CC BY
17
ФИЗИКА
УДК 532.529:532.59:534.2
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ПРЯМОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ ПО ВЗВЕСИ С НЕРАВНОМЕРНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ
ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ
Д.А. Губайдуллин1, Д.А. Тукмаков1'2
1Институт механики и машиностроения Федерального исследовательского центра «Казанский научный центр Российской академии наук», г. Казань, Россия
2Казанский национальный исследовательский технический университет,
г. Казань, Россия
gubajduПm@mm.knc. гы, tukmakovDA @тт. knc.гы
Резюме: В данной работе численно изучается процесс распада разрыва в ударной трубе, камера низкого давления которой заполнена твердыми частицами с неоднородной концентрацией. На основе данных численных экспериментов выявлены закономерности влияния закона распределения твердых частиц в камере низкого давления на скорость и профиль ударной волны.
Ключевые слова: многофазная среда, численное моделирование, газовзвесь, ударная труба, неравномерное распределение.
Вв1:10.30724/1998-9903-2018-20-7-8-117-123
NUMERICAL MODELING OF PASSING OF DIRECT JUMP OF CONSOLIDATION ON A SUSPENSION WITH UNEVEN CONCENTRATION OF FIRM PARTICLES
D.A. Gubaydullin1, D.A. Tukmakov1,2
institute of Mechanics and Engineering - Subdivision of the Federal State Budgetary Institution of Science «Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences» 2Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev-KAI
gubajdullin@imm. knc.ru, tukmakovDA @imm. knc.ru
Abstract: In this work process of disintegration of a gap in a shock pipe which camera of low pressure is filled with firm particles with non-uniform concentration is in number studied. On the basis of these numerical experiments regularities of influence of the law of distribution of firm particles in the camera of low pressure upon speed and a profile of a shock wave are revealed.
Keywords: multiphase environment, numerical modeling, gas-suspension, shock pipe, uneven distribution.
Введение
Одной из задач механики многофазных сред является определение влияния эффектов, вызванных межфазным взаимодействием, на общую динамику многофазной среды. Данная работа посвящена численному моделированию динамики неоднородных сред, состоящих из твердых частиц, взвешенных в газе - газовзвесях. Значимым параметром дисперсной фазы газовзвеси является геометрическое распределение концентрации твердых частиц в области исследуемого течения. Экспериментальное исследование таких течений сопряжено с рядом трудностей [1-6], по этой причине возникает необходимость в численном моделировании. Результаты расчетов получены численным решением системы уравнений динамики гетерогенной среды в эйлеровой постановке с учетом силового и теплового взаимодействия фаз.
Математическая модель
Система уравнений движения двухфазной двухтемпературной двухскоростной монодисперсной смеси в двумерном случае имеет вид [7; 8]:
^ +Уру = 0;
о/
^ +Ур_ К = 0;
д/ 22
ФК с/
+У* (р! уук)- V* т + Ур = -Р + а2 Ур;
0Р2К2 д/
+Ук (р^У ) = (Р - а2Ур);
+У* ((е + р - т, )К )-Ш1 =-&-| Рк\у - у/ ) + а2У* (ру*); д(е2 )
5/
- + Уе2У2 = О?
Здесь и ниже У/=[и,,у1] - вектор скоростей несущей и дисперсной составляющих многофазной среды, т = т^ ; /=1,2 - тензор вязких напряжений несущей компоненты
дм, 2 ^ Л Г ду 7 Л (дди, ду Л _ ди, ду
1--Б I, тхх = ц! 2 —1- — Б I, тхх = тхх = ц! —1 + —1 , В = +
-Х 3 ) Х2Х2 ^ сХ2 3 / Х;Х2 Х;Х2 — сХ2 дх ) дх; дх2
Силы межфазного взаимодействия, которая включает в себя силу аэродинамического сопротивления, силу Архимеда и силу присоединенных масс. Для двумерного случая
компоненты р , р и тепловой поток (21 определяются как [2]:
ТХХ = М
(
Р =
3 а
Г 75 : тт. ч (ди, ди1 ди 4(2г)С^-и2) + (у-у2) (м-и2)+ар[щт+и;^+у5м
_ _ , ди, ди, ди, ди~ ди~ дип
+0,5ар I —1 + и—1 + у—1--2 - и—2 - у—~
д/ -х дх2 д/ -х дх
£ / Рю с2
2
Р =
3 а
4 ( 2г)
Са р^(М[ - и2 )2 + (у - у2 )2 (у - у2 ) +
аР1
ду ду ду
—1+и—1+у—к 1+
д/ -Х дт2
+0,5ар;
ду ду ду ду,
—1 + и —1 + у —1----
д/ -х дх2 д/
- и
ду дх1
-- у,
ду2 дх.
