( \

(Ук+1 у+1 -Ук -1, у+1 )

вг

4к (к -1)

вг

+ а к, у Ук+1, у+1 -Ук-

1,у+1 |]°ку+1

;+1у+1 +

у+1(16)

+

1

к

+ -

Ог

4к3(к -1)

4к(к -1)

ОГ

к+1,7 -1

¥к-

+

+ ак,, Ук+1,,-1 - У -1,,-1

-1,7-1 0,7 -1

Ог

4к (к -1)

+ ак ,7 (Ук+1,7+1

+

4к(к -1)

ОГ

-¥к -1, 7+1+к+1, у-1

-1,7-1 )Ок у ■

"Ук-1,7-1 )Ок,.,

Для уменьшения схемной вязкости в разностную аппроксимацию введем коэффициент 0 < ак, у < 1. Схемная вязкость уменьшится, а схема останется схемой против потока. Монотонность схемы не нарушится, если коэффициенты при вихрях скорости будут положительными. Это позволяет записать соотношения 4к(к-1)

V т к+1,7+1 т к-1,7+1)

-У к-1,7+1) +

+ ак,7 |Ук+1,7+1 -Ук-1,7+1 ^0;

4к(к -1) I \

О. +(Ук+1,7-1 -Ук-1,7-1) +

(17)

(18)

+ ак7 У к+1,7-1 -Ук-1,7-1 ^ 0, из которых следует выражение для вычисления

коэффициента ак, /.

а, =

А-8к(к-1)(1-в) + Ог А - 8к(к -1)(1- в) Ог V '

2 А

(19)

где А = кк+1, 7+1 - Ук-1,7-1 + кк+1,7-1 - V к-1, 7-1

Отрицательный член в уравнении (19) умножается на число (1 - в), чтобы обеспечить получение ак, у > 0. Оптимальная величина е должна удовлетворять неравенству 0 < е < 0,5 [8].

При таком задании коэффициентов ак, у разностная схема, оставаясь монотонной, будет иметь наименьшую схемную вязкость.

Аналогичным образом аппроксимируем члены уравнения (9), имеющие производные по горизонтальной координате г, и члены уравнения энергии (11).

Построим с использованием этого приема конечноразностные аналоги уравнений для системы уравнений (9)-(11). Верхним индексом п обозначим шаг по времени. Тогда:

- уравнение для вихря скорости

о.";1 =о" .+—

к,] к,] к-1

х Ог

(аО", 7+1 + ЬО", -1 + 7 +

(20)

где

ш

а =

4 к (к -1)

У"-1

Сг +и+1

+ а", 7 к "+1,7+1 -у"-1, 7+1;

1,7+1)+

Ь = ^ + (у"„,7-у7,) +

+ а",7 У"+1,7-1- У"-1,7-1|; 4 кк2

с =

+ (У"+1,7+1- У"+1,7-1 ) +

d =

(к -1/2)Ог

п \ п п

+ П", 7 У"+1,7+1- У"+1,7-1; 4к(к-2)2 к-,-^)

(к -3/2)Ог

+ П",7 У"-1,7+1- У-1,7-1|; 16к (к-1)[(к-1)2 -1/8] [(к -1)2-1/4 ]Ог

+ а",7 (У"+1,7+1 - У"-1,7+ "+1,7-1 - У"-1,7-1 \) +

п I \ п п п п I I

+ П",7 ( У"+1,7+1 "+1,7-1 + У"-1,7+1 "-1,7-1 );

5 =

+

и..- (1-.)

а" „■ =

*7,к

О-

2 А7 ,к

и.,-8М-1) (1-в)

7,к

Ог

Вк ,7 -

П", 7 =

2 А7 ,к 8к (к -1)3 (к -1)2 —1/4

Ог

(1- в)

+

к,7

+

Д.- 8к(к- 1)У (1-в)

к,7

(к -1)2 —1/4

Ог

к,7

здесь

Ак, 7 = к"+1,7+1 - У"-1,7+1 + к"+1,7-1 - У"-1,7-1;

Т\ п п \ \ п п \

Бк, 7 = |¥к+1,7+1 -Ук+1,7-1 + |¥к-1,7+1 -Ук-1,7-11;

уравнение энергии

т Ог

~4к

т Ог

+7 =®",7 + (а,7+1 + Ь+®",7-1)+

(21)

+ ^ ( С+©"+1 + d, -5+©" ),

Ак к + к- к

где

+ _ 4 к (к-1)

Ук+1 ^.^■+1 Ук-1, 7+1

РгОг

+а" +7 к"+1,7+1- у"-1,7+1;

-1,7+1 )"

+

+

,+ 4 к (к-1) / „ \

Ь - РгОг - ^к-1>1-1 ) +

+ №+1, у-1- <-;, у ч|;

+ 4 к (к-1/2) / „

с --=-Т-- + V1

РгСг +1 - )+

пл- п п

+пк,} |^+1, у+1- ¥*+1, у-!;

4 к (к -1,5) ( я я \

{уи, у+1- V -1, у-1)+

а + -

рг. сг ^+1 "Ук -

+ <у -1,у +1 - V-;,у

+ 16 к (к-1)

5 --1-- +

Рг- Сг

+ а"п,у {УП+1,у+1 - У1-1,у+;| + к+1,у-1 - ^-1,у-;|)-

+ П-у {<+;,у+1 - У1+1,у-1 + \у1-1,у+1 - У1-1,у-1)

л, -^ (1 -«)

ап + = -рг1Сг- +

2 А,

к,

А - (1 -

I к,у Рг. Сг ( )

к ,у

в.. - ММ (1 -,)

к ,у

Су =■

Рг- Сг

25,

В, - ^^ (1 - в)

к ,у

Рг- Сг

<; --*

V,у+; + V,у+

4(к -1)2-1/2 к -1

к - 3/2

уу + к" (к -1)2 оп-1

имеют вид:

- 0, пк,у - 0, ©к,, - 0.

