CC BY
7
УДК 533:6, 533:9;519.688
DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-11
Д. А. Тукмаков
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА ДИСПЕРСНОЙ ФАЗЫ НА ПАРАМЕТРЫ ОТРАЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ УДАРНЫХ ВОЛН ИЗ ЗАПЫЛЕННЫХ СРЕД В ОДНОРОДНЫЙ ГАЗ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью данной работы является исследование ударно-волновой динамики электрически заряженных запыленных сред. В частности, исследовалось влияние наличия электрического заряда дисперсной фазы на динамику несущей среды. Результаты исследований возможно использовать при оптимизации технологических процессов нанесения порошковых покрытий в электрическом поле.
Материалы и методы. В исследовании на основе численного решения уравнений динамики многофазной среды проводится моделирование процесса движения прямого скачка уплотнения из запыленной среды в чистый газ с учетом сил электрической природы, воздействующих на дисперсную составляющую гетерогенной смеси, а также силового и теплового взаимодействия компонент многофазной среды. В математической модели несущая среда описывается как вязкий сжимаемый теплопроводный газ.
Результаты. Выявлены закономерности ударно-волнового течения запыленной среды во внутреннем электрическом поле, генерируемом заряженной дисперсной компонентой двухфазной среды и исследовано влияние электрического заряда дисперсной фазы на интенсивность отраженной от твердой поверхности ударной волны.
Выводы. Влияние заряда электрически заряженной запыленной среды является существенным лишь для малых интенсивностей ударной волны.
Ключевые слова: многофазные среды, ударные волны, уравнение Навье -Стокса, математическое моделирование, электрически заряженные среды.
D. A. Tukmakov
NUMERICAL STUDY OF THE ELECTRIC CHARGE INFLUENCE OF THE DISPERSED PHASE ON THE REFLECTION PARAMETERS OF THE SHOCK WAVE DURING THE PROPAGATION OF SHOCK WAVES FROM SPRAYED MEDIA TO A HOMOGENEOUS GAS
Abstract.
Background. The aim of this work is to study the shock-wave dynamics of electrically charged dusty medium. The effect of the electric charge of the dispersed phase on
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант №19-01-00442.
© Тукмаков Д. А., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
the dynamics of the carrier medium studied. The research results can used to optimize the technological processes of applying powder coatings in an electric field.
Materials and methods. On the basis of a numerical solution of the equations of multiphase medium dynamics, the process of the movement of a direct shock wave from a dusty medium into a pure gas is simulated taking into account the forces of an electric nature acting on the dispersed component. As well as the force and heat interaction of the mixture components. The carrier medium is described as a viscous compressible heat-conducting gas.
Results. The patterns of the shock-wave flow of a dusty medium in an internal electric field generated by a charged dispersed component of a two-phase medium revealed, and the effect of the electric charge of a dispersed phase on the intensity of the shock wave reflected from the solid surface is investigate.
Conclusions. The effect of the charge of an electrically charged dusty medium is significant only for low shock wave intensities.
Keywords: multiphase medium, shock waves, Navier-Stokes equation, mathematical modeling, electrically charged medium.
Введение
Многие природные явления и процессы связаны с движением сплошных сред, неоднородных по своим механическим и физико-химическим свойствам [1-3]. В ряде случаев экспериментальное исследование динамических процессов в неоднородных средах затруднено, в связи с чем требуется создание математических моделей таких течений [2]. В частности, интерес к математическому моделированию динамики газовзвесей вызван задачами, связанными с оптимизацией установок транспортировки дисперсных сред, оптимизацией технологий экранирования промышленных взрывов запыленными средами и оптимизацией технологий нанесения порошковых покрытий в электрическом поле, а также изучением динамики нестационарных процессов в пылевой плазме [3-7]. Течения гетерогенных смесей, в которых массовые доли компонент имеют сопоставимые величины, во многом определяются эффектами, вызванными межфазным взаимодействием [1-3], что существенно отличает такого рода течения от динамики однородных сред. Совершенствование технологий напыления порошковых покрытий в электрическом поле требует создания математических моделей, учитывающих воздействие на гетерогенную смесь сил, имеющих как аэродинамическую, так и электромагнитную природу. В процессе такого напыления происходит истечение запыленной среды в высокоскоростном потоке из распыляющего канала с последующим столкновением потока заряженной запыленной среды с твердой поверхностью [6]. Как известно из классической газовой динамики [8], столкновение скачка уплотнения газа с твердой поверхностью приводит к формированию отраженного возмущения. Целью данной работы является изучение влияния электрического заряда дисперсной фазы на процесс отражения ударной волны от твердой поверхности при прохождении прямого скачка уплотнения из запыленной среды в однородный газ - «разлете сжатой газовзвеси» [9].