Ь / ршс2; 2 = / р10 с3
2
=2 (Ь/рш с3 С/Ь ) Ь/р20 СтТ2оС = 2^-^- .
р20 Стт 20
10
Здесь р, рь ы1, VI -давление, плотность, декартовы составляющие скорости несущей среды в направлении осей х и у соответственно; Т1, е1 - температура и полная энергия газа; р2, Т2, е2, ы2, v2 - средняя плотность, температура, внутренняя энергия, декартовы составляющие скорости дисперсной фазы в направлении осей х, у. Температура несущей среды находится из уравнения Т1=(у-Y)(e1/р1-0,5(ы\^+v\^))[R, где Я - газовая постоянная несущей фазы. Внутренняя энергия взвешенной в газе дисперсной фазы определяется как е2=р2СрТ2, где Ср - удельная теплоемкость единицы массы вещества дисперсной фазы. В уравнение энергии для несущей фазы входит коэффициент теплопроводности газа, коэффициент теплообмена аТ на поверхности частица - несущая среда и тепловой поток за счет теплообмена между газом и частицей Q=а т4пг2(Т1 -Т2)п=6а Ми X (Т1-Т2)/(2г) , где №=2гаТ/Х. Число Нуссельта определяется с помощью известной аппроксимации в зависимости от относительных чисел Маха, Рейнольдса и от числа Прандтля:
№ = 2ехр(-М20) + О,459Яе0о55Рга33, 0<М20 <2, 0<Яе2о<2105.
Математическая модель дополнялась начальными и граничными условиями. На твёрдых поверхностях для составляющих скорости несущей и дисперсной фаз задавались граничные условия Дирихле, для всех остальных функций задавались граничные условия Неймана. Полученная система дифференциальных уравнений в частных производных решалась явным конечно -разностным методом Мак-Кормака, включавшим в себя шаги предиктор-корректор с расщеплением по пространственным направлениям и схемой нелинейной коррекции [9-17].
В качестве исследуемой среды рассматривался воздух со взвешенными в нем частицами кварцевого песка. Физическая плотность кварцевого песка р20=2500 кг/м3, радиус частиц г=1мкм. Область представляла собой трубу, разделенную на две части диафрагмой. В левой части трубы задавалось повышенное давление. При проведении численных расчетов предполагалось, что распределение дисперсной фазы в камере низкого давления отличается от её распределения в камере высокого давления.
Моделирование ударноволновых процессов в газовзвеси с неравномерным распределением дисперсной фазы
Численно моделировался распад разрыва в ударной трубе, где в камере высокого давления плотность дисперсной фазы имеет равномерное распределение, а в камере низкого давления средняя плотность дисперсной фазы описывалась периодическим законом: р2(х)=р20а20(2+8ш(20л*х)), 0,5<х<1. На рис. 1 показано распределение плотности дисперсной фазы в начальный момент - /=0. Расчетная сетка состояла из 300 узлов в направлении оси х. Тем самым ставилась задача определить влияние периодического распределения дисперсной фазы на параметры несущей среды при прохождении прямого скачка уплотнения через область с периодической концентрацией частиц.
На рис. 2(а-г) изображены результаты численных расчетов динамики несущей и дисперсной фазы. Можно отметить, что при прохождении волны сжатия через камеру низкого давления, где происходит чередование минимумов и максимумов плотности дисперсной фазы, параметры несущей среды - давление и температура - приобретают периодическую структуру - с чередованием наибольших и наименьших значений. На участках ударной трубы, имеющих наибольшие значения средней плотности дисперсной фазы, наблюдается увеличение давления и температуры несущей среды, а также уменьшение скорости газа. На участках с пониженной плотностью дисперсной фазы происходит ускорение движения газа, при этом его температура и давление снижаются. Описанную закономерность можно объяснить тем, что при прохождении газом участков уплотнения дисперсной фазы, газ, из-за межфазного взаимодействия с частицами, теряет свою скорость. При этом происходит переход кинетической энергии газа в потенциальную тепловую энергию, за счет чего происходит рост давления и температуры. Таким образом, периодическое чередование пониженной и повышенной концентрации дисперсной фазы
119
приводит к формированию волн давления, температуры и скорости газа, профиль которых имеет периодическую структуру.
