CC BY
0УДК.517.946.6
CHEGARALANMAGAN SOHADA CHAPLIGIN TENGLAMASI UCHUN YARIM DAVRIY CHEGARAVIY SHARTLI CHIZIQLI TESKARI MASALA
1Turakulov Xamidullo Shamsidinovich, 2Jo'rayev Shukurjon Jo'rayev Yusupovich,
3Sobirov Avazbek Abdurashid o'g'li
1Qo'qon davlat pedagogika instituti katta o'qituvchisi, PhD, 2QDPI matematika kafedrasi o'qituvchisi, 3Qo'qon davlat pedagogika instituti magestranti https://doi.org/10.5281/zenodo.13894833
Annotasiya. Chegaralanmagan sohada Chapligin tenglamasi uchun yarim davriy chegaraviy shartli chiziqli teskari masalani umumlashgan yechimininingyagonaligi va mavjudligi o'rganilgan.
Kalit so^zlar: Chapligin tenglamasi, yarim davriy tipdagi chegaraviy masala, "S-regulyarizatsiyasi", aprior baholar usullari.
Введение и постановка задачи.
В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными краевыми условиями и обратными задачами. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для классических уравнений таких как, параболических, эллиптических и гиперболических типов. [1,2,3]. Для уравнений смешанного типа, как первого, так и второго рода в ограниченных областях изучено в работах. [4,5].
Значительно менее изученными являются обратные задачи для уравнений смешанного типа (в частности для уравнения Чаплыгина) в неограниченных областях [3,4]. Частично восполнить данный пробел мы и попытаемся в рамках этой работы.
В данной работе, для исследования однозначное разрешимости обратных задач для трехмерного уравнения Чаплыгина в неограниченной призматической области предлагается метод, который основан на сведение обратной задачи к прямым нелокальным краевым задачам для семейство нагруженных интегро-дифференциальных уравнений Чаплыгина в ограниченной прямоугольной области [4,5].
Напомним, что нагруженным уравнением принято называть уравнение с частными производными, содержащее в коэффициентах или в правой части значения тех или иных функционалов от решения уравнения [5].
В области
G = (-1,1) х (0,T) х R = Q х R = {(x, t, z);x е (-1,1),0 < t < T < +», z e R}
рассмотрим трехмерное уравнение Чаплыгина:
Lu = K(x)utt -Au + а(x)щ + c(x,t)u = щ(х,t,z), (1)
где xK(x) > 0, x Ф 0, x e (-1,1); Au = uxx + uzz - оператор Лапласа. Здесь щ (x, t, z) = g (x, t, z) + h (x, t) • f (x, t, z), g (x, t, z) и f (x, t, z) -заданные функции, а функция h( x, t) подлежит определению.
В дальнейшем для решения поставленных задач нам необходимо ввести определений несколько функциональных пространств и обозначения.
Обозначим через
U(x, t,Л) = (2я)~1/2 J и(x,t, z) e"azdz
—X
преобразование Фурье по переменной z, функции и(x, t, z), а через
и(x,t,z) = (2ж)~1/2 J U(x,t,Л)eazdX
обратное преобразование Фурье. Теперь с помощью преобразования Фурье
1
2
определим пространство W^iG) с нормой
= (2пТш • J (1 + |Я|2)s U(х,t,Ä)|Wi(Q)dÄ,
2
dxdt.
1ПW,s (G) v J V I ч / irv-(Q)
—« (А)
где s, l — любые конечные положительные целые числа.
Через W2(Q) (приl = 0, W®(Q) = L2(Q)) определяется пространства Соболева со скалярным произведением (u,&)i и нормой
и ?чип W ( q ) = z Л
2 1Ф1 Q Здесь
а — мультииндекс, Da — обобщённая производная по переменным X и t.
Очевидно, что пространство W 2'S(G) с нормой (А) является гильбертовым пространством [2-5].
Линейная обратная задача. Найти функции ( u(x, t, z), h(x, t) ) удовлетворяющие уравнению (1) в области Q, такие что, функция u (x, t, z) удовлетворяет следующим полупериодическыми краевым условиям
Dfu\=0 = Dpu{ T, (2)
u| , = u| , = 0 (3)
lx=—1 lx=1 v '
при p = 0,1, где Dpu = d u , D0u = u,
д tp
Далее будем считать, что u(x, t, z) и uz (x, t, z) ^ 0 при | z u(x, t, z) абсолютно
интегрируема по z на R при любом (x, t) в Q (4)
с дополнительному условию
u(x,t, i0) = cpQ (x,t), где 4 eR (5)
и с функций h( x, t) принадлежит классу
U = {(и, h)\ и e W22's (G);h e W22(Q), s > 3}.
Определение 1. Обобщённым решением задачи (1)-(5) будем называть функцию и(X, ?, 2) е и, удовлетворяющую уравнению (1) почти всюду, с условиями (2)-(5)
Пусть все коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции в области G, и пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов и правой части уравнение (1), и заданной функции % (x, t);
Условие 1:
периодичность: с(х,0) = с(х, T) , для всех х е [-1,1]. периодичность условие: g(х,0,2) = g(х,Т,2), /(х,0,2) = /(х,Т,2), гладкость: / (х, t, /о) = /о(х, 0 е Сх0;1^),| /о(х, >Ч> 0; / е ^ (G), g е (G).
Условие 2: %(x, t) е ^24 (0; % |,=0 = А9 % и, ч = 0,12; % |х=_1 = % |х=1, р = 01
Однозначное разрешимость задачи (1)-(5) докажем с помощью преобразованием Фурье, т.е для нахождение решение задачи (1)-(5), применяем преобразование Фурье по переменной 2, для задачи (1)-(5).
Для того чтобы сформулировать основной результат, необходимо выполнить некоторые формальности построения.
Рассмотрим следы уравнения (1) при 2 = :
Ьи{х^0) = К{х)ип{хМ0)-ихх{х^0)-игг{хМо) +
+а(х)иг(х^, I о) + с(х,?)и(х,?, £0) = у/(х^,£0).
Теперь, учитывая условие (5) и то, что / Ф 0, определим формально неизвестную функцию Н( х, t) в виде интеграла
1 1 т
h(x, t) =-[Ф0 I Л
( , ) fo(x,t)[ 0 V^ J
2eae°u(x,t,A)dA]
л
где Фо = Ьо%о - gо; А%о = К(х)%о« - %охх + а (х) % + с (X t)%о, а для определения функций и(х,?,Л), в области Q = (-1,1) х (0,Т) получим нагруженных интегро-дифференциальных уравнений Чаплыгина:
Li = K(x)itt — iixx + а (x) ut + (c (x, t) + Л )й = g(x, t, Л) +
+Ц[Фо + 1 J^ofi(I>M s F(ul f0( x, t)
с полупериодическыми краевыми
Dtpi\t=0=Dpi\t=T; p=0,1 ii
(6)
(7)
lx=—1
i , = 0
lx=1
(8)
+да
где, ЛеR = (—да,да), f(x,t,Л) = (2л)—1/2 | f(x,t,z)e"Uzdz
-преобразование Фурье по переменной 2, функции / (х, t, 2). Теорема: (Основной результат). Пусть выполнены вышеуказанные условия 1 и 2 для коэффициентов уравнение (1), кроме того пусть 2а(х) + /К(х) > В > 0,
/с(х,t) - с(х,t) > ¿2 > 0, для всех х е Q, где с(х,0) = с(х,Т), для всех х е [—1,1], и
пусть далее существует положительные числа О, с(о 1) - (коэффициенты неравенство
Коши) такие, что для b0 = min{-B1?И,bj} имеют место оценки bo -с(0 = S>0,
с(а~1) = > 0, где М||/||^ (G) < 1, где M = const^WVI/oICo^)
г. 4
т - 10с1С2Сз, с1 <+да,5 - 3, С1О - 2,3) коэффициенты теоремы вложения
Соболева.
+да
Тогда функции и(х,I, г) - (2<)—1/2 | й(х, I,Х) вагс1Х,
—да
(9)
1 1 +со /?(х,0 = —--[Ф0 + -_ Г Л2еш°и(х,^Л)аЛ] (Ю)
/o(x,о —да 4 у
являются единственным решением линейной обратной задачи (1)-(5) из указанного
класса
U.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Аниканов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск. Наука,1978.-120с
2. С.З.Джамалов, Р.Р.Ашуров, Х.Ш.Туракулов. Об одной полунелокальной краевой задаче для трехмерного уравнения Трикоми в неограниченной призматической области // «ВЕСТНИК КРАУНЦ» Физ.-мат. науки. 2021, Т.35 №2, с.8-16.
3. Dzhamalov S.Z., Ashurov R.R., Turakulov Kh.Sh. The Linear Inverse Problem for the Three-Dimensional Tricomi Equation in a Prismatic UnboundedDomain.//Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Т.42.№15, pp. 3606-3615.
4. Dzhamalov S.Z., Aliev M.G., Turakulov Kh.Sh. On a linear inverse problem for the three-dimensional Tricomi equation with nonlocal boundary conditions of periodic type in a prismatic unbounded domain. // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. Math. 2022, Т.42.№1, pp.1-12.
5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.1973.с.407.
