CC BY
39
Прикладные задачи
нелинейной теории колебании и волн
УДК 533:6, 533:9;519.688 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-73-85
Численное моделирование колебаний электрически заряженной гетерогенной среды, обусловленных межкомпонентным взаимодействием
Д. А. Тукмаков
Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН Россия, 420111 Казань, ул. Лобачевского, д. 2/31 E-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru Поступила в редакцию 20.03.2019; принята к публикации 23.04.2019
Цель. Целью работы является численное исследование колебаний двухфазной среды (смеси газа и дисперсной фазы твёрдых частиц), вызванных электрическим зарядом дисперсного компонента и взаимообратным влиянием динамики газа и твёрдых частиц, а также влияние на динамические процессы в смеси линейного размера дисперсных частиц. Методы. С помощью численной модели электрически заряженной газовзвеси моделировались различные режимы колебательной динамики запылённой среды. Электрически заряженными предполагаются твёрдые частицы. В моделируемом процессе заряд всех частиц имеет одинаковый знак. Запылённая среда моделируется монодисперсной - все частицы имеют одинаковый размер, также предполагается, что все частицы состоят из материала с одинаковой плотностью и теплоёмкостью. Математическая модель предполагает скоростную и температурную неравновесность исследуемых процессов. Модель учитывает межфазный теплообмен, а также межфазное силовое взаимодействие, включающее в себя силу Стокса, силу присоединённых масс и динамическую силу Архимеда. Несущая среда -газ - предполагается вязкой, сжимаемой и теплопроводной. Система уравнений решается явным конечно-разностным методом Мак-Кормака второго порядка точности. Для получения монотонного решения применяется схема нелинейной коррекции сеточной функции. Результаты. Выявлено влияние размера частиц дисперсной фазы на скорость и частоту колебаний гетерогенной среды. Определена зависимость между размером частиц дисперсной фазы и интенсивностью перераспределения «средней плотности» частиц дисперсной фазы, а также определено влияние размера частиц на изменения давления в канале при колебательных движениях смеси.
Ключевые слова: численное моделирование, многофазная смесь, электрически заряженная среда, взаимообратное влияние компонентов смеси, неравновесные процессы.
Образец цитирования: Тукмаков Д.А. Численное моделирование колебаний электрически заряженной гетерогенной среды, обусловленных межкомпонентным взаимодействием//Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 3. С. 73-85. Ьйр8:// doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-73-85
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-73-85
Numerical simulation of oscillations of an electrically charged heterogeneous medium due to inter-component interaction
D.A. Tukmakov
Institute of Mechanics and Engineering - Subdivision of the Federal State Budgetary Institution of Science «Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences» 2/31 Lobachevskii str. 420111 Kazan, Russia E-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru Received 20.03.2019; accepted for publication 23.04.2019
Aim. The aim of the work is the numerical study of the oscillations of two-phase medium (a mixture of gas and a dispersed phase of solid particles) which caused by electric charge of the dispersed component, and the reciprocal effect of the dynamics of gas and solid particles, as well as the effect of linear size of dispersed particles on the dynamic processes. Methods. With the help of numerical models of electrically charged suspension was modeled in different modes of oscillatory dynamics in a dusty environment. It was assumed that electrically charged are solid particles. In the simulated process, the charge of all particles has the same sign. Dusty environment is modeled as monodisperse - all particles have the same size, it is also assumed that all particles consist of a material with the same density and heat capacity. Mathematical model assumes high-speed and temperature non-equilibrium of studied processes. The model takes into account the interphase heat transfer and interphase force interaction, which includes the Stokes force, the force of the attached masses and the dynamic force of Archimedes. The carrier medium - gas - is assumed to be viscous, compressible and heat-conducting. The system of equations is solved by an explicit second-order MacCormack finite-difference method. A scheme of nonlinear correction of the grid function is used to obtain a monotone solution. Results. Influence of the particle size of the dispersed phase on the velocity and oscillation frequency of the heterogeneous medium is revealed. The dependence between the particle size of the dispersed phase and the intensity of redistribution of the «average density» of particles of the dispersed phase is revealed, and the effect of particle size on changes in the pressure in the channel during the oscillation movements of the mixture is determined
Key words: numerical simulation, multiphase mixture, electrically charged medium, reciprocal influence of mixture components, non-equilibrium processes.
