Анализ численных решений системы уравнений для свободной и вынужденной конвекции в ограниченном объеме Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2003 р. Вип. №13

УДК 532.526:669.18

Жук В.И.*

АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СВОБОДНОЙ И ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ

Рассмотрены результаты численного решения системы уравнений Наеъе-Стокса и теплопроводности в ограниченном объеме. Проведен анализ условий существования нестационарных, квазистационарных и стационарных течений в различных средах в режиме свободной и вынужденной конвекции.

Исследование процессов тепло- и массопереноса в условиях свободной и вынужденной конвекции жидкости и газа является одной из важнейших проблем гидро- и аэродинамики, теплоэнергетики, металлургии, химической технологии и других областей техники. Так, согласно работам [1,2], одной из актуальных задач металлургии является изучение процессов естественного и искусственного перемешивания кристаллизующихся расплавов в связи с внедрением в современную металлургию разнообразных принципов ускоренного тепломассообмена. Процессы затвердевания слитков и отливок больших размеров сопровождаются естественным конвективным перемешиванием расплавленного металла. В последние годы значительно расширился набор методов воздействия на затвердевающий металл с целью управления гидродинамикой расплава и, как следствие, качеством слитка - от обычного механического перемешивания до электромагнитного [1,2]. В исследованиях [3], посвященных этой проблеме, получены аналитические выражения, позволяющие оценить вклад в развитие конвективных перемещений теплового, гидродинамического и электромагнитного воздействия в рамках теории пограничного слоя для неограниченного объема расплава. Однако для слитка конечных размеров механизм развития конвекции в этих случаях и оценка степени воздействия до конца не раскрыты.

Целью настоящей работы является анализ численных решений системы уравнений для свободной и вынужденной конвекции в ограниченном объеме, их классификация, выбор критериев, необходимых для сравнения эффективности различных способов перемешивания.

Для этого используется современная компьютерная модель [4], позволяющая на основе математического аппарата произвести расчет распределения температур и полей скорости в условиях естественного и вынужденного перемешивания жидкости с произвольными граничными условиями. Система уравнений Навье-Стокса, неразрывности и теплопроводности, описывающая процессы конвективного теплопереноса в области, заполненной подвижной средой, имеет вид (1-3):

Р

др

ср

(у-У)У

дУ — +

дг

+ у-(ру)=0

Г8Т

= -УР + ?1У2У + р§ (1)

(2)

= XV 2 Т (3)

-+ (к • у)г

V &

Здесь и далее приняты следующие условные обозначения: / - время, V- оператор

"набла", V2 - оператор Лапласа, V - вектор скорости течения среды, Т - температура, Р -давление, вектор ускорения свободного падения, р - плотность среды. Неизвестными

функциями являются вектор скорости V , давление Р, температура жидкости Т. Коэффициенты динамической вязкости г], теплопроводности Л, удельная теплоемкость с считаются

* ПГТУ, канд. техн. наук, доцент

константами, не зависящими от изменения температуры во всем объеме жидкости. Зависимостью плотности р от неоднородности температуры пренебрегать нельзя, так как именно она отвечает за возникновение конвективного движения в гравитационном поле. Поэтому к уравнениям (1-3) добавляется уравнение состояния р = р(Т) (4).

р = р0[1 + {Зт(Т-Т0)] (4)

В приближении Буссинеска. система (1-4) примет вид

- + fV-VJV = - — VP + vV2V + l + ßr(T-T ) dt р 0

о

(5)

(f-v)r = aV2T (7)

УУ = 0 (6)

дТ

Здесь у=7]/р - кинематическая вязкость среды, а Л рс - коэффициент температуропроводности среды, /Зт - коэффициент объемного теплового расширения среды. Уравнения (5-7) для дальнейшей численной реализации записываются в переменных "функция тока - вихрь" в двумерной постановке с учетом начальных и граничных условий. Приведем систему (5-7) к безразмерному виду, выбрав в качестве характерного размера ширину области х0, и вводя масштабы скорости а/х0, времени х02/а, температуры А / 7'/—Т0 По и /'/ — минимальное и максимальное значения температуры в среде). Безразмерная температура 0(г|1,г|2,Ро) изменяется в диапазоне [0,1].

