ОБ ОДНОЙ ПОЛУНЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 35. №2. C. 8-16. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.6 Научная статья

Об одной полунелокальной краевой задаче для трехмерного уравнения Трикоми неограниченной призматической области

С. З. Джамалов, Р. Р. Ашуров, Х. Ш. Туракулов

Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, г.

Ташкент, ул. Мирзо Улугбека 85, 100170, Узбекистан.

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

В данной статье изучаются методами "е-регуляризации" и априорных оценок с применением преобразования Фурье однозначная разрешимость и гладкость обобщенного решения одной полунелокальной краевой задачи для трехмерного уравнения Трикоми в неограниченной призматической области.

Ключевые слова: уравнение Трикоми, полунелокальная краевая задача, преобразование Фурье, методы "е-регуляризации" и априорных оценок.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-8-16

Поступила в редакцию: 23.04.2021 В окончательном варианте: 20.06.2021

Для цитирования. Джамалов С.З., Ашуров Р. Р., Туракулов Х. Ш. Об одной полунелокальной краевой задаче для трехмерного уравнения Трикоми неограниченной призматической области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 35. № 2. C. 816. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-8-16

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Джамалов С.З, Ашуров Р. Р., Туракулов Х. Ш., 2021

Введение и постановка задачи

Как известно, в работе А. В. Бицадзе показано, что задача Дирихле для уравнения смешанного типа некорректна [1]. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, охватывающими всю границу, которые обеспечивают корректность задачи? Впервые такие краевые задачи (нелокальные краевые задачи) для уравнения смешанного типа были предложены и изучены в работах Ф. И. Франкля при решении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения [2]-[3]. Как близкие по постановке к изучаемым, задача для уравнения смешанного типа первого рода исследована в ограниченных областях в работах [4]-[8].

В данной работе с использованием результатов работ [7]-[8] изучаются однозначная разрешимость и гладкость обобщенного решения одной

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

полунелокальной краевой задачи для трехмерного уравнения Трикоми в неограниченной призматической области. В области

Q = (-1,1) X (0, Т) х К = = Q1 х К = {(х,г,г);х е (-1,1),0 < г < Т < г е К}, рассмотрим уравнение Трикоми:

Ьи = хигг — Аи + а (х, г) иг + с (х, г) и = f (х, г, г), (1)

Аи = ихх + игг — оператор Лапласа. Пусть все коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции в области Q. В дальнейшем для решения поставленных задач нам необходимо ввести определения нескольких функциональных пространств и обозначений. Обозначим через

и(х, г, X) = (2п )—1/2 У и(х, г, г) е—а Чг

—^

преобразование Фурье по переменной г функции и(х,г,г), а через

и(х,г,г) = (2п)—1/2 ^ и(х,г,X) еаЧХ —^

— обратное преобразование Фурье. Теперь с помощью преобразования Фурье определим пространство W2/,s(Q) с нормой

Ци|1^О0) = (2п)—1/2 '/(1 + IXI2)'' Ци(х,г,XшdX, (А)

—^

где я,/ — любые конечные положительные целые числа, а норма в пространстве Соболева W2/(при 1 = 0,ЭД^0^) = Ь2^) ) определяется следующим образом

И*I? = И*^(Q1) = I /I2dxdг,

|а I <1д1

а — мультииндекс, — обобщeннaя производная по переменным х и г. Очевидно, что пространство ЭД^с нормой (А) является гильбертовым пространством [9]-[11]. 2

Полунелокальная краевая задача

2 3

Найти обобщённое решение и(х,г,г) уравнения (1) из пространства W2, удовлетворяющее следующим краевым условиям

уЯРи|г=0 = ягч=Т, (2)

u|x=- 1 = u|x=1 = 0

(3)

при р = 0,1, где Оры = ^, О°ы = и, у — некоторое постоянное число, отличное от нуля, величина которого будет уточнена ниже.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) будем называть функцию

2 3

ы(х,г,г) е W2, (2), удовлетворяющую уравнению (1) с условиями (2), (3) почти всюду.

Теорема 1. (Основной результат) Пусть выполнены следующее условия для коэффициентов уравнения (1); 2а(х, г) + дх > 51 > 0, д с(х, г) — сг (х, г) > 52 > 0 , для всех (х,г) е 21, где д = 21пМ > 0 при | у| > 1, а(х,0) =

1 3

а(х, Т), с(х, 0) = с(х, Т). Тогда для любой функции f е W2, (2), такой, что у • f(х,0,г) = f (х,Т,г),существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(3)

2 3

из пространства W2, (2).

