CC BY
19Решетнеескцие чтения. 2015
12. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki [Variation principles of mechanics]. Moscow : Mir Publ., 1965. 408 p.
13. Novozhilov V. V. Osnovy nelinejnoj teorii uprugosti [Bases of the nonlinear theory of elasticity]. Moscow-Leningrad : OGIZ Gostehizdat, 1948. 112 p.
14. Mihlin S. G. Variacionnye metody v matema-ticheskoj fizike [Variation methods in mathematical physics]. Moscow : Nauka, 1970. 512 s.
15. Sabirov R. A. Osobennosti differencial'noj i varia-cionno-raznostnoj formulirovok zadachi prodol'no-
poperechnogo izgiba sterzhnja ot sil inercii [Features of differential and variation-differential formulations of the problem of the longitudinally cross bend of the core from inertia forces] // Vestnik SibGAU, 2014. no. 3(55), рр. 131-138.
16. Samarskij A. A. Teorija raznostnyh shem [Theory of differential schemes]. Moscow : Nauka Publ., 1977. 656 p.
© Сабиров Р. А., 2015
УДК 539.37
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОРИСТЫХ МЕТАЛЛОВ*
В. М. Садовский, О. В. Садовская
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
На основе обобщенного реологического метода построена математическая модель упруго-пластического деформирования пористых металлов, которые могут применяться в аэрокосмической промышленности в качестве легковесных наполнителей. Разработан алгоритм численной реализации модели на многопроцессорных вычислительных системах.
Ключевые слова: пористая среда, реология, упругость, пластичность, динамика, параллельные вычисления.
NUMERICAL MODELING POROUS METALS DEFORMATION
V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
Based on the generalized rheological method, we construct the mathematical model of elastic-plastic deformation of porous metals, which can be used as lightweight fillers in the aerospace industry. We develop the algorithm for numerical implementation of this model on clusters.
Keywords: porous medium, rheology, elasticity, plasticity, dynamics, parallel computations.
Математические модели пористых сред имеют большое практическое значение для приложений в аэрокосмической, судостроительной, автомобильной и нефтедобывающей отраслях, а также в геомеханике и геодинамике. Пористые металлы (металлические пены) - новые искусственные материалы, которые находят широкое применение благодаря низкой плотности и хорошим демпфирующим свойствам [1-3]. Их можно использовать в различных технических устройствах в качестве разрушаемых предохранителей, рассеивающих энергию динамического удара, предотвращая разрушение механической системы.
Нелинейная математическая модель динамического деформирования пористого металла, учитывающая в рамках теории малых упруго-пластических деформаций пороговый характер изменения податливости
материала при схлопывании пор, может быть записана в следующем виде [4; 5]:
р У = У-ст + f, ст = 5 + п( q + д),
(5 - 5): (а : 5 - Уу) > 0, 5, s е ^,
2Ь : q = У у + (Уу)*.
Эта система включает в себя уравнения движения, определяющие соотношения в виде вариационного неравенства и кинематические уравнения. Здесь р -плотность пористого материала; у - вектор скорости; ст - тензор напряжений; 5 - произвольная допустимая вариация тензора условных напряжений 5; f - вектор объемных сил; а и Ь - тензоры модулей упругой по-
* Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-00130.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
датливости; V - оператор Гамильтона. Точка над символом означает производную по времени, двоеточие -двойную свертку тензоров, звездочка служит для обозначения сопряженного тензора; производится суммирование по повторяющимся индексам. Тензор условных напряжений д вычисляется через тензор деформаций е по линейному закону Гука с начальными деформациями: р : д = е + е, а вспомогательный тензор д определяется по тому же закону через заданный тензор пористости. Символ п означает проекцию суммы д + д по евклидовой норме на выпуклый конус К в пространстве напряжений, с помощью которого моделируется переход к уплотненному состоянию среды, Е - выпуклое и замкнутое множество допустимых вариаций в пространстве напряжений, ограниченное поверхностью текучести материала.
Явный по времени алгоритм численной реализации математической модели строится на основе метода расщепления по физическим процессам. Сначала на каждом временном слое решается задача деформирования упругой пористой среды, а затем полученное решение корректируется для учета пластических свойств [4]. Для решения упругой задачи используется метод двуциклического расщепления по пространственным переменным. Одномерные системы уравнений на этапах расщепления решаются с помощью явной монотонной БМО-схемы типа «предиктор-корректор».
Алгоритм реализован в виде комплекса параллельных программ для исследования процессов деформирования пористых сред под действием внешних динамических нагрузок на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Программный комплекс позволяет проводить расчеты распространения волн, вызванных внешними механическими воздействиями, в массиве среды, составленном из произвольного числа разнородных блоков с криволинейными границами. Распараллеливание вычислений производится на этапе расщепления задачи
по пространственным переменным. Используется библиотека передачи сообщений MPI, язык программирования - Fortran.
Численные расчеты проводились на кластерах МВС-1000М ИВМ СО РАН (г. Красноярск) и МВС-100К МСЦ РАН (г. Москва). Для тестирования алгоритма и программ в одномерной постановке решалась серия задач о распространении плоских продольных волн в полупространстве. Сопоставление показало хорошее соответствие численных результатов и точных решений. Кроме того, в качестве теста использовалось точное решение осесимметричной задачи о расширении цилиндрической области в безграничной пористой среде, полученное в [6]. Расчеты выполнялись при медленном нагружении давлением на границе полости. Сравнение проводилось по характерным радиусам пластических зон и зон схлопывания пор. Оказалось, что с помощью численных расчетов можно достоверно определять границы всех зон, включая зоны неполной и полной пластичности, а также зоны схлопывания пор.