Reference: Tukmakov D.A. Numerical simulation of oscillations of an electrically charged heterogeneous medium due to inter-component interaction. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 3, pp. 73-85. https://doi.org/ 10.18500/0869-6632-2019-27-3-73-85
Введение
Процессы, связанные с потоками неоднородных сред, встречаются как в естественной природе, так и в технике [1-26]. В связи с этим динамика неоднородных сред является важным разделом механики жидкости и газа. Субстанции из неодинаковых по своему агрегатному состоянию компонентов называют многофазными или гетерогенными средами [1]. В качестве примера таких сред можно привести газовзвеси - взвеси жидких или твёрдых включений в газе [2]. Смеси газов с жидкими включениями называют аэрозолями, тогда как смеси газов с твёрдыми частицами именуют запылёнными средами. В настоящее время в литературе имеется несколько методологий для математического описания динамики потоков неоднородных сред. Это равновесный и диффузионный подходы, которые предполагают вычисление физических параметров потока для всей смеси в целом. Такого рода подходы применяются, как правило, для смесей, в которых можно пренебречь относительными скоростями движения компонентов [4-9]. Наиболее сложным для вычисления является гетерогенный подход, основанный на решении полной системы уравнений динамики сплошной среды для каждого из компонентов смеси с учётом межкомпонентного силового взаимодействия и теплообмена [10-15]. Преимущество гетерогенного подхода заключается в том, что он позволяет описывать нелинейные эффекты, связанные
с взаимообратным воздействием несущего и дисперсного компонентов смеси [2]. Как правило, течения в газовзвесях и аэрозолях формируются как следствие движения несущей среды - газа. В то же время воздействие электрического поля на дисперсную фазу запылённой среды может привести к тому, что дисперсная фаза придёт в движение, а за счёт взаимообратного воздействия компонентов смеси в несущей среде - газе - также могут начаться динамические процессы [18]. Ряд приложений требует моделирования потоков запылённой среды, испытывающей воздействие электрического поля [19-26]. В связи с этим возникает задача исследования нелинейной динамики гетерогенной смеси, вызванной самосогласованным электрическим полем, формируемым заряженной дисперсной фазой, конфигурация которого, в свою очередь, зависит от пространственного распределения концентрации твёрдых частиц запылённой среды, движущихся под действием силы Кулона, порождённой внутренним электрическим полем дисперсной фазы гетерогенной смеси. В данной работе численно моделируется процесс колебаний двухфазной среды, возникающих за счёт кулоновских сил, приводящих в движение дисперсную фазу смеси, и за счёт взаимообратного воздействия компонентов, приводящего в движение несущую среду - газ. Таким образом, динамические процессы в двухфазной смеси возникают вследствие движения дисперсной фазы. При этом колебания двухфазной смеси зависят от параметров дисперсной фазы. Целью данной работы является исследование влияния параметров дисперсных включений на динамику монодисперсной запылённой среды в плоском канале.
1. Математическая модель
Математическая модель включает в себя уравнения движения несущей среды и дисперсной фазы. Одним из наиболее важных параметров дисперсного компонента неоднородной смеси являлась «средняя плотность» - произведение объемного содержания дисперсного компонента на физическую плотность материала дисперсной фазы [1, 2]. Физическая плотность материала дисперсных включений в процессе течения многофазной среды не изменяется. При этом объемное содержание является функцией временной и пространственных переменных. Динамика несущей среды моделируется нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение вязкого, сжимаемого, теплопроводного газа с учётом межфазного силового взаимодействия и межфазного теплообмена [1, 2]:
