CC BY
8УДК 539.37
ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЯХ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ, ПО-РАЗНОМУ СОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ РАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ
В. М. Садовский, О. В. Садовская, И. Е. Петраков
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: sadov@icm.krasn.ru
Предложен метод построения определяющих соотношений общего вида, учитывающих упругие, пластические и вязкие свойства волокнистых композитных материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Ключевые слова: волокнистый композит, упругость, пластичность, вязкость, реологическая схема, вариационное неравенство.
ON CONSTITUTIVE EQUATIONS OF FIBROUS COMPOSITES, DIFFERENTLY RESISTANT TO TENSION AND COMPRESSION
V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya, I. E. Petrakov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: sadov@icm.krasn.ru
We developed the method of constructing constitutive equations of a general form, taking into account elastic, plastic and viscous properties of fibrous composite materials, which differ in their resistance to tension and compression.
Keywords: fibrous composite, elasticity, plasticity, viscosity, rheological scheme, variational inequality.
Ранее авторами был развит оригинальный подход к построению феноменологических определяющих соотношений деформируемых сред с помощью обобщенного реологического метода. В этом методе сложные деформационные свойства структурно неоднородного материала имитируются реологической схемой, включающей в себя базовые элементы для описания упругости, пластичности и вязкости, а также новый элемент, используемый для моделирования различного сопротивления растяжению и сжатию. На основе этого подхода были построены математические модели разномодульных, разнопрочных и сыпучих сред разного уровня сложности [1-3].
В настоящей работе обобщенный реологический метод применяется к описанию однонаправленных композитных материалов, в которых волокна имеют относительно высокую жесткость при растяжении и низкую - при сжатии. К такого рода композитам относится, например, лед, армированный геосинтетическими нитями [4], органопластики с арамидными волокнами, предел прочности которых при сжатии в 5-10 раз ниже, чем при растяжении (http://polycomposite.ru/composite/organoplastik.php).
Простейший пример напряженно-деформированного состояния, в котором проявляется разное сопротивление волокнистого композита растяжению и сжатию - это состояние чистого изгиба. При изгибе пластины или балки верхние волокна по направлению прогиба растягиваются, а нижние сжимаются. Жесткость волокон на растяжение значительно больше
жесткости матрицы, а при сжатии волокна слабо влияют на жесткость композита в целом. Их вклад практически равен нулю для гибких нитей, используемых для армирования льда. В случае высокопрочных углепластиков с увеличением прогиба (с увеличением кривизны) происходит потеря устойчивости и последующее отслоение волокон от матрицы в зоне сжатия, что приводит к дальнейшему снижению сопротивления материала в этой зоне.
Положение нейтральной линии при чистом изгибе пластины из материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, не совпадает со срединной линией, как в классической задаче изгиба с симметричной диаграммой одноосного растяжения-сжатия. Кроме того, положение нейтральной линии меняется по мере разрушения и отслоения волокон.
Анализ точного решения задачи изгиба показывает, что ошибка в определении прогиба композитной пластины может достигать 90 %, если при расчете изгибной жесткости не учитывать изменение модуля упругости при смене знака деформации.
На рисунке представлена простейшая реологическая схема разномодульного упругого материала. При учете вязких и пластических свойств в соответствии с реологическим методом в нее необходимо встроить вязкие и пластические элементы. Левая пружина в схеме характеризует жесткость материала при сжатии, правая пружина - приращение жесткости при растяжении.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Жесткий контакт учитывает переход от состояния сжатия к растяжению, и наоборот. По закону Гука
с - с' = a : е, с' = b : (е - е' ), (1)
где с и е - тензоры действительных напряжений и деформаций; с' - тензор напряжений, соответствующий правой пружине; е' - разность между тензорами деформаций, соответствующими левой и правой пружинам; a и b - тензоры модулей упругости, двоеточие означает двойную свертку. Определяющие соотношения жесткого контакта формулируются в виде вариационного неравенства:
с' : 5е' > 0, е', е' + 5е' е C. (2)
Здесь 5е' - вариация тензора е'; C - конус допустимых деформаций. Для однонаправленного волокнистого композита C = {е | е11 < 0}, где е11 - деформация в направлении волокна. В случае перекрестного армирования конус C имеет более сложный вид.
