CC BY
23
УДК 519.6
О. П. Бушманова, С. Б. Бушманов
Численное моделирование локализации сдвигов в окрестности круглой выработки *
Рассмотрим плоскую задачу о напряженно-деформированном состоянии материала в окрестности круглой выработки в условиях возникновения локализации сдвигов вдоль семейств логарифмических спиралей. Такое предположение о локализации сдвигов представляется возможным на основе известных экспериментальных данных и решений задачи в рамках классических пластических моделей [1,2].
В работах [3-5] представлено математическое моделирование процесса локализации сдвигов в плоском случае на дискретных системах линий - разрезах криволинейной формы. Берега разрезов рассматриваются как часть границы исследуемой области, а уравнения состояния в зоне локализации сдвигов - как граничные условия, описывающие взаимодействие берегов. Условия на линиях сдвига обеспечивают возможность возникновения разрывов касательных перемещений. Форма и расположение линий локализации сдвигов определяются в рамках метода последовательных нагружений в ходе решения задачи или предполагаются известными на основе экспериментальных и теоретических исследований.
Рассмотрим круглую выработку в условиях плоской деформации. Все величины в задаче будем считать безразмерными. В качестве характерного линейного размера выберем радиус выработки, в качестве характерного напряжения -10_3E, где Е-модуль упругости.
Исследуемую область представим в виде кольца с единичным внутренним радиусом. Внешний радиус кольца обозначим через Е. Контур выработки свободен от напряжений, на внешней границе - радиальное перемещение иг = — и, (где и > 0 - параметр нагружения), касательное напряжение равно нулю.
Предположим, что параметр нагружения таков, что вокруг выработки возникает пластическая область. Формально континуальному пластическому решению задачи в рамках идеальной пластичности или модели с внутренним трением и сцеплением соответствует бесконечно много линий скольжения в форме логарифмических спиралей. Если ширина пластической зоны равна нулю, упругопластическое решение перехо-
дит в упругое и линии скольжения отсутствуют. Представляет интерес исследование ’’промежуточного” состояния с конечным числом линий скольжения (сдвига).
В работах [3-5] получено численное решение задачи о деформировании материала в окрестности круглого отверстия в условиях локализации сдвигов на дискретных системах одного семейства логарифмических спиралей, пересекающих радиусы под углом в = п/4 + ф/2 : £ = в — tg filnr, (ф = const, 0 ^ ф < п/2, (т, в) -полярные координаты).
Показано, что решения задач с достаточно большим числом линий сдвига (порядка 100) близки к известным аналитическим решениям упругопластических задач в рамках идеальной пластичности и модели с внутренним трением и сцеплением.
Опираясь на экспериментальные данные [1], будем считать, что, в отличие от классического упругопластического решения, в материале возникло конечное число линий скольжения, расположенных вдоль двух семейств логарифмических спиралей, пересекающих радиусы под углом в = п/4 + ф/2 : £ = в±tg в1пт, (ф = const, 0 < ф< п/2).
На первом шаге нагружения начало линии сдвига может быть задано при помощи некоторой малой локальной неоднородности в свойствах материала или граничных условиях. На последующих шагах нагружения развитие линии локализации происходит, если выполняются определенные критерии локализации.
Поставим задачу определения на каждом шаге нагружения в исследуемой области полей приращений перемещений ui (i = 1,2) и приращений напряжений aij (i,j = 1,2), которые должны удовлетворять уравнениям равновесия
Предложенный алгоритм допускает выбор любой модели, адекватно описывающей деформирование материала вне линий сдвига. Для того, чтобы выделить эффекты, связанные только с локализацией сдвигов, для материала вне линий выберем наиболее простую модель - модель линейно-упругого тела. В случае плоской
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 05-05-65253.
деформации закон Гука имеет вид Е V ,
\єіі + ~л о єкк),
1 + V
1 -2v
где є^, (г^ = 1, 2) - компоненты тензора приращений деформаций:
м3,і)
Если в окрестности предполагаемой линии сдвига достигается условие (3), то на линии сдвига задается закон трения Кулона, который можно представить в виде условия
К = ± (т1 - рПМ Ф,
(4)
V - коэффициент Пуассона; по к проводится суммирование от 1 до 2.
Представим уравнения состояния в зоне локализации сдвигов в виде граничных условий, описывающих взаимодействие берегов разрезов. Нормальная составляющая вектора приращений перемещений ип и вектор приращений напряжений непрерывны на площадке касательного разрыва перемещений:
где выбор знака зависит от направления нормали и истории нагружения, а т1 - от истории нагружения и т *.