1. Методика исследования
Движение несущей среды описывается системой уравнений Навье -Стокса для сжимаемого теплопроводного газа с учетом межфазного силового
взаимодействия и теплообмена; система уравнений динамики дисперсной фазы включает в себя уравнение неразрывности, уравнения сохранения компонент импульса и уравнение сохранения энергии, а также уравнение Пуассона, описывающее внутреннее электрическое поле дисперсной фазы [1, 2, 10-14]:
+У(руV) = 0,V = [щ,vi] (i = 1, 2), ^ +V (p( + 8ftp -Tk) = -F2k + Va2kp,
(1)
^ +V (vVf) = F2k - a2Vkp ( k = 1,2), ((( + p-тг7)-V1kTki -XV'T) =
ЁЫ +V".
dt
т
= "& -|*Ы ((-Ук )+ Е «2 ^ ((
V"2 У
^ + ) = С2 ( = 1.2 );
Аф = Р2^ .
Тензор вязких напряжений несущей компоненты:
f
T11 = Ц
Эщ 2 Эх1 3
Л
VV
f
, T22 = Ц
i_dvL - 2
дх2 3
VV
, Tik = % = M.VV1, (2)
Составляющие вектора межфазного силового взаимодействия определяются из выражений:
3 a Fx =—,—т X1 4 (2r)
„ Г 72 ГТ, ч f дщ дщ дщ
CdPW(u1 -u2) +(v1 -v2) (u1 -u2)+aP1 37 + u1d" + v1 dXX
Л
+0,5ap2
dt
дщ дщ дщ du2 du2 du2 ^
+
- + щ —- + V1
u2'
"v2"
dt Эх1 Эх2 dt Эх1 Эх2
-<?0p2 дф/ <Ц , (3)
Fх =
3 a
4 (2r)
CdP1>/(u1 - u2 )2 +(v1 - v2 )2 (v1 - v2 )
f
+0,5ap1
+ ap1
dv2 ^
\
dvi dvi dvi —1 + u1—1 +v1—1
dt Эх1 дх2 j
+
dvi dvi dvi dv2 dv2
—L + щ—L + v—L---— - u2—— - v2——
dt Эх1 дх2 dt Эх1 дх2 j
- %P2 дф/дх2 -P2g,
cd = TT~ + -4г + 0,4, Re21 = P1V - V2|2r/Ц.
Re21 Re
0,5 21
Здесь р, рь иь V] - давление, плотность, декартовы составляющие скорости несущей среды в направлении осей х\ и х2 соответственно; Ть ех -температура и полная энергия газа; р2, Т2, е2, и2, v2 - «средняя плотность», температура, внутренняя энергия, декартовы составляющие скорости дисперсной фазы в направлении осей х1, х2.
Температура несущей среды находится из уравнения
Т = (у-1)(е1/р1 - 0,5(и!2 + V]2) )/Я,
где Я - газовая постоянная несущей фазы. Внутренняя энергия взвешенной в газе дисперсной фазы определяется как е2 = р2СрТ2, где Ср - удельная теплоемкость единицы массы вещества дисперсной фазы. В уравнение энергии для несущей фазы входит коэффициент теплопроводности газа, коэффициент теплообмена аТ на поверхности «частица - несущая среда» и тепловой поток за счет теплообмена между газом и частицей
д2 = аТ4лг2(Т] - Т2)п = 6а Ни X (Т - Т2)/(2г)2,
где Ни = 2гаТ/Х.
