CC BY
21
Таким образом, математическая модель позволяет сделать вывод о том, что наблюдения производились в среде с квадратичной нелинейностью, и эта модель адекватна натуре.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гурьянов В. В. Монотипные плоские изоэнтропические волны конечных деформаций $ Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: Сб. науч. тр. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. Вып. 1. С. 150- 157.
УДК 539.3
Д. В. Иванов
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В ВЕРХНЕЙ ЧАСТИ АОРТЫ
В статье приведены результаты решения нескольких краевых задач, связанных с течением трехмерной стационарной несжимаемой вязкой жидкости в каналах с жесткими и гибкими стенками. Последние из них моделируют движение крови в верхней части аорты человека. Решение получено с помощью пакета Рет1аЬ [1]. Рет1аЬ — среда для моделирования научных и технических проблем, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (РОЕ). При решении РБЕ в Рет1аЬ применяются конечноэлементные методы [1].
Движение крови в модели части аорты с жесткими стенками
Течение крови описывается стационарной системой уравнений Навье - Стокса [2]
\cliv и = 0,
где и = (и, и, и').
На торцах модели задается давление втекающего и вытекающего потоков, на боковой поверхности - условия прилипания. Коэффициент динамической вязкости жидкости равен 0,005 Н-с/м2, плотность- 1060 кг/м~.
При решении задачи выбирается сетка с относительно малым количеством четырехгранников и более мелкая сетка (порядка 1000 и 11000 четырехгранников). Это сделано с целью сравнения решений, а также выявления качества расчетов.
В результате решения задачи получена картина линий тока (рис. 1).
Размер стрелки говорит о величине скорости потока: скорость максимальна на линии симметрии и равна нулю на боковой поверхности канала. Время решения для «грубой» сетки — 6 с, для сетки более высокого качества- 110 с.
Рис. 1
Расчеты показали, что решения для двух сеток разного качества почти не различаются, а время расчета увеличивается почти в 20 раз, поэтому можно сделать вывод, что для данной задачи качество сетки не играет большой роли, следовательно, для экономии машинного времени можно использовать достаточно «грубую» сетку.
Движение крови в верхней части аорты с жесткшчи стенками
Перейдем к решению более сложной задачи. Сложность в первую очередь состоит в построении геометрии самой модели, а также в увеличении времени решения краевой задачи на компьютере.
Течение крови также будет описываться системой уравнений Навье --Стокса (1). Здесь, как и в предыдущей задаче, стенки аорты предполагаются жесткими. Коэффициент динамической вязкости жидкости равен 0,005 Н-с/м2, плотность крови - 1060 кг/м3. На торцах аорты задаются давления втекающего и вытекающего потоков, на боковой поверхности -условия прилипания.
Задача решалась на двух разных по качеству сетках (1900 и 15000 четырехгранников). Модель аорты, линии тока, модуль и направление скорости потока показаны на рис. 2.
Исходя их полученных результатов, видим, что величина скорости потока максимальна на оси симметрии аорты и уменьшается по мере приближения к ее стенке (на стенке она равна нулю), что объясняется вязкостью жидкости. Это справедливо для прямолинейных участков аорты. Но на участках, где имеет место искривление аорты, заметно действие центробежных сил, то есть при повороте артерии поток крови как бы ударяется в стенку аорты и вблизи стенки скорости достаточно велики.
Время решения для «грубой» сетки - 18 с, для сетки более высокого качества - 223 с. Так же, как и в предыдущей задаче, качественные и количественные характеристики решения не зависят от качества сетки, поэтому для экономии машинного времени и памяти компьютера целесообразно использовать более «грубую» сетку.
Задача для упругих стенок верхней части аорты
В данной модели рассматривается лишь одностороннее взаимодействие между жидкой и твердой средой. Любое изменение напряженно-деформированного состояния (НДС) и формы стенок аорты не влияет на течение крови. В данном случае лишь поток крови и сердечная мышца влияют на НДС стенок аорты. Моделирование двустороннего взаимодействия возможно, но в этом случае нужно будет использовать гак называемый Arbitrary Lagrangian — Eulerian method (ALE) метод (совместный подход Лагранжа - Эйлера).
Рассматривается НДС стенок аорты под действием давления крови и сердечной мышцы. Материал стенок предполагается сверхупругим. Будем использовать модель Нео-Хука [2], описывающую резиноподобный свер-хупругий материал. В таблице приведены характеристики материалов (стенки аорты и сердечной мышцы).
—....___ Характеристики Материалы ~ р., Н/м' Е, Н/м2 v Модуль объемной деформации
(' генка аосты 6204106 10' 0,45 20 ц
Сердечная мышца 719676 1,16 106 0,45 20 ц
Решаются уравнения равновесия, а также уравнение состояния
— = 1 - ёе^/^), где - градиент деформаций. Граничные условия на 20ц
внутренней поверхности аорты задаются в виде постоянного нормального давления крови = р . На внешней границе задается усилие, пропорциональное перемещению, направленное по нормали к поверхности, то есть Рп = ЕШ ■ п)1 с1, где с/ - толщина стенки аорты, Е - модуль Юнга сердечной мышцы, и = (и,V), и>). На рис. 3 показаны модули и направления перемещений стенок аорты.
Размер и направление стрелок характеризует величину и направление перемещений. Имеет место сжатие основного сосуда аорты, а также сужение входов отростков аорты, по-видимому, это объясняется резинопо-добной природой материала стенок аорты.
Решение всех задач производилось на компьютере ASUS Р4Р800Е, Pentium IV 2800Е, 1024 Mb RAM.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Интернет сайт www.comsol.com.
2. Лоицянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.
УДК 539.3
М. А. Ковырягин, А, В. Климов
ЯВНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
Одним из ярких примеров высотных сооружений, широко востребованных в настоящее время практикой, являются пилоны вантовых мостов. Описание динамического поведения пилонов вантовых мостов производится с использованием дифференциальных уравнений. Причем сама конструкция рассматривается в виде двух моделей: 1) как многомассовая с расположением этих масс на определенном расстоянии друг от друга, 2) в виде единого деформируемого твердого тела.
Первая модель рассматривается в работе В. Б. Зылева [1]. В таком случае сосредоточенная масса ассоциируется с узлом. Узлы разделяются на подвижные и неподвижные. Координаты неподвижных узлов известны, а координаты подвижных узлов известны из предыдущего шага по времени, так же как и их скорости. Под скоростями здесь понимаются составляющие вдоль координатных осей. Внешние силы принимаются сосредоточенными, приложенными в узлах. Они могут быть как постоянными, так
171