р , кг/м
0,875 0,750 0,625
А/Ж
—I-1—
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 1. Начальное распределение средней плотности дисперсной фазы в ударной трубе
р, МПа
Т, К
<. Ч
■ 1=0.26 мс 1 1=0.79 мс
■ 1=1.39 мс
■V) Г--»«—
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
а)
б)
и, м/с
I
- 1=0.26 мс ' 1=0.79 мс " 1=1.39 мс
/и?'1*
М'-,1 I
ЧВД"!
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
в)
г)
Рис. 2. Пространственные распределения давления и температуры газа в различные моменты времени: а - давление; б - температура газа; в - скорость газа; г - средняя плотность дисперсной фазы;
радиус частиц г=1 мкм
х, м
450-
400-
350 -
300-
250-
200-
х, м
х, м
р, кг/м
200
х, м
х. м
Распространение ударной волны в газовзвеси с неравномерным распределением дисперсной фазы в двухмерном случае
Частным случаем неравномерно распределенной в ударной трубе газовзвеси является линейно возрастающее распределение концентрации твердых частиц поперек фронта движения скачка уплотнения (рис.3, а):
Р2 (х, у)=0; 0<х<0,5; р2 (х, у)= 2р2оа2оу; 0,5<х<1, 0 < у < 1.
Средняя плотность дисперсной фазы в камере низкого давления зависит только от переменной у, тогда как ударная волна распространяется вдоль переменной х. Расчётная сетка состояла из 200 узлов по каждой координатной оси.
б)
Рис. 3. Пространственное распределение средней плотности дисперсной фазы (а) и давления (б) при движении двумерной ударной волны по газовзвеси с неравномерным распределением дисперсной
фазы, в момент времени /=1,4 мс
Расчеты показали (рис. 3,б), что наибольшая скорость движения возмущения наблюдается на участке с наименьшей концентрацией дисперсной фазы, в то время как давление газа повышается в области возрастания плотности дисперсной фазы. Вследствие увеличения плотности дисперсной фазы вдоль оси у, профиль двумерной ударной волны искажается. Давление газа растет, а скорость движения скачка уплотнения уменьшается по мере увеличения координаты у - при движении по области с возрастающей средней плотностью дисперсной фазы.
Выводы
1. При движении возмущения в газовзвеси с периодическим распределением плотности дисперсной фазы газодинамические функции несущей среды приобретают периодическую структуру.
2. В случае движения двумерной волны сжатия, движущейся в положительном направлении оси х по газовзвеси с неравномерно распределенной дисперсной фазой,
плотность которой увеличивается с увеличением координаты у, происходит искажение профиля ударной волны за счет уменьшения скорости газа и увеличения его давления в направлении, поперечном к волновому фронту.
Литература
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.
2. Кутушев А.Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб.: Недра, 2003. 284 с.
3. Temkin S. Suspension acoustics: An introduction to the physics of suspension // Cambridge University Press, 2005. 398 p.
4. Дейч М.Е., Филиппов Д.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергоиздат, 1981. 472 с.
5. Стернин Л.Е. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. Машиностроение, 1980. 176 с.
6. Вараксин А.В. Гидрогазодинамика и теплофизика двухфазных потоков: проблемы и достижения // Теплофизика высоких температур. 2013, № 3. С. 421-455.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Т. 1, т. 2. М.: Наука. 1984.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа // М.: Издательство «Дрофа».2003. 784 c.
9. Fletcher C.A., Computation Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verlang, Berlin et al., 1988. 502 р.
10. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. Сибир. отд-ние, 1990. 247 с.
11. Steger J.L. Implicit Finite-Difference Simulation of Flow about Arbitrary Two-Dimensional Geometries // AIAA J. 1978. Vol. 16, No. 7, pp. 679-686.
12. MacCormak R.W., Lomax H. Numerical solution of compressible viscous flows // Ann Rev. Fluid Mech., 1979, № 11, pp .289-316.
13. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен/ М.: Мир, 1990. Т. 2. 392 с.
14. Музафаров И.Ф., Утюжников С.В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Математическое моделирование, 1993, т. 5, № 3. С. 74-83.
15. Губайдуллин Д.А. , Тукмаков Д.А. Исследование динамики двухкомпонентного газа с пространственно разделенными в начальный момент компонентами // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2014. № 3-4. С. 38-43.
16. Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Численное исследование эволюции ударной волны в газовзвеси с учетом неравномерного распределения частиц // Математическое моделирование. 2014. № 10. С. 109-119.
17. Тукмаков А.Л. Зависимость механизма дрейфа твердой частицы в нелинейном волновом поле от ее постоянной времени и длительности прохождения волновых фронтов // ПМТФ. 2011. № 4. С. 105-106.
Авторы публикации
Губайдуллин Д.А. - д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-корр. РАН, руководитель ИММ -обособленного структурного подразделения ФИЦ КазНЦ РАН.
Тукмаков Д.А. - канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник ИММ - обособленного структурного подразделения ФИЦ КазНЦ РАН.
References
1. Nigmatulin R.I. Dinamika mnogofaznykh sred. Ch. 1. M.: Nauka, 1987. 464 p.
© ff.A. ry6audynnm, ff.A. TyKMaKOB
2. Kutushev A.G. Matematicheskoye modelirovaniye volnovykh protsessov v aerodispersnykh i poroshkoobraznykh sredakh. SPb.: Nedra, 2003. 284 p.
3. Temkin S. Suspension acoustics: An introduction to the physics of suspension // Cambridge University Press, 2005. 398 p.
4. Deych M.E., Filippov D.A. Gazodinamika dvukhfaznykh sred. M.: Energoizdat, 1981. 472 p.
5. Sternin L.E. Dvukhfaznyye mono- i polidispersnyye techeniya gaza s chastitsami. Mashinostroyeniye, 1980. 176 s.
6. Varaksin A.V. Gidrogazodinamika i teplofizika dvukhfaznykh potokov: problemy i dostizheniya // Teplofizika vysokikh temperatur. 2013, No. 3. P. 421-455.
7. Sedov L.I. Mekhanika sploshnoy sredy / T. 1, t. 2. M.: Nauka. 1984.
8. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza // M.: Izdatel'stvo «Drofa».2003. 784 p.
9. Fletsher C.A., Computation Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verlang, Berlin et al., 1988.
502 p.
10. Kovenya V.M., Tarnavskiy G.A., CHernyy S.G. Primeneniye metoda rasshchepleniya v zadachakh aerodinamiki. Novosibirsk: Nauka. Sibir. otd-niye, 1990. 247 p.
11. Steger J.L. Implicit Finite-Difference Simulation of Flow about Arbitrary Two-Dimensional Geometries // AIAA J. 1978. Vol. 16, No. 7, pp. 679-686.
12. MacCormak R.W., Lomax H. Numerical solution of compressible viscous flows // Ann Rev. Fluid Mech., 1979, No. 11, pp. .289-316.
13. Anderson D., Tannekhill Dzh., Pletcher R. Vychislitel'naya gidromekhanika i teploobmen/ M.: Mir, 1990. T. 2. 392 p.
14. Muzafarov I.F., Utyuzhnikov S.V. Primeneniye kompaktnykh raznostnykh skhem k issledovaniyu nestatsionarnykh techeniy szhimayemogo gaza // Matematicheskoye modelirovaniye, 1993, t. 5, No. 3. Pp. 74-83.
15. Gubaydullin D.A. Tukmakov, D.A. Issledovaniye dinamiki dvukhkomponentnogo gaza s prostranstvenno razdelennymi v nachal'nyy moment komponentami // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Problemy energetiki. 2014. No. 3-4. Pp. 38-43.
16. Gubaydullin D.A., Tukmakov D.A. CHislennoye issledovaniye evolyutsii udarnoy volny v gazovzvesi s uchetom neravnomernogo raspredeleniya chastits // Matematicheskoye modelirovaniye. 2014. No. 10. Pp. 109-119.
17. Tukmakov A.L. Zavisimost' mekhanizma dreyfa tverdoy chastitsy v nelineynom volnovom pole ot eye postoyannoy vremeni i dlitel'nosti prokhozhdeniya volnovykh frontov // PMTF. 2011. No. 4. Pp. 105-106.
Authors of the publication
D.A. Gubajdullin -professor, doctor of scenes, corresponding member of RAS, head of IME - Subdivision of FIC Kazan SC of RAS.
D.A. Tukmakov - research associate of IME - Subdivision of FIC Kazan SC of RAS, cand. of scenes.
nocmynum e pedaKUuUW 19 uwnn 2018 z.