dpi + д (рщ) + <9(pivi) = 0 dt dx dy '
д(piu) д , 2 , д , , ^ dp
—dt--+ дХ(Piu2 + P - Txx) + ду (Piuivi - Xxy) = Fx + a—,
д(pivi) d , , d , 2 , ^ dp
dt + дХ (Piuivi + p - Txy) + ду (PVl + p - Tyy) = Fy + ady'
дб1 д „ дТ д „ dTi
st" + дХ ([ei + р - Txx]ui- Txy vi- ^"дХ") + ду ([ei + р - туу ]vi- Txy ui- ) =
= -Q - (|Fx|(ui - ui) + |Fy|(vi - vi)) + a (^ + ^) '
P = (Y - 1)(e - P(u? + v2)/2)' ei = pi(1 + (u1 + v2)/2)' (a SUi 2 ) ( SVI 2
Xxx = Ц (2^ - 3D) ' Xyy = (^_ - 3J9
t = / dui + dv^A d = (— + dvA (i)
xx V dy dx / \ dx dy J '
Здесь р1, и1, VI, е1, Т1, X, ц, у - средняя плотность несущей среды, составляющие скорости несущей среды, полная энергия и температура газа, коэффициенты теплопроводности, вязкости и постоянная адиабаты для несущей газообразной среды; I = КТ/(у - 1) - внутренняя энергия несущей среды (здесь К газовая постоянная для разогретого воздуха) [2]; компоненты силы межфазного трения РХ,РУ и тепловой поток с поверхности дисперсной фазы Q определяются законами межфазного взаимодействия. Для описания движения дисперсной фазы используются уравнение сохранения средней плотности дисперсной фазы, уравнение сохранения импульса и уравнение сохранения внутренней энергии [2]:
др2 + др2^2 + Ф2У2 = 0
31 дх ду '
д(р2П2) . д 2ч , д др
~дИ- + дХ (Р2^2) + 9У (Р2П2У2) = —^Х2 — РЕХ2 - а дх,
д(р2^г) д д 2^ V Т? др
—дк- + дх(рм) + ду(Р2^ = -РУ2 - у2 - аду,
Ж" + 1х ^) + дХх (^ = ^Х(Т1 - Т2),
Р2 = ар20, б1 = Р 2Ср2Т2. (2)
Здесь а, Р2, е2, Т2 - объемное содержание, средняя плотность, внутренняя энергия и температура дисперсной фазы; Ср2, р20 - удельная теплоемкость и плотность вещества твердых частиц; г - радиус частиц, имеющих сферическую форму. Компоненты силы межфазного взаимодействия РХ и Ру имеют нелинейную зависимость от искомых динамических функций несущей и дисперсной фазы гетерогенной смеси [1,2,15,25]:
Fy = y 8Г2
^ Г, Т2 3 Г2, , ( dui dui dui \ Cd2Piy (ui - U2) + (vi - V2) (ui - U2) + pi I — + ui-dx + vi-g,—J +
(dui dui dui du2 du2 du2\ , „
+ 0-5aPi ^T + ui+ Vi—---— - u2—--V2—- + Fex,
\ dt dx dy dt dx dy )
^ Г, ^2 / , % ( dvi dvi dvi \
Cd2?i\J (ui - u2) +(vi - v2) (vi - v2) + api I + vi dx + vi dy J +
dvi dvi dvi dv2 dv2 dv2 , , _
+ 0.5api — + vi~ + vi~---— - v2—--v^— + FEy.
1 dt dx dy dt dx dy '
Выражение для межфазного теплообмена
Q = 6аХЖи12(Т1 - Т2)/(2г)2. Параметры межфазного взаимодействия описаны в работе [2]:
24 4
Ж 5
Cd2 = С°2Ф(М12)ф(а), C°2 = R^ + ^ + 0.4, —0 427
Ф(М12) = 1 + ехР(—M04427)' ф(а) = (! - а)-2'5'
Re = piUiD/^,Rei2 = rpi|ui — И2|/ц, M12 = |ui — U2I' Pri = cpi^(X)-1, Nui2 = 2exp(—M12) + 0.459Re?255Pr? '33, 0 < M12 < 2, 0 < Re < 2 ■ 105. Здесь D - характерный размер системы.
Составляющие силы Кулона на единицу объема газовзвеси определяются через ее удельный заряд, объемную плотность твердой фазы и напряженность электрического поля:
дф дф дх ду
где 50 - удельный заряд единицы массы твердого компонента смеси, ф - потенциал электрического поля. Потенциал электрического поля в расчетной области определяется из решения уравнения Пуассона с граничными условиями 2 рода [21].
ё1уЕ — —, Е — -Уф, 5 — Р25О- (3)
880
В правой части уравнения Пуассона содержится плотность заряда газовзвеси, отнесенная к абсолютной диэлектрической проницаемости несущей среды. В матричном виде система нелинейных уравнений (1)-(2) может быть записана как [9,15]:
о? ОЕ — н
д£ дх ду '
Р1
Р2
Р1«1
Р1^1 , E —
Р2«2
Р2^2
в1
в2
Р1«1 Р2«2
Р1^2 + р - Тжж Р1«1^1 - Тжу
Р2«2 Р2«2^2
(б1 + р - ТЖж)«1 - Тжу- X в2 «2
F
Р1^1 Р2^2 Р1-ит - Тжу Р1^2 + р - туу
Р2«2^2
2
Р2 VI
(в1+р - Туу - Тжу «1 - х ^дт1 в2^2
(4)
H
0 0
/'ж I аа д
ж 1 дж + а ^р
+ а ду
X а д
х дж
- - а дР
-д - |^|(«1 - «2) - |(^1 - VI) + а2^ + а2^
друх
ду
q
Алгоритм явного конечно-разностного метода Мак-Кормака для нелинейной системы (4) может быть записан в виде [28]:
^к = <?пк- (Е1+1к- )- ху - 3) + ^Щь,
^ = 0.5(<*к + <Пк) - 0.5Ек - Е*-1к) - 0.5^(Р*к - ^к-1) + 0.ШИ*к.