д© ду/ д© ду/ д© (д20 д2@л

3Fo drjj drjj дг/2 дт]2 ^ dri1 дт]2) (8)

д(р i ду/ д(р ду/ д(р _рг^д2(р + д2(р j + ^

dFo drjj drij drj2 drj2 cij, 6rj2 ci],

öV + öV+ _0 у =dy^v =_dy_ (10)

dri? Ö77/ q>~ У dr/j ' drj2

v v (11)

y drjj ' x dr]2 '

где if/ - функция тока, (р - вихрь, Vx - горизонтальная компонента вектора скорости, Vy -вертикальная компонента вектора скорости, r\i - безразмерная координата х, >]2 - безразмерная координата у, Fo=at/x02 - безразмерное время (число Фурье), Pr= v/a - число Прандтля, Gr= ßgx03AT/v2 -число Грасгофа, Ra=Gr*Pr2 - число Рэлея.

Для получения численного решения уравнений (8-11) используются явные и неявные конечно-разностные схемы второго порядка аппроксимации. Обеспечение симметрии схемы проводится путем решения с двойной точностью. Для численной реализации полученных математических моделей и алгоритмов в [4] созданы программы расчета, имеющие удобный для пользователя интерфейс, в котором данные представлены в виде картин линий тока и изотерм. Программа разработана для OS Windows 98 с помощью алгоритмического языка Borland С++ Builder 5.0. Для анализа поведения системы и интенсивности перемешивания вычислялись безразмерные интегральные удельные величины (на единицу объема): кинетическая энергия, мощность перемешивания, теплосодержание. Оценка результата перемешивания производилась по величине отношения среднеквадратичного отклонения температуры к средней температуре области в=59/<9>.

Численные исследования проводились для различных значений чисел Прандтля и Рэлея (таблица) при относительной высоте области, равной 2. Полученные решения можно разделить на следующие три группы в зависимости от граничных условий, времени и способов воздействия на среду: нестационарная естественная конвекция (тепловая, концентрационная, гравитационная), квазистационарная естественная конвекция, стационарная вынужденная конвекция (механическая, вибрационная, электромагнитная).

Нестационарная естественная тепловая конвекция развивается в ограниченном объеме в случае внешнего охлаждения среды при отсутствии внутренних источников тепла и проходит три стадии: стадия разгона конвекции, стадия снятия перегрева и стадия ползущего течения. Из анализа результатов численного моделирования следует, что в тонком пограничном слое возникает нисходящее течение, а в центре - восходящее. Но при движении против градиента плотности, связанного с температурной стратификацией, при значениях Рг< 1 (жидкие металлы), скорость и температура осциллируют. В центре области периодически появляются вихревые структуры, которые способствуют перемешиванию расплава. С ростом вязкости среды при значениях Рг=1 (газы), Рг=10 (вода) скорости течения уменьшаются, осцилляции становятся менее заметными, а вихревые структуры не появляются.

На стадии ползущего течения решение задачи обнаруживает характерную особенность квазистационарного решения. Поля температур, выраженных по отношению к максимальной температуре в области (локальный масштаб), практически не зависят от чисел Прандтля и Рэлея и проявляют подобие (автомодельность) (рис.). Относительное среднеквадратичное отклонение температуры е при этом (таблица) остается постоянным и существенно уменьшается для жидких металлов. Даже в затухающем режиме эффективность перемешивания при естественной тепловой конвекции в 2 раза выше, чем для неподвижного металла.

Таблица - Эффективность перемешивания в квазистационарном режиме при естественной тепловой конвекции

Рг= у/а Па Д§;ХоАТ/сг 8=50/<9>.

0,2 (жидкий металл) - 0,62

0,2 (жидкий металл) 2*10 ~ 0,35

0,2 (жидкий металл) 2*10 6 0,28

1(газы) 2*10- 0,38

Ю(вода) 2*10 ' 0,43

К классу стационарных решений можно отнести решения задачи о естественной тепловой конвекции в области с подогреваемой внешней границей и о вынужденной конвекции с внутренними источниками тепла. В качестве примера такой задачи рассмотрим конвекцию проводящей среды в скрещенных электрическом и магнитном полях. Конвекция вызвана сильной зависимостью проводимости среды от температуры. Температурный градиент поддерживается благодаря Джоулевым источникам тепла, что дает возможность осуществить стационарный режим конвекции. Система уравнений движения, неразрывности и теплопроводности (1-3, 5-7, 8-10) записывается в безындукционном приближении с учетом Амперовских сил и Джоулевых источников тепла. Начальные условия для температуры варьируются, граничные условия - теплоотвод излучением и теплоотдачей. Постановка такой задачи применительно к технологическим процессам, конечно-разностная аппроксимация и некоторые результаты приведены в [5].

