269CHEGIRMALAR YORDAMIDA XOSMAS INTEGRALLARNI HISOBLASH METODIKASI
E. M. Mahkamov
TVCHDPI "Matematika" kafedrasi dotsenti, f.-m.f.f.d.(PhD) e_mail: erkincspi@gmail.com
S. D. Eshmetova TVCHDPI "Aniq va tabiiy fanlarni o'qitish metodikasi" (matematika) 1-kurs magistranti e_mail: sabohateshmetova898@gmail.com
Annotatsiya: Oliy ta'limda xosmas integrallar mavzusini o'qitishning ba'zi uslub va metodlariga bo'lgan talabdan kelib chiqib, ushbu maqolada chegirmalar nazariyasi va uning ba'zi tadbiqlari asosida xosmas integrallar yechimlari bayon qilingan.
Kalit so'zlar: maxsus nuqtalar, golomorf funksiyalar , chegirmalar, xosmas integral.
Аннотация: В связи с востребованностью определенных методов и приемов преподавания предмета интегралов в высшем образовании в данной статье описываются решения внутренних интегралов, основанные на теории скидок и некоторых ее приложениях.
Ключевые слова: особые точки, голоморфной функции, вычет, собственный интеграл.
Abstract: In connection with the demand for certain methods and techniques of teaching the subject of integrals in higher education, this article describes the solutions of internal integrals based on the theory of discounts and some of its applications.
Keywords: singular points, holomorphic function, residue, proper integral.
O'zbekiston Respublikasi prezidentining "Oliy ta'lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to'g'risidagi" qarorida quyidagi asosiy masalalarni keltirilgan:
ta'lim jarayonini, oliy ta'limning o'quv reja va dasturlarini yangi pedagogik texnologiyalar va o'qitish usullarini keng joriy etish, magistratura ilmiy-ta'lim
jarayonini sifat jihatidan yangilash va zamonaviy tashkiliy shakllarni joriy etish asosida yanada takomillashtirish;
oliy ta'lim muassasalari ilmiy salohiyatini mustahkamlash, oliy ta'limda ilm-fanni yanada rivojlantirish, uning akademik ilm-fan bilan integratsiyalashuvini kuchaytirish, oliy ta'lim muassasalari professor-o'qituvchilarining ilmiy tadqiqot faoliyati samaradorligi va natijadorligini oshirish, iqtidorli talaba-yoshlarni ilmiy faoliyat bilan shug'ullanishga keng jalb etish.
Ushbu masalalardan ko'rinadiki qarorda asosan oliy ta'lim tizimini rivojlantirish, raqobatbardosh kadrlar tayyorlash, zamon talabi asosidagi darslar sifatini yaratish va fanlarni o'qitilishidagi zamonaviy yondashuvlarni taxlil qilish kabi bir qancha masalalar ko'rib chiqilgan. Shularni inobatga olgan holda biz ushbu ishimizda oliy ta'limning matematika mutaxassisligi yo'nalishi talabalari uchun o'rganishlarida bir qancha murakkablilik paydo qiluvchi mavzulardan biri bo'lgan "Chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallar " mavzusini o'qitishning innovatsion metodini keltiramiz. Chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallarni
chegirmalar yordamida oson hisoblash mumkin.
Teorema[l-3]. f(z) funksiya {ze C: lmz>0} sohaning chekli sondagi maxsus nuqtalardan tashqari barcha nuqtalarida golomorf bo'lib, uning chegarasida uzluksiz bo'lsin. Agar
lim f f (z)dz = 0, (yr = {Iz| = r,0 < argz < ж}) (1)
r^œ J
r^œ <
ïr
œ
bo'lsa, u holda f f (x)dx yaqinlashuvchi bo'lib,
f f (x)dx = 2ж' ^ resf (z) (2)
_œ Im zk >0 z=zk
bo'ladi.
Bu teoremadan ko'rinib turibdiki funksiyaning cheksiz oraliqdagi integralining qiymati funksiyaning yuqori yarim tekislikdagi sanoqli maxsus nuqtalardagi chegirmalari bilan ifodalash mumkin ekan.
1-lemma(Jordan lemmasi)|4|. Agar limmax| f (z)| = 0 (5) bo'lsa, u
r^-œ zsyr
holda VA > 0 uchun lim f f(z)e1À:dz = 0 (6)
r—>00 J
r ^œ <
ïr
f 'Л
bo'ladi. Ushbu f e' xR(x)dx ko'rinishidagi xosmas integrallarni
_œ
qaraymiz.
Agar limmaxlR(z)| = 0 bo'lsa, u holda bu integralga 1-lemmaning va
r zsy
yuqoridagi teoremaning qo'llanilishi natijasida quyidagi formulalarni hosil qilamiz:
J R(x) cos Äxdx = -2n ■ Im< ^ res [eaz ■ R(z)
Tm v. ^П Z=zk
Im zk >0
J R(x)sin Äxdx = ■ Re j ^ res [eiÄz ■ R(z)
Tm V, ^П z=zk
Im zk >0
(7)
(8).
Yuqoridagi nazariya yordamida chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallarni hisoblaymiz
1-misol. J
sin X
x - 2 x + 2
dx integralni hisoblang.
f(x) funksiya deb f (z) =
z2 - 2z + 2 [z - (1 + i)][z - (1 - i)]
funksiyani olamiz. Bu funksiyaning 2 ta Z|=l+i va z2=l-i qutb nuqtalari bo'lib, ulardan z\=\+i € {lmz>0} bo'ladi.
R( z) =
1
z2 - 2z + 2
funksiya uchun z-> oo da R{z) ~ bo'lganidan 2
г
lemma sharti bajariladi. Unda (8)
formulaga ko'ra
i
sin X
x - 2 x + 2
dx = 2ж ■ Re
resf (z)
z=zi
bo'ladi.
res f (z) = lim
z=z. z ^1+i
ei(1+° e"1
[ z - (1 + i)][ z - (1 - i)]
Vf[z - (1 + 2)]
— = — (sin 1 - i cos1). 2i 2
Demak, J
sin X
x - 2 x + 2
dx = 2ж ■ Re
-1
—(sin1 - i cos1)
= ne 1sin1.
2-misol. I = J
dx
R( z) =
1
i (xz +1)4 1
integralni hisoblang.
(z2 + 1)4 (z - i)4(z + i)4
bu funksiya z1=i, z2=-i maxsus nuqtalarga ega bo'lib, bu maxsus nuqtalar 4-tartibli qutbdir. Yuqori yarim tekislikda faqat z1=i nuqta yotadi.
I
n - tartibli qutb bo'lsa.
dx
i (x2 +1)4
2ni
= 2m res f (z) = 2m res
1
2m
=i (x +1)4
3!
(z + i)4
("')
-(-4)(-5)(-6)-
1
2k 20
5k 16
I =
5k
6 4 yv '27i7 27 16' 16 Xulosa: Yuqoridagilardan xulosa qilib shuni aytish mumkinki matematik analiz fanining chegarasi cheksiz bo'lgan xosmas integrallar mavzusini o'qitishda "Chegarmalar nazariyasi" mavzusidan foydalanish samarali natija beribgina qolmasdan yo'nalish talabalariga chegarasi cheksiz bo'lgan bo'lgan xosmas integrallarni o'qitishda bir qancha qulayliklar yaratadi.
z = I
REFERENCES
1. Sadullayev A., Xudoyberganov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiyev T. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to'plami. 3-qism (kompleks analiz) "O'zbekiston", 2000.
2. Волковыский Л.И., Лунц Г. Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного пременного. 3-nashri. - М. "Наука", 1975.
3. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma'ruzalar). T, "Universitet", 1998.
4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1-ч.-М, "Наука", 1976.