На рисунке представлены результаты численного решения задачи о расширении цилиндрического слоя под действием локализованной нагрузки с периодически повторяющимися короткими П-образными импульсами. На внешнем радиусе ставились условия жесткого закрепления, боковые границы расчетной области считались линиями симметрии. Результаты получены для пенистого алюминия с пористостью 1 %. Внутренний радиус слоя равен 10 см, внешний радиус - 1 м. На рисунке последовательно чередуются зоны схлопывания пор, в которых объемное сжатие выше пористости, и зоны объемного растяжения материала. Разностная сетка состоит из 400*400 узлов. Расчеты выполнены на 40 процессорах кластера (границы расчетных областей, обслуживаемых разными процессорами, отрисованы тонкими линиями).
Линии уровня объемной деформации 6(e): t = 107, 150, 172, 215 мкс (слева направо).
Периодическая локализованная нагрузка на внутренней границе цилиндрического слоя
Библиографические ссылки
1. Banhart J., Baumeister J. Deformation characteristics of metal foams // J. Mater. Sci. 1998. Vol. 33, № 6. P. 1431-1440.
2. Gibson L. J. Mechanical behavior of metallic foams // Annu. Rev. Mater. Sci. 2000. Vol. 30. P. 191-227.
3. Ashby M. F. Plastic deformation of cellular materials // Encyclopedia of Materials: Science and Technology. Pergamon Press, 2001. P. 7068-7071.
4. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Heidelberg - New York - Dordrecht - London, Springer, 2012. 390 p. Ser. Advanced Structured Materials. Vol. 21.
5. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Mathematical modeling of a metal foam as an elastic-plastic continuum with changing resistance // AIP Conference Proceedings. 2015. Vol. 1648. P. 630005-1-630005-4.
Решетнееские чтения. 2015
6. Садовский В. М., Садовская О. В., Лукьянов А. А. Радиальное расширение сферической и цилиндрической полостей в безграничной пористой среде // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55, № 4. С. 160-173.
References
1. Banhart J., Baumeister J. Deformation characteristics of metal foams // J. Mater. Sci., 1998, vol. 33, no. 6, рр. 1431-1440.
2. Gibson L. J. Mechanical behavior of metallic foams // Annu. Rev. Mater. Sci., 2000, vol. 30, рр. 191-227.
3. Ashby M. F. Plastic deformation of cellular materials // Encyclopedia of Materials: Science and Technology. UK, Pergamon Press, 2001, рр. 7068-7071.
4. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Ser.:
Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg -New York - Dordrecht - London, Springer, 2012, 390 p.
5. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Mathematical modeling of a metal foam as an elastic-plastic continuum with changing resistance // AIP Conference Proceedings, 2015, vol. 1648, p. 630005-1-630005-4.
6. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V., Luk'yanov A. A. Radial expansion of cylindrical or spherical cavity in an infinite porous medium // J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2014, vol. 55, no. 4, pp. 689-700.
© Садовский В. М., Садовская О. В., 2015
УДК 539.374
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ОРТОТРОПНОГО СТЕРЖНЯ*
С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Изучается упруго-пластическое кручение однородного прямолинейного стержня с ортотропной анизотропией. Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и находится в пластическом состоянии. Построена бесконечная система законов сохранения, зависящая линейно от компонент тензора напряжений. Законы сохранения позволили свести задачу об определении напряженного состояния во внутренних точках стержня к вычислению интегралов по границе контура сечения. Это дало возможность определить упруго-пластическую границу внутри поперечного сечения, которое ограничено произвольным кусочно-гладким контуром.
Ключевые слова: упруго-пластическое кручение, ортотропный стержень, упруго-пластическая граница, законы сохранения.
ELASTIC-PLASTIC TORSION OF ORTHOTROPIC ROD
S. I. Senashov, E. V. Filyushina
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
The paper studies elastic-plastic torsion of uniform rectilinear rod with orthotropic anisotropy. It is assumed that the lateral surface of the rod is free from stresses and stored in a plastic state. We construct an infinite system of conservation laws, which depends linearly on the components of the stress tensor. The conservation laws allow to reduce the problem of determining the state of stress in the interior of the rod to the calculation of integrals over the boundary contour section. This makes it possible to determine the elastic-plastic boundary within the cross section, which is limited with arbitrary piecewise smooth contour.
Keywords: elastic-plastic torsion rod orthotropic, elastic-plastic boundary conservation laws.
Введение. Ортототропной анизотропией обладают многие конструкционные материалы. Такая анизотропия возникает из-за технологической обработки: прокатки, сварки и т. п. Поэтому изучение поведения ор-тотропных материалов под действием различных нагрузок является актуальной задачей. В предлагаемой
работе изучается упруго-пластическое кручение орто-тропных стержней. Постановка задач и подробный анализ состояния задач об упруго-пластическом
* Работа поддержана Министерством образования и науки РФ № Б-180-14.