С помощью математического аппарата выпуклого анализа доказывается, что соотношения (1)-(2) приводят к определяющему уравнению
с = (a + b) : е - b : П(е), (3)
в котором П(е) обозначает проекцию тензора е на конус C по евклидовой норме |е|2 = е : b : е.
Если е е C, то П(е) = е. В этом случае уравнение (3) приводится к виду: с = a : е, и описывает состояние сжатия композита. Если П(е) = 0, то из (3) вытекает уравнение с = (a + b) : е для растяжения (с большей жесткостью). Случай, когда проекция принадлежит конической поверхности C, соответствует переходному состоянию, в котором сопротивление волокон растягивающей деформации нарастает по мере перемещения проекции к вершине конуса.
Определяющее уравнение (3) позволяет строить устойчивые вычислительные процедуры при решении краевых задач статического состояния и динамиче-
ского деформирования волокнистых композитов. Более общие уравнения, учитывающие разное сопротивление растяжению и сжатию армирующих волокон и матрицы композита, были представлены в [6].
Библиографические ссылки
1. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Vol. 21 of Advanced Structured Materials. Heidelberg - New York -Dordrecht - London: Springer, 2012. 390 p.
2. Садовский В. М., Садовская О. В. Анализ деформации пористой среды с учетом схлопывания пор // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57, № 5. С. 53-65.
3. Мясников В. П., Садовский В. М. Вариационные принципы теории предельного равновесия разно -прочных сред // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 3. С. 487-498.
4. Матвеев С. А., Немировский Ю. В. Армированные дорожные конструкции: моделирование и расчет. Новосибирск: Наука, 2006. 348 с.
5. Бузник В. М., Каблов Е. Н. Отечественное арктическое материаловедение: состояние и перспективы развития [Электронный ресурс]. URL: https://www. sbras.ru/files/news/docs/buznik_kablov_09_ 03_2017.pdf (дата обращения: 10.06.2018).
6. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Constitutive relationships of fiber-reinforced composites having different resistance to tension and compression [Электронный ресурс]. URL: http://www.memocsevents.eu/wordpress/ euromech579/wp-content/uploads/2017/02/Sadovskii.pdf (дата обращения: 10.06.2018).
References
1. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Vol. 21 of Ad-
vanced Structured Materials. Heidelberg - New York -Dordrecht - London, Springer, 2012. 390 p.
2. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Analyzing the deformation of a porous medium with account for the collapse of pores. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2016, Vol. 57, No. 5. P. 808-818.
3. Myasnikov V. P., Sadovskii V. M. Variational principles of the theory of the limiting equilibrium of media with different strengths. J. Appl. Math. Mech. 2004. Vol. 68, Iss. 3. P. 437-446.
4. Matveev S. A., Nemirovskii Yu. V. Armirovannye dorozhnye konstruktsii: modelirovanie i raschet [Reinforced Road Structures: Modeling and Calculation]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2006. 348 p. (In Russ.)
5. Buznik V. M., Kablov E. N. Otechestvennoe arkticheskoe materialovedenie: sostoyanie i perspektivy razvitiya [Domestic Arctic Materials Science: State and Prospects of Development]. Available at: https://www.sbras.ru/files/news/docs/buznik_kablov_09_ 03_2017.pdf (accessed: 10.06.2018). (In Russ.)
6. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Constitutive relationships of fiber-reinforced composites having different resistance to tension and compression. Available at: http://www.memocsevents.eu/ wordpress/ euromech579/wp-content/uploads/2017/02/Sadovskii.pdf (accessed: 10.06.2018).
© Садовский В. М., Садовская О. В., Петраков И. Е., 2018