а б в г д

Рис. - Квазистационарные (автомодельные) поля температур в прямоугольной области с

верхней теплоизоляцией, а) Рг=0,2 (жидкие металлы), отсутствие конвекции; б) Рг=0,2 (жидкие металлы), 11а 2*10 5: в) Рг=1 (газы), Ка=2*10 5; г) Рг=10 (вода), Яа=2*10 5; д) Рг=10 (вода), Яа=2*10 б.

Результаты расчета показывают, что в области формируются вихревые образования, интенсивность которых зависит от размеров области и физических параметров среды. У стенки области образуется пограничный слой, подобно естественной тепловой конвекции. Разогрев слоя и эволюция течения происходит до определенного момента времени, затем процесс можно считать установившимся. Стационарный режим конвекции характеризуется симметричным 2-ячеистым течением с температурной неоднородностью, соответствующему значению 8=0,18. При определенном импульсном температурном воздействии либо в процессе разгона, либо в установившемся режиме, поля скоростей и температур видоизменяются и стационарный 2-ячеистый режим преобразуется к симметричному 4-ячеистому течению. Режим перемешивания при этом оказывается более интенсивным, температурная неоднородность снижается (в уменьшается от 0,18 до 0,13). Существование других стационарных решений системы пока не обнаружено.

Выводы

На основании численных расчетов установлено, что решения системы уравнений для свободной и вынужденной конвекции в ограниченном объеме могут быть приведены к следующим видам: нестационарная естественная конвекция, квазистационарная естественная конвекция, стационарная естественная и вынужденная конвекция.

В случае нестационарной естественной тепловой конвекции в жидких металлах при движении в направлении градиента плотности параметры возникают периодические вихревые структуры, способствующие выравниванию температур в области течение должны испытывать осцилляции (изменения) с инфразвуковой частотой. При воздействии вибрацией возможно появление резонанса, что будет способствовать дополнительному вихреобразованию и перемешиванию расплавов. Квазистационарность решения задачи о естественной тепловой конвекции проявляется на стадии затухания течения. При этом существует автомодельное решение, слабо зависящее от чисел Прандтля и Рэлея, и имеющее универсальный вид.

Анализ стационарных решений задачи о вынужденной конвекции в электромагнитном поле показал, что на эффективность перемешивания наиболее существенное влияние оказывает структура течения. Численным путем установлено, что стационарному состоянию соответствуют два решения, переход от 2-х к 4-х ячеистому режиму возможен благодаря импульсному температурному воздействию, что может быть использовано в технологических установках. Интенсификация конвективного теплообмена связана с реализацией определенной структуры течения жидкости, поэтому необходимы дальнейшие исследования в этом направлении.

Перечень ссылок

1. Ефимов В. А. Физические методы воздействия на процессы затвердевания сплавов. / В.А.Ефимов, A.C. Элъдарханов - М.: Металлургия, 1995. - 272 с.

2. Ефимов В.А., Элъдарханов A.C. Современные технологии разливки и кристаллизации сплавов. /В.А.Ефимов, A.C. Элъдарханов - М.: Машиностроение, 1998. - 360 с.

3. Жук В.И. Анализ влияния теплового, гидродинамического и электромагнитного воздействия на интенсивность конвекции в кристаллизующемся расплаве методами теории пограничного слоя. / В.И. Жук // Вестник Приазов. гос. техн. ун-та: Сб. науч. тр. Мариуполь, 1997. - Вып. 3,- С.57-61.

4. Жук В.И. Компьютерное моделирование теплопереноса, диффузии и движения частиц в затвердевающем расплаве. / В.И. Жук // Вюник Приазов. держ. техн. ун-ту: 36. наук. пр. -Mapiynonb, 2000. - Вип.9. -С.285-291.

5. Жук В.И. Численное исследование бифуркаций при МГД-перемешивании проводящей жидкости в прямоугольном канале / В.И. Жук: Тез. Докл. 1 междунар. конф. "Численные методы в гидравлике и гидродинамике". - Донецк: Донгу, 1994,- С. 16.

Статья поступила 17.02.2003