Доказательство. Доказательство теоремы проведем по следующей схеме:

1. Для задачи (1)-(3) формально по переменным г применим преобразование Фурье и в области 21 получим новую задачу (4)-(6).

2. Изучим методами "е-регуляризации" априорных оценок и Галеркина однозначную разрешимость полунелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка с малым параметром (вспомогательная задача).

3. Затем с помощью этой вспомогательной задачи докажем однозначную разрешимость задачи (4)-(6).

4. Используя однозначную разрешимость задачи (4)-(6), дадим обоснование сходимости интегралов Фурье и докажем разрешимость задачи (1)-(3). Приступим к реализации этой схемы.

Применяя для задачи (1)-(3) преобразование Фурье по переменным г получим в области 21 = (—1,1) х (0, Т) следующую задачу

ЬЫ = хЫгг — Ыхх + а(х, г) Ыг + (с(х, г) + Я 2) и = f (х, г, Я), (4)

yDfü |

t=0

= Df ü|t=Г; p = 0,1,

(5)

ü|x=—1 = ü|x=1 = 0 (6)

где, X e R = (—,

f (х, г, Я) = (2п)—1/2 | f (х, г, г) е-а

—^

— преобразование Фурье по переменной г, функции f(х,г,г).

Однозначная разрешимость и гладкость решения задачи (4)-(6) изучена в работах [7],[8]. Коротко приведем эти результаты. □

Единственность решения задачи (4)-(6)

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия для коэффициентов уравнения (4); 2а(х, г) + д х > 51 > 0, д с(х, г) — сг (х, г) > > 0, для всех (х, г) е 2ь где д = 21п | у| > 0 при | у | > 1, с (х, 0) < с(х, Т) для всех х е [— 1, 1]. Тогда, если для любой

функции /(x, t, X) е L2(Qi) существует решение задачи (4)-(6) из пространства W22(Qi), то оно единственно.

Доказательство. Докажем единственность решения задачи (4)-(6) с помощью

метода интеграла энергии. Пусть существует решение задачи (4)-(6) из W22(Qi). Рассмотрим тождество

2 (Lu, e—)о = 2 (/, e—)о, (7)

где д = const > 0.

В силу условий теоремы 2, интегрируя по частям тождество (7), легко получить следующее неравенство

2 J Lu ■ e—д ■ Utdxdt > / e—д{(2a + дх)) ■ u2 + д U^ + дХ2u2+ ßi ßi _ (8) + (д c — ct) ■ U2} dxdt > <50/ e ßt{мг2 + U^ + U2}dxdt,

ßi

где, 50 = min{51, д, 52 + дХ2 > 52 > 0}.

В левой части неравенства (8), используя неравенство Коши с о[12], получим необходимую первую оценку

llullwi(ßi) - ci II-^^(ßi), (9)

из которой следует единственность решения задачи (4)-(6) из W2 (ßi), в дальнейшем через сг- — обозначим положительные, вообще говоря, разные постоянные числа, отличные от нуля. Теорема 2 доказана. □

Уравнение третьего порядка с малым параметром

Разрешимость задачи (4)-(6) докажем методом "е-регуляризации" , а именно в области ßi = О х (0, T) рассмотрим семейство уравнений третьего порядка с малым параметром

д 3u

Le ue = — + Lue = /"(x, t, X) (10)

и с полунелокальными краевыми условиями

YD ueIt=0 = D ue|t=T;q = 0, i, 2, (11)

йе |х=-1 = |х=1 = ° (12)

где е — малое положительное число, = ^, q = 1,2; = ж

Ниже используем системы уравнений третьего порядка с малым параметром (10) в качестве "е -регуляризирующего" уравнения для уравнения Трикоми (4). [7],[8],[13],[14]. Определим пространство функции

^Ш = {"е|;"е е й&„ е ¿2(61)},

удовлетворяющие соответствующим условиям (11),(12) с конечной нормой

111 йе11|^ = е ||йет ||о + ||йе И2. (В)

Очевидно, что пространство W (61) с нормой (В) является гильбертовым пространством [12].