Монотонность решения достигалась с помощью применения схемы нелинейной коррекции вдоль пространственных направлений х и у по индексам ], к, соответственно, к компонентам вектора независимых переменных [29] q
Я = (Р1, Р2, Р1«1, Р1^1, Р2И2, Р2^2, в1б2).
Пусть ^к - произвольная независимая функция на п-ом временном слое в узле ], к. Тогда алгоритм коррекции имел бы следующий вид:
%Тк = + к(^^П+1/2,к - ^^П-1/2,к), (5)
где ^"к - скорректированная функция, к - коэффициент коррекции. Данный алгоритм выполняется в случае, когда (8^П-1/2)к8^™+1/2>к) < 0 или (8^™+1/2>к8£п+3/2)к) < 0. Здесь используются обозначения
с уп _ уп уп с уП _ уп уп с уП _ уп уп
]-1/2,к = ¿3 - ^3-1,к, OZj+1/2,k = Zj+1,k - ¿з^, 0^7+3/2,к = Zj+2,k - Zj+1k•
Уравнение Пуассона (3) для потенциала электрического поля записывалось в обобщенных координатах и решалось методом конечных разностей с помощью итерационной схемы метода установления [30] на газодинамической расчетной сетке [18]. Система уравнений дополнялась соответствующими начальными и граничными условиями. На границах расчетной области задавались граничные условия Дирихле для составляющих скорости несущей и дисперсной фазы и граничные условия Неймана для остальных функций [15,18,25].
2. Результаты расчётов
Начальное объёмное содержание дисперсной фазы в камере высокого давления предполагалось равным а = 0.0001. Истинная физическая плотность дисперсной фазы была равна плотности бериллия Р20 = 1850 кг/м3. Удельный электрический заряд единицы массы <о = = -0.0000005 Кл/кг.
На рис. 1 схематически изображён канал, в левой половине которого находится электрически заряженная газовзвесь, частицы которой имеют одинаковый заряд и под воздействием силы
Рис. 1. Схематичное изображение канала с заряженной газовзвесью в начальный момент времени Fig. 1. Schematic image of the channel with a charged gas suspension at the initial moment of time
Рис. 2. Пространственное распределение давления в моменты времени Ь = 0 (сплошная линия), Ь =0.0004 с (штриховая линия), Ь = 0.0003 с (пунктир)
Рис. 3. Зависимость от времени продольных составляющих скоростей несущей (сплошная линия) и дисперсной фазы
Fig. 2. Spatial distribution of pressure at the time t = 0 Fig. 3. Time dependence of the longitudinal components of (solid line), t = 0.0004 s (wrapped line), t = 0.0003 s the carrier (solid line) and dispersed phase velocities (dotted line)
Кулона отталкиваются друг от друга, а в правой половине канала - чистый газ [16]. В начальный момент времени за счёт кулоновских сил приходит в движение дисперсная фаза смеси, распространяющаяся в правую часть канала. Взаимообратное влияние несущей и дисперсной фаз приводит к тому, что образуется возмущение давления газа (рис. 2). Можно наблюдать, как в сторону движения заряженной газовзвеси распространяется волна сжатия газа, а в противоположную сторону - волна разрежения. Отражение акустического возмущения от стенок канала приводит к колебаниям несущей среды. Рассмотрим зависимости от времени скорости несущей и дисперсной фаз газовзвеси в точке х — 0.05, у — 0.5 (рис. 3-5).