О".=--

3

к К ■

-УК- 0,5 ц-;,,; ©К -©К -и;

- на дне объема

Оп = -

Цк ,1

3

^ 1Ч2 уП,2 - 0,5 цп,2;

к4 (к -1)2

©п -©п •

©к ,1 ©к ,2;

на оси симметрии

4 Ц

ОП.- - —--—; ©и -©

;, у

3

п

2,у ;

2Вк у

Разностную аппроксимацию уравнения неразрывности (10) для функции тока выполним центральными разностями:

(22)

Запишем начальные и граничные условия в конечноразностной форме.

Начальные условия для всех узлов сетки

Граничные условия для вихря скорости и температуры получим с помощью разложения функций в ряд Тейлора в приграничных узлах [9]: - на боковой стенке

- на верхней свободной поверхности Оп - 0- ©п -©п

Ок,3 - © к,3 -© к,3-1.

Вследствие аксиальной симметрии решение задачи находилось на половине плоской области: 0 < г < Л; 0 < z < 3,3Л. Уравнения вихря скорости (20) и энергии (21) решались по явной схеме. Значение функции тока на новом временном слое определялось решением уравнения Пуассона (22) итерационным методом последовательной верхней релаксации. Величины параметров решения: отношение высоты цилиндра к его радиусу составляет 3,3; Рг = 7; Ог = 900.

В результате численного решения задачи рассчитаны массивы величин вихря скорости, функции тока и температуры в узлах пространственной сетки для различных моментов времени. Эти массивы позволили построить распределение изолиний рассчитанных величин.

Изолинии вихря скорости, функции тока и температуры на рис. 2-4 для различных моментов безразмерного времени показывают развитие течения. В центре исследуемого объема цилиндра возникает область интенсивного движения, отделенная от стенок вторичным течением (см. рис. 3, 4).

Изотермы в верхней части объема имеют участки, напоминающие стратифицированную структуру; в нижней части объема наблюдается тенденция к повторению контура цилиндра, что указывает на наличие поднимающейся от дна цилиндра жидкости.

При стабилизации течения в центральной части цилиндра образуется устойчивая область с интенсивным движением жидкости.

Результаты численного моделирования сравнивались с величинами температуры, полученными экспериментально при развитии вызванного локальным источником тепла течения в условиях, соответствующих параметрам моделирования [10]. Экспериментальные величины обозначены маркерами на рис. 2-4.

Выводы

1. Разработанный алгоритм решения задачи о нестационарном свободноконвективном течении и теплообмене жидкости в ограниченном объеме при наличии источника тепла позволяет анализировать возникновение вторичных течений в пристеночной области цилиндра при различных значениях времени протекания процесса.

+

+

т

Рис. 2. Параметры свободноконвективного течения в цилиндре в момент времени t = 1:

ИТ - точечный источник тепла

Рис. 3. Параметры свободноконвективного течения в цилиндре в момент времени t = 2,5:

ИТ - точечный источник тепла

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Рис. 4. Параметры свободноконвективного течения в цилиндре в момент времени * = 4,2:

ИТ - точечный источник тепла

2. Полученные результаты численного моделирования свободноконвективного нестационарного течения и теплообмена удовлетворительно совпадают с экспериментальными данными однотипных течений, представленными в работе [10].

3. Для решения задачи нестационарного свободноконвективного течения и теплообмена в объеме цилиндра при наличии источника тепла, а также для повышения точности расчета целесообразно учитывать влияние схемной вязкости на численную процедуру конечноразностной аппроксимации системы дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нечаев В.В. Исследование течения потока газа в приближении пограничного слоя // Вестник ИрГСХА. 2013. № 59. С. 103-110.

2. Нечаев В.В., Тупицын А.А. Исследования движения сжимаемого потока газа на криволинейной поверхности в приближении пограничного слоя // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3 (35). С. 191200.

3. Нечаев В.В., Тупицын А.А. Модернизация модели турбулентности для учета воздействия

кривизны поверхности и сжимаемости среды при течении газа в пограничном слое // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 90-96.

4. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : учеб. по-соб. для вузов. В 10 т. Т. VI Гидродинамика. М. : Физматлит, 2001. 736 с.

5. Ид А.Д. Свободная конвекция // Успехи теплопередачи. М. : Мир, 1970. С. 9-80.

6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М. : Мир, 1980. 618 с.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1989. 616 с.

8. Будунов Н.Ф. Некоторые задачи гидромеханики и их численное решение. Иркутск : Изд-во ИГУ, 1980. 106 с.

9. Кускова Т.В., Чудов Л.А. О приближенных граничных условиях для вихря при расчетах течения вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные методы и программирование. Вып. XI. М. : Изд-во МГУ, 1968. С. 27-31.

10.Ковалевский И.Г. Возможности разделения форменных элементов крови в температурном поле // Микротепловые и квантовометриче-ские методы исследования в медицине : сб. науч. тр. Новосибир. ГМИ. Т. 116. Новосибирск : Из-во НГМИ, 1983. С. 30-33.