Если на определенных участках разрезов критерий локализации на данном шаге нагружения не выполняется, то скольжения берегов разрезов друг относительно друга на этих участках не возникает и касательный разрыв приращений перемещений отсутствует:
(5)
= и
т
иП = и— (!)
Ю+ = Ю - (рП)+ = Ю-, (2)
—
сторонам линии разрыва, рП, рП - нормальная и касательная составляющие вектора приращений напряжений. Направляющие косинусы нормали и касательной здесь одинаковые на разных сторонах линии.
Моделирование линий локализации сдвигов при помощи разрезов обеспечивает возможность скольжения берегов разрезов друг относительно друга, т.е. возможность относительного смещения первоначально совпадающих точек вдоль определенных линий. Такая возможность реализуется в зависимости от критериев локализации сдвигов и условий, заданных на разрезах.
В качестве критерия локализации рассмотрим условие
т + а вш ф — т* сое ф = 0, (3)
где т*, ф - заданные параметры материала,
т =\ \/ (аП — а22? + 4И2)
а = ^(ап + а22) <0,
а\^ {}, 0 = 1,2)- полные напряжения на текущем /-м шаге нагружения.
Пока выполняется
т + а вш ф — т* сое ф < 0,
где ит - касательная составляющая вектора приращений перемещений.
Круг различных условий, которые можно реализовать на берегах разреза в рамках разработанного численного алгоритма, достаточно широк. Наряду с описанием линий сдвига, в условиях отсутствия разрыва нормального перемещения, разработанный численный алгоритм позволяет задавать разрыв приращения нормального перемещения зависящим и от других параметров задачи.
На двух берегах разрезов выполняются четыре граничных условия: условие (1), два условия (2) и одно из двух - (4) или (5).
Алгоритм численного решения поставленной задачи строится на основе метода конечных элементов.
локализации сдвигов не происходит. Рис. 1. Сетка конечных элементов
На рисунке 1 изображена сетка конечных элементов для четверти исследуемой области.
Семейства линий сетки конечных элементов выбираются максимально приближенными по форме и направлению к потенциальном семействам линий локализации. В данном случае выбраны семейства логарифмических спиралей.
Существенной особенностью сетки конечных элементов является то, что все ее узлы - двойные. Это позволяет располагать на ней разрезы не только вдоль любого семейства, но и одновременно вдоль нескольких семейств линий сетки. Нумерация узлов на сетке оптимизируется с целью уменьшения объема используемых в программе структур данных, при этом учитывается расположение разрезов.
Рис. 2. Изолинии максимального касательного напряжения (4 линии скольжения)
Рис. 3. Изолинии максимального касательного напряжения (8 линий скольжения)
Расстояния между разрезами ограничиваются снизу только размерами элементов. Поэтому, как число линий сдвига, так и расстояния между ними могут быть произвольными.
На основе разработанного алгоритма получено численное решение рассматриваемой задачи в предположении о наличии в кольце конечного числа линий скольжения (сдвига) в виде логарифмических спиралей с различными углами наклона и различными условиями на разрезах. Условия отражают трение Кулона со сцеплением или постоянное касательное напряжение вдоль линии сдвига.
На рисунках 2-5 приведены изолинии максимального касательного напряжения для областей с 4, 8 и 16 линиями скольжения.
Рис. 4. Изолинии максимального касательного напряжения (8 линий скольжения)
Рис. 5. Изолинии максимального касательного напряжения (16 линий скольжения)
На линиях скольжения касательная компонента вектора напряжений предполагается постоянной, отсутствует разрыв нормальной компоненты вектора перемещений, на внешней границе области (Е = 7.12) задано радиальное перемещение иг = —0.02, ф = 0, V = 0.3.
Результаты расчетов позволяют анализировать влияние расположения, протяженности и количества линий сдвига на напряженно-деформированное состояние в исследуемой области.
Литература
1. Соколовский В.В. Теория пластичности. -М., 1969.
2. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М., 1969. - Т. 2.
3. Бушманова О.П. Моделирование локализации сдвигов // ПМТФ. - 2003. - №6.
4. Бушманова О.П. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки в усло-
виях локализации сдвигов / О.П. Бушманова, А.Ф. Ревуженко // ФТПРПИ. - 2002. -
т.
5. Bushmanova О.P. Numerical modeling of shear localization in elastoplastic materials / O.P. Bushmanova, A.F. Revuzhenko // Abstract book of the 11 International Conference on Fracture. - Turin, 2005.