На рис. 3 представлены зависимости от времени х-составляющей скорости несущей и дисперсной фазы для газовзвеси с диаметром частиц й — 2 мкм. Амплитуда изменения скорости для дисперсной фазы составляет — 0.024 м/с, для несущей среды - — 0.022 м/с. Колебания
Рис. 4. Зависимость от времени продольной составляющей скорости несущей среды для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений d, мкм: 2 (сплошная линия), 20 (штриховая линия)
Fig. 4. Time dependence of the longitudinal component of the velocity of the carrier medium for gas suspensions with different sizes d of dispersed inclusions: 2 |j,m (solid line), 20 |j,m (wrapped line)
Рис. 5. Зависимость от времени продольной составляющей скорости дисперсной фазы для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений d, мкм: 2 (сплошная линия), 20 (штриховая линия)
Fig. 5. Time dependence of the longitudinal component of the velocity of the dispersed phase for gas suspensions with different sizes d of dispersed inclusions: 2 |jm (solid line), 20 |j,m (wrapped line)
р. Pa 9277092760927509274092730927201 .......... ■
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0*, Ш
Рис. 6. Пространственное распределение давления для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений d, мкм: 200 (сплошная линия), 20 (штриховая), 2 (пунктир)
Fig. 6. Spatial pressure distribution for gas mixtures with different sizes d of dispersed inclusions: 200 |j,m (solid line), 20 |j,m (wrapped line), 2 |j,m (dotted line)
0.0-1..........
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x,m
Рис. 7. Пространственное распределение «средней плотности» дисперсной фазы для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений d, мкм: 200 (сплошная линия), 20 (штриховая), 2 (пунктир)
Fig. 7. The spatial distribution of the «average density» of the dispersed phase for gas suspensions with different sizes d of dispersed inclusions: 200 |j,m (solid line), 20 |j,m (wrapped line), 2 |j,m (dotted line)
несущей и дисперсной фазы происходят с одинаковой частотой. Рис. 4 отображает зависимость скорости несущей среды от времени для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений, колебания газа в газовзвесях с более крупными частицами (й — 20 мкм) имеют меньшую амплитуду и быстрее затухают. При этом изменение скорости несущей среды для крупнодисперсных газовзвесей происходит монотонно (рис. 5). Численное моделирование показывает, что частота V колебаний газовой фазы газовзвесей с диаметром частиц й — 2, 20, 200 мкм составляет, соответственно, V — 250, 263, 2800 Гц. Таким образом, увеличение размера частиц приводит к генерации более высокочастотных колебаний.
На рис. 6, 7 приведены результаты расчётов физических параметров несущей и дисперсной фазы гетерогенной смеси вдоль оси канала - у — 0.05 м, проведённых для различных размеров дисперсных включений в момент времени £ — 0.2 с. Численное моделирование показывает, что с увеличением линейного размера дисперсных включений величина изменения давления убывает (см. рис. 6). Напротив, увеличение размера частиц приводит к интенсификации процесса перераспределения средней плотности дисперсной фазы (см. рис. 7). На рис. 8 изображены временные зависимости для потенциала электрического поля, генерируемого заряженной газовзвесью в точке х — 0.75, у — 0.05. Процесс перехода системы заряженной газовзвеси в стационарное состояние быстрее происходит для мелкодисперсной газовзвеси.
Рис. 8. Зависимость от времени потенциала электрического поля в точке x = 0.75, y = 0.05 для газовзвесей с различными размерами дисперсных включений d, мкм: 2 (сплошная линия), 200 (штриховая линия)
Fig. 8. Time dependence of the potential of the electric field at the point x = 0.75, y = 0.05 for gas suspensions with different sizes d of dispersed inclusions: 2 |jm (solid line), 200 |j,m (wrapped line)
Выводы
Численное решение системы уравнений (4) позволило описать процесс нелинейной динамики гетерогенной смеси, вызванной внутренним самосогласованным полем дисперсного компонента и взаимообратным воздействием компонентов смеси, имеющим нелинейный характер. В начальный момент времени за счёт сил электрической природы в движение приходит дисперсный компонент смеси. Вследствие межфазного взаимодействия происходит формирование возмущения давления газового компонента смеси. Отражение возмущения давления несущей среды от стенок канала посредством межфазного взаимодействия задаёт колебательную динамику всей смеси - несущего и дисперсного компонентов. При этом характеристики колебательных движений как дисперсного, так и несущего компонентов смеси определяются межфазным взаимодействием, задаваемым нелинейной функцией физических параметров динамики несущего и дисперсного компонентов смеси и имеющим зависимость от параметров частиц, составляющих дисперсный компонент.
Следует отметить, что в процессе движения гетерогенной смеси движение дисперсного компонента электрически заряженных частиц, а посредством межкомпонентного взаимодействия также и движение несущей среды, зависит от внутреннего самосогласованного электрического поля, потенциал которого находится в зависимости от пространственного распределения концентрации твёрдых электрически заряженных частиц, движение которых определяется интенсивностью межкомпонентного взаимодействия в смеси.