Определение 2. Обобшенным решением задачи (11), (12) будем называть функцию {й£(х,г,X)} е W(61), удовлетворяющую уравнению (10) с условыями (11), (12) почти всюду.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия для коэффициентов уравнения (10), кроме того, пусть 2а(х,г) + дх > 51 > 0, дс(х,г) — сг(х,г) > 52 > 0 для всех (х,г) е б1, где д = 1п |у| > 0 при | у| > 1, а(х,0) = а(х, Г), с(х,0) = с(х,Г). Тогда для любой функции /(х,г,X) е W21(Q1), такой, что у■ /(х,0,X) = /(х,Г,X), существует единственное обобщенное решение задачи (10)-(12) из пространства W(21) и для нее справедливы следующие оценки

III). £ ||йш 110 + ||"е||2 < С1 ||/||2,

IV). £ ||йШг|0 + 11"£II2 < С2 11 /у!.

Доказательство. Доказательство теоремы 3 осуществляется поэтапно, с использованием метода Галеркина и соответствующих априорных оценок [7],[8] Сначала докажем III)—третью оценку. Рассмотрим тождество:

— 2/е—дг ■ Ц Й£ ■ Й£ = — 2/е—дг ■ /. . ('3)

61 61

Интегрируя по частям тождество (13) и учитывая условие теоремы 3, нетрудно получить Ш)-третью априорную оценку, аналогичную оценке (9), откуда следует единственность обобщенного решения задачи (10)-(12). Теперь докажем справедливость IV)—четвертой оценки. Для этого рассмотрим тождество:

—2^е—дг ■ Ьейе ■ Рм£^х^г = —2^е—дг ■ /■ Рй£^х^г, (14)

61 61

где Рй£ = (йШг — Д й£гг + 2 й£ХХ — д й«).

Интегрируя по частям (14), с учетом условий теоремы 3 и краевых условий (11), (12), получим необходимую оценку:

£ || йШг |0 + 11й £||2 < С2 У/. (15)

Из доказанных оценок методом Галеркина, получим однозначную разрешимость задачи (10)-(12) из пространства W(61). Теорема 3 доказана. □

Перейдем к доказательству разрешимости задачи (4)-(6).

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 2,3. Тогда обобщенное решение задачи (4)-(6) существует и оно единственно в W22(61).

Доказательство. Единственность решения задачи (4)-(6) в пространстве W22(Ql) доказана в теореме 2. Теперь докажем существование решения задачи (4)-(6) в W(61). Для этого рассмотрим в области 6 уравнение (10) и краевые условия (11), (12) при £ > 0. Так как выполнены все условия теоремы 3, то существует единственное обобщенное решение задачи (10)-(12) в W(61), при £ > 0 и для нее справедливы третья и четвертая оценки. Отсюда следует, по известной теореме о компактности [12], что из множества функций {й£(х,г,X)} ,£ > 0, можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций, такую, что

{ й£.(х,г,X) } ^ и(х,г,X) при £ ^ 0 в W(61). Покажем, что предельная функция й(х,г,X) удовлетворяет уравнению Ьй = f (4) почти всюду в W22(е1). В самом деле, так как подпоследовательность {й£(х,г,X)} слабо сходится в W(21), а подпоследовательность (х,г,X)} равномерно ограничена в Ь2(21) и оператор

Ь линейный, то имеем

д3йе д3Ue

LU - f = LU - LUe; + £¿^-3^ = L (U - üEi) + e^^-r-. (16)

д t3 д t3

Из равенства (16), переходя к пределу при £ ^ 0, получим единственное обобщенное решение задачи (4)-(6) из пространства Соболева W22(Q1) [7],[8],[13].Таким образом, Теорема 4 доказана. □

Существование решения задачи (1)-(3)

Теперь перейдем к доказательству теоремы 1 об однозначной разрешимости

2 3

обобщенного решения задачи (1)-(3) из пространства W2, (2). Для доказательства теоремы 1 необходима следуюшая лемма.

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 1-4. Тогда для решения задачи (1)-(3) справедливы следующие оценки:

1). (Н^е) - С1 IIf С2°'3(е)

ю. ||и|^3(е) -С21 f |^1'3(е). Доказательство.

В теореме 2 для решения задачи (4)-(6) доказана справедливость оценки (9), то есть следующее

1Г1|2 II /П2

11 "Ччео - С111 Л1ь2(б1).

Чтобы доказать, что € ¿2(6), нам необходимо умножить неравенства () на (2п)—1/2 ■ (1 + IX|2)3 и интегрировать по X от —^ до тогда получим

1'3(ß) = (2п)-1/2 7 (Х + lA|2)3 dX < —^

< (2п)-1/2 ■ ci ■ / (1 + |X|2)3 ■ ||flL2(ßl) dX = ci IIf ||Wo,3(ß)

(17)

Точно так же, используя условия теорем 3,4 с предельным переходом при £ ^ 0, в четвертой оценке, нетрудно получить для решения задачи (4)-(6) выполнение следующией оценки

1 - С2 II Л^ш (18)

Умножая неравенство (18) на (2п)—1/2 ■ (1 + IX|2)3 и интегрируя по X от —^ до +<*>, получим

|U|W22,3(Q) = (2П )-1/2 ■ f (1 + lX I2)3 ■!"lW22(ßi) d X

ОО

< (2п)-1/2 ■ С2 •/(1 + |Я |2)3 ■ || ¿Я = С2II/11^1,3 (е). (19)

—^

Лемма доказана. □

Доказательство. Доказательство теоремы 1. Из первой априорной оценки (17) леммы следует единственность обобщенного решения задачи (1)-(3), а из справедливости второй оценки (19) леммы следует существование обобщенного решения задачи (1)-(3) из пространства ^22,3(2). Теорема 1 доказана. □

Гладкость обобщенного решения задачи (1)-(3)

Теперь обратимся к исследованию гладкости обобщенного решения задачи (1)-(3) в пространствах W т+2,5(0, где т,5 — целые конечные числа такие, что т > 0, £ > 3.

Ниже для простоты предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно дифференцируемые функции в замкнутой области 61.

Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме того, пусть

Л? а =о = Л? а |,=г, Л? с и = Л? с |,=г.

Тогда для любой функции / е Wт+1,5(0, такой, что у■ |г=0 = |г=г (д = 0,1,2,3,...,т), существует, и причем единственное, обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W т+2,5(0, где £,m— любые целые конечные положительные числа,такие,что £ > т + 2 + [|], т = 0,1,2,3,....

Доказательство. Отметим, что в работах [7]-[8] для уравнения смешанного типа первого рода второго порядка (4) исследована гладкость обобщенного решения нелокальной краевой задачи (4)-(5) в пространствах Соболева W2И+2(Q1) и доказаны соответствующие оценки

22 ||иЦт+2(е1) < Ст+1 || / |Жт+1(б1)(т = 0, 1, 2 3, 4,...). (20)

Чтобы доказать, что е Ь2(0,где 5 > т + 2 + [|], т = 0,1,2,3,..., и пременить теорему вложения Соболева, нам необходимо умножить неравенство (20) на (2п)—1/2 ■ (1 + |Я|2)5 и интегрировать по Я от —^ до +<^, тогда получим

= (2П)—1/2 ■ - (1 + |Я |2)5 ■|М|^т+2(е1) ¿Я <

2 —^ 2

< (2п) —1/2 ■ Ст+1 ■ (1 + |Я|2)5 ■ ||/1^т+1(б1) ¿Я = Ст+1 II/||^+М(е)

Отсюда получим существование единственного обобщенного решения задачи (1)-(3) из пространства W2и+2,s(Q). Теорема 5 доказана. □

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

оо

Список литературы/References

[1] Бицадзе А. В., "Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа", ДАН СССР, 122:2 (1953), 167-170. [Bitsadze A. V., "Nekorrektnost' zadachi Dirikhle dlya urav-neniy smeshannogo tipa", DAN SSSR, 122:2 (1953), 167-170].

[2] Франкль Ф. И., "О задачах Чаплыгина для смешанных до и сверхзвуковых течений", Изв. АН СССР Сер. матем, 9:2 (1945), 121-143. [Frankl' F. I., "O zadachakh Chaplygina dlya smeshannykh do i sverkhzvukovykh techeniy", Izv. AN SSSR Ser. matem., 9:2 (1945), 121-143].

[3] Франкль Ф. И., "Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения", Прикладная математика и механика, 20:2 (1956), 196-202. [Frankl' F. I., "Obtekaniye profiley potokom dozvukovoy skorosti so sverkhzvukovoy zonoy, okanchivayushcheysya pryamym skachkom uplotneniya", Prikladnaya matematika i mekhanika, 20:2 (1956), 196-202].

[4] Кальменов Т.Ш., "О полупериодической задаче для многомерного уравнения смешанного типа", Дифференциальные уравнения, 14:3 (1978), 546-548. [Kal'menov T. Sh., "O poluperiodicheskoy zadache dlya mnogomernogo uravneniya smeshannogo tipa", Differentsial'nyye uravneniya, 14:3 (1978), 546-548].

[5] Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 413:1 (2007), 23-26. [Sabitov K. B., "Zadacha Dirikhle dlya urav-neniy smeshannogo tipa v pryamougol'noy oblasti", Dokl. RAN, 413:1 (2007), 23-26].

[6] Цыбиков Б. Н., "О корректности периодической задачи для многомерного уравнения смешанного типа", Неклассические уравнения математической физики, Новосибирск, 1986, 201-206. [Tsybikov B.N., "O korrektnosti periodicheskoy zadachi dlya mnogomernogo uravneniya smeshannogo tipa", Neklassicheskiye uravneniya matematicheskoy fiziki, Novosibirsk, 1986, 201-206]

[7] Джамалов C. З., "Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами для многомерного уравнения смешанного типа первого рода", Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 1-14. [Dzhamalov C. Z., "Ob odnoy nelokal'noy krayevoy zadache s postoyannymi koef-fitsiyentami dlya mnogomernogo uravneniya smeshannogo tipa pervogo roda", Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Ser. fiz.-mat. nauki, 21:4 (2017), 1-14].

[8] Джамалов C. З., Ашуров Р. Р., "О гладкости одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения Чаплыгина в пространстве", Казахский математ. журнал, 18:2 (2018), 59-70. [Dzhamalov C.Z., Ashurov R. R., "O gladkosti odnoy nelokal'noy krayevoy zadachi dlya mnogomernogo uravneniya Chaplygina v prostranstve", Kazakhskiy matemat. zhurnal, 18:2 (2018), 59-70].

[9] Лионс Ж. Л., Mадженес E., Неоднородные граничные задачи и их приложения, Mир, M., 1971. [Lions ZH.L., Madzhenes E., Neodnorodnyye granichnyye zadachi i ikh prilozheniya, Mir, M., 1971].

[10] Хермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, Mир, M., 1965. [Khermander L., Lineynyye differentsial'nyye operatory s chastnymi proizvodnymi, Mir, M., 1965].

[11] Никольский С. M., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, Наука, M., 1977. [Nikol'skiy S. M., Priblizheniye funktsiy mnogikh peremennykh i teo-remy vlozheniya, Nauka, M., 1977].

[12] Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Физматлит, M., 1973, 407 с. [Ladyzhenskaya O.A., Krayevyye zadachi matematicheskoy fiziki, Fizmatlit, M., 1973, 407 pp.]

[13] Врагов В. Н., Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, НГУ, Новосибирск, 1983. [Vragov V. N., Krayevyye zadachi dlya neklassich-eskikh uravneniy matematicheskoy fiziki, NGU, Novosibirsk, 1983].

[14] Кожанов А. И., Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка, НГУ, Новосибирск, 1990. [Kozhanov A. I., Krayevyye zadachi dlya uravneniy matematicheskoy fiziki nechetnogo poryadka, NGU, Novosibirsk, 1990].

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 35. no. 2. P. 8-16. TSSN 2079-6641

MATHEMATICS

MSC 35M10, 35M20 Research Article

On a semi-nonlocal boundary value problem for the three-dimensional Tricomi equation of an unbounded prismatic

domain

S. Z. Dzhamalov, R. R. Ashurov, Kh. Sh. Turakulov

Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy, Academy of Sciences of Uzbekistan, Academy of Sciences of Uzbekistan, Mirzo Ulugbek str., 85, Tashkent, 100170, Uzbekistan.

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

In this article, the methods of "e-regularization" and a priori estimates using the Fourier transform are studied the unique solvability and smoothness of the generalized solution of one semi-nonlocal boundary value problem for the three-dimensional Tricomi equation in an unbounded prismatic domain.

Key words: Tricomi equation, semi-nonlocal boundary value problem, Fourier transform, "e-regularization" methods and a priori estimates.

DOT: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-8-16

Original article submitted: 23.04.2021 Revision submitted: 20.06.2021

For citation. Dzhamalov S.Z., Ashurov R. R., Turakulov Kh.Sh. On a semi-nonlocal boundary value problem for the three-dimensional Tricomi equation of an unbounded prismatic domain. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021,35: 2,8-16. DOT: 10.26117/2079-6641-2021-35-2-8-16

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Dzhamalov S.Z., Ashurov R. R., Turakulov Kh.Sh., 2021

Funding. The study was carried out without financial support from foundations.