Число Нуссельта определяется с помощью известной аппроксимации в зависимости от относительных чисел Маха, Рейнольдса и от числа Пранд-тля [2]:
Ни = 2ехр(-М20) + 0,459Re2o55 Рг0,33, 0 <М%)< 2 , 0 < Re20 < 2-105;
М21 = V - Уг\/с , Рг = у СрцА. (4)
Система уравнений дополнялась соответствующими начальными и граничными условиями. На границах расчетной области задавались граничные условия Дирихле для составляющих скорости несущей и дисперсной фазы и граничные условия Неймана для остальных функций [2, 10].
Составляющие силы Кулона на единицу объема газовзвеси определяются через ее удельный заряд, объемную плотность твердой фазы и напряженность электрического поля. Потенциал электрического поля в расчетной области определяется из решения уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле [15]. В правой части уравнения Пуассона содержится плотность заряда газовзвеси, отнесенная к абсолютной диэлектрической проницаемости несущей среды:
ау E = Рэл, E = -Уф, Д^-Р^, Рэл = р2 • Я, £0 =10-9 Ф/м. (5) ££0 ££0 36п
где я0 - удельный заряд единицы массы твердой фракции; ф - потенциал электрического поля.
Численная модель неравновесной динамики газовзвеси, основанная на решении системы уравнений движения гетерогенной смеси явным конечно-разностным методом Мак-Кормака [10] с применением схемы коррекции численного решения [16], была протестирована сопоставлением результатов расчетов движения ударных волн по запыленным средам с известным из литературы численным решением, полученным методом крупных частиц [2, 11]. В статье [12] проведено сопоставление численных расчетов, получен-
ных с помощью программного кода, реализующего численный алгоритм решения системы уравнений динамики монодисперсной газовзвеси с результатами физического эксперимента по разлету сжатого объема газовзвеси в чистый газ [9]. Сопоставление показало приемлемое соответствие экспериментальных данных и численных расчетов. В экспериментальной работе были выявлены количественные и качественные отличия ударно-волновой динамики газовзвеси от результатов расчетов движения чистого газа, что также согласуется с рядом работ, посвященных численному моделированию течения запыленных сред [1-3]. Уравнение Пуассона для потенциала электрического поля решалось методом конечных разностей с помощью итерационной схемы метода установления [17] на газодинамической расчетной сетке.
2. Результаты расчетов
В приведенных ниже расчетах объемное содержание дисперсной фазы газовзвеси составляло а = 0,0005. Физическая плотность и теплоемкость вещества твердых включений: р20 = 1848 кг/м3 и Су2 = 1824 Дж/(кг • К) соответственно, что аналогично плотности и теплоемкости бериллия. Удельный массовый заряд дисперсной фазы я = -0,001 Кл/кг [6, 14].
На рис. 1 приведено изображение расчетной области, состоящей из камеры высокого давления, заполненной сжатой газовзвесью и камеры низкого давления, содержащей чистый газ.
.- .. .- - --.. .'.- i Р2 • \ Р1
Р2>Р1 ч=-0.001 Кл/кг
Рис. 1. Схематичное изображение ударной трубы
На рис. 2 представлены численные расчеты распределения давления, создаваемого отраженными ударными волнами для различных начальных ин-тенсивностей разрыва давления при разлете электрически нейтральной газовзвеси (кривая 1) и при разлете заряженной запыленной среды (кривая 2), а также численный расчет для однородного вязкого газа (кривая 3) и аналитическое решение (кривая 4). Интенсивности начального разрыва давлений соответственно р2/р1 =1,1 приведены на рис. 2,а и р2/р1 = 1,5 - на рис. 2,б. Численные решения для отраженной ударной волны при разлете сжатого объема газовзвеси имеют меньшую интенсивность давления, чем численные решения для однородного вязкого газа. При этом наибольшая интенсивность давления в отраженной ударной волне соответствует аналитическому решению [8], показанному на рис. 2
На рис. 3 представлено сопоставление пространственных распределений волн давления, полученных при моделировании отражения ударных волн, сформированных в результате разлета заряженных газовзвесей с дисперсностью частиц й = 2 мкм и й = 20 мкм (кривые 2, 4) соответственно и электрически нейтральных газовзвесей с аналогичными дисперсностями частиц (кривые 1, 3) при распаде разрыва в однородном вязком газе (кривая 5)
и аналитическое решение для идеального невязкого газа [8] (кривая 6). В волнах давления, формируемых движением ударной волны из электрически заряженных газовзвесей, наблюдается меньшее давление на участке разрежения газа - кривые 2 и 4, чем в волнах давления, образованных разлетом нейтральных газовзвесей с тем же размером дисперсных включений - кривые 1 и 3. При этом максимальное значение давления в отраженной волне при одинаковой дисперсности газовзвеси выше в электрически заряженной газовзвеси (кривые 1-4). Таким образом, разность максимального значения давления в отраженной ударной волне при разлете нейтральной и заряженной газовзвесей уменьшается с увеличением размера дисперсных включений. Аналогичная закономерность наблюдается для минимального давления в волне разряжения - при распаде разрыва в электрически заряженной газовзвеси давление в волне разряжения меньше.