В математической модели предполагается, что частицы имеют сферическую форму в связи с чем увеличение воздействия силы Кулона происходит в кубической пропорции относительно размера частиц. При этом площадь межфазного взаимодействия для единичной частицы является функцией второго порядка относительно линейного размера частицы, а количество частиц в единице объема при одинаковом объемном содержании дисперсной фазы газовзвеси с ростом размера частиц уменьшается в кубическом соотношении. Другими словами, увеличение размера частиц приводит к кратному уменьшению площади межфазного взаимодействия. Таким образом, если дисперсная фаза газовзвеси состоит из крупных частиц, то наблюдается большее воздействие силы Кулона на отдельную частицу и меньшее сопротивление со стороны несущей среды. Это приводит к тому, что крупные частицы разгоняются до большей скорости, а взаимообратное влияние компонентов смеси становится не столь существенным, и динамические процессы в газовой фазе смеси менее выражены. В тоже время за счёт большего воздействия сил электрической природы дисперсные частицы разгоняются до больших скоростей. Результаты численных расчётов колебаний заряженной газовзвеси в плоском канале выявили следующие закономерности.
1) Частицы более мелкого размера генерируют колебания смеси с большей амплитудой и частотой.
2) Увеличение размера частиц приводит к более быстрому затуханию колебаний газа.
3) Процесс перераспределения «средней плотности» дисперсной фазы более интенсивен при генерации динамических процессов крупнодисперсными газовзвесями.
Библиографический список
1. Нигматулин Р.И.Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.
2. Кутушев А.Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб.: Недра, 2003. 284 с.
3. Кисилев С.Г., Руев Г.А., Трунев А.П., Фомин В.Ф., Шавалиев М.Ш. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука, 1992. 261 с.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
>
Гельфанд Б.Е., Губанов А.В., Медведев Е.И., Цыганов С.А. Ударные волны при разлете сжатого объема газовзвеси твёрдых частиц // ДАН СССР. 1985. Т. 281, № 5. С. 1113-1116. Козлов В.Е., Лебедев А.Б., Секундов А.Н., Якубовский К.Я. Моделирование скорости турбулентного гомогенного горения на основе «квазиламинарного» подхода // ТВТ. 2009. Т. 47, № 6. С. 946-953.
Рыжков И.И., Степанова И.В. Групповые свойства и точные решения модели вибрационной конвекции бинарной смеси // Прикладная механика и техническая физика. 2011, № 4. С. 72-83.
Zabelinskii I.E., Ibraguimova L.B., Shatalov O.P., Tunik U.V. Experimental study and numerical modeling of vibrational oxygen temperature profiles behind a strong shock wave front // Progress in Flight Physics. EUCASS book series: Advances in Aerospace Sciences. Moscow, 2011. P. 231-242.
Голуб В.В., Баженова Т.В., Бакланов Д.И., Иванов К.В., Кривокорытов М.С. Применение детонации водородовоздушной смеси в устройствах для безыгольной инъекции // Теплофизика высоких температур. 2013, № 1. С. 147-150.
Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Исследование динамики двухкомпонентного газа с пространственно разделенными в начальный момент компонентами // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2014. № 3-4. С. 38 - 43.
Садин Д.В. TVD-схема для жестких задач волновой динамики гетерогенных сред негиперболического неконсервативного типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56, № 12. С. 2098-2109.
Вараксин Ю.А., Протасов М.В., Яценко В.П.Анализ механизмов осаждения твердых частиц на стенки каналов // Теплофизика высоких температур. 2013, № 5. С. 738-746. Клочков Б.Н., Рейман А.М. Нелинейные модели динамики кровоснабжения участка ткани // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 2. С. 131-141. Глазунов А.А., Дьяченко Н.Н., Дьяченко Л.И.Численное исследование течения ультрадисперсных частиц оксида алюминия в сопле ракетного двигателя твердого топлива // Теплофизика и аэромеханика. 2013. Т. 20, № 1. С. 81-88.
Веревкин А.А., Циркунов Ю.М. Течение дисперсной примеси в сопле Лаваля и рабочей секции двухфазной гиперзвуковой ударной трубы // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 5 (291). С. 102-113.
Нигматулин Р.И., Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Ударно-волновой разлет газовзвесей // Доклады академии наук. 2016. T. 466, № 4. C. 418-421.
Zhuoqing A., Jesse Z. Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines // Powder Technology. 2019. Vol. 345. P. 346-351.
Hayakawa H., Takada S., Garzo V. Kinetic theory of shear thickening for a moderately dense gassolid suspension: From discontinuous thickening to continuous thickening // Physical review -covering statistical, nonlinear, biological, and soft matter physics. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.96.042903
Тукмаков А.Л., Тукмаков Д.А. Генерация акустических возмущений движущейся заряженной газовзвесью // Инженерно-физический журнал. 2018, Т. 91, № 5. С. 1-7. Зинченко С.П., Толмачёв Г.Н. О накоплении продуктов распыления сегнетоэлектрической мишени в плазме тлеющего высокочастотного разряда // Прикладная физика. 2012, № 5. С. 53-56.
20. Дикалюк А.С., Суржиков С.Т. Численное моделирование разреженной пылевой плазмы в нормальном тлеющем разряде // Теплофизика высоких температур. 2012. Т. 50, № 5. C. 611-619.
21. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., Hayashi Y. Heat transfer enhancement in a gas-solid suspension flow by applying electric field // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2016. Vol. 93. P. 778-787.
22. Mamun A.A., Shukla P.K., Bingham R. Plasma voids (holes) in a dusty plasma // Physics Letters A. 2002. Т. 298. № 2-3. P. 179-184.
23. Jaiswal S., Hall T., LeBlanc S., Mukherjee R., Thomas E. Effect of magnetic field on the phase transition in a dusty plasma // Physics of Plasmas. 2017. Vol. 24, no. 11. 113703. https://doi.org/10.1063/1.5003972.
24. Haralson Z., Goree J.Overestimation of viscosity by the Green-Kubo method in a dusty plasma experiment//Phys. Rev. Lett. Vol. 118. 195001. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.118.195001
25. Тукмаков А.Л., Кашапов Н.Ф., Тукмаков Д.А., Фазлыйяхматов М.Г. Процесс осаждения заряженной полидисперсной газовзвеси на поверхность пластины в электрическом поле // Теплофизика высоких температур. 2018. T. 56, вып. 4. C. 498-502.
26. Tukmakov A.L., Kashapov N.F., Tukmakov D.A., Fazlyyakhmatov M.G. Numerical modeling of the powder materials spraying // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2018. Vol. 412, conference 1.
27. Сальянов Ф.А. Основы физики низкотемпературной плазмы, плазменных аппаратов и технологий. М.: Наука, 1997. 240 c.
28. Fletcher C.A. Computation Techniques for Fluid Dynamics. Springer-Verlang, Berlin et al., 1988. 502 p.
29. Музафаров И.Ф., Утюжников С.В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Математическое моделирование. 1993. T. 5, № 3. C. 74-83.
30. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977. 401 с.
References
1. Nigmatulin R.I. Dynamics of Multiphase Media. Part 1. M.: Nauka, 1987. 464 p. (in Russian).
2. Kutushev A.G. Mathematical Modeling of Wave Processes in Aero-Dispersed and Powdered Media. SPb.: Nedra, 2003, 284 p. (in Russian).
3. Kisilev S.G., Ruev G.A., Trunev A.P., Fomin V.F., Shavaliev M.Sh. Shock-wave Processes in Two-Component and Two-Phase Media. Novosibirsk: Nauka, 1992, 261 p. (in Russian).
4. Gelfand B.E., Gubanov A.V., Medvedev E.I., Tsyganov S.A. Shock waves during expansion of the compressed volume of a gas suspension of solid particles. Doklady Physics, Academy of Sciences of USSR, 1985, vol. 281, no. 5, pp. 1113-1116 (in Russian).
5. Kozlov V.E., Lebedev A.B., Sekundov A.N., Yakubovskii K.Y. Simulation of turbulent homogeneous combustion using the «quasi-laminar» approach. High Temperature, 2009, vol. 47, no. 6, pp. 912-919.
6. Ryzhkov I.I., Stepanova I.V. Group of mixture / law of vibrational mixture. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2011, vol. 52, no. 4, pp. 560-570.
7. Zabelinskii I.E., Ibraguimova L.B., Shatalov O.P., Tunik U.V. Experimental study and numerical
modeling of vibrational oxygen temperature profiles behind a strong shock wave front. Progress in Flight Physics. EUCASS book series: Advances in Aerospace Sciences, Moscow, 2011, pp. 231-242.
8. Golub V.V., Bazhenova T.V., Baklanov D.I., Ivanov K.V., Krivokorytov M.S. Using of hydrogen-air mixture detonation in needle-free injection devices. High Temperature, 2013, vol. 51, no. 1, pp. 138-140.
9. Gubaidullin D.A., Tukmakov D.A. Study of the dynamics of a two-component gas with components spatially separated at the initial moment. Problems of Energy, 2014, no. 3-4, pp. 38-43 (in Russian).