р. КПа
108 106 104
102 100
98-|-.-1-.-1-.-.-,-.-1-.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 х- м
р. КПа
150
140 130 120
1101000,0 0,5 1,0 1,5 2,0 х. М б)
Рис. 2. Пространственное распределение давления газа при отражении ударной волны от твердой поверхности для электрически нейтральной и заряженной газовзвеси, а также численные и аналитические решения для однородной среды. Моменты времени: а - t = 3,35 мс; б - t = 2,73 мс
X
Гу-
р. КПа
6
99,50-
1
2,0 М
Рис. 3. Пространственное распределение давления в процессе отражения ударной волны при начальной интенсивности разрыва давлений р2/р1 = 1,01, в момент времени / =3,46 мс. Кривые: 1, 3 - электрически нейтральные газовзвеси с дисперсностью частиц ё = 2 мкм и ё = 20 мкм; 2, 4 - электрически заряженные газовзвеси с дисперсностью частиц ё = 2 мкм и ё = 20 мкм; 5 - численное решение для вязкого газа; 6 - аналитическое решение [8]
На рис. 4 изображены пространственные распределения давления газа и средней плотности дисперсной фазы при разлете сжатого объема нейтральной и заряженной газовзвесей. В заряженной газовзвеси вблизи границы раздела запыленной среды и чистого газа формируется возмущение давления газа (рис. 4,а) [13]. Процесс связан с межфазным взаимодействием и вызван движением частиц дисперсной фазы под действием кулоновских сил.
В результате формируется волна сжатия, движущаяся в направлении распространения «основной» ударной волны, образованной начальным разрывом давления в газовой компоненте газовзвеси и волна разряжения, движущаяся в противоположном направлении. Так как интенсивность возмущения давления формируемого движением электрически заряженной запыленной среды существенно меньше интенсивности разрыва давления в газе, то происходит увеличение давления в «основной» ударной волне и уменьшение давления в «основной» волне разряжения. При этом процесс распространения твердой фазы в камеру низкого давления в электрически заряженной газовзвеси происходит быстрее (рис. 4,6).
Отношение разности максимального давления в отраженной волне сжатия при распространении ударной волны из нейтральной и заряженной газовзвесей к начальной величине разрыва давления уменьшается с ростом перепада давления газа (рис. 5,а). Увеличение дисперсности частиц газовзвеси приводит к тому, что отношение разности максимального давления в отраженной волне сжатия при распространении ударной волны из нейтральной и
3. Обсуждение результатов
заряженной газовзвесей к начальной величине разрыва давления уменьшается (рис. 5,б).
а)
б)
Рис. 4. Пространственное распределение давления (а) и «средней плотности» (б) при разлете сжатого объема электрически нейтральной - кривая 1 и заряженной газовзвеси - кривая 2. Момент времени t = 1,4 мс. Интенсивность начального перепада р2р = 1,01
а)
Рис. 5. Зависимости разности максимального значения давления в отраженной ударной волне между электрически нейтральной и заряженной газовзвесями от интенсивности перепада давления (а) и от размера частиц (б) при интенсивности разрыва давления р2р = 1,01
Рис. 5. Окончание Заключение
Численное моделирование выявило отличия в процессах формирования отраженной ударной волны при движении прямого скачка уплотнения из электрически нейтральной и из электрически заряженной газовзвесей. Величина разности максимального давления в отраженной ударной волне при распаде разрыва, сформированного в нейтральной и заряженной газовзвесей, уменьшается с ростом размера частиц. Отличие давления отраженных ударных волн в заряженной и нейтральной газовзвесях является существенным лишь для малых интенсивностей начального разрыва давлений.
Библиографический список
1. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. -Москва : Наука, 1987. - Ч. 1. - 464 с.
2. Кутушев, А. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах / А. Г. Кутушев. - Санкт-Петербург : Недра, 2003. - 284 с.
3. Федоров, А. В. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов / А. В. Федоров, В. М. Фомин, Т. А. Хмель. - Новосибирск, 2015.
4. Зинченко, С. П. О накоплении продуктов распыления сегнетоэлектрической мишени в плазме тлеющего высокочастотного разряда / С. П. Зинченко, Г. Н. Толмачев // Прикладная физика. - 2012. - № 5. - С. 53-56.
5. Дикалюк, А. С. Численное моделирование разреженной пылевой плазмы в нормальном тлеющем разряде / А. С. Дикалюк, С. Т. Суржиков // Теплофизика высоких температур. - 2012. - Т. 50, № 5. - С. 611-619.
6. Гаврилова, В. А. Нанесение защитного полимерно-порошкового покрытия на многоэлементный медицинский пьезоэлектрический датчик в поле коронного разряда / В. А. Гаврилова, Н. Ф. Кашапов, М. Г. Фазлыйяхматов // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2014. - Т. 57, № 3-3. - С. 114-118.
7. Mamun, A. A. Plasma voids (holes) in a dusty plasma / A. A. Mamun, P. K. Shukla, R. Bingham // Physics Letters A. - 2002. - Т. 298, № 2-3. - P. 179-184.
8. Овсянников, Л. В. Лекции по основам газовой динамики / Л. В. Овсянников. -Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. - 336 с.
9. Гельфанд, Б. Е. Ударные волны при разлете сжатого объема газовзвеси твердых частиц / Б. Е. Гельфанд, А. В. Губанов, Е. И. Медведев, С. А. Цыганов // Доклады Академии наук СССР. - 1985. - Т. 281, № 5. - С. 1113-1116.
10. Computation Techniques for Fluid Dynamics / C. A. Fletcher et al. - Berlin : SpringerVerlang, 1988. - 502 p.
11. Губайдуллин, Д. А. Численное исследование эволюции ударной волны в газовзвеси с учетом неравномерного распределения частиц / Д. А. Губайдуллин, Д. А. Тукмаков // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 10. -С. 109-119.
12. Нигматулин, Р. И. Ударно-волновой разлет газовзвесей / Р. И. Нигматулин, Д. А. Губайдуллин, Д. А. Тукмаков // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 466, № 4. - С. 418-421.
13. Тукмаков, А. Л. Генерация акустического возмущения движущейся заряженной газовзвесью / А. Л. Тукмаков, Д. А. Тукмаков // Инженерно-физический журнал. - 2018. - № 5. - С. 1-7.
14. Тукмаков, А. Л. Процесс осаждения заряженной полидисперсной газовзвеси на поверхность пластины в электрическом поле / А. Л. Тукмаков, Н. Ф. Кашапов, Д. А. Тукмаков, М. Г. Фазлыйяхматов // Теплофизика высоких температур. -2018. - Т. 56, № 4. - С. 498-502.
15. Сальянов, Ф. А. Основы физики низкотемпературной плазмы, плазменных аппаратов и технологий / Ф. А. Сальянов. - Москва : Наука, 1997. - 240 c.
16. Музафаров, И. Ф. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа / И. Ф. Музафаров, С. В. Утюжников // Математическое моделирование. - 1993. - Т. 5, № 3. - С. 74-83.
17. Крылов, В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. - Москва : Наука, 1977. - Т. 2. - 401 с.
References
1. Nigmatulin R. I. Dinamika mnogofaznykh sred [The dynamics of multiphase medium]. Moscow: Nauka, 1987, part 1, 464 p. [In Russian]
2. Kutushev A. G. Matematicheskoe modelirovanie volnovykh protsessov v aero-dispersnykh i poroshkoobraznykh sredakh [Mathematical modeling of wave processes in aero-dispersed and powdery medium]. Saint-Petersburg: Nedra, 2003, 284 p. [In Russian]
3. Fedorov A. V., Fomin V. M., Khmel' T. A. Volnovye protsessy v gazovzvesyakh chastits metallov [Wave processes in gas-suspended particles of metals]. Novosibirsk, 2015. [In Russian]
4. Zinchenko S. P., Tolmachev G. N. Prikladnaya fizika [Applied physics]. 2012, no. 5, pp. 53-56. [In Russian]
5. Dikalyuk A. S., Surzhikov S. T. Teplofizika vysokikh temperatur [Thermophysics of high temperatures]. 2012, vol. 50, no. 5, pp. 611-619. [In Russian]
6. Gavrilova V. A., Kashapov N. F., Fazlyyyakhmatov M. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Fizika [University proceedings. Physics]. 2014, vol. 57, no. 3-3, pp. 114-118. [In Russian]
7. Mamun A. A., Shukla P. K., Bingham R. Physics Letters A. 2002, vol. 298, no. 2-3, pp. 179-184.
8. Ovsyannikov L. V. Lektsii po osnovam gazovoy dinamiki [Lectures on the basics of gas dynamics]. Moscow; Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2003, 336 p. [In Russian]
9. Gel'fand B. E., Gubanov A. V., Medvedev E. I., Tsyganov S. A. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1985, vol. 281, no. 5, pp. 1113-1116. [In Russian]
10. Fletcher C. A. et al Computation Techniques for Fluid Dynamics. Berlin: SpringerVerlang, 1988, 502 p.
11. Gubaydullin D. A., Tukmakov D. A. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling]. 2014, vol. 26, no. 10, pp. 109-119. [In Russian]
12. Nigmatulin R. I., Gubaydullin D. A., Tukmakov D. A. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2016, vol. 466, no. 4, pp. 418-421. [In Russian]
13. Tukmakov A. L., Tukmakov D. A. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Engineering-physical journal]. 2018, no. 5, pp. 1-7. [In Russian]
14. Tukmakov A. L., Kashapov N. F., Tukmakov D. A., Fazlyyyakhmatov M. G. Teplofizi-ka vysokikh temperatur [Thermophysics of high temperatures]. 2018, vol. 56, no. 4, pp. 498-502. [In Russian]
15. Sal'yanov F. A. Osnovy fiziki nizkotemperaturnoy plazmy, plazmennykh apparatov i tekhnologiy [Fundamentals of low-temperature plasma physics, plasma devices and technologies]. Moscow: Nauka, 1997, 240 p. [In Russian]
16. Muzafarov I. F., Utyuzhnikov S. V. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling]. 1993, vol. 5, no. 3, pp. 74-83. [In Russian]
17. Krylov V. I., Bobkov V. V., Monastyrnyy P. I. Vychislitel'nye metody [Computational approach]. Moscow: Nauka, 1977, vol. 2, 401 p. [In Russian]
Тукмаков Дмитрий Алексеевич кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт механики и машиностроения - обособленное структурное подразделение Федерального исследовательского центра «Казанский научный центр Российской академии наук» (Россия, г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31)
E-mail: [email protected]
Tukmakov Dmitry Alekseevich Candidate of physical and mathematical sciences, researcher, Institute of mechanics and mechanical engineering - separate structural unit Federal Research Center "Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" (2/31 Lobachevskogo street, Kazan, Russia)
Образец цитирования:
Тукмаков, Д. А. Численное исследование влияния электрического заряда дисперсной фазы на параметры отражения ударной волны при распространении ударных волн из запыленных сред в однородный газ / Д. А. Тукмаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 4 (52). - С. 117-127. - DOI 10.21685/2072-30402019-4-11.