10. Sadin D.V. TVD scheme for nonhyperbolic non-conservative type. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2016, vol. 56, no. 12, pp. 2068-2078.
11. Varaksin A.Y., Protasov M.V., Yatsenko V.P. Analysis of the deposited processes of solid particles in the channel walls. High Temperature, 2013, vol. 51, no. 5, pp. 665-672.
12. Klochkov B.N., Reiman A.M. Nonlinear models of blood supply dynamics in tissue area. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2010, vol. 18, no. 2, pp.131-141 (in Russian).
13. Glazunov A.A., Dyachenko N.N., Dyachenko L.I. Solid-fuel analysis of the particles in the solid-fuel rocket engine. Thermophysics and Aeromechanics, 2013, vol. 20, no. 1, pp. 79-86.
14. Verevkin A.A., Tsirkunov U.M. There are no two-phase hypersonic shock tunnels for the dispersed phase. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2008, vol. 49, no. 5, pp. 789-798.
15. Nigmatulin R.I., Gubaidullin D.A., Tukmakov D.A. Shock wave dispersion of gas-particle mixtures. Doklady Physics, 2016, vol. 61, no. 2, pp. 70-73.
16. Zhuoqing A., Jesse Z. Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines. Powder Technology, March 2019, vol. 345, no. 1, pp. 346-351.
17. Hayakawa H., Takada S., Garzo V. Kinetic theory of shear thickening for a moderately dense gassolid suspension: From discontinuous thickening to continuous thickening // Physical review -covering statistical, nonlinear, biological, and soft matter physics. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.96.042903
18. Tukmakov A.L., Tukmakov D.A. Generation of Acoustic Disturbances by a Moving Charged Gas Suspension. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2018, vol. 91, iss. 5, pp. 1141-1147.
19. Zinchenko S.P., Tolmachev G.N. On the accumulation of the sputtering products of a ferroelectric target in a plasma of a glowing high-frequency discharge. Applied Physics, 2012, no. 5, pp. 53-56.
20. Dikalyuk A.S., Surzhikov S.T. Numerical simulation of a normal glow discharge. High Temperature, 2012, vol.50, no. 5, pp. 571-578.
21. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., Hayashi Y. Heat transfer enhancement in a gas-solid suspension flow by applying electric field. International Journal of Heat and Mass Transfer, February 2016, vol. 93, pp. 778-787.
22. Mamun A.A., Shukla P.K., Bingham R. Plasma voids (holes) in a dusty plasma. Physics Letters A, 2002, vol. 298, no. 2-3, pp. 179-184.
23. Jaiswal S., Hall T., LeBlanc S., Mukherjee R., Thomas E. Effect of magnetic field on the phase transition in a dusty plasma. Physics of Plasmas, 2017, vol. 24, no. 11, 113703. https://doi.org/10.1063/L5003972.
24. Haralson Z., Goree J. Overestimation of viscosity by the Green-Kubo method in a dusty plasma experiment. Phys. Rev. Lett., 2017, vol. 118, no. 19, 195001. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.118.195001.
25. Tukmakov A.L., Kashapov N.F., Tukmakov D.A., Fazlyyakhmatov M.G. Process of the deposition of the charged polydisperse gas suspension on the electrical field. High Temperature, July 2018, Vol. 56, iss. 4, pp. 481-485.
26. Tukmakov A.L., Kashapov N.F., Tukmakov D.A., Fazlyyakhmatov M.G. Numerical modeling of the powder materials spraying. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2018, vol. 412, conference 1.
27. Salyanov F.A. Fundamentals of Low-temperature Plasma Physics, Plasma Apparatus and Technology. M.: Nauka, 1997, 240 p. (in Russian).
28. Fletcher C.A., Computation Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verlang, Berlin et al., 1988, 502 p.
29. Muzafarov I.F., Utyuzhnikov S.V. The use of compact difference schemes for the study of unsteady compressible gas flows. Mathematical modeling, 1993, vol. 5, no. 3, pp. 74-83 (in Russian).
30. Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Computational Methods, T. 2, M.: Nauka, 1977, 401 p. (in Russian).
Тукмаков Дмитрий Алексеевич - окончил Институт механики и математики Казанского федерального университета (2011), защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.02.05 «Механика жидкости и газа» (2015), научный сотрудник Института механики и машиностроения - обособленного структурного подразделения Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр Российской академии наук».
Россия, 420111 Казань, ул. Лобачевского, д. 2/31
Институт механики и машиностроения ФИЦ Казанский научный центр РАН E-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru
